Оператори інтервальної арифметики для розрахунку допусків Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.863

ОПЕРАТОРИ 1НТЕРВАЛЬН01 АРИФМЕТИКИ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ Д0ПУСК1В

Г.М.Шило

Введены понятия полудопускового, полууправляемого и пол- де dual x = [x' x] - 1нтервал дуальний 1нтервалу ного допускового множества решений. Для их определения

предложены операторы прямых и обратных арифметических x = [x;X] .

операЧий. Арифметика Каухера усп1шно виконуе cboi функцп

Введено поняття натвдопусковог, натвкерованог та повног при анал1з1 р1внянь: допусковоЧ множини розв'язкгв. Для ¿х визначення запропоно-

ват оператори прямих i зворотних арифметичних операций. a . x = b , (0 i a ; 0 i b ). (2)

Notations of semitolerable^ semicontrollable and full tolerable у цьому випадку для р1вняння (2) можуть бути визначе-

ри основних види розв'язк1в [5 об'еднана множина розв'язк1в

solution sets are introduced. To determine them the operator of . • m

,. , . . HI TpH OCHOBHHX BHAH P03B S3K1B 15 1:

direct and inverse arithmetical operation are suggested

ВСТУП

Xu(a, b) = {x e R|(3a e a)(3b e b)(a . x = b)} ; (3) - допускова множина розв'язк1в Xt(a, b) = {x e R|(Va e a)(3b e b)(a . x = b)} ; (4)

В умовах конкуренци актуальною задачею е п1дви-

... ^ . - допускова множина розв'язк1в

щення якост1 продукци. Одним 1з напрямк1в розвязання J ^

цМ задач1 е визначення оптимальних ном1нальних зна-

чень параметр1в елемент1в 1 ''х допустимих в1дхилень, що

забезпечуе зменшення соб1вартост1 продукци 1 гарантуе - керована множина розв'язк1в

i'i' як1сть 1 над1йн1сть при зовн1шн1х впливах. Зручним

математичним апаратом для синтезу 1 анал1зу допуск1в е Xc(a' b) = {x e Rl(Vb e b)(3a e a)(a . x = b)} . (5)

1нтервальна математика [1-51. „ , . .

Розв язкам (3) 1 (5) р1вняння (2) в1дпов1дають непра-У 1нтервально' математиц1 використовуються пра- . . /, ч

1 вильн1 1нтервали, а розв язку (4) - правильна

вильн1 1нтервали

1 Ситуац1я зм1нюеться для нульм1стивних 1нтервал1в.

Арифметика Каухера припускае нетрив1альний д1льник нуля при множенн1 правильних 1 неправильних 1нтерва-

a = [ a ;a ], a - a

1 неправильн1 1нтервали [3,5] л1в, наприклад, [-1 ;3][2;-1 ] = 0. Це означае, що роз-

в'язок (3) у цьому випадку може бути записане у вид1:

a = [ a ;a ], a > a ,

Xu(a, b) = {x e R|(3a=0)(3b=0)(a . x = 0)} ,

де a 1 a - нижня 1 верхня межа 1нтервалу a .

Арифметичн1 операцГ' в найб1льш повн1й 1нтервальн1й а керована множина розв'язк1в (5) узагал1 не може бути

арифметиц1, в1домо'' як арифметика Каухера, визнача- визначено. Граф1чний розв'язок р1вняння (2) показуе,

ються за допомогою сп1вв1дношення: що розв'язок (5) 1снуе 1 для нульм1стивних 1нтервал1в

(рис.1). Керована множина розв'язк1в у цьому випадку

X*y = Qx Qy (x*y), (1) складаеться з двох областей: x e pro x y e pro y

x y

де *e{+, - , . ,/ } ; Q 1 Q - умовн1 реш1точн1 опе-

Xr(a, b) = Xr(a, b) и Xr(a, b). (6)

раЩ' взяття екстремуму по включенню Щодо 1нтервал1в ЗАУВАЖЕННЯ. Ц1кавою особлив1стю р1внянь з нульм1стив-

x 1 У ; pro x 1 pro У - правильн1 пр°екцп 1нтервал1в x 1 ними 1нтервалами е наявн1сть нап1вдопусково'' множини y.

_ 0 . X„(ast, bst) = {x e R|(Va e ast)(3b e bst)(a . x = b)} ; (7)

Оператори Q 1 pro визначаються за допомогою st 1

вираз1в: 1 нап1вкеровано'' множини розв'язк1в

Qx: = . v , x - правильний; Xsc(asc,bsc) = {x e R|(Vb e bsc)(3a e asc)(a.x = b)} .(8) л , в шших випадках,

/x, x - правильний; Для рис1 ast = [a;0], bst =[0;b], asc =[0], bsc = pro x: = .

^dualx, в шших випадках, = [b;0] . Межа повно'' допусково'' множини розв'язк1в

32

ISSN 1607-3274 иРад1оелектрон1ка, 1нформатика, управл1ння" № 1, 2001

r.M.0uëo: OÏEPATOPÈ IHTEPBAËbHOÏ APÈÔMETÈKÈ ДЛЯ PO3PAXÓHKÓ ÂOÏÔCKIB

f a, b ) = Xt С a, b )u С aîP bst).

(9)

дe

e I + , - , ' ,/ } ; F = Io*x; а*x; а*x; a*x } .

oчeвиднo, e внyтpiшнiми мeжами кepoванoï мнoжини poзв'язкiв (б).

q1 = min minQ = MinQ ; (10)

q2 = max min Q ; (11)

q3 = min maxQ ; (12)

q4 = max max Q = Max Q . (13)

Дoказ. Peзyльтyючий iнтepвал пpи oпepацi'i дoдавання визначаeтьcя виpазами:

b = a + x = [а + x; а + xJ.

(18)

Pанжyвання eлeмeнтiв мнoжини F пpизвoдить дo такиx пocлiдoвнocтeй:

а + x < а + x , а + x < а + x , (a, x - пpавильнi) а + x < а + x < а + x < а + x , (a - пpавильний,

x - нeпpавильний, b - пpавильний)

X,(a,b)

PucyHoê 1 - Budu MHoœuH poçe^çêie

У данш po6oö аpифмeтика Kаyxepа дoпoвнюeтьcя мoж-ливicтю мнoжeння пpавильниx i нeпpавильниx нульм^тив-ниx iнтepвалiв iз мeтoю визначeння мeж пoвнoï дoпycкoвoï мнoжини poзв'язкiв (9). Для ^ore виявилocя нeoбxiдним видoзмiнити oпepатopи iнтepвальнoï аpифмeтики.

1. OÏEPATOPÈ ПPЯMИX tHTEPBAËbHÈX

APÈÔMETÈ4HÈX OÏEPAôtÉ

Бyдeмo вважати, ùo мeжи peзyльтyючoгo iнтepвалy аpиф-мeтичнoï oпepацiï вибиpаютьcя з мнoжини cпoлyчeнь peзyль-татiв аpифмeтичниx oпepацiй над мeжами iнтepвалiв. B^ 6íp eлeмeнтiв мнoжини здiйcнюeтьcя за дoпoмoгoю пoдвiйнo-гo заcтocyвання oпepатopiв пoшyкy eкcтpeмальнoï п^м^жи-ни. ^и кoжнoмy пoшyкy yпopядкoвана мнoжина poздiля-eтьcя на двi пiдмнoжини з piвнoю кiлькicтю eлeмeнтiв.

O3HA4EHHß. Eлeмeнти yпopядкoванoï мнoжини Q = I q1, q2, q3, q4} , q1 < q2 < q3 < q4 визначаютьcя за дoпoмoгoю cпiввiднoшeнь:

а + x < а + x < а + x < а + x , (a - пpавильний,

x - нeпpавильний, b - нeпpавильний)

а + x < а + x , а + x < а + x , (a, x - нeпpавильнi).

(19) (20 )

( 21 ) (22)

Bибip eлeмeнтiв пocлiдoвнocтeй (18)-(22) за дoпoмo-шю cпiввiднoшeнь (14)-(17) завжди пpизвoдить дo виpа-зу (18). Aналoгiчнo дoвoдитьcя пpидатнicть cпiввiднo-шeнь (15) i (1б) для нeпpавильниx a i пpавильниx x iнтepвалiв.

Peзyльтyючий iнтepвал пpи мнoжeннi визначаeтьcя виpазами:

b = a ' x = [ а ' x ; а ' x J , С а ,а x -x ) > 0

(23)

Pанжyвання eлeмeнтiв мнoжини для ^ore випадку мнoжeння iнтepвалiв пpизвoдить дo пocлiдoвнocтeй:

а ' x < а ' x , а ' x < а ' x , (a, x - пpавильнi) а ' x < а ' x < а ' x < а ' x, (a - пpавильний,

x - нeпpавильний, b - пpавильний)

а ' x < а ' x < а ' x < а ' x , (a - пpавильний,

x - нeпpавильний, b - нeпpавильний)

а ' x < а ' x , а ' x < а ' x , (a, x - нeпpавильнi).

(24) ( 25 )

( 2б ) (27)

TEOPEMA 1 (пряма onepamopHa). Peзyльтyючий irnep-вал пpямoï аpифмeтичнoï oпepацiï визначаeтьcя виpазами:

[ MinF ;Max F J, {a, x - пpавильнi) (14)

[max minF;min maxFJ, {a абo x - пpавильнi, (15)

b - пpавильний)

[min maxF;max minF J, {a абo x - нeпpавильнi, (1б)

b - нeпpавильний)

[ MaxF ;Min F J, С a, x - нeпpавильнi) (17)

Bибip eлeмeнтiв пocлiдoвнocтeй (24)-(27) за дoпoмo-шю cпiввiднoшeнь (14)-( 17) пpизвoдить дo виpазy (23). Aналoгiчнo дoвoдитьcя пpидатнicть oпepатopiв (14)-(27) для iншиx cпoлyчeнь нyльмicтивниx iнтepвалiв.

Bибip oпepатopiв пpи мнoжeннi нyльмicтивниx iнтep-валiв poзглянeмo за дoпoмoгoю гpафiчнoгo poзв'язкy на p^.1. Mнoжeнню пpавильниx iнтepвалiв вiдпoвiдаe випадoк x: = x2 , x : = x3 . Якщo викoнyютьcя yмoви :

а ' x < а ' x, а ' x < а ' x,

то мнoжeння пpизвoдить дo iнтepвалy

b = a ' x = [ а ' x ; а ' x J. (28)

Pанжoвана пocлiдoвнicть

а ' x < а ' x < а ' x < а ' x

зз

в1дпов1дае застосуванню оператор1в (14). 1нш1 випадки множення правильних нульм1стивних штервал1в також призводять до використання цих оператор1в.

Множення правильного a i неправильного x штерва-

л1в вщповщають межам x: = Х3 . нуються умови:

x: = x

1 .

Якщо вико-

Операщя Позначення

Пряма + - /

Зворотна е е 0 G

[ MinG ;Max G ],

(b -правильний, a-неправильний)

[max minG;min maxG], (b, a - правильш, або неправильна x - правильний)

[ min maxG ;max minG ], (b, a - правильш, або неправильна x - неправильний )

[ MaxG ;MinG ],

( b -неправильний a-правильний)

(30)

(31)

(32)

(33)

a • x > a • x , a • X > a • x , то множення призводить до штервалу:

ь = a • x = [a • x; a • x]. (29)

Ранжована посл1довн1сть

a • x < a • x < a • x < a • x

в1дпов1дае застосуванню оператор1в (15). Аналог1чно доводиться застосування оператор1в (15)-(17) для шших сп1вв1дношень м1ж елементами множини F й шших спо-лучень правильних 1 неправильних штервал1в. Оск1льки операци в1дн1мання 1 д1лення можуть бути перетвореш до операц1й додавання 1 множення, то оператори (14)-(17) можуть використовуватися й у цих випадках.

2. ОПЕРАТОРИ ЗВОРОТНИХ 1НТЕРВАЛЬНИХ АРИФМЕТИЧНИХ ОПЕРАЦ1Й

У штервальнш арифметищ звичайш для дшсних чисел в1дпов1дност1 м1ж прямими й зворотними арифметич-ними операц1ями набувають 1нтервального характеру, що призводить до подвоення числа арифметичних опера-ц1й у штервальнш арифметищ (табл.1).

Таблиця 1 - Bidnoeiduicmb м1ж прямыми й зворотними операщями в iнmeрвальнiй арифметищ

кр1м випадк1в

*[ Max G ;Min G ]

x = b0 a = .

I [MinG;MaxG]

де ** £

*e {+ , - , • ,/} .

Доказ. Зворотш арифметичш операци можуть бути перетвореш до прямих шляхом застосування оператора dual до правого операнду [5]:

(b, a - правильш; 0 е b, a; (34) x - неправильний) (34)

(b, a - неправильна 0 е b, a

x - правильний) (35)

g = {ъ* a ;b* a ;b* a a};

x = b**a = b*dual(a).

(36)

Ствв1дношення (36) перетворить умови вираз1в (30)-(33) до умов (14)-(17).

Вираз (34) в1дпов1дае пошуку внутр1шн1х меж керова-но'1' множини розв'язк1в (6). Для зображеного на рис.1 випадку вони призводять до 1нтервалу:

x =

м

a a

(37)

ПРОПОЗИЦ1Я. Будемо вважати, що результат прямо! ариф-метично! операцЦ 1снуе. Це дозволяе зд1йснювати зворотне д1лення двох нульм1стивних 1нтервал1в. Ця процедура може розглядатися як розкриття невизначеност1 виду 0/0.

Очевидно, що результуючий 1нтервал зворотно' ариф-метично! операцИ також визначаеться за допомогою опе-ратор1в (10)-(13). Умови !хнього застосування визна-чаються теоремою 2.

ТЕОРЕМА 2 (зворотна операторна). Результуючий штервал зворотно! арифметично! операцИ визначаеться виразами:

Ранжована послщовшсть елемент1в множини G для цього випадку мае вид:

ъ < ъ < ъ <ъ

a a a a

1 в1дпов1дае застосуванню виразу (34). Аналог1чно доводиться застосування виразу (34) для шших ствв1дно-шень м1ж елементами множини G. Доказ застосування виразу (35) аналог1чно.

ВИСНОВКИ

Таким чином, показано, що кр1м в1домих допускових множин розв'язк1в 1снують нап1вдопусков1, як1 разом утворюють повну допускову множину. Це розширюе можливост1 штервально! математики 1 дае змогу прово-дити анал1з 1 синтез допуск1в при зовн1шн1х впливах. Обчислення результат1в 1нтервальних арифметичних операцш в1дбуваеться за допомогою подв1йного застосування оператор1в пошуку екстремально! тдмножини до множини сполучень результат1в арифметичних операц1й над межами 1нтервал1в.

ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю, Введение в интервальные вычисления. - М.: Мир, 1987.

2. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.

3. Markov, S.M. Extended interval arithmetic.-C.R. Acad. Bulgare Sci., 1977, v.30, p.1239 - 1242.

4. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. Москва, МЭИ 1989.

5. Shary, S.P. Algebraic Approach to the Interval Linear Static Identification, Tolerance and Control Problems, or One More Application of Kaucher Arithmetic. Reliable Computing 2 (1) (1996), p.3-33.

34

ISSN 1607-3274 "Радтелектронжа, 1нформатика, управл1ння" № 1, 2001