ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В УСЛОВИЯХ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИЛИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 55-70.

УДК 517.983.5, 517.968.7

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В УСЛОВИЯХ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИЛИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ

М.В. ФАЛАЛЕЕВ

Аннотация. Исследуется задача Коши для вырожденного ннтегро-дифференциального уравнения высокого порядка в банаховых пространствах. Операторное ядро интегральной части уравнения является линейной комбинацией операторных коэффициентов его дифференциальной части, что соответствует физическому смыслу некоторых технологических процессов. Решение строится в пространстве обобщенных функций [распределений] в банаховых пространствах с использованием аппарата теории фундаментальных оператор-функций. Сверточное представление исходного уравнения определило дальнейшее активное использование техники сверток и ее свойств. Для исследуемых уравнений построены соответствующие им фундаментальные оператор-функции, с помощью которых восстановлено единственное обобщенное решение исходной задачи Коши в классе распределений с ограниченным слева носителем. Анализ полученного обобщенного решения позволяет исследовать рассматриваемую задачу на разрешимость в классическом смысле. Фундаментальная оператор-функция построена в терминах теории полугрупп операторов с ядрами. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач теории вязкоупругости.

Ключевые слова: банаховы пространства, обобщенная функция, распределение, фундаментальная оператор-функция, интегро-дифференциальный оператор, спектральная ограниченность, полиномиальная ограниченность.

Mathematics Subject Classification:: 34G10, 45К05, 45N05

1. Введение

Для корректного моделирования некоторых естественнонаучных или технологических процессов необходимо учитывать не только сиюминутное действие определяющих факторов, но и предысторию наблюдения. Такие эффекты встречаются, например, при исследовании колебаний мембран в масляных средах, когда возмущение от мембраны передается на среду, а затем возвращается на нее же в каком-то измененном виде вследствие динамических процессов, вызванных в среде самой же мембраной. Одним из способов описания таких моделей является аппарат интегро-дифференциальных уравнений в частных производных сверточного типа. Среди последних выделяются уравнения, у которых оператор при старшей по времени производной необратим, поскольку начально-краевые задачи для таких уравнений разрешимы в классах функций конечной гладкости не при любых сочетаниях начально-краевых условий и свободной функции [правой части] уравнения. Таких недостатков нет у решений в классах распределений, причем в самой общей постановке задачу разрешимости можно ставить и решать путем ее редукции к вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах. Наиболее же

M.V. Falaleev, Fundamental operator functions of integro-differential operators under

spectral or polynomial constraints.

© Фалалеев M.B. 2020.

Поступила 20 сентября 2019 г.

эффективным аппаратом для построения обобщенных решений вырожденных интегро-дпфференцпальных уравнений является теория фундаментальных оператор-функций см, [8], в соответствии с которой искомое обобщенное решение восстанавливается в виде свертки фундаментальной оператор-функции и обобщенной функции, включающей в себя все входные данные задачи. Анализируя построенные таким образом обобщенные решения, можно делать выводы о существовании и единственности классического [гладкого] решения, его структуре, свойствах, возможности численного эксперимента, В данной работе рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения, в которых операторное ядро интегральной части является линейной комбинацией операторных коэффициентов его дифференциальной части. Физически это означает, что в течение всего времени наблюдения на состояние системы влияют одни и те же факторы. Таким образом будут исследоваться следующие задачи Коши:

г

Ви(м)(г) - Аи(г) - у (а(г - в)А + /з(г - з)в^и(з)с1з = /(г), (1)

0

и(0) = ио, и'(0) = иг, ..., и{м-1)(0) = им-г, (2)

где В € С(Ег, Е2) - необрат им, А - замкнутый линейные оператор из Ег ъ Е2, Ег и Е2-банаховы пространства, оператор А спектрально ограничен относительно В см, [4, 9];

Ви(2М)(1) - Ат(м)(1) - Аои(1)-

(3)

- в)Аг + а0(г - в)А0 + р(г - з)В^и(з)с1з = /(г),

и(0) = и0, и'(0) = щ, ..., и(2М-1)(0) = и2М-г, (4)

здесь В, Аг,А0 € С(Ег, Е2), В - необратим, тара операторов (Аг, А0) полиномиально ограничена относительно оператора В см, [3],

Если в уравнениях (1) и (3) числовые функции а({), ¡3(I), а0(1), аг(Ь) тождественно нулевые, то теория разрешимости задач Коши (1)-(2) и (3)-(4) в указанных условиях в классах функций конечной гладкости хорошо разработана в см, [3, 4, 9],

В данной работе будут строиться решения в классе К'+ (Ег) распределений с ограниченным слева носителем. Данный класс является естественным для рассматриваемых задач по ряду причин. Во-первых, решение задачи Коши определено на луче Ь > 0, во-вторых, при построении решений используется операция свертки обобщенных функций, которая в этом классе существует всегда, и, в-третьих, операция свертки в данном классе обладает свойством ассоциативности, весьма необходимом для выполнения всех преобразований.

2. Фундаментальные оператор-функции в условиях спектральной

ограниченности

Пусть Ег, Е2 - банаховы пространства, оператор В € Ь(Е1,Е2) необратим, А - замкнутый линейный оператор из Ег ъ Е2. Далее, следуя работам [4, 9], будем называть 5-резольвентным множеством оператора А следующее открытое множество комплексной плоскости рв(А) = € С : (^В - А)-1 € Ь(Е2, Ег)}. Оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В (или (В, а)-ограниченным), если вне некоторого круга радиуса а > 0 операторный пучок (^В - А) непрерывно обратим, т.е. [^ € С : > а} С рв(А). Рассмотрим окружность комплексной плоскости Г = [р, € С : = г > а}, тогда в условиях (В, ^-ограниченности, как показано в работах

[4, 9], операторы

Р =—1ив — А)-1В(1ц, Q = —1вЫВ -А)-1 ¿1

2ттг ] 2жг ]

г г

являются проекторами в Е1 и Е2 соответственно. Проекторы Р и Q порождают разложения пространств в прямые суммы Е1 = Е0фЕ^ = кегРфгтР и Е2 = Е2фЕ^ = кerQфimQ.

А в

сужения Ао : Е0 4 Е0 и В ■ Е} 4 Е2> непрерывно обратимы, А ■ Е} 4 Е2 - ограничен, сами операторы А и В псевдокоммутируют с проекторами Р и Q, т.е. QВ = ВР и QА = АР.

Далее будем обозначать: а(Ь),р(Ь) € С(Ь > 0), Л(Ь) - резольвента ядра (—а(1)в(1)), /п(1) = в(1), п € М, 9(Ь) - функция Хевисайда [1, 2], К(Ь) - резольвента сверточного ядра к(Ь)в(1) = (^ * р(Ь)в(1), М- натуральное чиело, ¡0(Ь) = 6(Ь), 6(Ь) - дельта-функция Дирака [1, 2].

А В,

дифференциальный оператор

В б(м )(г) — А5 (г) — (а(г)А + р (г)В^ в(г) = в^ 6(М )(г) — р (г)в(г)^ — А^ б(г) + а(г)в(г)^

имеет на, классе К'+ (Е2) (обобщенных функций с ограниченным слева, носителем) фундаментальную оператор-функцию вида,

£м (г) = в__1им (^ — V» (г)(1 — Q),

здесь

те

Ш(^ = ^ ¡м(^ * (6(1) + П(ф(г))к * (6(1) + а(ф(г))к-1 (А-,В-1)к-\

к=1

те

V»(г) = ^(АО^ГАоНб)(г) — р(1ШУ * (6(1) + Л(№))*+1.

9=0

к к собой, нулевая степень обобщенной функции есть 6(1).

Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции [8] проверим справедливость двух еверточных равенств

в^ 6(М )(г) — р (г)в(г)^ — А^ б(г) + а(г)в(г)^

*ем (г) = 12б (г)шК'+ (Е2), (5)

в^ 6(М )(г) — р (г)в(г)^ — А^ б(г) + а(Щг)

11б(г)шК'+ (Е1). (6)

Известно, что семейство функций удовлетворяет еверточным равенствам [1, 2]

Ш * Л(I) = и+к(1)ш 6(п)(1) * Ш = 6(1). Поэтому

В^6(м)(1) — р(Ш^ * В-1ЫИ(^

=в(6(м)(1) — рт^ * В-1 и(I) * (6(1) + К(1)9(1))

те

* ^и.(к_1)(г) * (б(г) + п(г)в(г))к-1 * (б(г) + аШ^Ав-1)^^

к=1

*

--вв-1(б(г) - к(г)в(г)) * (б(г) + и(г)в(г))

те

* ^¡м,{к-1)(г) * (б(г) + п(г)в(г))к-1 * (б(г) + а(г)в(г))к-1(А1В-1)к-1< к=1

те

<(г) + ^ ¡м.к(г) * (б(г) + п(ф(г))к * (б(г) + а(ф(г))к(А^-^д,

к=1

б(г)+а(г)в(г)) *в-1им(г)<

^ !мк(^ * (б(г) + п(г)в(г))к * (б(г) + а(г)в(г))к(А^-уд

к=1

т.е.

В

Аналогично находим В

(V)(Ь) - р(Ь)в(^ - А^6(1) +

*в-1щ (г)<д = Я6 (I).

(V)(г) -р(г)в(^ *Ум(г)(1 -<)

те

=^в0(А-1В0УА-1(6 (м)(г) - р (Ф^)) * т+тт д+1(1 - <),

4=0

^ 6(1) + аШ^ *УМ т -О

те

=^ А0(А-1в0УА-1(б(м )(г) - ттг * т+ттгу - <) =0

те

=(1 - <)б(г) + £ В0(А-1В0)д-1А-1(б(м)(г) - р(г)в(г)у * (6(1) + А(г)в(г)У(1 - <)

=1

те

1

=(1 - <)б(г) + £ В0(А-1В0УА-1(б(м)(г) - р(ф(г))«+1 * (б(г) + А(ф(г))*+1(1 - <). =0

Следовательно

(1)(1 -<<) = -(I -0)6(1),

(б(м)(1) - р(Ь)в(^ - А^6(1) + а(Ь)в(Ь)^

таким образом

* £и(г) = <6(г) + (1 - 0)6(1) = 16(1)

В^6(м) (I) - р(¿)6(Ь)^ - А^6(1) + а(ЩЬ)^

и первое равенство доказано.

Докажем теперь справедливость второго равенства. Последовательно находим, во-первых,

в-1ии(1)< * ^б(м)(г) - р(г)в(г)^

те

=В-1 ^¡м■(к-1)№ * (6(1) + п(ф(г))к * (6(1) + а(тг))к-1(А1В-1)к-1В1Р

к=1

* (6(1) - к(ф(1))

=в_^Ы<к_1)(г) * (б(г) + п(1)в(1))к-1 * (6(1) + а(г)в(г))к_1(А1В__1)к_1В1Р к=1

те

--Рб(г) + в-1 ^ ¡м,к(г) * (б(г) + п(ф(г))к * (б(г) + аШ^^в^в^

к=1

те

--Рб(г) + в-1 ^ ¡м,к(г) * (б(г) + п(ф(г))к * (б(г) + а^шУ^в^^Ар

к=1

во-вторых,

в-1Ым(^ * А^6(1) + а(г)б(г)^

те

=в-1 ^ и.к(г) * (6(1) + п(ф(г))к * (6(1) + а(ф(г))к(А^у^Ар к=1

таким образом,

в-1ии (^ *

Соответственно,

В

(^6(М )(г) — р (г)д(г)^ — А^ б(г) + а(г)в(г)

Р ( ).

V»т — Q) *в(6(М)(г) — р(г)в(^

^£(А-1В0У+1(б(м)(г) — р(г)в(г)у+1 * (б(г) + Л(г)в(г)у+1(1 — р)

4=0

и

Ум(1)(1 — Q) *А( 6(1) + а(1)в(1)

(^б(г) + а(г)б(г)^

-- (6(м)(I) — р(№))* * (6(1) + лтг))*(I — Р)

д=0

--(I — Р т

те

+ £(А-1В0У+1(б(и)(г) — р(1ШУ+1 * (6(1) + Л(1ШУ+1 (I — р),

4=0

поэтому

Ум(1)(1 — Q) *

(V )(1) — р (Ь)в(^ — А^ 6(1) + а(1)в(^

В.................

Отсюда получаем справедливость второго равенства

—( — Р) ( ).

£м (^ *

в^ б(м)(г) — р — А^ 6(1) + а(ф(1) р б(г) + (1 — р )б(г) = 1б(г).

□

а( ) = р( ) = 0,

дает с утверждением теоремы 3 работы, [5], откуда, как следствие, получаются соответствующие утверждения из [4, 9] (см,, теорему 4 и следствие 2 из нее в работе [5]^.

р( ) = 0,

основных утверждений работы, [6], а именно, в теорему 1.

Замечание 3. Если в уравнении (1) а(Ь) = 0, то теорема 1 превращается в основное утверждение работы, [7].

Замечание 4. Теорема, 1 допускает обобщения на случай, когда, оператор А сектори-ально или радиально ограничен относительно оператора, В, соответствующие определения, см,, в [4, 9].

Замечание 5. Задача, Коши (1)-(2) в обобщенных функциях записывается следующим образом,

В

(V](t) — /3(t)d(t)^ — А ^5(t) + a(t)e(t)^

*U(t) = F (t), (7)

где

F (t) = f{t)e(t) + Bun-iS (t) + Bun-26'(t) + ••• + Bu15(n-2)(t) + Bu05(n-1)(t).

В силу равенства, (5) обобщенная, функция вида, U(t) = £N(t) * F(t) является, решением уравнения (7) в классе K'+(E1), а в силу равенства, (6) - единственным.

Если дополнительно предположить, что то является устранимой особой точкой операторного пучка (цВ — А)-1 см. [4, 9], т.е. А-1В0 = 0, то фундаментальная оператор-функция £n (t) приобретает следующий наиболее компактный вид

En (t) = B-1Un (t)Q — А-1 (I — Q)(5(t) + A(t)9(t)).

K' ( E )

регулярная обобщенная функция U(t) = £N(t) * F(t), удовлетворяющая уравнению (1). Потребовав от нее удовлетворения начальным условиям (2), получим условия разрешимости задачи Коши (1)-(2) в классе CN(t > 0,E). Непосредственными вычислениями находим для j = 0,1,... ,N — 1

U(i)

— А-1 (I — Q) [f(j\0) + Л(0)fu-l)(0) + A'(0)f ^~2)(0) + + A^-2)(0)f(0)+A(3-l)(0)/(0)] +PU3

где

^ =(1 - Р )щ + А-1(1 - <) [/(^(0) + Л(0)/-1)(0) + Л'(0) ^-2)(0) + ...

+ли-2щт+ли-1\о)т]

=А-1(1 - О) [Ащ + №(0) + Л(0)/(з-1) (0) + Л(0) Р-2)(0) + ...

+ A^-2)(0)f'(0)+A^-1)(0)f(i0)] =А-\1 -<)ь,.

Отсюда следует, что функция й(1) Е См(Ь > 0, Е\) является решением задачи Коши (1)-(2) тогда и только тогда, когда = 0 или в силу А-1 Е С(Е2, Е1), (I - О)= 0. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Если оператор А спектрально ограничен относительно В и то является, устранимой особой точкой, то задача, Коши (1)-(2) однозначно разрешима в классе См(Ь > 0,Е^ тогда, и только тогда, когда, выполнены условия

(I - О) [Ащ + 0) + Л(0) Р-1)(0) + Л'(0)/ V-2)(0) + ...

+ А(з-2)(0) ¡'(0) + А(з-1)(0) ¡(0)] =0, з = 0,1,..., N - 1.

Пример 1. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу теории вязкоупруго-сти [10]

(X — А)иы — (1 — А) и — д(г — т)(у — А) и(т, х)йт = ¡(г, х), (8)

0

и

= щ(х), щ

г=0

= 0, г> 0, (9)

еда

= и1(х), х € П; и

г=0

где д(Ь), ,х) - заданные функции, и = и(Ь,х) - искомая функция, х € П С Кт - ограниченная область с бесконечно гладкой границей дП, А - оператор Лапласа, и = и(Ь,х) определена на цилиндре Я+ х П, X € а(А).

Для задачи Коши-Дирихле (8)-(9), где 1 = X, X € а (А), банаховы пространства и операторы зададим следующим образом

Е1 = {у(х) € Шк+2(П) : у\дп = 0} ,Е2 = ШЦ(П), В = Х — А, А = 1 — А, (10)

где (П) - пространства Соболева, В этих обозначениях ядро интегрального оператора уравнения (8) представимо в виде

д(1) (у — А) = а(1)А + р(1)В,

где

а^) = ¡¡-X- д (г), р (V = ¡^Х д (г),

1 — X 1 — X

оператор А является спектрально ограниченным относительно В и то является устранимой особой точкой см, [4, 9] операторного пучка (1В — А)-1, тогда в соответствии с теоремой 2 справедливо утверждение

Теорема 3. Пусть для задачи Коши-Дирихле (8)-(9), где 1 = X, X € а(А), банаховы пространства Е1 и Е2, операторы, А и В определены как в (10), тогда, существует единственное решение и(Ь) € С2(Ь > 0,Е1) задачи, (8)-(9) тогда, и только тогда, когда, начально-краевые условия (9) и функция ¡(Ь,х) удовлетворяют соотношениям

((1 — X)ио(X) + ¡(0,х),р^х)) = 0, ((1 — X)2иl(x) + (1 — X) Х(0, х) — (у — \)д(0)т х),рг(х)) = 0, г =!,...,п, здесь Рг(х), г = !,..., п ортонормированный базис пространства решений однородной задачи: Xpi = Ар^, рг\аедп = 0.

Замечание 6. Условия, разрешимости задачи Коши-Дирихле (8)-(9) можно переписать в эквивалентном виде следующим образом,

((1 — \)и0(х) + ¡'(0,х),рг(х)) = 0, ((1 — X)иl(x) + (у — \)д(0)и0(х) + ¡{(0,х),рг(х)) = 0, % = !,... ,п.

3. Фундаментальные оператор-функции в условиях полиномиальной

ограниченности

Пусть Еь Е2 - банаховы пространства, В,А1,А0 € Ь(Е1,Е2), оператор В необратим. Следуя работе [3], введем ряд понятий: В-резольвентным множеством пары операторов (А1,А0) называется следующее открытое множество комплексной плоскости

рв(А1,А0) = {1 € С ■ К*(А1, А0) = (12В — 1А1 — А0)-1 € Ь(Е2, Е1)}.

Пара операторов (А1,А0) называется полиномиально ограниченной относительно оператора В (или полиномиально В-ограниченной), если существует число а > 0 такое, что {1 € С : \1\ > а} С рв(А1,А0). Рассмотрим окружноеть Г = {1 € С : Ц = г > а},

тогда при условии полиномиальной ^-ограниченности будем предполагать выполненным условие

А) для любой окружности Г указанного вида $ (А1, А0)ё,/1 = 0.

г

В этом случае [3] операторы

гг Е1 Е

страпств в прямые суммы

Е1 = Е0 ф Е\ = кегР ф \тР

и

Е2 = Е20 ф Е1 = кег<0 ф 1тС<, действия операторов В, А1, А0 расщепляются, причем сужения : Е^ ^ Е2° и В1 : Е} ^ Е21

В дальнейшем также будем предполагать выполненным условие (псевдокоммутирования):

В) операторы В и ^ псевдокоммутируют относительно (А\, А0), т.е, У/ е рв(А\, А0) справедливо равенство

ВКВв (Аг,Ао)Аг = А^ (АъАо)В. Как показано в [3], если выполнено условие В), то пары операторов В ъ А0, А\ ъ А0 также псевдокоммутируют относительно ЯВ(А\,А0).

Пусть далее: а0(Ь),а\(Ь),Р(Ь) Е С(Ь > 0) Л0(£) - резольвента ядра (-а0(1)6(1)), Я(^ -резольвента сверточного ядра

Ь(1)в(1) = /2м(г) *р(г)д(г),

и

д(^о(г) = и (г) (г)в(г),

N - натуральное число.

Введем два рекуррентных семейства обобщенных оператор-функций:

к10(г) = щг), к*(г) = Щ),

к1(1) = щ(ь) = (5(1) + Л0(1)9(1)) * (5(1) - к1(1)в(г))(А°)-1В0,

к*(г) = -Н1® = -т + шт) * (5(г) + д(г)в(г))(А0))-1А01,

к1+1® = к2д(г) * щ(1), к2д+1(1) = к](1) - к2д(г) * щ(ь) (11)

и

10(1) = 15(1), ь20(г) = 15(г),

Ь1(1) = Б0(1) = (5(1) + В,1(1)0(г)) * (5(1) + а0(т1))В-1А0, Ь21(1) = ЗД) = (5(1) + Я1®)6(Ь)) * (5(1) + д(Ь)в(Ь))В-1А\, ь1д+1^) = ь2д(г) * 8(г), ь2д+1(г) = Щг) + ь2д(г) * 81(1). (12)

Теорема 4. Если выполнено условие А), то справедливы, следующие сверточные равенства:

(5(г) - к1(ф(г))в * кд(г) - (5(г) + 9тг))А1 * кд+М)

- (5(г) + а0(г)в(г))А0 *кгд+2(г) = 0,

(5(1) - ьтыв * ьд+2® - (5(1) + д(г)в(г))А1 * ьд+1(г)

- (5(г) + а0(г)в(г))А0 *ьд (г) = 0, г = 1, 2, д = 0,1, 2,...,

К1+к+2Ц) = К1+1Ц) * К2д(1) + К1+1Ц) * к2+1®,

ь\+к+2 ^) = ьк+м * (г) + ьк+1(г) * Ц+1(г), кл = 0,1,2,...

Доказательство. Справедливость этих равенств доказывается индукцией по д. При д = 0 и 1 = 1 равенства проверяются непосредственно. Пусть д > 2, тогда

(6(1) - Ь(1)9(1))В * К2(I) - (6(1) + д(ф(1))А1 * К2+1(1)

- (6(1) + ао(1)9(1))Ао *К2+ (I)

=(б(г) - к1(Щг))в * (К}-1® - К-1(1) * Н1(г))

- (6(1) + д(г)в(г))А1 * (К](1) - К (г) * н^))

- (6(1) + аотг))Аа * (К]+1(1) - К+1(г) * Н^))

= [(6(1) - к1(1)9(1))В * К2—(1) - (6(1) + д(1)9(1))А1 * К2д-1(1)

- (6(1) + ао(1)9(1))Ао * К2д (I)] * Но(Ь)

- [(6(1) - к1(тг))в * К22-1(г) - (6(1) + д(тг))А1 * К (г)

- (6(1) + аоШ1))Ао * К2д+1(1)] * Н^) = 0,

и

К+к+2 (^ =К+к+1 (^ - К+к+1(г) * щ(г)

=К+к(г) * Но(1) - К+к+1® * Н1®

=(К1к+1(г) * КЛ) + К*+1(г) * К-1(г)) * Но(г) - (К1к+1(г) * к—® + К*+1(г) * к2д(г)) * нуг)

=К1к+1(1) * [К2-® * Но® - К2-1(I) * Щ(Ь)] + К2к+1(г) * [К-1(г) * Но(г) - К¡(г) * щ(г)] =Кк+1(г) * [К]-1(1) - К2-1(г) * щ(г)] + К2к+1(г) * [К]® - К2д(г) * Н^)] =Кк+1(г) * К (г) + к2к+1(г) * к2^).

Остальные соотношения доказываются совершенно аналогично, □

( А1, Ао) В

условия А) «В), то иптегро-дифферепциальпый оператор

В6(2М\г) - А1б(м)(г) - Ао6(г) - (г)В + а1(1)А1 + ао(г)А^ 9(1)

=в(6(2М*>(г) - тт) - А^6(М*>(г) + а1(г)9(г)^ - А^б(г) + ао(г)9(г)^

имеет на, классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида,

£м(г)= йм(г)д -%(г)(1 -$),

здесь

щ(г) = (б(г) + Я1(г)в(г)) * Ы<я+2)(г) * ь^в-1

21

2=о

оо

^ (I) = (6(1) + Ао(г)9(г)) * £ б(2^(г) * к^А)-1.

2=о

Доказательство. Доказательство проведем по той же схеме, что и в теореме 1, Во-первых,

$(2М-3(1)6®) *й„т

=в(5(2М)(1) - /3(1)9(1)] * (8(1) + Я^ЩЬ)) * ¡2м(^ * В-1ф(1)

+ (5(1) + ътг)) * £ ы.д+ф) * (5(2М)(г) - 3(т))в * ь^в-1^

д=1

--В(5(г) - кг(1)в(1)) * (5(1) + Я1 (Щг)) * В-1<5(1)

те

+ (5(1) + Я1(г)б(г)) * ^ ид(г) * (5(г) - к1(г)в(г))в * ь^в-1^

=1

--ф(г) + (5(г) + Я1 (г)в(г)) *

¡м(г) * т + д(г)в(г))А1в-1с<

+ £ Ьд(^ * (5(1) - к1(г)в(г))в * ь^в-1^ =2

во-вторых,

А^5(м)(1) + а1(1)е(^ *йИ(1)0

--(5(1) + Я&Ш) * £ ¡м.(д+1)(г) * т+д(1)в(1))А1 * Ь^В-1^

=0

--(5(г) + П1(г)в(г)) *

¡м (г) * (5(1)+д(1)в(1))А^,В-1«

+ ^ ¡М(д+ф) * (5(г) + д(г)в(г))А1 * ь^в-1^ , =1

в-третьих,

5(г) + а0(г)в(г)^ *йИ(г)<

те

=(5(1) + я^Щг)) * ^ и,{д+2)(1) * (5(1) + а0(тг))А0 * ь2д(г)в-1(0.

=0

Отсюда следует в силу равенств (14)

В^5(2М)(1) - 3(Ь)в(^ - Л (V)(1) + оц(Ь)в(^

-Ац^ 5(г) + о0(г)в(г)

*йИ (г)0

--05(1) + (5(1) + Я^Ш) * ^ и<д+2)(Ь) *

=0

(5(1) - к1(ф(1))В *Ь2д+2(1)

- (5(1) + д(г)в(г))А1 * ь2д+1(г) - (5(г) + о0(г)в(г))А> * ь2д(г)

--ф(г).

Далее, во-первых, В

)(г) -/*%-$)

=(6(1) + Ао(1)в(1)) * £6^(1) * (б(т\г) - рт*))в * к2д(г)(А°о)-1(1 - О)

2=о

те

=(б(г)+Ао(г)в(г)) * ^ б((2+2>м)(1) * ¡2» (г) * (6 (2м)(1) - тт)в

2=о

*к2я(г)(А°о)-1(1 -О)

те

=(6(1) + Ао(1)в(1)) * £ 6((2+2)^(1) * (6(1) - к1 тг))в * К2(1)(А°о)-1(1 - О),

2=о

во-вторых,

А^6(м+ а^Щ^ * %(1)(1 - О)

те

=(6(1) + Ао(1)0(1)) * £(I) * (6+ а1(1)в(1))А1 * К2д(1)(А°о)-1(1 - О)

2=0

те

=(6(1) + Ао(1)0(1)) * ^ 6((2+1>м)(1) * ¡м(I) * (6+ а1(1)в(1))А1

2=0

*К2ЖА1 )-1(1 -О)

+ Ао(1)в(1)) *

£ 6((2+1>м)(1) * (6(1) + д(1)9(1))А1 * К2({) 12=1

+ \1) * (б(г) + д(г)в(г))А°1

А )-1(I -О),

в-третьих,

Ао(6(1)+ ао(г)в(г)^ *%(1)(1 -О)

те

=(1 - О)6(1) + (6(1) + Ао(ф(1)) * ^ б(2^(г) * (6(1) + а(Ф(г))А0

2=1

*к2ЖА°0 )-1(1 -О)

--(I - $)6(1) + (6(1) + Ао(1)в(1)) *

^6(2^(1) * (6(1) + а(Ф(1))А0 * К2Я(1) .2=2

- 6(м>(г) * (6(1)+ д(1)в(1))А

(А )-1(1 -О).

Отсюда в силу равенств (13) получаем

в^6(2М)(1) - /3(Ь)в(^ - А^6(м)(1) + аг(1)в(^ -Ао(6(1)+ ао(г)в(г)^ *%(1)(1 -О)

- (I - 0)5(1) + (5(1) + Л0(ф(г)) * £ 5(М<д+2))(г) * [(5(1) - кг(1)в(1))В * к2д(I)

д=0

- (5(1) + дШЪ) А1 * к2д+1(г) - (5(1) + 00(1)в(г))А0 * к2д+2(1)](А°0)-1(1 - 0)

= - (I -(0)5(1). Таким образом,

(>м)(Ь) - 3(Щ^ - А1^(Ю(г) + 01(Щ^

-Ац^ 5(г) + о0(г)в(г)^

*£м (О

=05(1) + (1 -0)8® = 16(1). Аналогичными рассуждениями последовательно находим, во-первых,

щ(1)0 *в(^5(2М)(г) -3(1)6®)

те

=т + жт)) * £ ¡Мд(г) * (5(1) - к1(1)б(1)) * ь2д(г)Р

д=0

^ ид(I) *ь2д(1)Р = Р5(1) +

д=0

и(I) *ь2(1) + ^ ид(I) *ь](1)

д=2

Р,

во-вторых,

йм(1)0 *А^5(М)(г) + 01 (1)6(1))

те

=т + я(1)6(1)) * £ и<д+1)(г) * т+д(1Ш) * Ц^В^А^

д=0

те

= £!м<9+1)(г) *Ц(г) *81(г)Р

д=0

!м(г) * ь2(1) + £ ¡м<я+1)(1) * ь2д(1) * 31(1)

д=1

Р,

в-третьих,

(г)0 * т + о0(г)б(г)) = ^и<д+2)(г) * ь2д(1) * 80(г)Р

^ ' д=0

откуда получаем в силу рекуррентных соотношений (12)

йм (¿) 0 *

В^5(2М)(1) - 3(Щ1)) - А^5(м)(1) + 01(Ь)в(Ь)) - Ац^ 5(г) + 00(г)б(г))

Р8(V + £ 1м(,+2)(I) * (ь1+2(Ь) - Ь2д+1(1) * 81(1) - ь2д(1) * 80(1)) Р

д=0 ^ '

= Р5(1) + ^ и(2+2) (I) * (Ц+2(1) - Ц+1(1) * ЗД) - Ц+1(1)) Р

д=о ^ '

= Р6®.

Для завершения доказательства осталось получить следующие три соотношения: первое

^-О) *в[6(2М)(г) -3(г)в(^

=(6(1) + Ао(1)в(1)) * £№* (б(2М)(1) - 3(ф(1)) * К2(1)(А°о)-1во(1 - Р)

2=0

--(8(1)+шт) * £ ^<2+2))(1) * (т - ьты * к^ж)-1в0(I - Р)

2=о

<2+2Щ *К2Я(1) *Но(1)

■ 2=о

(I -Р),

второе

%-О) *А^6(М)(1) + а^Щ^

=(6(1) + Ао(1)в(1)) * £ 6(»^ * (6(м)(1) + а&Що) * К2(1)(Ао>)-1А°1(1 - Р)

2=о

оо

--(6(1) + Ао(1)0(1)) * £№•(2+1))(1) * (6(1) + д(1Ш) * К2д(1)(А°о)-1А°°(1 - Р)

2=о

£ 6(м•(2+1))(1) *К2(1) *Н1(1)

.2=о

(I -Р)

6(М)(1) * щ(г) + 6(М•(2+1))(1) * к2д(г) * н1(г) 2=1

(I -Р),

третье

^-О) *Ао(б(м)(1) + ао(ф(1)

=(б(1) + Ао(г)в(г)) * ^ 6(М•2)(1) *(б(1) + ао(г)в(гЛ *К(г)(1 -Р)

2=о ^ '

те

=^ № *к2ят -Р)

те

6(м)(I) * К\{1) + £ 6(м•2)(1) * К2(1)

2=о

--(I - Р)6(1) +

--(I - Р)6(1) +

2=2

те

6(м)(1) *Н1(1) + ^2 •2)(^ *к2 (I) 2=2

(I -Р) (I -Р).

Таким образом, в соответствии с рекуррентными соотношениями (11) имеем

%(0(1 -0) *

в

^ 5(дм)(0 - 3- А1^(м)(г) + 01(т^

-Л 5(1) + 00(1)в(1)

^ 5(м<д+2))(г) *

д=0

к2д(г) * щ(1) - к2д+1(1) * Н1(г) - к2д+д(г)

( - Р)

- ( - Р) ( )

те

^ 5(м<д+2))(г) *

д=0

- ( - Р) ( ).

к!+1(0 - кдд+1 (о * Н1(о - к2д+д(г)

( - Р) - ( - Р) ( )

Окончательно получаем

ём (О *

В^5(2м)(0 - 3(ь)в(^ - А^5(м)(0 + 01(1)9(1))

- А0[ 5(0 + 00(1)9(0

Р ( ) + ( - Р) ( ) = ( ).

□

Замечание 7. Если в уравнении (3)

00(0 = 01(0 = 3СО = 0,

то доказанная здесь теорема 5 совпадает с теоремой 5 из работы, [5], а если

01(0 = 3(1) = 0,

то с теоремой 5 из работы, [6]. Выводы, сформулированные в замечании 5 относительно задачи Коши (1)-(2), полностью актуальны и для, задачи Коши (3)-(4)-

Если то является устранимой особой точкой пары операторов (А1 ,А0) полиномиально ограниченной относительно В (см, [3], стр. 55), т.е. к1 = 0, кд = 0 или (А0)-1В0 = 0, (А_0)-1А° = 0, тогда фундаментальная оператор-функция из теоремы 5 приобретает вид

ём(О = йм(00 - (8(0 + Л0(00(0)(А0))-1(1 - 0), тогда единственным решением задачи Коши (3)-(4) окажется регулярная обобщенная функция

й(0 = ём(0 * (+ Втм-15(0 + Видм-2б'(0 + ••• + Вщ5(2м-2)(0 + Вй05(2м~1)(0

)

которая обращает в тождество уравнение (3) и принадлежит классу С (Ь > 0,Е^ Условия, при которых эта функция удовлетворит начальным условиям (4), и будут условиями разрешимости задачи Коши (3)-(4) в классе С2м(Ь > 0,Е0. Прямыми вычислениями находим

и

(з)

из -шз, 3 = 0, 1, 2,..., 2N - 1,

г=0

где

Ш НК)-1^ - 0) [А0й3 + /(з)(0) + Л0(0)/(з-1)(0) + Л0(0)/(з-2)(0) +

+ Л0-2) (0) ¡'(0)+Л0-1)(0)1(0)] =(А°0)-1(1 — Q)vj. Поскольку (А0)-1 е С(Е2, £1), то Cjj = 0 при (I — Q)Vj = 0.

Теорема 6. Если в условиях теоремы 5 то является, устранимой особой точкой, то задача Коши (3)-(4) однозначно разрешима в классе C2N(t > 0, Е1) тогда, и только тогда, когда, выполнены условия

(I — Q) [A0Uj + fW(0) + Л0(0)f (>-1)(0) + Л0(0) f^-2)(0) + ...

+ Л0-2) (0) f (0) + Л0-1)(0) f(0)} =0, 3 = 0,1, 2,..., 2 N — 1.

Пример 2. Для интегро-дифференциального аналога уравнения теории вязкоупругости [10] рассмотрим задачу Коши-Дирихле

t

(Л — A) utt — р(ц — А)щ — А2и + g(t — т) (7 — А2) и(т, x)dr = f(t, х), (15)

U

= щ(х), ut

t=o

= 0, > 0,

хеэп

= и1(х), х Е П; и

=0

где д(0, ¡(Ь,х) - заданные функции, и = и(Ь,х) - искомая функция, х Е П С Ят - ограниченная область с бесконечно гладкой границей дП, Д - оператор Лапласа, и = и(Ь,х) определена на цилиндре Я+ х П, А Е &(Д).

Для задачи Коши-Дирихле (15)-(16), где А Е 0"(Д), А = банаховы пространства Е1 и Е2

Е1 = {ь(х) Е Ш*+4(П) : ь\эп = 0} , Ед = (П), (17)

В = А - Д, л =3(ц - Д), Л = Д2, тогда ядро интегрального оператора из уравнения (15) раскладывается в сумму

-д(0 (7 - Д2) = 3(0(А - Д) + 01(1)3(1 - Д) + 00(г)Д2,

где

3(0 = -А-^д(0, 01(1) = 3А- )д(0, 00(0 = д(0.

Рассуждая, как в работе [3] (см, стр. 83-84, лемма 4,2,1), убеждаемся, что выбранная таким образом пара операторов (А^, А0) является полипомиадьпо ограниченной относительно В и то является устранимой особой точкой. Отсюда в соответствии с теоремой 6 получаем

Теорема 7. Пусть для задачи, Коши-Дирихле (15)-(16), где А Е &(Д), А = банаховы, пространства Е1 и Е2 и операторы В, А1, А0 определены как в (17), тогда, существует единственное решение и(0 Е С2м(Ь > 0,Е1) задачи, (15)-(16) тогда, и только тогда, когда, начально-краевые условия (16) и функция ¡(Ь,х) удовлетворяют соотношениям,

(А2и0(х) + ¡(0,х),рг(х)) = 0,

(А2щ(х) + Л (0, х) - д(0)/(0,х),<рг(х)) = 0, г=1,...,п, здесь фг(х), г = 1,...,п ортонормированный базис пространства решений однородной задачи: А<рг = Д<Рг, '£г\хедп. = 0.

Замечание 8. Как и в теореме 3, см. замечание 6, условия разрешимости задачи Коши-Дирихле (15)-(16) можно переписать в эквивалентном виде следующим образом,

(А2и0(х) + ¡(0,х),^г(х)) = 0,

(А2и1(х) + А2д(0)и0(х) + Ц(0,х),^г(х)) = 0, г=1,...,п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров В.С. Обобщение функции в математической физике. М.: Наука. 1979.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982.

3. Замышляева А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка. Челябинск: Из-дат. центр ЮУрГУ. 2012.

4. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // УМН. 49:4, 47-74 (1994).

5. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаменатльные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в услолвиях спектральной ограниченности // Дифференц. уравнения. 42:6, 769-774 (2006).

6. Фалалеев М.В., Орлов С.С. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального типа в банаховых пространствах и их приложения // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 7:4, 100-110 (2011).

7. Фалалеев М.В. Линейные модели теории вязкоупругости соболевского типа // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 6:4, 101-107 (2013).

8. N. Sidorov, В. Loginov, A. Sinitsvn and М. Falaleev Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinaear Analysis and Applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 2002.

9. G.A. Sviridvuk, V.E. Fedorov, Linear Sobolev Туре Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston: VSP. 2003.

10. M.M. Cavalcanti, V.N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira Existence and Uniform Decay for a NonLinear Viscoelastic Equation with Strong Damping // Math. Meth. Appl. Sci. 24, 1043-1053 (2001).

Михаил Валентинович Фалалеев,

Институт математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «ИГУ»,

ул. К. Маркса, 1,

664003, г. Иркутск, Россия

E-mail: [email protected]