CC BY
32
кусственного интеллекта.) / Клименко В.П., Фишман Ю.С., Ляхов А.Л., Кондратов С.В., Швалюк Т.Н. // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). - Тезисы докладов. - Часть IV -Новосибирск, 2000. - С.107-108.
8. АНАЛИТИК-2000 / Морозов А.А., Клименко В.П., Фишман Ю.С., Ляхов А.Л., Кондратов С.В., Швалюк Т.Н. // Математические машины и системы. - 2001. - №1. - С.65-101.
9. Kernighan B.W. and Ritchie D.M. (1978). The C Programming Language, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
10. Вычисление элементарных функций на ЭВМ / Благовещенский Ю.В., Теслер Г.С.// К.: Техника, 1977. - 208 с.
11. Вычисление функций на ЭВМ / Попов Б.А., Теслер Г.С. // К.: Наукова думка, 1984. - 600с.
12. Арифметические операции над числами произвольной длины и произвольного диапазона / Дородницына А.А. // Кибернетика. - 1967. - № 4. - С.39-42.
13. Компьютерная алгебра / Абрамов С.А., Зима Е.В., Ростовцев В.А.// Программирование. №5.-Москва, 1992.-С.4-25.
14. Системы символьной математики Mathematica 2 и Mathe-matica 3 / Дьяконов В.П.// М.: СК ПРЕСС, 1998. - 320 с.
15. REDUCE. User's Manual. Version 3.4. / Hearn A.C. // The RAND Corparation, Santa Monica, 1991. - 200 p.
УДК 519.863
1НТЕРВАЛИ I 1НТЕРВАЛЬН1 СТРУКТУРИ
Г.М.Шило
Рассмотрены виды интервальных входных данных и интервальных структур. Исследованы их основные свойства. Показано использование интервальных структур для оценки функций и расчета допусков с учетом внешних воздействий.
Розглянуто види iнтервальних вх1дних даних та iнтер-вальних структур. Дослiдженi ¿х основт властивостi. Показано використання iнтервальних структур для ощнювання функщй i обчислення допускiв з урахуванням ди зовтштх впливiв.
Kinds of interval input data and interval structures are considered. Their main properties are investigated. The using of interval structures to estimate functions and calculate tolerances taking into account external perturbations is shown.
ВСТУП
1снують pi3Hi способи опису невизначеностей даних: iMOBipHicHi модел^ Teopifl невизначених множин, штер-вальна математика [1, 2]. Перевагою штервально! математики е можлив^ть обчислення гарантованих розв'язюв. При цьому необхщно мати шформащю лише про мeжi паpамeтpiв модель Правила виконання арифметичних операцш залежать вщ виду вхщних даних.
Арифметичш операцп над штервальними параметрами, яю змшюються взаемно незалежно виконуються за правилами класично! штервально! арифметики [3] або !"! розширень [4-6]. Однак досить часто параметри матема-тичних моделей мають взаемно однозначну вщповщшсть. В цьому випадку icнуючi штервальш арифметики не можуть застосовуватись в повному обсязь
1дея оцшки дшсного числа штервалом, яка покладена в основу штервально! математики, для оцшки множин набу-вае вигляду двохступеневих штервальних структур. Таю задачi виникають, наприклад при оцшюванш функцш [7] i врахуванш дп навколишнього середовища [8]. Можлива piзна комбшащя межових точок, якi характеризують множину (рис.1). При цьому утворюються штервальш структури з плаваючими межами (рис.1, а), з плаваючими штервалами (рис.1, б) та твши (рис.1, в). 3 цих структур найбшьш дослщжеш властивосп твШв [7], якi засто-совуються для oцiнювання функцiй.
Fb(x) -1-1-1-1-4—
X X X
а)
Fi(x) -1-1-1-1-н-
6)
Т(х) -1-1-1-1-+--
в)
Рисунок 1 - 1нтервалът структуры: а) з плаваючими межами; 6) з плаваючими ттервалами; в) твти
Метою роботи е дослщження властивостей шших iHTep-вальних структур при pi3Hèx видах iHTepâaëbHèx даних.
1. OCHOBHt ОЗНАЧЕНИЯ
ОЗНАЧЕННЯ 1. 1нтервальш äaHi a та b називаються взаемно однозначними, якщо Miœ кожним елементом iнтepвaлу a iraye взаемно однозначна вiдповiднiсть з кожним елементом штервалу b.
ОЗНАЧЕННЯ 2. Комутацшним iнтepвaлом називаеть-ся штервал, який визначаеться спiввiдношeннями:
1НФОРМАТИКА
а = [ а ; а ] = " _
а , (х < хо)
а , (х > Хо)
(1)
де а 1 а - нижня 1 верхня меж1 комутацшного 1нтер-валу; Хо - значення параметру х , яке розмежовуе викори-
стання меж а 1 а .
ОЗНАЧЕННЯ 3. 1нтервальною структурою з плаваю-чими межами називаеться структура виду:
де * е { +, -, • , / } .
НАСЛ1ДОК 1. Якщо у комутац1Иному 1нтервал1 а = а = а , то при виконанн! арифметичних операц1И використовуються сп1вв1дношення:
а *Ь= а*[Ь;Ь]= [а*Ь;а*Ь],
-1* Ь = -1 • [ Ь; Ь ] = [-Ь; - Ь ]
(7)
(8)
БЬ(X) = (х;X) = ([хт;Хр];[Хт;Хр]), (2)
де х 1 х - нижня 1 верхня 1нтервальн1 меж1 параметра Х ; Хт 1 Хр - значення меж 1нтервалу в1дпов1дно при нижньо-
му 1 верхньому значенню зовн1шнього впливу.
ОЗНАЧЕННЯ 4. 1нтервальною структурою з плаваю-чими 1нтервалами називаеться структура:
и( х) = (хт ;хр) = ([Хт ;Хт] ;[Хр; Хр]), (3)
де хт 1 хр - 1нтервальнии параметр при нижньому 1
верхньому значенн1 зовн1шнього впливу.
Тв1н це пара 1нтервал1в, як1 визначають внутр1шню 1 зовн1шню оц1нку [7]. З використанням приИнятих озна-чень тв1н записуеться у вигляд1:
Т(х) = (х, ;хр = ([ Хр; Хт ]; [Хт; Хр]), (4)
де х, та хА - внутр1шня 1 зовн1шня оц1нки 1нтервалу х.
1 А
2. АРИФМЕТИЧН1 ОПЕРАЦП НАД 1НТЕРВАЛЬНИМИ СТРУКТУРАМИ
ОЗНАЧЕННЯ 5. Арифметичн1 операцп м1ж взаемно однозначними 1нтервалами визначаються сп1вв1дно-шеннями
а* Ь = [ а; а]*[Ь ;Ь ] = [ а*Ь; аЬ ],
—(а(Х)*Ь(Х))* 0, х е х
ах
Останн1И вираз означае, що множення на -1 зм1нюе
ор1ентац1ю 1нтервалу на протилежну.
Арифметичн1 операц1'1' над кожним 1з вид1в 1нтер-вальних структур повинн1 виконуватись за сво'ми правилами. Так1 правила вже розроблен1 для тв1н1в -тв1нна арифметика [7]. Щ правила можна було б вико-ристовувати для 1нших 1нтервальних структур з допомо-гою наочних перетворень, як1 вит1кають 1з вираз1в (2)-(4). Однак, наИб1льш просто, з використанням звичаИно! 1нтервально' арифметики, виконуються операц1' над структурами з плаваючими 1нтервалами.
ТЕОРЕМА 1 (плаваючих 1нтервал1в). В результат1 арифметично' операц1' над 1нтервальними структурами з плаваючими 1нтервалами утворюеться множина у вигляд1 1нтервально! структури з плаваючими 1нтервалами:
П(а)*П(х) = (ат; ар)*(хт ;хр) =
= (ат*хт; ар*хр) = Р1(а*х),
(9)
(5)
де * е {+, -, • , / } .
В сп1вв1дношеннях (5) використовуються 1нтервальн1 розширення функц1И а(х) та Ь (х) , де значення 1нтервалу х береться однаковим.
ОЗНАЧЕННЯ 6. Арифметичн1 операцп з комутац1Иним 1нтервалом виконуються за сп1вв1дношеннями:
елементи яко' визначаються за правилами 1нтервальних операц1И в1дпов1дних до структури вих1дних даних, де * е { +, -, • , / } .
Доведення. Будемо вважати, що перех1д в1д стану ат , хт до стану ар , Хр в1дбуваеться миттево, а 1нтервальн1
структури П (а) та П (х) не мають пам'ят1. Це означае, що 1нформац1я про попередн1И стан 1нтервально' структури не доходить до наступного стану, тобто в
систем1 П(а)* П(х) не виникае взаемодЦ м1ж 1нтер-валами, як1 в1днесено до р1зних стан1в. Зв1дси вит1кае, що в 1нтервальн1И систем1 П ( а )* П (х) можуть взаемод1яти т1льки 1нтервали ат та хт 1 ар та хр, а для 1нших комб1нац1И
ат*хр = {0}, ар*хт = {0} .
В результат1 утворюеться 1нтервальна структура з пла-ваючими 1нтервалами:
а *Ь = [ а ; а ]*[Ь;Ь] =
[ а *Ь; а Ь], (хо е х) [ а *Ь; а *Ь], (х < Хо, Vx е х)
[ а *Ь; а *Ь], (х > Хо, Vx е х)
(6)
И(а*х) = (ат*хт; ар*хр).
Операц1' над 1нтервалами ат та хт проводяться за
правилами, як1 визначаються видом вих1дних даних.
НАСЛ1ДОК 2. Арифметичн1 операцЦ над 1нтерваль-ними структурами з плаваючими межами виконуються за
122
1бо7-3274 иРад1оелектрон1ка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2оо1
алгоритмом:
1. 1нтервальш структури Fb ( a ) та Fb ( x ) з допомогою сшввщношень (2) i (3) вщображаються в структури з плаваючими штервалами:
Fb(aFi(a) ; Fb(xFi(x).
2. 3 допомогою сшввщношень (9) виконуються ариф-метичш операцп над структурами з плаваючими штер-валами:
Fi(a)*Fi(x) = Fi(a*x).
3. У творена штервальна структура вщображаеться в структуру з плаваючими межами:
Fi(a*xFb(a*x).
НАСЛ1ДОК 3. Арифметичнi операцп над твшами ви-конуються за алгоритмом:
1. Твши T ( a ) та T ( x ) з допомогою сшввщношень (3) та (4) вщображаються у штервальш структури з плаваючими штервалами:
T(aFi(a) ; T(xFi(x).
2. 3 допомогою сшввщношень (9) виконуються ариф-метичш операцп над структурами з плаваючими штер-валами
Fi(a)*Fi(x) = Fi(a*x).
3. Утворена штервальна структура вщображаеться у твшну структуру
Fi(a*xT(a*x).
ПРИКЛАД 1. 3а допомогою штервальних структур з плаваючими штервалами виконати внутршню i зовшшню оцшку функцп
f(x) = ( 10ex - x)(tgx - x2)
з трьома значущими цифрами шсля десятково! точки при x е [ 1,4;1,5 ] .
Mежi iнтервалiв при внутршшх оцiнках округлюються у внутрiшню сторону, при зовшшшх - у зовшшню. Обчислення проводяться за правилами (5) арифметики взаемно однозначних iнтервалiв i зводиться до утворення штервально! структури з плаваючими штервалами:
Fi(f(x)) = ([ 150,219;513,267], [ 150,296;513,429]).
Перетворення до структури з плаваючими штервалами у твш
дозволяе провести сукупне оцшювання функцп.
Перший твiнний iнтервал дае внутршню оцiнку функцп f(x) , другий - зовшшню. Оцшки, отримаш за допомогою штервальних структур з плаваючими штервалами, збпаються з оцшками тieï ж функцп наведен в [7], де використовувалась твшна арифметика. Перевагою наведе-ного пщходу е можливкть використання бшьш просто!' iнтервальноï арифметики.
Кожна з iнтервальних структур мае свою область застосування. Твши традицшно використовуються для внутрГшньо! i зовшшньо! оцшок складних функцш при округленi. 1нтервали з плаваючими межами зручно використовувати для оцшки стабГльност пристро'в.
3. ВИКОРИСТАННЯ ¡НТЕРВАЛЬНИХ СТРУКТУР ДЛЯ РОЗРАХУНКУ ДОПУСК1В
Пщ д1ею зовшшшх вплив1в (змiна темеператури, во-логост1, опромiнювання, старiння та ГншГ чинники) значення параметрiв радiоелектронних пристро'в змГнюсться (рис.2). При взаeмонезалежнiй дп впливГв значення параметра набувае вигляду:
x = xн + AxT + Axt + Axß + Axv + ... ,
(10)
умовах навколишнього середовища; Ax^, Axt, ^xß , Axv -
прирют значення параметра, обумовлений змГною темпе-ратури, старiнням, змГною вологостГ та штенсивнос^ опромiнювання.
Рисунок 2 - Змта меж napaMempie при зовшшшх впливах
В загальному випадку кожен Гз цих прирост1в мае нелшшну залежнГсть вГд величини зовнГшнГх впливГв
Axd = x н • f( d ),
де f(d) - функщя зовнГшнього впливу.
Але у багатьох випадках !'х графГки апроксимуються лшшними або кусково-неперервними функцГями. Напри-клад, прирГст параметра, обумовлений дГею температури, апроксимуеться двома прямими [9], одна Гз яких вико-ристовуеться при температурах бшьших нормально!', а друга - при менших. Для кожно!' Гз дГлянок прирГст параметра записуеться у виглядГ:
Fi(f(x))|^ T(f(x)) = = ([ 150,296;513,267 ],
150,219;513,429 ])
Ax = xH aT( T0 - T) ; Ax = xH aT( T - T^ )
(11)
де xн - номгнальне значення параметра при нормальних
IHÔOPMATÈKA
дe а i ат - тeмпepaтypний кoeфiцieнт пapaмeтpa вщшэ-
вщго пpи збiльшeнi i змeншeнi тeмпepaтypи; То - тeмпe-
paтypa пpи нopмaльниx yмoвax нaвкoлишньoгo cepeдoви-
шд; Т i Т - нижне i вepxнe знaчeння тeмпepaтypи.
З викopиcтaнням (11) мoжнa cпiввiднoшeння (10) ^pe-твopити дo вигляду:
x = x
н+ХнАТ1
= Хн i 1 + а • d)
+ _Ax_ + _А!р_ + _A!v_ -
ат x„ • A Т Х„ • AT Х„ • AT
а = а = - аХ = - SL x Х а
-а i* а
для oпepaцií вiднiмaння
а
ОС;
x x а ~ - _ —а а а
вaючими мeжaми в cтpyктypи з плaвaючими iнтepвaлaми i викoнaeмo apифмeтичнy oпepaцiю дoдaвaння нaд цими cтpyктypaми:
Fii a )* Fi ( x ) = ( am + xm'; Up + xp ) =
(17)
(l2)
дe AT = Т - То - пpиpicт тeмпepaтypи; а - звeдeний ko-
eфiцieнт зoвнiшньoгo впливу; d = AT - вeличинa зoвнiш-ньoгo впливу (пpиpicт тeмпepaтypи).
Зняття дiï зoвнiшнix чинникiв пoвepтae бiльшicть пapaмeтpiв дo ïx пoчaткoвoгo cтaнy, зa виключeнням пpoяви нeзвopoтниx змiн, oбyмoвлeниx cтapiнням, дeяки-ми видaми oпpoмiнювaння i тaкe iншe. Oтжe виникae явищ^, кoли пiд чac eкcплyaтaцiï PEA ïï пapaмeтpи плaвaють в дeякиx мeжax пpи вiдпoвiднiй змiнi зoвнiшнix впливiв. Пpи цьoмy yтвopюютьcя iнтepвaли з плaвaючими мeжaми.
З викopиcтaнням cпiввiднoшeнь (12) тa (6) мeжi irnep-вaльнoï cтpyктypи Fbi x ) нaбyвaють вигляду:
x = t xm ; xp ] = t x i1 + а_dm ) ; xi 1 + а~dp)] ; (13)
x = txm ;xp] = txi 1 + Gç_dm );x( 1 + а~dp)]. (14)
З дoпoмoгoю iнтepвaлiв з плaвaючими мeжaми мoжнa oтpимaти yмoви кoмпeнcaцiï зoвнiшнix впливiв.
BËACTÈBICTb 1 (кoмпeнcaцiï). Пpи викoнaннi apиф-мeтичниx oпepaцiй нaд iнтepвaльними cтpyктypaми з плa-вaючими мeжaми
Fb i a)* Fb i x) = Fb( a*x )
пoлoжeння мeж peзyльтaтy нe зaлeжить вщ вeличини зoвнiшнix впливiв, якщo викoнyютьcя yмoви:
для oпepaцiï cклaдaння
= it а + x ;а„ + xm ] ;t а + x ;а„ + xp]) = Fi (a* x).
VL—m —m m mJ'L—p _p' p pJ/ v '
Iнтepвaльнa cтpyктypa (17) вiдoбpaжaeтьcя в cтpyктypy з плaвaючими мeжaми
Fb(a*x) = (tа + x ; а + x ];[û„ + xm;Up + Х„]).
v ' v — m -m —p —p m m' p pJ/
Пoлoжeння мeж цieï cтpyктypи нe змiнюeтьcя пpи будь-якиx знaчeнняx зoвнiшнix впливiв, якщo викoнyютьcя yмoви:
а + x = а + x ; а„ + xm = а„ + xp .
-m -m -p -p m m p p
(18)
(15)
(16)
дe * e {+, -, • , /} ; аа i аХ - кoeфiцieнти зoвнiшньoï
дп нa пapaмeтpи а тa x .
Дoвeдeння. Пepeтвopимo iнтepвaльнi cтpyктypи з плa-
Пpи пiдcтaнoвцi cпiввiднoшeнь (13) тa (14) i aнaлoгiч-ниx виpaзiв для пapaмeтpa а yмoви (18) poзпaдaютьcя i yтвopюютьcя чoтиpи yмoви:
а = -x ; а = - а x ; а = -x ; а = - а x dg)
Х СХ Х x СХ Х
- _— а - а а _— а а а
дe аа тa аХ - кoeфiцieнти зoвнiшнix дiй пapaмeтpiв а тa x.
Умoви (19) лeгкo oб'eднyютьcя в oднe cпiввiднoшeння (15). Для oпepaцiï вiднiмaння з ypaxyвaнням взaeмнoï зaлeжнocтi iнтepвaлiв a ra x yмoви кoмпeнcaцiï нaбy-вaють вигляду:
а - xm = а - xp ; а„ - x = Up - x ,
-m m —p p ' m _m p -p
a пiдcтaнoвкa мeж iз (13) тa (14) пepeтвopюe щ yмoви дo cпiввiднoшeння (16).
У зaгaльнoмy випaдкy пpи oпepaцiяx мнoжeння i дiлeн-ня пiдтpимyвaти ^зм^исть мeж iнтepвaлiв нeмoжливo ocкiльки yмoви piвнocтi мeж iнтepвaлiв зaлeжaть вщ вeли-чини зoвнiшньoï дiï, нaпpиклaд, для oпepaцiï мнoжeння:
а + а + а а db = 0.
_— а _—x _—а_—x b
Oднaк зaлeжнicть пoлoжeння мeж iнтepвaлiв знaчнo змeншyeтьcя якщo для oпepaцiï мнoжeння викoнaти yмoви:
а + а = 0, (а »а аdm, а »а а dm)
_—а _—x _—а _—а_—x m _— x _— x m
а а + аХ = 0, (а »а а dm, а »а а dm )
_—а _—а_—x m _—x _—а_—x m
(20)
Aнaлoгiчнiй пoвeдiнцi мeж пpи oпepaцiяx дiлeння вiдпoвiдae зм^ знaкy пepeд eлeмeнтaми аа aбo аХ в cпiввiднoшeнняx (20).
124
ISSN 1607-3274 "Paдioeлeктpoнiкa. Iнфopмarикa. Упpaвлiння" № 2, 2001
4. ВИСНОВКИ
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
Обчислення математичних моделей, яю у своему склад1 мають штервальш структури з плаваючими межами, вщ-буваеться шляхом вщображення !х у структури з плаваючими штервалами, правила виконання арифметичних операцш з якими залежать вщ виду штервальних даних i розроблеш в данш робой. Запропоноваш штервальш структури вщображаються також у твши, яю використовуються для оцшювання функцш. Застосування вщображення штервальних структур значно полегшуе виконання арифметичних операцш з твшами. В1рог1дшсть результапв тдтверджуеться зб1гом оцшок, отриманих запропонованим методом i вщомих Гз публжацш.
1нтервальш структури з плаваючими межами застосо-вуються для урахування дп зовшшшх вплив1в. В цьому випадку формування елеменпв структур вщбуваеться з допомогою арифметичних операцш над взаемооднознач-ними штервалами.
1. А.П. Вощинин, Г.Р. Сотиров. Оптимизация в условиях неопределенности. -М.: МЭИ, 1989.- 224с.
2. А.И. Орлов. Современная прикладная статистика //Заводская лаборатория.- Т.64, №3.- С.52-60.
3. Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. Введение в интервальные вычисления:Пер. с англ.- М.:Мир,1987.- 360с.
4. E. Kaucher. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR//Computing Suppl.-1980.- №2.- p.65-79.
5. В.Н. Крищук, Г.Н. Шило. Анализ интервальных моделей при расчете допусков //Радиоэлектроника, Информатика, Управление.- 1999.- №1.- С.66-70.
6. S.M. Markov. Extended interval arithmetic.-C.R. Acad. Bulgare Sci., v.30, 1977.- p.1239-1242.
7. V.M. Nesterov. Interval and Twin Arithmetics// Reliable Computing, №3, 1997.- p.369-380.
8. Крищук В.М., Шило Г.М., Гапоненко М.П. ¡нтервальний розрахунок допусюв при зовшшшх впливах //Вюник державного ушверситету "Льв1вська пол1техшка" "Радюелект-рошка та телекомушкацп".- Льв1в.-2000.-№387.- C.191-196
9. Цветков А.Ф. Методы расчета допусков в радиоэлектронной аппаратуре. -Рязань: РРТИ, 1970.- 131с.
