CC BY
7
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 1
УДК 512.543 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-1-109-122
ИНВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ НА СВОБОДНЫХ ГРУППАХ И СПЕЦИАЛЬНЫХ Н^-РАСШИРЕНИЯХ
Д. 3. Каган (Москва)
Аннотация
В данной работе рассматриваются вопросы о возможности построения инвариантных нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах. Доказано существовании нетривиальных псевдохарактеров на определенном типе ЕШК-расширений, относящихся к сложным случаям.
Для таких ЕШК-расширений, обладающих определенными копредставлениями, получены утверждения о ширине коммутантных вербальных подгрупп и нетривиальности второй группы ограниченных когомологий. Таким образом, дается частичный ответ на вопросы, сформулированные Р. И. Григорчуком.
Для произвольной группе О псевдохарактером ^ на О назывется вещественная функция, для которой |<£>(аЬ) — <р(а) — у(Ь) | < е для любых а,Ь € О и некоторого е > 0 и <£>(х") = тр(х) для любых х € О, п €2. Псевдохарактер назывется нетривиальным, если существуют а,Ь € О, такие, что аЬ) = у>(а) + у>(Ь). Существование на группе нетривиальных псевдохарактеров связано со многими важными характеристиками групп.
Понятия псевдохарактеров было введено А. И. Штерном. Условия, достаточные для существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединением и НЖЖ-расшнреннях, в которых базовая группа отлична от связанных подгрупп, были получены Р. И. Григорчуком и В. Г. Бардаковым. Нетривиальные псевдохарактеры существуют на группах с одним определяющим соотношением и по крайней мере тремя образующими.
Открытыми остаются вопросы об условиях существования нетривиальных псевдохарактеров для групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими, для 1Ш]М-расширений, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. Эти вопросы во многих случаях сводятся к построению нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах, инвариантных относительно специальных типов эндоморфизмов.
В статье доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах ранга п > 1, инвариантных относительно одного из таких типов эндоморфизмов. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых нисходящих ЕШК-расширениях.
Ключевые слова: нетривиальные псевдохарактеры, свободные группы, ограниченные когомологии, ширина вербальных подгрупп, НЖЖ — расширения.
Библиография: 17 названий.
INVARIANT FUNCTIONS ON FREE GROUPS AND SPECIAL HNN-EXTENSIONS
D, Z, Kagan (Moscow) Abstract
In this paper we are considering questions about the possibility of existence of invariant nontrivial pseudocharacters on free groups. It is proved that nontrivial pseudocharacters exist on a certain type of HNN-expansions in complex cases.
We got some results about the width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup and non-triviality of the second group of bounded cohomologies for considered HNN-expansions. Thus, partial answer to the question, formulated R. I. Grigorchuk, is received.
Pseudocharacter is the real functions / from group G to ^ such that | f (xy)-f (x)-f (y)| < e for some e > 0 and for any x,y G G and /(xn) = nf (x) Vn G Z, Ух G G. A pseudocharacter is called non-trivial if <(ab) — <(a) — <(b) = 0 for some a,b G G. Existence of nontrivial pseudocharacters on a group is connected with many important characteristics and properties of groups.
The notion of pseudocharacter was introduced by A. I. Shtern. Sufficient conditions of the existence of nontrivial pseudocharacters for free products with amalgamation and HNN-extensions for which associated subgroups are different from the base group were found by R. I. Grigorchuk and V.G. Bardakov. Nontrivial pseudocharacters exist on groups with one defining relation, and at least three generators.
Questions about conditions of existence of nontrivial pseudocharacters for groups with one defining relation and two generators and for descending HNN-extensions remain open. These questions in many cases are reduced to constructing nontrivial pseudocharacters on free groups, invariant with respect to special type of endomorphisms.
In this paper we prove existence of nontrivial pseudocharacters for free groups Fn,n > 1, which are invariant with respect to certain types of endomorphisms. It is proved that nontrivial pseudocharacters exist on some descending HNN-extensions.
Keywords: nontrivial pseudocharacters, free groups,bounded cohomologies, width of verbal subgroups, HNN — extensions.
Bibliography: 17 titles.
1. Введение
Прежде всего напомним основные определения.
Квазихарактером на произвольной группе G называется функция f из группы G в пространство действительных чисел R, такая что выполняется неравенство
|f (ab) — f (a) — f (b)| < e
для некоторого положительного числа e и для любых a, b G G. Псевдохарактером называется квазихарактер < для которого <(an) = n<(a) для любых a G G, n G Z. Если существуют элементы a, b G G, такие что <(ab) — <(a) — <(b) = 0, то псевдохарактер < называется нетривиальным.
Впервые понятия псевдохарактера и квазихарактера были рассмотрены А. И. Штерном в 1983 году [1]. В. А. Файзиев [2] доказал существование нетривиальных псевдохарактеров для свободных произведениях произвольных неединичных групп, за исключением Z2 * Z2.
Р. И. Григорчук [3], [4] доказал, что на свободных произведениях с объединением (A*B, V) существуют нетривиальные псевдохарактеры если |A :: U | > Зи |B : U | > 2. Также Р. И. Гри-горчуком доказано существование нетривиальных псевдохарактеров для HNN-расширений G =< H,t\tAt-1 = B >, при условии, что обе связные подгруппы A и B отличны от базовой
группы Н. Из этих утверждений можно вывести существование нетривиальных псевдохарактеров на группах одним определяющим соотношением и не менее чем тремя образующими.
Аналогичные по смыслу утверждения для свободных произведениях с объединением и НМ]М-расширений были сформулированы В. Г. Бардаковым [5] в терминах ширины вербальных подгрупп. В работах автора [6], [7] найдены условия, при которых нетривиальные псевдохарактеры существуют на аномальных произведениях различных классов групп.
Существование нетривиальных псевдохарактеров на группах используется для изучения многих характеристик групп, в частности, это понятие связано с группами ограниченных когомологий, шириной вербальных подгрупп, устойчивостью уравнений на группах.
Шириной вербальной подгруппы [8] V(О) относительно множества слов V называется наименьшее число т € такое, что всякий элемент подгруппы V(О) записывается в виде произведения не более чем т значений слов V±1.
В работах В. Г. Бардаковым [5], И. В. Добрыниной [9], [10], В.Н. Безверхнего [11] доказана бесконечность ширины собственных вербальных подгрупп для различных свободных групповых конструкций.
Существование на группе нетривиальных псевдохарактеров связано с коммутантными вербальными подгруппами [5]. Слово V из свободной группы ^П называется коммутаторным, если оно лежит в коммутанте ^.Множество слов V называется коммутаторным, определяемая множеством V вербальная подгруппа V(О) — коммутантной, если V содержит только коммутаторные слова.
О
бесконечность ширины гш1й(О^) любой коммутантной вербальной подгруппы V(О), определенной конечным собственным множеством слов V. Заметим, что для доказательства бесконечности ширины некоммутантных вербальных подгруппы техника нетривиальных псевдохарактеров неприменима, т.к. ненулевые псевдохарактеры не могут быть ограничены на степенях хя. Обзор результатов о ширине вербальных подгрупп и применяемых при их изучении методов приводится в [12].
В работе Р. И. Григорчука [3] устанавливается, что факторпространство всех псевдохарактеров по аддитивным характерам изоморфно пространству Н^(О), где Н^(О) - это так называемая сингулярная часть второй группы когомологий Н(2\О).
Н$(О) = РХ (О)/Х (О). О
группа ограниченных когомологий будет нетривиальной.
Р. И. Григорчук [4] поставил вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими О =< а,Ь\т(а,Ь) = 1 >, и связанный с ним вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на свободной группе , инвариантных относительно эндоморфизма а : Еп ^ ^о, где — подгруппа Еп.
Рассмотрим группу с одним определяющим соотношением и двумя образующими
О =< г,а\т(г,а) = 1 > .
Найти полные условия существования нетривиальных псевдохарактеров удалось для групп с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром [13], [14].
В общем случае такую группу О =< Ь,а\т(Ь,а) = 1 > с помощью преобразований можно привести к виду НМ]М-расширения [15], [16]
О = < ¿, а0,..., ап\в(а0,..., ап) = 1, íaií-1 = а^+1, г = 0 ,...,п — 1 > .
Базой этого ЕШ]М-расширения также является группа с одним определяющим соотношением Н = < ао,..., ап|г(ао,..., ап) = 1 >, изоморфные подгруппы порождаются элементами ао, а^ ..., ап_1 и а1,..., ага_1, ап соответственно.
Для того, чтобы на группе С можно было определить нетривиальный псевдохарактер достаточны выполнения условия: обе изоморфные подгруппы < ао, а1,..., ап_1 > и < а1,..., ап_1, ап > являются собственными подгруппами в базе Н. Сложные нерешенные случаи имеют место, если одна из изоморфных подгрупп совпадает с базой. Согласно утверждению Д.И. Молдаванского [17, лемма 1], это может быть только, если определяющее соотношение «(ао,...,ап) = 1 можно представить в виде ап = Цо(ао, а&+1,..., ап-1) (или ао = И)(аь ... ,а„_1)).
Тогда базовой группой в ЕШ]М-расширении будет свободная группа = <ао, а1,..., ап_1>, а само ЕШ]М-расширение будет иметь вид С = НЖЖ, ^¿^П^1 = В). Сопряжение элементом Ь задает эндоморфизм свободной группе - базы ЕШ]М-расширения. При этом эндоморфизме порождающие а^г = 0,1,..., п — 2 переходят в а^+1, а порождающий с максимальным индексом ап_1 переходит в элемент Цо(ао, а1,..., ап_1). В данной работе устанавливаются условия существования таких нетривиальных псевдохарактеров на ^П, которые будут инвариантны при определенном виде слова Цо.
2. Вспомогательные понятия и функции
Введем специальные функции на множестве целых чисел Z и на свободной группе Fn. Мы будем использовать обозначение функции trt по аналогии с [5] и [11], но определение этих функций будет немного другим.
Для произвольного положительного целого числа t > 1 введем связанную с ним функцию trt(z), определенную на множестве целых чисел.
' t — 1 пр и z > 0 и z = t — 1 (modt)
1 при z > 0 и z = 1 (modt)
trt(z) = 0 при z = 0 (modt)
—1 при z < 0 и z = —1 (modt)
^ —t + 1 пр и z < 0 и z = —+1 (modt)
Таким образом, функция trt(z) будет меняться от —t + 1 до t — 1. Например, при t = 7 значения функции будет меняться от -6 до 6. Для отрицательных z функция trt(z) будет или
z
Теперь для каждого положительного числа t > 1 введем связанные с ним функции на свободной группе f = ft и < = <t.
Fn
Fn =< ao > * <ai > *... * < an-i > .
Каждый элемент v G Fn можно представить в виде несократимого произведения v = V1V2 ... vp, где каждый слог Vi имеет в ид a^, и соседние слоги a^ и ak+1 принадлежат разным циклическим подгруппам < aj > .
Для произвольного элемента свободной группы v G Fn рассмотрим такое представление в виде произведения слогов из циклических групп < aj
v = vi v2 ...vp = a£ <2 ...ag.
В дальнейшим такое представление элементов свободной группы будем называть слоговым. Определим функцию / = /^ как сумму значений Ьт^г) для всех тг.
f (v) = Y1tn(rk)
k=i
Заметим, что для одного слога /(аГ) = Ьт^т). Для разбиения элемента свободной группы Еп по слогам V = У\У2 .. .ур выполняется равенство
f (v) = Е f (Vi).
k=1
Также с каждым положительным числом t > 1 свяжем функцию р = pt ■
p(v) = lim f(vr)/r, v £ Fn.
3. Основная теорема
Теорема 1. Пусть Еп =< а0,..., ап-1 > — свободная группа ранга п > 1 и отображение а определено преобразованиями порождающих: а0 ^ а1,..., ап-2 ^ ап-\,ап-\ ^ Ша^Ш-1, где Ш — неединичный элемент, Еп, К — любое положительное число. Если несократимая запись Ш начинается порождающим а±1, то на, свободной группе Еп существует, нетриви-
а.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда К > 3. Тогда, в качестве положительного числа Ь, на основе которого строятся вспомогательные функции, выберем К — 1 : Ь = К — 1. Таким образом, Ьтг(г) = Ьтя-1(г). Для каждого элемента свободной группы V € Еп по ее несократимому представлению будем рассматривать соответствующие определенные выше функции /(и) = /^1(1^ и р = рп-1. Далее будем использовать обозначения / (11) и р без упоминания нижнего индекса.
Если V = аС1 а^ ... а, где соседние слоги а^ и а^^ принадлежат разным циклическим подгруппам < аг >, то /(1) = Ьтя-1(с1) + Ьтя-1(с2) + ... + Ьтя-1(ср).
Докажем сначала, что для любого элемента V € Еп будет выполняться равенство / (1-1) = —/(V).
Рассмотрим слоговое представление V : V = аЦа[22 ... а£. Тогда V-1 = а—Р ... а—2а—1. Для каждого слога выполняется /(а~г) = Ьт^—т) = —Ьт^т) = —/(аГ). Таким образом, значение функции /(V-1) складывается из слагаемых, протиоположных по значению слагаемым из /(V). Тем самым равенство /(V-1) = —/(V) доказано.
Лемма 1. Функция / является квазихарактером на Еп.
Гр
Рассмотрим произведение двух элементов свободной группы Еп : VI = а^а£ ...аг „ V2 = а£ а^2 ... ^ .Тогда VlV2 = аЦ а% ... а£ а^1 а^ ...а. 12 '
Возможны несколько вариантов изменений представления на стыке слов. Сначала рассмотрим случай, когда гр =
Тогда на стыке слогов аГр и а^ не происходит никаких сокращений и произведение VlV2
Г1 Г2 ГР Я1 Я2 Ят
имеет слоговое представление аг 1 аг£ ... агр а^ а^ ... а*т.
В запись произведения VlV2 входят те же слоги аГг, что в слова VI и V2 по отдельности. Поэтому, /^2) = Е1=1 (тг) + ЕГ= 1 Ьъ(дг) = /(VI) + /^2).
Второй случай состоит в том, что слоги на стыке множителей соответствуют одной и той же порождающей аь, но полного сокращения не происходит. Это происходит если гр = ^ и Гр = —91.
Тогда сокращения в произведении ы«2 останавливаются, на стыке появляется новый слог аГр+91. Тогда = аГ1 аГ2 ... аГр-1 аГр+91 а® ... а^т. Выполняется равенство
Ьр ¿1 ¿2 Ьр—1 Ьр 72 Jm А
/(^) = /(аГ1 а£ ... аГр——1) + *п(гр + 91) + /(а^2 ... а£).
Из арифметических соображения ясно, что |Ьг4(а + Ь) — Ьг4(а) — Ьг4(Ь)| < Ь для любых целых чисел а, Ь. Отсюда следует, что |Ьг4(гр + 91) — Ьг4(гр) — ¿^(^)| < Ь. Учитывая что / («1) = / (а^1 аГ2 ... аГр—1) + Ьг4(гр) и / (г»2) = + / (а^ . ..а^), получаем |/(г1 «2) — /(«1) — /(г2)| = |Ьг4(гр + 91) — Ьг4(гр) — ^(91) < Ь.
Теперь рассмотрим случай, когда гр = ^^ и гр = —91. Это означает, что слоги, стоящие на
стыке множителей — аГр и а^ полностью сокращаются. Так как гр = —91, то Ьг4(гр) = —^¿(91).
/
ется. Тогда / (г1г2) = / (а^1 а^2 . ..аГр—1 а^ ... а^^) и на стыке слов г1 и г2 оказываются уже следующие слоги.
Если полностью сокращаются р — I слогов (р > I,) то запись элементов имеет вид:
Г1 Г2 Г/ Г/+ 1 Гр _Гр _Г/+1
г1 = а^1 а^2 ... аЬ'аЬ^ ... аЬр и г2 = а^ р ... аЬ _+ , а произведение:
ггг2 = аГ1 а£ ...аГ// а£—£ ... а-.
Если ц = ^'р_г+1, то эти слоги останутся разными в произведении. Тогда
/ (г1«2) = Ьг^п) + Ьг4(г2) + ... + ¿п(гг) + ¿п(9р_г+1) + ... + Ьг4(дт) = / («1) + / («2).
Если ц = ^'р_г+1, то два соответствующих слога сливаются в один, но полного сокращения не происходит. Тогда
/(^2)= /К1 аГ2 ...а!;+9р—/+1 ...а£) =
= /(аГ1 аГ2 ... аГ/1—1) + Ьг4(п + 9^+1) + /(а^р—£ ... а£).
Выполняется равенство /(«1 «2) — /(«1) — /(«2) = Ьг^п+9р_1+1) — — Ьг4(др_г+1). Поскольку |Ьп(гг + 9р_г+1) — — ¿г4(9р_г+1)| < Ь, то и |/^2) — /(«1) — /(«2) < Ь.
Во всех возможных случаях выполняется равенство |/(«1«2) — /(«1) — /(«2) | < Ь. Таким /
группе .
Лемма 2. Функция ^ является нетривиальным псевдохарактером на, группе .
Согласно результату А. И. Штерна (предложение 36 из [11]) для любого квазихарактера / на произвольной группе С функция, определенная равенством <^(д) = /(дс)/с, д € С
является псевдохарактером. Следовательно, определенная нами функция ^ является псевдохарактером.
Остается показать, что ^ является нетривиальным псевдохарактером. По условию теоремы ранг свободной группы п > 1, поэтому в группе есть хотя бы две различные порождающие ао и а1. Значение функции ограничено то модулю числом Ь — 1. Для любого слога аГ значение |/(аГ)| = |Ьг4(г)| < Ь также ограничено при любом числе г. Поэтому предел ^>(аЬ) = (аС)/г будет равен 0 для любого порождающего аЬ. В частности, ^>(ао) = 0 и <^(а1) = 0.
Рассмотрим элемент а1ао. Для степени (а1ао)с разбиение по слогам будет иметь вид а1аоа1ао ...а1ао, т.е. каждое вхождени порождающих будет представлять отдельный слог.
Рассматриваем случай, когда К > 3, соответственно Ь > 2, и /(а1) = /(ао) = 1. Для функции /(а1ао) получим /[(а1ао)с)] = /(а1) + /(ао) + ... + /(а1) + /(ао) = с ■ (1 + 1) = 2с. Следовательно, ^(а1ао) = 2с = 2. Таким образом, ^(а1ао) = ^>(ао) + ^(а1), а, значит, ^ — нетривиальный псевдохарактер.
Лемма 3. Функция / является инвариантной относительно отображения, а.
Функция / на каждом элементе свободной группы « € равна сумме своих значений на слогах вида а^, составляющих несократимую запись Если « = а^1 а^ ... аГр, то
/ («) = Ер=1 / (аГк ) = Ек=1 Мг*). 1 2 р
При эндоморфизме а слоги вида аГ при г = 0,1,..., п — 2 переходят в слоги аГ+1. При этом степень г не меняется. Поэтому, /(аГ) = /[а(аГ)] = Ьг4(г) для всех значений г кроме г = п — 1. Слоги 1 при рассматриваемом отображении перейдут в элементы
(ЖагдЖ _1)5 = ЖарЖ _1,а(аП_ 1) = ЖарЖ _1
Заметим, что в несократимой записи этих элементов на стыках между Ж, ар и Ж_1 не может быть дополнительных букв аь с индексом, совпадающим с г. Поэтому центральная степень ар будет отдельным слогом в записи элемента ЖарЖ _1, слева и справа будут стоять другие буквы .
Покажем, что /(а^_1) = /(а[аП_1)]. /(а^_1) = Ьг4(«). Для образа слога аП_1 имеем
/ (ЖарЖ _1) = / (Ж) + / (а^) + / (Ж _1).
В начале доказательства теоремы мы убедились, что /(Ж_1) = —/(Ж), следовательно /(ЖарЖ_1) = /(а^8) = Ьг4(К«). Мы выбрали Ь таким образом, что К = Ь + 1, поэтому Ьг4(К«) = Тг4(Ь« + 8) = Ьг^). Итак, значение функции / на слогах вида 1 не изменяется а.
По условию теоремы крайними слогами элементов Жар Ж _1 являются степени порождающего а±Г с минимальным индексом. Порождающие ао в образе произвольного элемента а(«) могут появляться только в составе элементов ЖарЖ_1. Поэтому никаких сокращений или слияний слогов на стыке подслов вида а^_1 —> ЖарЖ_1 и аГ —^ аГ+1, г = 0,1,..., п — 2 при преобразовании а происходить не может. Два соседних слога а^ и а^, где г = и г,^ = 0,1..., п — 2 переходят в два разных слога с разными порождющими аь+1 ,а7+1, на их стыке также никакие сокращения или слияния слогов невозможны.
Поэтому слоги ар+1,^ = 0,1, ...,п — 2, получающихся прямым переходом из слогов ар записи « и слоги, входящие в записи Жар Ж_1 будут отдельными слогами и в записи образа а(«).
/ а(«)
но сумме значений функции / на слогах ар+1,г = 0,1,... ,п — 2 и значений / на элементах Жар Ж_1. Для значений функции / на элементе « и его образе получим равенства:
/[а(«)] = £0рещ>7=о>1>...,п_2 /(ар+1) + £о«_ ^ /(ЖарЖ_1) =
ор€^,7=о,1,...,га_2
/(«)= Е /(ар) + Е /(аП_1)= Е Ы4(р)+ Е Ы4(в).
ор€^,7=о,1,...,га_2 оП—ор€^,7=о,1,...,га_2
о; 1
Таким образом, f [a(v)] = f (v) для любого элемента v G Fn, и значение функции f действительно не меняется при отображении а.
Псевдохарактер р определяется, как предел функции f, и поэтому также инвариантен а.
В соответствии с леммами функция р является нетривиальным псевдохарактером на свободной группе Fn, инвариантным относительно отображения а. Следовательно, в случае R > 3 утверждение теоремы выполняется.
Рассмотрим теперь случай R = 1. Тогда при отображения а элементы aj,i = 0,1,... ,n — 2 переходят в aj+1, a. an-i — в WaiW-1. Тогда достаточно выбрать t = 3 и trt(z) = tr3(z). Доказательство будет таким же, как и в случае R > 3.
Остается рассмотреть случай R = 2. Тогда порождающий an-i переходит в элемент Wa2W-1. Введем следующую функцию на слогах dp элементов свободной группы:
, p. I +1 если p > 0
sign(ap) = <
I — 1 есл и p < 0
Функцию f (v) также определим, как сумму значений sign на всех слогах в несократимой записи элемента v. Если v = aг! a[22 ...al™, то f (v) = sign(r1) + sign(r2) + ... + sign(rm). Функция p определяется также, как в предыдущих случаях, p(v) = liml^œ f (vr)/r, v G Fn. Очевидно, что f (v-1) = —f (v) для любого элемента v G Fn.
f квазихарактером на Fn, т.е. что
|f(v1 v2) — f (v1) — f (v2)l < e для любых v1,v2 G Fn и некоторого e > 0.
Пусть v1 = all all .. и v2 = aql aq^ ... aq™ .Тогда v1v2 = all a2 ... alp aj aj ... aq™. Если ip = j1, то крайние слоги alp и aq1 остаются отдельными слогами в произведении v1v2 и никаких изменений на стыке множителей не происходит. Тогда
f (v1v2) = (sign(r{) + ... + sign(rp)) + (sign(q{) + ... + sign(qm)) = f (v1) + f (v2 ).
Если ip = j'1, но rp = —q1, и полного сокращения крайних слогов не происходит. Тогда
v1 v2
v1v2 = al1 al2 ... ap+qi aJ2 ...aj. Тогда
il i2 ip J2 Jm
f (v1v2) = sign(n) + ... + sign(rp-1) + sign(rp + q{) + sign(q2) + ... + sign(qm) = = f (v1) + f (v2) + sign(rp + q{) — sign(rp) — sign(q1).
Разумеется, lsign(rp + q1) — sign(rp) — sign(q1)l < 1. Поэтому и f (v1v2) — f (v1) — f (v2)l < 1. Рассмотрим теперь случай, когда крайние слоги полностью сокращаются. Пусть
v1 = allaS ...all^^P
и
v2 = a-lp ...a-ll+1 aqp-l+ ...aqm.
ip ip-l Jp-l + 1 Jm
To есть в произведении v1v2 происходит полное сокращение p — l слогов, а полного сокращения lil -lp-i+i следующих слогов a^1 и ai p++ не происходит.
При этом опять же возможны два варианта: первый — il = jp-i+1. Тогда
f (v1v2) = f К a? ... al, atZ ...j ) = f К a% ...^ ) + f J+l ...j ) = f Ы) + f (v2 ).
Другой вариант — ii = jp-i+1, но полного сокращения по предположению не происходит. Тогда
fin \ — finllnl2 nll+qp-l+1 qm\ _ f(nl1nl2 nll-1\ _L finll+qp-l+1\ _L fir,qp-l+2
f (v1v2) = f (ah ai^...ail ... aJm ) = f (ah ai^... %-1 ) + f (ail ) + f (ajp-l+2 ...aJm ) .
Так как
f (vi) + f (V2) = f (a£ a£ ... a^1) + f (ag-^1 ... a£) =
= sign(ri) + ... + sign(rz-i) + sign(r) + sign(qp_i) + sign(qp-i+i) + ... + sign(qm),
TO
f (V1V2) - f (vi) - f (V2) = sign(r + qp_i+i) - sign(n) - sign(qp_i+i),
|f(viV2) - f(vi) - f(V2)| = H#n(r + qp_i+i) - sign(n) - sign(qp_i+i)| < 1.
Таким образом, во всех случаях |f(viv2) - f(vi) - f(v2)| < 1, значит функция f является квазихарактером.
Покажем, что функция p(g) = f (gc)/c,g G G также остается нетривиальным
псевдохарактером на свободной группе Fn. То, что p является псевдохарактером следует из леммы Штерна.
Для того, чтобы показать нетривиальность, так же как при доказательстве леммы 2, рассмотрим элементы ai,ao и aiao.
f (ai) = sign(c) = 1, f (a0) = sign(c) = 1, f ((aiao)c)) = 2c,
где c — положительное число. Поэтому, p(ai) = p(a0) = 1/c = 0, а ^(aia0) = 2. Значит,
p — нетривиальный псевдохарактер.
Теперь нужно показать что функции f, и, соответственно p будут инвариантны относительно отображения а.
Представление образа a(v) любого элемента v G будет состоять из образов слогов ap, j = 0,1,..., n - 2, которые перейдут в слоги ap+i и слогов, входящих в запись элементов WaRsW_i, образующихся из слогов an_ i записи v.
Также, как при доказательстве леммы 3, нужно заметить, что никаких сокращений или слияний между первыми и вторыми слогами происходит не может. Это невозможно в силу того, что запись WaRsW_i начинается и заканчивается порождающей a±i.
Для слогов ap элемента v, переходящих в ap+i слагаемое, входящее в функцию f будет равно sign(p) и не изменится при переходе. Для слогов i исходного слова, переходящих в WaRsW^получим: f(an_i) = sign(s),
f(WaRsW_i) = f(W) + sign(Rs) + f(W_i) = sign(Rs). В силу того, что r — положительное число sign(Rs) = sign(s).
Поэтому f(v) = f(a(v)). Таким образом, функция f инвариантна относительно а, функция p, как предел f, тажке будет инвариантной. Для случая R = 2 мы также построили
а.
Таким образом, при всех значениях R > 0 на свободной грvnne существует нетривиаль-
а.
доказана.
4. Теорема 2
Построить на свободной группе псевдохарактер можно и тогда, когда элемент an_i переходит в WaRW_i, где R — отрицательное число.
Теорема 2. Пусть =< a0,..., an_i > — свободная группа ранга n > 1м отображение а определено преобразованиями порождающих: a0 ^ ai,...,an_2 ^ an_i,an_i ^ WaRW _i, где W — неединичный элемент Fn, R — отрицательное число, не равное -1, -2z + 1, z G N. Если несократимая запись W начинается порождающим a±i, то на, свободной группе
а.
Доказательство. Итак, степень центрального слога К — отрицательное число. Разложим число -(К — 1) на простые множители. Поскольку К — 1 = —2х, —1, то в этом разложении найдется простое число, не равное 2. Пусть р — наименьшее из таких простых чисел. Теперь определим на множестве целых чисел функцию Ь = Ьр(г),г € 2 :
( при г = Р-т (твйр)
1 при г = 1 (твйр) Ь(г) = Ьр(г) 0 при г = 0 (твйр) —1 пр и г = —1 (твйр)
-т1 при г = (твйр)
Таким образом, значение функции Ь(г) будет меняться от до .
Теперь определим функции / и ф па свободной группе с помощью функции Ь(г). Пусть
пл со Са С/ С/+1
V = 1 а12 ...а,1 а, соседние слоги а^ / и а^ ^ принадлежат разным циклическим подгруппам <(ц > . Тогда / (V) = Ь(с1) + Ь(в2) + ... + Ь(ся) = Ь(ск), ((V) = / (Vг )/г, V € Гп.
Очевидно, что будет выполняться равенство Ь(—Сг) = —Ь(о). Соответственно, для любого элемента свободной группы будет выполняться /(V-1) = —/(V).
Аналогично доказательству леммы 1 показывается, что / будет квазихарактером на Еп. Действительно для любых двух целых чисел будет выполняться 1Ь(аЬ) — Ь(а) — Ь(Ь)1 < р, где р — выбранное нами простое число. Соответственно, для любых двух слогов
I/(а/*а/) — /(а/) — /(а3/1) = 1Ь(вг + з3) — Ь(зг) — Ь(з3)| < Ь.
/
произведении двух элементов свободной группы VI, и2 € Рп будет также выполняться неравенство I/— /— /^2)1 < Ь.
Для того, чтобы показать нетривиальность (рассмотрим элементы а1,ао и их произведение а1ао. Значения /(а1) и /(а0) будут колебаться от до ^Г. Соответственно, значения пределов при делении на г будут равны 0: ф(а1) = /(а1)/г = 0,ф(ао) = 0. При этом,
Ь(1) = 1, /[(а1ао)С] = (1 + 1) ■ с = 2с, ф(а1а0) = 2г/г = 2. Следовательно, ф — нетриви-
альный псевдохарактер.
Остается показать, что функция / (и, соответственно, ф будет инвариантной относительно
отображения а.
/
ной группы V € ^П равна сумме своих значений на слогах а1-*, составляющих несократимую заись V. При эндоморфизме а образ произвольного элемента а(V) состоит из слогов а1- ,г = 1, 2,... ,п — 1, получающихся прямым переходом из слогов а\_ 1 слов а V и слогов, входящих в состав Ша?3Ш-1, получающихся переходом из а'П_ 1. Никаких пересечений и сокращений между слогами, получающимися этими двумя разными вариантами происходить не может, т.к. запись Ша?3Ш-1 начинается с а^1.
Рассмотрим переходы слогов а- —> аТ-+1,г = 0,1,... ,п — 2. Тогда /(а-) = /(аТ-+1) = Ь(г). Таким образом, на таких слогах изменений значения функции не происходит.
Рассмотрим слоги а'П_ 1, лежащие в записи V. Они переходят в фрагменты Ша?3Ш-1. /(аП-\) = Ь(в), /(Ша?3^3-1) = /(Ш) + /(Ш-1) + /(а?3) = /(а?3) = Ь(Кв). По выбору числа р числа К — 1 и (К — 1)^ ^^^отся нар, поэтому Ь(Кв) = Ь(в), следовательно /(а3п_= Ша?3Ш-1.
Итак, все слоги элемента V при отображении а переходят в такие фрагменты а(и), для
/
переходе происходить не может. Поэтому и сумма будет одинаковой. Значит, /[а(-и)] = /(V) для любого V € функция р, как предел функции / тоже будет инвариантной относительно а. Теорема доказана.
5. Следствия из теоремы
Из доказанной теоремы получаем результаты для соответствующих НМ]М-расширений.
Теорема 3. Пусть С =< ¿, а0, аь ..., ап—1 1 = аь ..., = ап-1,
1 = Ж-1 >, где Ж(а0, а1,..., ап-1) — непустое слово в порождающих а^, начинающиеся с а^1 м Е — или произвольное положительное или отрицательное число, не равное —2г + 1 , х € N. Тогда на группе С существует нетривиальный псевдохарактер.
С
пе = < ао, а1,..., ап_1 > и проходной буквой ¿. Одна из изоморфных подгрупп совпадает с базой, а другая порождается образами элементов а^ при сопряжении с ¿. При этом, сопряжение элементом £ задает на отображение, совпадающее с отображением а, рассматриваемым в теореме.
Таким образом группу С можно представить в виде С = НЖЖ= а(^га)), где
=< а0, а1,..., ап-1 >, п > 1 и отображение а определяется преобразованиями порождающих: ао ^ а1,..., а„_2 ^ ап_1, ап-1 ^ Ж-1.
Покажем, что в НМ]М-расширении, где база совпадает с одной из изоморфных подгрупп, для существования нетривиального псевдохарактера достаточно, чтобы на базе НМ]М-расшире-ния существовал нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно изоморфизма ¿НГ1 = В.
Пусть С = НЖЖ(Н, = В), и та базе Н существует нетривиальный псевдохарактер
X, инвариантный относительно эндоморфизма, определяемого сопряжением
£ : %(Ш-1) = %(Л,)для любого Л, € Н.
Любой элемент НМ]М-расширения д € С может быть представлен в виде д = ¿_р Ык, где р, к > 0, и Л принадлежит базовой подгруппе Н. Определим функцию ф на всем расширении С следующим образом: для элемента д = ¿_рЫк положим ф(д) = х(Л).
Докажем, что ф будет квазихарактером. Пусть д1 = ¿_Р1 и д2 = ¿_Р2 Л-2— два произвольных элемента группы С. Тогда их произведение равно д1д2 = ¿_Р1 Л^1^2 Л,2^2. В зависимости от знака к1 — р2 нужн перенести влево э лемент Л-2 или вправо эле мент Л. При этом переносимый элемент перейдет в ¿1р2_^11Лг£_|^1_Р21 — образ при |р2 — к11 — кратном применении к эндоморфизма а — сопряжении с помощью Функция х является инвариантной
относительно сопряжения ¿.Поэтому х(£|р2_^1|Лг£_|^1_Р2!) = х(Лг).
Пусть, для определенности к1 < р2. Тогда д1д2 = ¿_р1_р2+Й1 Л^Л^2, где ЛЦ — результат р2 — к1 — кратного применения к Л эндоморфизма. х — квазихарактер, поэтому |х(Л1^2) — х(Л1) — х(^2)| < е Для некоторого положительного числа е. Отсюда получаем
1ФЫ2) — ф(д1) — ф(д2)| = 1х(Л1Л2) — х(М — х№)| = 1х(Л1Л2) — х(Л) — х№)| < е.
ф С.
р(д) = 1гшга^теф(дга)/п,д € С
С.
Н ф х. х
Н, ф Н
С.
Согласно теореме 1 на базовой группе рассматриваемого НМ]М-расширения — свободной группе =< ао, а1,..., ап_1 > существует нетривиальный псевдохарактер, инвариантный относительно сопряжения проходной буквой ¿. Как было показано, этого достаточно, чтобы на всем НМ]М-расширении также существовал нетривиальный псевдохарактер.
Следствие 1. Пусть
С =< ¿, а0, а1,..., ап_1 |£а0£_1 = а1,..., ¿ап_2£_1 = ап_1, ¿ап_1£_1 = Ш_1 >,
Е — или произвольное положительное или отрицательное число, не равное —2^ +1, х € N и слово Ш(а0, а1,..., ап_1) — непустое слово в порождающих а^, которое начинается с порождающей а±1. Тогда ширина любой собственной коммутантной вербальной подгруппы V(С), определенной конечным множеством слов V, бесконечна.
Следствие 2. Пусть
С =< ¿, а0, а1,..., ап_1 |£а0£_1 = а1,..., ¿ап_2£_1 = ап_1, ¿ага_1£_1 = ШарШ_1 >,
Е — или произвольное положительное или отрицательное число, не равное —2^+1, х € N и слово Ш(а0, а1,..., ап_1) начинается с порождающей а^1. Тогда для С втора,я группа, огра,-
(2)
ниченных когомологий будет нетривиальной: Щ ;(С) = 0.
Для наглядности приведем несколько примеров НМ]М-расширений, которые подходят под условия теоремы и следствий:
С =< а, Ь, |£а£_1 = Ь, = а3Ь2а_3 >,
С1 =< ¿, а0, а1, а2|£а0£ 1 = а1, ¿а1£ 1 = а2,¿а2£ 1 = ад 1а2а1а_ 2а0 >, С2 =< ¿, а0, а1, а2, аз|£а0£ 1 = а1,..., ¿аз£ 1 = а0а _ 4а0а1 ад 1 > .
6. Заключение
Вопрос об условиях существования нетривиальных псевдохарактеров на НМ]М-расшире-ниях в ситуации, когда базовая подгруппа совпадает с одной из связанных групп не имеет полного решения. В данной работе устанавливается существование таких функций для одного из типов таких НМ]М-расширений с определенными копредставлениями.
В связи с этим также доказано существование нетривиального псевдохарактера на свободной группе инвариантного относительно некоторого вида эндоморфизма
а0 ^ а1,..., ап_2 ^ ап _ 1, ап _ 1 ^ ШарШ_1,
где Ш — элемент
Для рассматриваемого типа НМ]М-расширений сделаны выводы о бесконечности ширины коммутантных вербальных подгрупп и нетривиальности второй группы ограниченных когомологий.
При доказательстве утверждений и следствий применяются методы построения функций на группах, предложенные В. Г. Бардаковым, И. В. Добрыниной, В. Н. Безверхним, методы построения и исследования псевдохарактеров Р.И. Григорчука, А. И. Штерна, В. А. Файзиева. Используются результаты Р. И. Григорчука о вторых группах когомологий, Д. И. Молдован-ского о группах с одним определяющим соотношением и НМ]М-расширениях.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Штерн А.И. Квазипредставления и псевдопредствления // Функц. анализ и его прил. 1991. Т. 25, №2. С. 70-73.
2. Файзиев В. А., Об устойчивости одного функционального уравнения на группах // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, №1 С. 193-194.
3. Григорчук Р. И. Some results an bounded cohomology. Combinatorial and Geometric Group Theory. // Edinburg 1993 London Math. Soc. Lecture Notes Ser..V.284. Cambridge: Cambridge University Press 1994 C. 111-163
4. Григорчук P. И. Ограниченные когомологии групповых конструкций // Математические заметки. 1996. Т.59, №4. С. 546-550.
5. Бардаков В. Г. О ширине вербальных подгрупп некоторых свободных конструкций // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, №5. С. 494-517.
6. Каган Д. 3. О существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях групп. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. N.6. С. 24-28.
7. Каган Д. 3. Псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т.12, №3. С.55-64.
8. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1987.
9. Добрынина И. В. О ширине в свободных произведениях с объединением // Математические заметки. 2000. Т. 68, №3. С. 353-359.
10. Добрынина И. В. Решение проблемы ширины в свободных произведениях с объединением // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, №1. С. 23-30.
11. Добрынина И. В., Безверхний В. Н. О ширине в некотором классе групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением // Труды института математики и механики УрО РАН. 2001. Т.7, №2. С. 95-102.
12. Добрынина И. В., Каган Д. 3. О ширине вербальных подгрупп в некоторых классах групп // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, №4 (56). С. 150-163
13. Каган Д. 3. Ширина вербальных подгрупп для групп с одним определяющим соотношением // Материалы XIII Межд. конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Тула, 2015. С. 76-78.
14. Каган Д. 3. Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром // Математический сборник. 2017. Т. 208, №1. С. 80-96.
15. Линдон Р., Шупп П. //Комбинаторная теория групп. М. Мир. 1980. 448 с.
16. Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 455 с.
17. Молдованский Д. И. О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением // Сиб. матем. журнал. 1967. Т.8, №6. С. 1370-1384
REFERENCES
1. Shtern, A.I. 1991, "Quasirepresentations and pseudorepresentations Fund. Anal. Appl. Vol. 25, no.2, pp. 70-73.
2. Faiziev, V. A., 1993, "The stability of a functional equation on groups Russian Math. Surveys. Vol.48, no.l, pp. 193-194.
3. Grigorchuk, R.I. "Some results an bounded cohomologv Combinatorial and Geometric Group Theory (Edinburg 1993). London Math. Soc. Lecture Notes Ser..V.284. Cambridge: Cambridge University Press 1994 pp. 111-163
4. Grigorchuk, R. I. 1996, "Bounded cohomologv of group constructions Mat. Zametki, vol. 59, no. 4, pp. 546-550.
5. Bardakov, V. G. 1997, "On the width of verbal subgroups of some free constructions Algebra and logic, vol. 36, no. 5, pp. 494-517.
6. Kagan, D.Z. 2004, "Existence of nontrivial pseudo-characters on anomalous group products Moscow Univ. Math. Bull, no. 6, pp. 24-28.
7. Kagan, D.Z. 2008, "Pseudocharacters on anomalous products of locally indicable groups J. Math. Sci. (N. Y.J, vol. 149, no. 3, pp. 1224-1229.
8. Merzlvakov, Y. I. 1987, "Rational groups Moscow: Nauka.
9. Dobrvnina, I. V. 2000, "On the width in free products with amalgamation Mat. Zametki, vol. 68, no. 3, pp. 353-359.
10. Dobrvnina, I. V. 2009, "Solution of the width problem in amalgamated free products Fundam. PrikL Mat., vol. 15, no. 1, pp. 23-30.
11. Dobrvnina, I. V. k, Bezverkhnii, V. N. 2001, "On width in some class of groups with two generators and one defining relation Proc. Steklov Inst. Math. Algebra. Topology, suppl. 2, pp. 53-60.
12. Dobrvnina, I.V., Kagan, D.Z., 2015, "On the width of verbal subgroups in some classes of groups Chebyshevski. Sb., vol. 16, no. 4 (56), pp. 150-163.
13. Kagan, D.Z., 2015, "Width of verbal subgroups for groups with one defining relation" , XIII International Conference "Algebra, number theory and discrete geometry: Modern Problems and Application", Tula, pp. 76-78.
14. Kagan, D.Z., 2017 "Pseudocharacters on groups with one defining relation and non-trivial center" , // Matematicheskii Sbornik, 2017. vol.208., no 1., pp. 80-96.
15. Lyndon, R. C., Schupp, P. E., 1977, "Combinatorial group theory Ergeb. Math. Grenzgeb., 89, Springer-Verlag, Berlin-New York.
16. Magnus, W., Karrass, A., Solitar, D., 1966, "Combinatorial group theory. Presentations of groups in terms of generators and relations Pure Appl. Math., 13, Intersci. Publ., John Wiley and Sons, Inc., New York.
17. Moldavanskii, D. I., 1968, "Certain subgroups of groups with a single defining relation", Siberian Math. J., vol.8 no 6, pp. 1039-1048.
Получено 25.06.2016 Принято 14.03.2017
