О свойстве Хауеона нисходящих hnn-раеширений групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

УДК 512.543

О СВОЙСТВЕ ХАУСОНА НИСХОДЯЩИХ Н^-РАСШИРЕНИЙ ГРУПП

Д. И. Молдаванский (г. Иваново)

Аннотация

Группа О обладает свойством Хаусона, если пересечение любых двух ее конечно порожденных подгрупп также является конечно порожденной подгруппой. Получен ряд условий, при которых нисходящее НАА-расширение этим свойством не обладает. В частности, из этих результатов и результата Р. Дж. Бернса и А. М. Бруннера следует, что произвольное нисходящее НМ]М-расширение нециклической свободной группы не обладает свойством Хаусона.

1 Основные результаты

Говорят, что группа С обладает свойством Хаусона (является хаусоновой группой), если пересечение любых двух ее конечно порожденных подгрупп также является конечно порожденной подгруппой. Это название вошло в обиход после работы А. Хаусона [1], где было доказано, что все свободные группы обладают этим свойством. Обобщая это утверждение, Б. Баумелаг [2] показал, что свободное произведение двух хаусоновых групп является хаусоновой группой. С другой стороны, в работе [3] было замечено, что прямое произведение свободной группы ранга 2 и бесконечной циклической группы не обладает свойством Хаусона. Затем это утверждение было обобщено Р. Дж. Бернсом и А. М. Бруннером

[4], установившими, что произвольная группа, являющаяся расширением конечно порожденной нециклической свободной группы при помощи бесконечной циклической группы, не обладает свойством Хаусона. Поскольку произвольное расширение при помощи бесконечной циклической группы расщепляемо, любая такая группа является частным случаем нисходящего НАА-расширения конечно порожденной свободной группы.

Напомним, что нисходящее (или — в терминологии ряда авторов — восходящее) НММ-расширение, являющееся, в свою очередь, частным случаем общей конструкции НАА-расширения, может быть определено следующим образом. Пусть С — некоторая группа и — инъективный эндоморфизм группы С. Тогда нисходящим НАА-расширением (базовой) группы С, соответствующим

эндоморфизму <£, называется группа С(ф) = (С, £; £-1д£ = д<£ (д Е С)), по-

рождаемая образующими группы С и еще одним элементом £ и определяемая

С

пнями вида, £-1д£ = д<£, где д Е С. Очевидно, что если эндоморфизм (р является вдобавок сюръективным, т. е. — автоморфизмом группы С, то группа С(ф)

С

циклической группы с порождающим Поэтому следующее утверждение можно рассматривать как дополнение сформулированного выше результата Бернса - Бруннера:

С

и <р — инъективный, но не сюръективный эндоморфизм группы С. Тогда нисходящее ИММ-расширение С(ф) = (С, £; £-1д£ = др (д € С)), не является, хаусоновой группой.

Таким образом из этого утверждения и результата Бернса - Бруннера следует, что произвольное нисходящее ИММ -расширение нециклической свободной группы конечного ранга не обладает свойством, Хаусона.

Предположение о нецикличности базовой группы здесь существенно. В самом деле, произвольное нисходящее ИММ-расширение бесконечной циклической группы является группой с одним определяющим соотношением, принадлежащей семейству групп Баумелага - Солитэра, а именно — группой вида, Ск = (а,£; £-1а£ = ак), где к — целое число, отличное от нуля, а в работе [3] было показано, что все группы Ск являются хаусоновыми. Уместно упомянуть здесь, что этот результат был обобщен в работе [4] следующим образом:

Группа С = (а1} а2,..., ат, £; £-1и£ = у), где и и V — непустые несократимые слова в алфавите а1; а2, ..., ат, обладает свойством Хаусона при условии, что хотя бы одно из слов и и V не является истинной степенью в соответствующей свободной группе.

Еще одно семейство хаусоновых групп с одним определяющим соотношением доставляет результат из работы [5], утверждающий, что свободное произведение двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами, хотя бы одна из которых изолирована в соответствующем свободном множителе, является хаусоновой группой.

С другой стороны, многие группы с одним определяющим соотношением свойством Хаусона не обладают. Так, еще в работе [3] было доказано, что если группа с одним определяющим соотношением обладает нетривиальным центром, не является абелевой и не изоморфна группе С-1 = (а,£; £-1а£ = а-1), то она не является хаусоновой. Отметим, что это утверждение является непосредственным следствием приведенной выше теоремы Бернса - Бруннера, поскольку нециклическая группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром является расширением свободной группы конечного ранга при помощи бесконечной циклической [6]. В последнее время новые примеры групп с одним определяющим соотношением, не обладающих свойством Хаусо-

на, были указаны в работах [7], [8] и [9]. Можно заметить, однако, что каждая из приведенных в этих работах групп является нисходящим ИММ-расширением нециклической свободной группы конечного ранга. Таким образом, невыполнимость свойства Хаусона во всех известных примерах нехаусоновых групп с одним определяющим соотношением вытекает из теоремы Бернса - Бруннера и сформулированной выше теоремы 1.

Утверждение теоремы 1 является частным случаем следующего более обще-

ИС

дополняемой, если для некоторой неединичной подгруппы К группы С подгруппа, порождаемая подгруппами ^К, является их свободным произведением.

Теорема 2. Пусть С — конечно порожденная, группа, , р — инъективный, но не сюръективный эндоморфизм группы С и И = Ср. Если подгруппа И группы, С свободно дополняема, то нисходящее ИММ-расширение С(р) не является, хаусоновой группой.

Для вывода утверждения теоремы 1 из теоремы 2 достаточно заметить, что если С — нециклическая свободная группа конечного ранга и р — инъективный, но не сюръективный эндоморфизм группы С, то подгруппа И = Ср свободно

И

С И С

ИС

И

(см., напр., [10, с. 34]).

Приведем еще одно применение теоремы 2.

С

произведением неединичных групп А и В. Если р — такой инъективный, но не сюръективный эндоморфизм группы С, что Ар С А и Вр С В, то группа С(р)

Действительно, в этом случае подгруппа И = Ср порождается подгруппами Ар Вр Ир = С

Ар = А Вр = В И

СИ дополняема.

Похожее утверждение имеет место для группы, разложимой в прямое произведение:

С

А В р С

Ар С А Вр С В Ар = А Вр = В А

или В конечно порождена, то группа С(р) не является, хаусоновой.

С

р

С

ет блочно-диагональный вид, причем абсолютная величина определителей хотя

С(р)

усоновой. Вопрос о хауеоновоети произвольных нисходящих ИММ-расширений свободной абелевой группы остается открытым.

2 Доказательство теоремы 2

р

денной группы СИ = Ср и К — неединичная подгруппа группы С такая, что подгруппа Ь, порождаемая подгруппами ^К, является их свободным произ-

К

Для произвольного целого числа п полагаем Кп = £-пК£п, Обозначим также через М подгруппу, порождаемую в группе С(р) всеми подгруппами Кп, а через М — подгруппу, порожденную всеми подгруппами Кп, у которых п ^ 0, Заметим, что при п ^ 0 имеем, очевидно, Кп = Крп, и потому подгруппа М содержится в базовой группе С ИММ-расширепия С(р),

Лемма 1. Подгруппа М является свободным произведением сем,ейства, подгрупп Кп, п € Ъ. В частности, подгруппы М и М не являются, конечно порожденными.

Для доказательства леммы 1 достаточно показать, что подгруппа, порож-

Кп

ным произведением, а для этого, в свою очередь, достаточно показать, что для любого г ^ 1 подгруп па Мг, порождаемая подгруппами К0 = Кр0, К1 = Кр, .,., Кг = Крг, является свободным произведением ЭТИХ подгрупп.

Так как Ь = И * К = И * К0 и Кр ^ И, при г = 1 это очевидно. Пусть для некоторого г ^ 1 подгруп па Мг является свободным произведением подгрупп К0, К1; ,,,, Кг. Тогда, поскольку отображение р является изоморфизмом группы С на подгруппу И и при г ^ 0 К^р = К^+1, подгруп па Мг р является свободным произведением подгрупп К1; К2, ,,,, Кг+1, Так как подгр уппа Мг+1 порождается подгруппами К0 и Мгр и Мгр ^ И, отсюда следует, что подгруппа Мг+1 является свободным произведением подгрупп К0, К1; ,,,, Кг+1, и паше утверждение доказано.

Лемма 2. М п С = М,

Доказательство. Поскольку включение М С М П С очевидно, достаточно установить справедливость противоположного включения. Произвольный неединичный элемент и подгруппы М может быть записан в виде

и = у1у2 ■ ■ ■ ,

где r ^ 1, ДЛЯ каждого i = 1, 2, . . . , r Vj — неединичный элемент из подгруппы Kni, V = t-ni gitni для неединичного элемента gi £ K, и при r > 1 для любого i = 1, 2,..., r - 1 n = nj+1.

Покажем, что если среди чисел щ, n2, ,,,, nr хотя бы одно отрицательно, то элемент u те входит в подгруппу G, Поскольку в оставшихся случаях включение u £ M очевидно, тем самым лемма будет доказана.

Итак, предположим, что для некоторого i, 1 ^ i ^ r, выполнено неравенство ni < 0, Есл и r = 1, то поскольку эле мент g1 те входит в подгр уппу И, запись u = t-nig1tni является приведенной в HNN-расширении G(p), и потому u / G в силу леммы Бриттона.

Будем считать теперь, что r > 1, и обозначим через n наименьшее из чисел щ, n2, ■ ■ ■, nr. Предположим, рассуждая от противного, что элемент и принадлежит подгруппе G, Тогда, поскольку n ^ — 1, элемепт tnut-n = up-n входит в подгруппу И.

С другой стороны, для каждого i = 1, 2,..., r ввиду того, что n — ni ^ 0, имеем

tnVit-n = tn-nigit-(n-ni) = giPni-n £ Kpni-n, и так как для любого i = 1, 2,..., r — 1 числa ni — n и ni+1 — n различны, запись

t-nutn = g1pni-n ■ g2pn2-n...gr-n

элемента tnut-n является несократимой в разложении подгруппы M, указанном

ni выполнено равенство n—ni = 0 пусть i1 < i2 < ■ ■ ■ < is — все номера слогов, для которых это равенство выполнено. Остальные слоги этой записи принадлежат И tnut-n

tnut-n = wogii W1gi2 ... ws-1gis ws,

где все Wj — элементы подгруппы И и все они, кроме, быть может, w0 и отличны от 1. В любом случае эта запись является, очевидно, несократимой в разложении L = И * K подгруппы L, и поскольку по меньшей мере один из слогов этой записи принадлежит подгруппе K, это противоречит включению tnut-n £ И. Лемма 2 доказана.

Переходя теперь непосредственно к доказательству теоремы 2, обозначим через F подгруппу группы G(p), порождаемую подгруппой K и элементом t. Покажем, что F П G = M. Поскольку подгруппы F и G являются конечно порожденными, а подгруппа M не является конечно порожденной, это и будет означать, что в группе G(p) свойство Хауеона не выполняется.

Произвольный элемент f £ F записывается в виде f = g0tni g1tn2 ■ ■ ■ tnr gr для некоторых элементов g^ g1; ..., gr го подгруппы K и целых чисел n^ n2, ..., nr. Еоди элемент f подгруппе G, то ^^^^^^гоация группы G(p)

по нормальному замыканию подгруппы С покрывает, что п1 + п2 + ■ ■ ■ + пг = 0 и потому элемент / входит в подгруппу N. Таким образом, имеет место включение В П С С М, откуда с учетом включения М С ^и леммы 2 получаем

в п С = в п С п м = в п м = м,

что и требовалось.

3 Доказательство теоремы 3

Пусть С = А х В и пусть р — такой инъективный эндоморфизм группы С, что Ар С А и Вр С В. Предположим также, что Ар = А Вр = В и подгруппа А конечно порождена. Обозначая через р и ограничение эндоморфизма, р на подгруппу В, наряду с группой С(р) введем в рассмотрение соответствующее нисходящее ИММ-расширение В(р) = (В,£; ¿-1Ь£ = Ьр (Ь € В)) группы В, Пусть п — проектирование группы С на группу В, Легко видеть, что существует гомоморфизм р группы С(р) в группу В(р), который проходную букву С(р) В(р)

на группе С совпадает с действием отображения п, Утверждается, что ядро гомоморфизма р совпадает с подгруппой и = и^0 А£-к,

Действительно, поскольку Ар = Ап = 1, включен не и С Ке гр очевидно,

р С(р)

может быть записан в виде ¿тд£-п для некоторых неотрицательных целых чисел т и п и элемента д € С. Записав элемент д в виде д = аЬ, где а € А и Ь € В, получаем в группе В(р) равенство ¿тЫ-п = 1, Поскольку базовая группа произвольного ИММ-расширения тривиально пересекается с циклической подгруппой, порождаемой проходной буквой, имеем Ь = 1 и т = п. Таким образом, ¿тд£-п = ¿та£-т € и, что и доказывает противоположное включение. Равенство Кег р = и, таким образом, доказано. Отметим также, что по-

Ар = А и

поеледовательноети подгрупп и потому не является конечно порожденной. Обозначим через С подгруппу группы С(р), порожденную подгруппой А и элементом ¿, а через В — подгруппу, порожденную подгруппой А и элементом ¿Ь, вде Ь € В \ Вр,

Очевидно, что и ^ С и легко видеть, что и подгруппа В содержит и. Действительно, А ^ В, и если для некоторого к ^ 0 В содержит подгруппу А£-к, то и подгруппа (¿Ь) А£-к(¿Ь)-1 лежит в В, Но так как Ь£к = Ьрк, имеем (¿Ь) А^-к(¿Ь)-1 = ¿к+1АГ(к+1).

Таким образом, подгруппа и содержится в пересечении подгрупп С и В, Покажем, что в действительности пересечение подгрупп С и В совпадает с и,

С В и

конечно порожденной, тем самым теорема будет доказана.

Очевидно, что при гомоморфизме р группы С(р) на группу В(р) подгруппа С переходит в циклическую подгруппу, порожденную элементом ¿, а подгруппа В переходит в циклическую подгруппу, порожденную элементом ¿Ь. Если

В(р)

левых целых чисел т и п должно выполняться равенство = (¿Ь)п, Переход

В(р) В

зывает, что тогда т = п. Следовательно, в группе В(р) выполнено равенство ¿т = (¿Ь)т причем число т можно считать положительным. Поскольку

(¿Ь)т = ■ ¿-(т-1)Ь£т-1 Г(т-2)Ы-2 ■ ■ ■ ¿-1Ь¿ Ь = Г ■ Ьрт-1 Ьрт-2 ••• ЬрЬ,

получаем Ьрт-1 Ьрт-2 ■ ■ ■ ЬрЬ = 1, откуда следует включепие Ь € Вр, что про-

Ь

Ср Вр

(С п В)р = 1 р

с подгруппой и, отсюда получаем требуемое включение С п В С и. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Howson A. G. On the intersection of finitely generated free groups // J, London Math. Soc. 29. 1954. P. 428 - 434.

[2] Baumslag B. Intersections of finitely generated subgroups in free products // J, London Math. Soc. 41. 1966. P. 673 - 679.

[3] Молдаванский Д. И. О пересечении конечно порожденных подгрупп // Сиб, матем. журн. 1968. № 9, С. 1422 - 1426.

[4] Бернс Р., Бруннер А. Два замечания о групповом свойстве Хауеона // Алгебра и логика, 18, № 5 (1979). С. 513 - 522.

[5] Burns Е. On finitely generated subgroups of an amalgameted product of two subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. 169 (1972). P. 293-306.

[6] Baumslag G., Taylor T. The center of groups with one defining relator j j MathAnn. 1968. V. 175, P. 315 - 319.

[7] Kapovich I. Howson property and one-relator groups // Communs in algebra. 1999. V. 27. P. 1057 - 1072.

[8] Без верхняя H. Б. О свойстве Хауеона и гиперболичности некоторых . тупорож.чонных групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула. 2001.

[9] Безверхняя Н. Б. О свойстве Хаусона некоторого класса групп с одним определяющим соотношением // Чебышевекий сб. Т. 2 (2001), С, 14 - 18,

[10] Линдон Р., Шупп П, Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980,

[11] Горюшкин А,П., Горюшкин В,А, Свободная разложимость и сбалансированность групп, П,-Камчатский: Изд-во Камчат, гос. пед, ун-та, 2005,

Ивановский государственный университет Поступило 17,11,09