ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВЫРАЖАЮЩИЕ СТЕПЕНИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф

И

З

И

К

О

-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Л.Х. Асхабова, М.У. Хасмухаджиева, И.Э. Барзоева

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВЫРАЖАЮЩИЕ СТЕПЕНИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

Мы устанавливаем критерии разрешимости и корректности для двух линейных интегро-дифференциальных операторов типа Фредгольма В2, В4, охватывающие до второй и четвертой степени, соответственно, дифференциального оператора А с известных обратных I = А-1. Мы также выводим явные формулы решения соответствующих начальных и краевых задач с использованием обратного дифференциального оператора. Подход основан на теории расширений линейных операторов в банаховых пространствах. Решены три примерные задачи для обыкновенных и частных интегро-дифференциальных операторов.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, начальные задачи, краевые задачи, дифференциальные операторы, степенные операторы, составные произведения, точные решения.

Вступление. Пусть С обозначает множество всех комплексных чисел, а Х,У - комплексные банаховы пространства. Пусть Р • X ^ У - линейный оператор, а О (Р) и И (Р) - его область и диапазон соответственно. Напомним, что линейный оператор Р • X ^ У, как говорят, является инъективный (или однозначно разрешимый), если для всех и1,и 2 Е О (Р) такой, что Р и1 = Р и2, следует, что и1 = и2; альтернативно, оператор Р является инъективным тогда и только тогда, когда кег Р = {0}. Линейный оператор Р • X ^ У называется сюръективным (или всюду разрешимым), если Я (Р) = У . Оператор Р называется биективным, если Р является как инъективным, так и сюръективным. Наконец, Р считается правильным, если Р биективно и его обратное значение Р — 1 ограничено на У .

Пусть X = У и пусть биективный оператор А:Х ^ X. Мы рассматриваем энергетические операторы А2 = АА и А4 = А?А? определяются как составные произведения, и возмущенные линейные операторы В2 • X ^ Х,В4 • X ^ X , определенные

В2и = А2и — рФ(и) — qФ(i4u) — гФ(А2и), (1)

В4и = А4и — рФ(и) — qФ(4u) — гФ(А2и) — 5ф(43и) — гФ(А4и), (2)

с В(В2) = Б(А2) и В(В4) = В (А4 ) соответственно. Вектор столбца

© Л.Х. Асхабова, М.У. Хасмухаджиева, И.Э. Барзоева, 2022.

Научный руководитель: Асхабов Султан Нажмудинович - доктор физико-математических наук, профессор, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.

/ФА {ФЛи)\

Ф = ( 1 ) , Ф(и) = ( I ), (3)

\Фт/ \Фт(и)/

является набором комплекснозначных, линейных и ограниченных функционалов Фj : X ^ С,]' = 1,... ,т,т.е.Ф^ Е X* и Ф Е Х^, где X* - сопряженное пространство X. Векторы строк

Р = (Р1-Рт), Ч = (Ч1-Чт), г=(Г1-гт), (4)

б = г=(г1-гт), (5)

являются наборами элементов Р],Ц],^ Е X, ] = 1,...,т,т.е.р,ц,г,Б,г Е Хт.

Для последующего использования мы упоминаем здесь, что

Ф1Ф1) - Ф^Рт)"

Ф(и) =

(6)

1-Фт(р1) - Фт(Рт)^

является матрицей т х т, I,} — й элемент которой Ф](р] ) является значением функционала Фу на элементе Р] . Также отметим, что Ф(рИ) = Ф(р) Ы, где N - это т х к, к = 1,2,..., постоянная матрица. Наконец, 1т символизирует идентификационную матрицу т х т,а 0 - вектор нулевого столбца.

В случае, когда А является линейным дифференциальным оператором порядка п, а функционалы Ф] , ]' = = 1,...,т обозначают интегральные операторы Фредгольма с разделяемыми ядрами, тогда В2, В4 описывают линейные интегро-дифференциальные операторы Фредгольма. Интегро-дифференциаль-ные уравнения играют важную роль в моделировании физических явлений и процессов в различных дисциплинах в области инженерии, физики, биологии, динамики населения, эпидемиологии, финансов и других. Начальные и краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений обычно решаются численными методами из-за их сложности. Решения в закрытой форме получены только для ограниченного числа задач, см., например, в [5], [6], [9], [10] и недавние работы авторов [2], [3] [4], [7], [8].

В этой статье мы рассматриваем разрешимость и построение решения в замкнутой форме следующих двух обыкновенных или интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с учетом начальных или граничных условий, которые ранее не изучались, а именно

В2и=Г, 0(В2)=0(А2), (7)

В4и = [, 0(В4)=0(А4), (8)

для любого / Е X. Наш подход основан на теории расширений линейных операторов в банаховых пространствах [1]. Задачи (7), (8) решаются с использованием обратного I = А-1.

Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 1. развивается теория и показываются две основные теоремы. В разделе 2. теория применяется для решения нескольких примеров и задач. Наконец, некоторые выводы изложены в разделе 2.

1. Основные теоремы.

Сначала мы выводим критерии разрешимости и корректности для оператора В2 и строим точное решение начальных и краевых задач, включающих В2. Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть X - комплексное банахово пространство, А ■ X ^ X - биективный линейный оператор, а I = А~г- его обратный оператор, Ф Е Х^,и р,ц,г Е Хт. Пусть оператор В2 ■ X ^ X определяется как

В2и = А2и — рФ(и) — qФ(i4u) — гФ(А2и) = /,

В(В2) = И (А2) (9)

где [ Е X. Следующие утверждения верны: (Г) Если

Ф 0, (10)

'Ф(г) - 1т Ф(ч) Ф(р)

detW = Ф(1г) Ф(1ц)-1т Ф(1р) Ф(12г) Ф(12ц) Ф(12р) -1

тогда оператор В2 является инъективным и всюду разрешимым (биективным). Уникальное решение (9) для любого f Е X задается через

{ф(Л\

и = B-1f = I2f - (I2r I2q I2p)W~1 ( Ф(1[) ). (11)

Ww

(ii) Если оператор B2 является инъективным, а векторы р, q, г линейно независимы, то detW Ф 0.

(iii) Если обратный оператор I = А-1 ограничен по X, то есть А является правильным, то оператор В2 является правильным.

Доказательство: (i) Let detW Ф 0 and и Е ker В2, т.е.

Ä2u - рФ(и) - qФ(Äu ) - гФ(А2и) = 0,

(12)

где и Е Б(А2 ). Применяя обратный оператор I = А дважды с обеих сторон (12), мы получаем

последовательно

Аи - 1рф(и) -1цФ(Аи ) - 1гФ(А2и) = 0,

(13)

и — 12рФ(и)—12цФ(Аи) — 12гФ(А2и) = 0, (14)

Действуя теперь по функциональному вектору Ф с обеих сторон (12) — (14), мы получаем следующую систему уравнений

/ф(А2и)\

wÍф(42u)) = 0, (15)

\ф(А2и)/

где матрица 3 х 3

W =

Ф(г) - 1п Ф(1г) Ф(12г)

Ф(Ч) Ф(1д) - 1ri Ф(12ц)

Ф(р) Ф(1р) Ф(12р) - 1г,

Ф 0,

(16)

Поскольку Ф 0, делается вывод, что

ф(А2и) = Ф(Аи )=Ф(и ) = 0. (17)

Замена (17) на (14) дает и = 0. Таким образом, кег В2 = {0} и, следовательно, В2 является инъек-тивным оператором.

Чтобы найти решение проблемы (9), мы работаем так, как описано выше. Применяя обратный оператор I = А-1 дважды к обеим сторонам (9), мы получаем последовательно

Аи — 1рф(и) — 1цФ(Аи ) — 1гФ(А2и) = I/, (18)

и — 12рф(и) — 12цФ(Аи ) — 12гФ(А2и) = 12[, (19)

Затем, действуя вектором функционалов Ф по обе стороны от (9), (18), (19), мы приобретаем систему

/Ф(А2и)\ ( Ф(Т) \ ф(Л„)) = —( Ф(/Я ). (20)

V Ф(и); \ф(12О;

Инвертируя (20), мы получаем

'ф(А2и)\ ( Ф(Л

Ввод (19) в форму

ф(Аи) Ф(и)

= -W-

ф(10 уф(120,

/Ф(А2иУ

/Ф(А2и)\

= I2f + (I2r I2q I2p)( ф(Аи) ), V Ф(и) /

(21)

(22)

а затем, подставляя (21) в (22), мы получаем формулу (11), которая является единственным решением задачи (9).

Наконец, поскольку f в (11) является произвольным элементом X, подразумевается, что И (В2) = X. Следовательно, В2 является сюръективным.

(И) Мы доказываем, что если В2 является инъективным оператором, то Ф 0, или, что эквива-

лентно, если = 0, то В2 не является инъективным. Пусть = 0. Тогда существует ненулевой

вектор констант с = со1(с1,с2,с3),где = со1(с11,...,с^т),1 = 1,2,3, такой, что

Шс = 0. (23)

Рассмотрим элемент и0 = 12 (гс1 + цс2 + рс3) Е Б (А2 ). Отсюда следует, что

В2Щ = А2и0 — рФ(и0) — qФ(Au0) — гФ(А2и0) =

= —(г ц р)Шс = 0, (24)

приняв во внимание (23). Это означает, что и0 Е кег В2. Обратите внимание, что и0 Ф 0, поскольку по гипотезе р, ц, г линейно независимы и с = 0. Следовательно, В2 не является инъективным.

(ИГ) В (11) функционалы вектора Ф ограничены. Из гипотезы о том, что А верен, подразумевается, что I = А-1 и I 2 ограничены на X. Следовательно, оператор В—1 ограничено на X, и из (Г) следует, что В2 является правильным. Теорема доказана.

1

и

Замечание 1. В случаях, когда один или два из векторов р, ц, г равны нулевому вектору, то могут быть получены результаты, аналогичные теореме 1. На практике мы можем получить формулу решения непосредственно из (11) удалив соответствующие столбцы и строки. Например, давайте предположим, что г = 0. В этом случае задача (9) выражается так,

В2и = А2и — рФ(и) — qФ(i4u) =

D(B2) = D(A)

Тогда оператор В2 является инъективным, если

det W = det

ГФОЧ) — 1т Ф(1Р) Ф(12Ц) Ф(12р) — 1п и единственное решение (25) для любого [ Е X задается

Ф 0,

и = B2lf - '2

f = i2f-(i2q ^vW-1^))

(25)

(26)

(27)

Далее мы подробно остановимся на разрешимости и корректности оператора В4 и точном решении начальных и краевых задач, включающих В4 . Мы покажем в следующем теореме.

Теорема 2. Пусть X - комплексное банахово пространство, А ■ X ^ X - биективный оператор, а I = А-г - его обратный, Ф Е Х^ ,и р,д,г,Б,г Е Хт. Пусть оператор В4 ■ X ^ X определяется как

В4и = А4и - рФ(и) - qФ(Äu) - гФ(А2и) - БФ(А3и) - гФ(А4и) = f,

D(B4) = D(Ä4),

(28)

где / Е X. Тогда верны следующие утверждения: (Г) Если

= det

Ф 0,

Ф(2) - 1т Фф Ф(1т.) Ф(^) - 1„ Ф(12г) Ф(12Б) Ф(13г) Ф(13Б) Ф(14г) Ф(14Б)

detV =

Ф(г) Ф^)

Ф(1г) Ф(^)

Ф(12г) - 1т Ф(12Ч)

Ф(13г) Ф(13ц) - 1Г/

Ф(14г) Ф(14д)

Ф(Р) Ф(1Р) Ф(12р) Ф(13р) Ф(14р) - 1п

(29)

тогда оператор В4 является инъективным и всюду разрешимым на X (биективным). Единственное решение задачи (28) для любого / Е X задается формулой

( Ф(Т) \

Ф(1П

и = B-1f = I4f - (I4z I4s I4r I4q I4p)V-

Ф(120

4i3f)

\Ф(140/

(30)

(И) Если оператор В4 является инъективным, а векторы р, ц, г, б, г линейно независимы, то detW Ф 0. (ш) Если обратная I = А-1 ограничена по X, т.е. А верна, то оператор В4 верен. Доказательство: (I) Пусть det V Ф 0 и и Е кег В4, т.е.

А4и — рф(и) — цФ(Аи) — гФ(А2и) — БФ(А3и) — гФ(А4и) = 0, (31) где и Е В (А4 ). Применяя обратный оператор I = А-1 четыре раза с обеих сторон (31), мы получаем последовательно

А3и — I (рф(и) — qФ(Au) — гФ(А2и) — БФ(А3и) — гФ(А4и)) = 0, (32)

А2и — I2 (рФ(и) — qФ(Au) — гФ(А2и) — БФ(А3и) — гФ(А4и)) = 0, (33)

Аи — I3 (рФ(и) — qФ(Au) — гФ(А2и) — БФ(А3и) — гФ(А4и)) = 0, (34)

и — !4 (рФ(и) — цФ(Аи) — гФ(А2и) — БФ(А3и) — гФ(А4и)) = 0, (35) Реализуя вектор функционалов Ф по обе стороны от (31)- (35), мы получаем систему уравнений

/ф(А4и)\ ф(А3и)

V Ф(А2и) =0, (36)

Ф(Аи) ( Ф(и) )

где матрица V размером 5 х 5 приведена в (29). Затем, поскольку det V Ф 0, мы получаем

ф(А4и) = Ф(А3и) = Ф(А2и) = Ф(Аи) = Ф(и) = 0. (37)

1

Замена (37) на (35) дает и = 0. Таким образом, кег В4 = {0} и, следовательно, В4 является инъектив-ным оператором.

Чтобы получить решение (28), мы работаем аналогичным образом. Применяя обратный оператор I = А-1к обеим сторонам (28) четыре раза подряд, мы получаем

А3и - I (рФ(и) - дФ(Аи) - гФ(А2и) - БФ(А3и) - гФ(А4и)) = 1[,

Ä2u - I2 (рФ(и) - цФ(Аи) - гФ(А2и) - БФ(А3и) - гФ(А4и)) = I2f, Au - I3 (рФ(и) - цФ(Аи) - гФ(А2и) - БФ(А3и) - гФ(А4и)) = I3f,

и

(38)

(39)

(40)

(41)

- I4 (рФ(и) - цФ(Аи) - гФ(А2и) - БФ(А3и) - гФ(А4и)) = 14[, Действуя функциональным вектором Ф по обе стороны от (28) и (38) - (41), мы получаем систему

(Ф(А4и)\ , ф(/) V

Ф{А3и) .....

v

Запишем (41) в матричной форме

Ф(А2и) Ф(Аи) \ Ф(и) )

Ф(1П

Ф(120 ф(130 \Ф(14Г)/

(42)

и = В-1f = I4f - (I4z I4s I4r I4q I4p)V~

/ф(А4и)\ ф(А3и) ф(А2и)

(43)

ф(Аи) ( Ф(и) )

Инвертируя (42) и подставляя в (43), мы получаем единственное решение (30) задачи (28). Наконец, f в (30) является произвольным элементом X и, следовательно, И (В4) = X. Следовательно, оператор В4 является сюръективным.

(И) Мы доказываем, что если В4 является инъективным оператором, то йеЬ V Ф 0, или, что эквивалентно, если йеЬ V = 0, то В4 не является инъективным. Пусть йеЬ V = 0. Тогда существует ненулевой вектор с = со1(с1,с2,с3,с4,с5,),где с\= с01(с11,,...,с1т,),1 = 1,...,5, такой, что

Ус = 0. (44)

Рассмотрим элемент и0 = 14 (гс1 + бс2 + гс3 + цс4 + рс5) Е Б(А4 ). Тогда мы имеем

В4и0 = А4и0 - рФ(и0) - qф(.<4u0) - гФ(А2и0) - 5ф(.<43и0) - гФ(А4и0) = -(г б г ц р)Ус = 0,

(45)

используя (44). Это означает, что и0 Е кег В4. Обратите внимание, что и0 Ф 0 , поскольку по гипотезе векторы р, ц, г, б, г линейно независимы и с Ф 0. Следовательно, В4 не является инъективным.

(ш) Поскольку функционалы в векторе Ф и операторы 1,11,1 = 2,3,4 ограничены на X, делается вывод , что оператор В -1 тоже ограничено, и из (¿) следует, что В2 является правильным. Теорема доказана.

Замечание 2. В случаях, когда один или несколько векторов р, ц, г, б, г равны нулю, то аналогичные результаты для Теорема 2 может быть получена. На самом деле, мы можем получить соответствующую формулу решения непосредственно из (30), удалив подобные столбцы и строки. Например, предположим, что р = 0. Тогда задача (28) сводится к

В4и = А4и - qФ(4u) - гФ(А2и) - 5ф(43и) - гФ(А4и) =

й(В4) = И(А4). (46)

Тогда оператор В4 является инъективным, если йеЬ V Ф 0, где

V =

Ф(г) - 1т O(Iz) Ф(12г) Ф(13 z)

Ф(s) ФОЮ - 1т

Ф(12Б) Ф(13 s)

Ф(г) Ф(1г) Ф(12 г)-1п Ф(13 г)

Ф^) Ф(1ц) Ф(I2q) Ф(13 q) - 1п

(47)

Единственное решение задачи (46) для каждого [ Е X задается формулой

/ Ф(!) \ ф(Ю

и = B-1f = I4f - (I4z I4s I4r I4q )V~

Ф(120

\Ф(130)

(48)

Приложения

Пример 1. Рассмотрим следующий пример

+ «№=*. iel-Ш

z(0) = 1, ^(0) = 0.

Производя подстановку и(х) = г(х) — 1, мы получаем

1

и"(х) — X I х[и'Ю + и(Ь)]аг = (1 + 2Х)х х Е [—1,1],

-1

и(0) = и' (0) = 0.

Мы берем X = С[—1,1], соответственно X1 = С 1 [—1,1],Х2 = С 2 [—1,1], и

Аи = и' ,Б(А) = {и ■ и Е X1 ,и(0) = 0}, А2и = и",Б(А2 ) = {и ■ и Е X2 ,и(0) = и' (0) = 0},

(49)

(50)

Ф(и) = (Ф1(и))

u(t)dt ) ,

р = q = (Ах), г = 0,

f = (1 + 2Л)х,

(51)

т = 1, и оператор В2 ■ X ^ X как

1

В2и = А2и - рФ(и) - цФ(Аи ) = = и'' - Ах J u(t)dt - Ах J u'(t)dy

1

= (1 + 2А)х,

й(В2) = И(А2) = {и ■ и Е X2 ,и(0) = и' (0) = 0}. Обратите внимание, что А является инъективным, а И (Л) = Х,Ф1 Е X* и р,ц линейно зависимы. Известно, что обратный оператор I и его составной I 2 задаются через

I •

= J- dt, I2 ■ = А-2 ■ = J(x - t)dt,

(52)

о о

и они ограничены на X. Как указано в замечании 1 и используя результаты в (51) и (52), мы вычисляем

|"Ф(^) — 1 Ф(1р) [Х Х

Ф( 12ц) Ф( 12р) — 1.

detW = det

= det

3

-1

0

3 -1

X

= 1-3

Из теоремы 1 следует, что оператор В2 верен, если А Ф 3. В этом случае единственным решением задачи (50) является

2А + 1

и(х) = КГ—Т)х 3, (53)

с помощью (27), в то время как решение задачи (49) следует из и(х) = г(х) — 1.

Пример 2. Пусть Л = {х Е Е3 ■ |х| < 1},дП = {х Е Е3 ■ |х| = 1} и И3 (Л) пространство Соболева всех функций 12 (Л), которые имеют свои частные обобщенные производные, интегрируемые по Лебегу четвертого порядка. Рассмотрим пример,

А2 и(х) — д(х) / П v(y) Au(y)dy = /(х),х Е П, и |9о = 0,А и |9о = 0, где д(х),р(х),[(х) Е Ь2(Л) - заданные функции, а и(х) Е И4 (Л) - неизвестная функция. Сравнивая (54) с (9) в теореме 1, мы берем X = Ь2 (Л) и

Аи = Аи,0(А) = {и ■ и Е И2 (Л),и 1Эп= 0}, А2и = А2 и, Б (А2 ) = {и ■ и Е И4 (Л),и |ап = 0,Аи |ап = 0}

(54)

1 U,U(n ) = {U ■ и С О (¿¿),и |ЗП = 0,A U II

Ф(Аи) = ( Ф1(Аи) ) = (j v(x) Au(x)dx) ,

р = г = 0,q = (д(х)),

т = 1, и оператор В2 ■ X ^ X определяется как

В2и =А2и - дФ(Аи ),D(B2)= D(Ä2 ).

(55)

(56)

Поскольку р(х) Е X, делается вывод, что функционал Ф1 ограничен на X, т.е. Ф1 Е X* . Задача Дирихле для уравнения Пуассона

1

1

-1

X

X

-1

Аи(х) = ¡(х), и(х)т = 0,и Е И 2 (П),[ Е X, (57)

известно, что оно всюду разрешимо и допускает единственное решение почти для всех х Е П, а именно.

и(х) = А-1Г(х) = | д(х,у)Г(у)йу.ЧГ Е X, (58)

п

где § (х, у) - функция Грина. Таким образом, оператор А является биективным и

!•= А-1 • I д(х,у)Г(у)^у,

а

I2 •= А~2 • J Q(x,y)f(y) J S(y, t )f(y) • dtdy. (59)

п п

Из теоремы 1, замечания 1 и использования (55) и (59) мы имеем

= Jv(x)Jg(x,y )д(у) • dydx - 1. (60)

detW = det [Ф(1ц) - 1] = | у(х) | д(х,у )д(у) • dydx - 1.

пп

Если /п р(х) /п д (х, у )д(у) • dydx Ф 1, тогда оператор В2 является инъективным и единственное решение задачи (54) для любого [ Е X получается путем подстановки в

и = В-1 [ = 12 [ - 12щШ-1Ф(1[). (61)

Пример 3. Рассмотрим следующий пример

11

и (4)(х) - 48х 2 1(1 - Ь)и' (^ - 15х 3 1(1 - Ь)и "(№ -

00

11

-8х 1(1 - Ь)и '"(№ - 3х 4 1(1 - Ь)и (4)(Ь^Ь =

00 1 1

= х 4 +--х 3 +--х 2 + 2х - 1,

23

и(0) = и' (0) = и ''(0) = и '''(0) = 0. (62)

Мы берем X = С[0,1], соответственно Х1 = С1 [0,1],Х2 = С2[0,1],Х3 = С3 [0,1], Х4 = С 4 [0,1], и

Аи = и',Б(А) = {и: и Е X1 ,и(0) = 0}, А2и = и''0(А2) = {и : и Е X2 ,и(0) = и'(0) = 0}, А3и = и'''0(А3) = {и : и Е X3 ,и(0) = и'(0) = и''(0) = 0}, А4и = и(4)0(А(4)) = {и : и Е X4 ,и(0) = и'(0) = и''(0) = и'''(0) = 0},

Ф(Аи ) = ( Ф^Аи) ) = (J(1 - t)u'(t)dt) , Ф(А2и ) = ( Ф1(А2и) ) = (j(1 - t)u"(t)dt) , Ф(А3и ) = ( Ф1(^3и) ) = (j(1 - t)u'"(t)dt) , Ф(А4и ) = (Ф^А4и) ) = (j(1-t)u(4)(t)dt) ,

п

р = 0, ц = ( 48х2 ), г = ( 15х 3 ), б = (8х), г = ( 3х4 ),

1 1

[ = х 4 + —х3 + —х 2 + 2х - 1, (63)

т = 1, и оператор В4 : X ^ X определяется

В4и = А4и - цФ(Аи ) - гФ(А2и ) - БФ(А3и ) - гФ(А4и ),

о(в;)= о(А4).

Обратите внимание, что А является инъективным, а Я (А) = Х,Ф1 Е X* ,а ц, г, б, г линейно независимы. Из элементарных книг по дифференциальным уравнениям известно, что

X

I * . = Д~к . = 1 ¡(х - V к-1 ' й1 ,к = 1,2,3,4, (64)

0

и они ограничены на X. Согласно теореме 2 и, в частности, замечанию 2, мы формируем матрицу V и вычисляем ее определитель, а именно.

detV = det

0(z) - 1 <PQz) Ф(12г) [ Ф(13 z) 9 4

Ф(s) Ф(1Б) - 1 Ф(12Б) Ф(13 s) 3

Ф(г) Ф(1г) Ф(12 г)-1 Ф(13 г)

Ф(Ч) Ф(1ф Ф(12д) Ф(13 q) - 1]

-- _ 4

10 3 4

1 2 1 4

70 -з 8 5

1 1 55 2

560 15 -56 15

1 1 1 103

5040 90 448 -105-

240388859 444528000

Ф 0.

Следовательно, из теоремы 2, замечания 2 и использования (63) и (64) следует, что оператор В4 верен и единственное решение задачи (62) дается аналитически с помощью

(х - 5)х4

и(х)=Ч20- (65)

Вывод. Мы представили метод построения точного решения начальных и краевых задач для класса интегро -дифференциальных операторов, воплощающих степени правильного дифференциального оператора. Мы включили несколько задач, чтобы продемонстрировать применимость и эффективность метода. Предложенный метод решения может быть легко включен в любую систему компьютерной алгебры, и поэтому он может быть полезным инструментом для исследователей и студентов.

В заключение мы заявляем, не вдаваясь в подробности, что при определенных условиях две проблемы, обсуждаемые в настоящей статье, могут стать такого рода,

В2и = В2и = Б(В2) = 0(А2),

B4u = B4u = f, D(B4) = D(Ä4),

(66)

где оператор В ■ X ^ X определяется как

Ви = Äu - рФ(и) - дФ(Аи), D(B) = D(A), чтобы еще больше облегчить процесс решения, используя методы декомпозиции.

Библиографический список

1.Бияров Б.Н., Абдрашева Г.К. Относительно ограниченные возмущения правильных ограничений и расширений линейных операторов. Функциональный анализ в междисциплинарных приложениях. ФАЯ 2017. Разбирательства Спрингера в Математика и статистика. Спрингер, 2017, выпуск 216, стр. 213-221. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-67053-9 [на английском языке].

2.Парасидис И.Н., Провидас Э. Операторный метод расширения для точного решения интегро-дифференци-альных уравнений. В: Вклад в математику и инженерное дело: В честь Константина Каратеодори. Чам, Спрингер Международное издательство, 2016, стр. 473-496. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-31317-7 [на английском языке].

3.Парасидис И.Н., Провидас Э. Разрешающие операторы для некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений. В: Математический анализ, теория приближений и их приложения. Чам, Спрингер Интернэшнл Издательство, 2016, стр. 535-558. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-31281-1 [на английском языке].

4.Парасидис И.Н., Провидас Э. О точном решении нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Приложения нелинейного анализа. Чам, Springer International Publishing, 2018, стр. 591-609. дои: https://doi.org/10.1007/978-3-319-89815-5 [на английском языке].

5.Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press LLC, 1998 [на английском языке].

6.Полянин А.Д., Журов А.И. Точные решения некоторых классов нелинейных интегральных, интегро-функци-ональных и интегро-дифференциальных уравнений. Докл. Математика., 2008, выпуск 77, с. 315-319. дои: https://doi.org/10.1134/S1064562408020403 [на английском языке].

7.Васильев Н.Н., Парасидис И.Н., Провидас Э. Метод точного решения интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с многоточечными и интегральными граничными условиями. Часть 1. Метод расширения. Информационные и управляющие системы, 2018, выпуск 6, с. 14-23. DOI: https://doi.org/10.31799/1684-8853-2018-6-14-23 [на английском языке].

8.Васильев Н.Н., Парасидис И.Н., Провидас Э. Метод точного решения интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с многоточечными и интегральными граничными условиями. Часть 2. Метод декомпозиции-расширения для квадратурных операторов. Информационные и управляющие системы, 2019, выпуск 2, стр. 2-9. DOI: https://doi.org/10.31799/1684-8853-2019-2-2-9 [на английском языке].

9.Вазваз А.М. Линейные и нелинейные интегральные уравнения, методы и приложения. Берлин, Гейдельберг: Спрингер, 2011. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-21449-3 [на английском языке].

10.Чжу X., Ли Л. Решение замкнутой формы для стержня с нелокальным градиентом деформации при растяжении. Инт. J. Eng. Sci., 2017, выпуск 119, стр. 16-28. DOI: https://doi.Org/10.1016/j.ijengsci.2017.06.019 [на английском языке].

АСХАБОВА ЛИЗА ХАСАНОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.

ХАСМУХАДЖИЕВА МИЛАНА УСМАНОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.

БОРЗАЕВА ИМАН ЭЛЬБЕКОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.