CC BY
16Математика и математическое моделирование. 2019. №4. С. 20-33.
DOI: 10.24108/mathm.0419.0000195
© Четвериков В. Н., 2019. УДК 517.977
Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Линейные дифференциальные операторы, обратимые в интегро-дифференциальном смысле
Четвериков В. Н.1'*
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия * [email protected]
Исследуются обратимые линейные дифференциальные операторы с производными по одной переменной, обратные к которым являются интегро-дифференциальными операторами. Сформулирован алгоритм для проверки обратимости в этом смысле и построения обратного оператора. На дифференциальные операторы с производными по одной переменной обобщаются известные алгоритмы приведения матрицы к ступенчатому или диагональному виду. Результаты работы могут быть использованы для решения линейных уравнений на матричные дифференциальные операторы, возникающие в теории эволюционных систем с одной пространственной переменной.
Ключевые слова: обратимые линейные дифференциальные операторы; интегро-дифференци-альные операторы; интегрируемые системы
Представлена в редакцию: 27.10.2019.
Введение
Для решения некоторых задач теории дифференциальных уравнений необходимо решать уравнения на матричные дифференциальные операторы. Примером такой задачи является описание эволюционных систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Известно, что системы указанного типа обладают бигамильтоновой структурой [1]. Из свойства бигамильтоновости системы следует существование у нее бесконечного ряда коммутирующих симметрий и законов сохранения [2, 3]. Эффективным инструментом для практического построения иерархий симметрий являются операторы рекурсии, которые существуют, вообще говоря, и для уравнений, не имеющих гамильтоновой структуры (например, для уравнения Бюргерса). В общем случае, операторы рекурсии представляют собой матрицы, полиномиальные относительно полных производных по пространственным переменным и право обратным к ним операторов интегрирования. Для вычисления оператора рекурсии необходимо решить операторное уравнение, определенное данной системой [3]. Аналогичные операторные уравнения возникают при вычислении высших симметрий, законов сохранения
и симплектических операторов, а также при решении некоторых других задач теории эволюционных систем [3]. Таким образом, актуальна задача решения операторных уравнений указанного типа.
В данной работе рассматриваются эволюционные системы с одной пространственной переменной и линейные операторы, составленные из степеней полной производной по пространственной переменной. Параллельно исследуются линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменой. На матрицы операторов того и другого типа обобщаются известные алгоритмы приведения матриц к ступенчатому или диагональному виду. Такие алгоритмы хорошо известны для матриц, коэффициенты которых постоянны [4, гл. VI, §2] или лежат в области главных идеалов [5, §8.1]. Мы обобщаем эти алгоритмы на исследуемые дифференциальные операторы в точках общего положения, т.е. в точках, где отличны от нуля функции, на которые делятся компоненты матрицы в процессе применения алгоритма.
Показано, что применение этих алгоритмов позволяет свести задачу проверки обратимости матричных дифференциальных операторов к аналогичной задаче для скалярных дифференциальных операторов. В отличии предыдущих работ [6, 7, 8, 9, 10] здесь мы рассматриваем обратимость в интегро-дифференциальном смысле. А именно, интегральный оператор Д-1 определяется как многозначный оператор правый обратный к полной производной Д, т.е. Д о Д-1 = ¡ё. Операторы, содержащие Д и Д-1, называются инте-гро-дифференциальными, а операторы, для которых существуют левые и правые обратные интегро-дифференциальные операторы, — обратимыми в интегро-дифференциальном смысле. Формулируется алгоритм для проверки обратимости дифференциального оператора в этом смысле и для построения обратного интегро-дифференциального оператора, а также схема применения полученных результатов к решению операторных уравнений.
1. Линейные дифференциальные операторы
Пусть М — одномерное многообразие, А = С^(М) — алгебра гладких функций на М, а Р, <2 — модули гладких (бесконечно дифференцируемых) сечений двух векторных расслоений ( над М размерности т и т0 соответственно (о теории расслоений см. [11, гл. 2 и 3]). Напомним, что если фиксировать координату * на М и координаты р1,... ,рт в слоях расслоения £, то любое сечение этого расслоения можно представить себе как векторную функцию р(£) = (р1(£),..., рт(*))Т. Аналогичное представление существует для сечений расслоения (, координаты в слоях которого будем обозначать через д1,..., дто.
Пусть к — некоторое неотрицательное целое число. Отображение А из Р в 2, заданное в координатах соотношениями вида
а(р(£)) = Ы*),... ,дто (£))т е 2, ®(*) = £ £ ОгА (£) , аг]1 е А, (1)
.7 = 1 1=0 йг
называют линейным обыкновенным дифференциальным оператором из Р в <2 порядка не выше г.
Через огё А будем обозначать порядок дифференциального оператора А, т.е. огё А = г, если А — оператор порядка не выше г, но не является оператором порядка не выше г — 1.
Линейный дифференциальный оператор из Р = А в <2 = А (т.е. в случае т = т0 = 1) называют скалярным.
Так как линейные дифференциальные операторы представляют собой отображения, то определена операция композиции соответствующих операторов. Дифференциальный оператор А: Р ^ 2 называют (двусторонне) обратимым, если существует такой дифференциальный оператор А-1: <2 ^ Р, что композиция А-1 о А есть тождественное отображение модуля Р, а композиция А о А-1 — тождественное отображение модуля <2. В этом случае оператор А-1 называют обратным к А.
В координатах элементы Р, <2 удобно представлять в виде столбцов функций, а линейный оператор А: Р ^ <2 — в виде матрицы скалярных операторов. Нетрудно доказать, что обратимый линейный дифференциальный оператор задается квадратной матрицей.
Пример 1. Рассмотрим в случае двумерных расслоений £, ( операторы А и А-1, заданные матрицами
а=(11) • А-1=(;—7
где V — произвольный скалярный дифференциальный оператор. Нетрудно убедиться в том, что данные операторы являются обратными друг к другу.
2. Системы эволюционных уравнений
Рассмотрим систему уравнений вида
и. = Л (*, х, «а, «а, и0гх,...), .7, а = 1, ..., т. (2)
С системой (2) связывают бесконечномерное пространство с топологией Тихонова и с координатами
£, х, Ид , «а, ..., «а, ..., (3)
д ^
где «а = иа, а координаты «д соответствуют производным к , к > 0, а = 1, т.
Обозначим через Еоткрытое подмножество пространства с координатами (3), в котором определена система (2). Каждое гладкое решение (*, х) = (м1^, х),..., я)) системы (2) и точка = (*0,х0), в окрестности которой это решение определено, задают точку из Ес координатами
• • • дк и. (*о, хо) _
* = *0, х = х0, = (¿0,х0), «к =--, .7 = 1, т, k > 0.
дхк
Эта точка называется бесконечным джетом решения «*(£, х) в точке $0, а множество бесконечных джетов решения «*(*,£) во всех точках $0, в окрестности которых это решение
определено, — графиком в Ерешения Ut.it, х). Любая точка множества Еявляется бесконечным джетом некоторого решения (доказательство см. в [2, гл. 4, п. 3.2]).
На множестве Евводятся обычные дифференциально-геометрические понятия: гладкие функции, векторные поля, дифференциальные формы и т. д. А именно, гладкой функцией на Еназывают бесконечно дифференцируемую функцию, зависящую от конечного (но произвольного) набора переменных (3). Алгебра гладких функций на Еобозначается через Т(Е).
По определению, любая дифференциальная к-форма на Езависит от конечного набора переменных (3). Любое дифференцирование алгебры Т(Е) представляет собой линейную комбинацию (в общем случае бесконечную) частных производных по координатам (3) и называется векторным полем на ЕВекторные поля
д т те д д т д
О* = дх + £Еи'^ О = ш + ££
дХ г=1 3=0 диз дЬ г=1 3=0 диз
определенные в точках Еназывают полными производными по х и, соответственно, по t на Е
Данные поля имеют простую интерпретацию: производные Ли вдоль и вдоль функции д € Т(Е) совпадают с производными функции д в силу системы (2) по х и по t соответственно. Векторные поля О* и О1 порождают распределение С на Екоторое называют распределением Картана на ЕМаксимальные интегральные многообразия распределения Картана на Есовпадают с графиками решений системы (2) (доказательство см. в [2, гл. 4, п. 2.2]). Поэтому в качестве геометрической модели системы (2) рассматривают пару (ЕС), которую называют диффеотопом (или бесконечным продолжением) системы (2).
Дифференциальные операторы в полных производных называют С-дифференциальными операторами на Е. Везде далее мы рассматриваем С-дифференциальные операторы частного вида: без О4. Именно такие операторы определяют основные интегрируемые структуры эволюционных систем с одной пространственной переменной [3] и их точное определение следующее. Пусть Р, <2 — модули гладких сечений двух векторных расслоений £,( над Еразмерности т и т0 соответственно. В координатах р\,... ,рт в слоях расслоения £ и д\,..., дто в слоях расслоения ( элементы из Р и <2 задаются функциями
Рз = € Т(Е), ] = 1, т, и = (г € Т(Е), г = 1, т0, соответственно. Рассматриваемые далее С-дифференциальные операторы из Р в <2 имеют вид
т г
(г = ЕЕ «гЖ (0), Щ31 € Т (Е). (4)
3=11=0
Как и в случае операторов вида (1), элементы Р, <2 удобно представлять в виде столбцов функций на Еа С-дифференциальный оператор (4) — в виде матрицы скалярных С-диф-
г ,
ференциальных операторов Ду = ^ «310 х .
1=0
3. Постановка задачи
Мы рассматриваем два случая:
1) М = К, А — алгебра гладких функций на Е;
2) М = Е— диффеотоп некоторой эволюционной системы вида (2), А = Т(Е).
й
В первом случае Д = —, где х — координата на К, во втором — Д = Дх — полная производная по х. В обоих случаях мы исследуем матричные дифференциальные операторы в производных Д. В первом случае это операторы вида (1), во втором — вида (4).
Определим скалярный оператор Д-1 следующим образом. Пусть « е А. Тогда Д-1(«) — множество таких элементов V е А, что Д(^) =
Отметим, что в случае А = СД-1 («) есть непустое множество первообразных функции а в случае А = Т(Е) Д-1(«) может быть и пустым множеством, например, при « = («1)2.
Пусть Р = Ат = <2. Рассмотрим операторы из Ат в Ат, заданные блочными матрицами
/ е 00^ / тр п п\
Д,
(г)
0 Д 0
У 0 0 Е)
о,--;
Е 0 0 0 Д-1 0
У 0 0 Еу
где выделены ¿-я строка и ¿-й столбец (им соответствует вторая блочная строка и второй блочный столбец), на их пересечении стоят операторы Д и Д-1, а остальные блоки есть единичные (Е) или нулевые (0) матрицы соответствующего размера. Интегро-дифферен-циальными операторами будем называть операторы вида
Ак о о ... о А1 О D(-l1) о Ао, (5)
где А0, А1, ..., Ак — дифференциальные операторы, а ¿1, ..., ¿к — некоторые натуральные числа от 1 до т. В случае к = 0 получаем дифференциальный оператор А0. Поэтому частным случаем интегро-дифференциальных операторов являются дифференциальные операторы.
Пусть А: Р ^ <2 — интегро-дифференциальный оператор. Интегро-дифференциальный оператор V: <2 ^ Р будем называть обратным к А, если для любого V е 2 множество (А о 7)^) содержит V и для любого « е Р множество (V о А)(«) содержит
Мы решаем следующую задачу: для заданного дифференциального оператора найти обратный интегро-дифференциальный оператор или показать, что такой оператор не существует.
4. Приведение дифференциального оператора к ступенчатому и диагональному виду
Здесь мы обобщим известный алгоритм преобразования матрицы к ступенчатому и диагональному виду [4, гл. VI, §2] на матричные дифференциальные операторы исследуемого типа.
Элементарными преобразованиями над строками (столбцами) матрицы дифференциального оператора называют следующие три типа преобразований:
1) перестановка двух строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на ненулевую функцию;
3) добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной слева (соответственно справа) на скалярный дифференциальный оператор.
Элементарные преобразования над строками (над столбцами) матрицы дифференциального оператора есть умножение слева (справа) оператора на двусторонне обратимые дифференциальные операторы следующего вида:
/
V
Е 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 а 0 0 0 0 1 0 V 0
0 0 Е 0 0 , 0 0 Е 0 0 , 0 0 Е 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 Е
(6)
где выделены г-е и ]-е строки и столбцы (им соответствует вторые и четвертые блочные строки и столбцы), на их пересечении стоят 0, 1, а также оператор умножения на ненулевую функцию а и скалярный дифференциальный оператор V, остальные блоки, как и выше, есть единичные (Е) или нулевые (0) матрицы соответствующего размера.
При умножении на первый в (6) оператор г-я и ^'-я строки (столбцы) переставляются. При умножении на второй в (6) оператор г-я строка (столбец) умножается на функцию а. При умножении слева на третий в (6) оператор к г-й строке добавляется ] -я строка, умноженная слева на оператор V. При умножении справа на третий в (6) оператор к ^-му столбцу добавляется г-й столбец, умноженный справа на оператор V.
Будем говорить, что в заданных координатах дифференциальный оператор имеет ступенчатый вид, если его матрица в этих координатах удовлетворяет двум условиям:
1) все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;
2) ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчете слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.
Теорема 1. Любой дифференциальный оператор Д может быть представлен в окрестности точки общего положения как композиция Д = Дг о Д8, где Дг — двусторонне обратимый дифференциальный оператор, а дифференциальный оператор Д5 в заданных координатах имеет ступенчатый вид.
Понятие точки общего положения введем после доказательства теоремы.
Доказательство теоремы (в виде алгоритма). Используем то, что в координатах дифференциальный оператор определяется матрицей скалярных дифференциальных операторов. Композиция скалярных дифференциальных операторов некоммутативна, но опера-
торы можно делить с остатком слева и справа, если коэффициент при старшей производной делителя отличен от нуля в рассматриваемой точке.
Рассмотрим первый столбец матрицы оператора. Если он нулевой, то перейдем к следующему столбцу. В ненулевом столбце выберем ненулевую компоненту наименьшего порядка. Переставим ее на первое место А11. Разделим справа остальные элементы столбца на А11 с остатком: Ак1 = дк1 о А11 + гк1, к > 1, огё гк1 < огё А11. Применяя элементарные преобразования третьего типа, к к-й строке добавляем первую строку, умноженную слева на — дк1. На первом месте к-й строки остается гк1, к > 1. Если среди гк1, к > 1, есть ненулевые, то выбираем из них ненулевую компоненту наименьшего порядка и переставляем ее на первое место и повторяем рассуждение. После каждой перестановки порядок А11 уменьшается, а значит, процедура конечна и останавливается, когда все элементы Ак1, к > 1, нулевые. Тогда переходим к блоку, лежащему в пересечении столбцов справа от А11 и строк ниже А11, и повторяем процедуру для него. Вычисления останавливаем, когда этот блок оказывается нулевым или пустым, т.е. отсутствуют столбцы справа от А11 или строки ниже А11. Получаем дифференциальный оператор А5 ступенчатого вида в заданных координатах. Композиция двусторонне обратимых дифференциальных операторов вида (6), соответствующих примененным элементарным преобразованиям над строками, есть двусторонне обратимый дифференциальный оператор Аг. Теорема 1 доказана.
Точкой общего положения приведенного алгоритма назовем точку многообразия М, в которой отличны от нуля коэффициенты при старшей производной всех операторов А11, возникающих при применении данного алгоритма. Так как таких коэффициентов конечное число и они являются гладкими функциями, то множество таких точек есть открытое всюду плотное множество.
Отметим, что транспонированную матрицу матрицы ступенчатого вида называют матрицей ступенчатого вида по столбцам. Используя элементарные преобразования над столбцами и рассуждая как при доказательстве теоремы 1, для произвольного дифференциального оператора А получаем представление А = Ас о Аг, где Аг — двусторонне обратимый дифференциальный оператор, а дифференциальный оператор Ас в заданных координатах имеет ступенчатый вид по столбцам.
Будем говорить, что в заданных координатах дифференциальный оператор имеет диагональный вид, если его матрица в этих координатах имеет блочный вид (Л 0) или ^ ^, где Л — диагональная матрица со скалярными дифференциальными операторами на диагонали, 0 — нулевая матрица.
Теорема 2. Любой дифференциальный оператор А может быть представлен в окрестности точки общего положения как композиция А = Аг о А^ о Аг, где Аг и Аг — двусторонне обратимые дифференциальные операторы, а дифференциальный оператор А^ в заданных координатах имеет диагональный вид.
Определение точки общего положения аналогично предыдущему.
Доказательство (в виде алгоритма). Выберем ненулевую наименьшего порядка компоненту матрицы оператора. Переставим ее на пересечение первой строки и первого столбца: Дц. Остальные элементы первой строки разделим слева на Дц с остатком: Д 1к = Дц о д1к + г1к, k > 1, огё г1к < огё Дц. Остальные элементы первого столбца также разделим на Д11 с остатком, но справа: Дк1 = дк1 о Д11 + гк1, k > 1, огё гк1 < огё Д11. Применяя элементарные преобразования третьего типа, к к-й строке добавляем первую строку, умноженную слева на — дк1. На первом месте к-й строки остается гк1, k > 1. Аналогично, к к-му столбцу добавляем первый столбец, умноженный справа на — д1к. На 1 вместе получаем г1к, k > 1. Если среди операторов гк1, k > 1, или г1к, k > 1, есть ненулевые, то выбираем из них ненулевой оператор наименьшего порядка и переставляем его на место Д11 и повторяем рассуждение. После каждой перестановки порядок Д11 уменьшается, а значит, процедура конечна и останавливается, когда все элементы Дк1, k > 1, и Д1к, k > 1, нулевые. Тогда переходим к блоку, лежащему в пересечении столбцов справа от Д 11 и строк ниже Дц, и повторяем процедуру для него. Перебирая все строки и столбцы матрицы оператора, получаем дифференциальный оператор диагонального вида. Композиция двусторонне обратимых дифференциальных операторов вида (6), соответствующих примененным элементарным преобразованиям над строками, есть двусторонне обратимый дифференциальный оператор Дг, а композиция операторов, соответствующих примененным элементарным преобразованиям над столбцами, — оператор Дг. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Дифференциальный оператор диагонального вида обратим в интегро-диф-ференциальном смысле тогда и только тогда, когда его матрица квадратная со скалярными обратимыми дифференциальными операторами на диагонали.
Доказательство. Пусть Д — обратимый дифференциальный оператор диагонального вида, m х m0 — размер его матрицы, а Д-1 — обратный к нему интегро-дифферен-
циальный оператор. Тогда при m > m0 матрица оператора Д имеет блочный вид ^ ^, а значит множество (Д о Д-1)(у) не содержит у, если m-компонента V ненулевая. Поэтому
m < m0.
Покажем, что в случае m < m0 существует векторная функция и вида
и =(0,..., 0,ит+1, . . . ,ито )Т, ит+1, ...,ит0 € А, (7)
которая не принадлежит Д-1(0). Действительно, из определения интегро-дифференциаль-ного оператора следует, что любой элемент и € Д-1(0) представляется в виде
к
и = ^ Сгиг (8)
г=1
где к не превышает количества в представлении (5); и1, .. ., ик — фиксированные векторные функции; С1 , . . . , Ск — произвольные скалярные функции, удовлетворяющие условию О(сг) = 0, т.е. произвольные константы в случае А = С^(К) или произвольные
гладкие функции от £ в случае А = Т(Е). Ясно, что не любая функция (7) представляется в виде (8).
Пусть и — функция вида (7), но не вида (8). Так как при т < т0 матрица диагонального оператора А имеет блочный вид (Л 0^, то А(и) = 0, а, значит, (А-1 о А)(и) = А-1(0) не содержит и, что противоречит обратимости А и А-1. Таким образом, т = т0 и матрицы операторов А и А-1 квадратные.
Пусть А11,..., Атт — диагональные элементы матрицы оператора А, а (А-1) — матрица оператора А-1. Тогда -элемент матрицы А-1 оА есть А-1 о А/, аматрицы А о А-1 — Агг А-1. Так как А и А-1 — взаимно обратные операторы, то для любой векторной функции V множество (А о А-1)^) содержит V. Пусть 7-я компонента V есть V/, а остальные
//)
компоненты равны нулю. Тогда7-я компонента (А о А-1)^) есть (А// о А-1 ) и содержит V/. Аналогично, (А-1 о А//)(и/) содержит скалярную функцию и/. Так как функции V/ и и/ произвольны, то А-1 — интегро-дифференциальный оператор, обратный к А//. И это верно для любого 7 = 1, т.
Наоборот, если А — дифференциальный оператор с диагональной квадратной матрицей, а ее диагональные элементы А11,..., Атт обратимы в интегро-дифференциальном смысле,
то оператор с матрицей
А1-11 . . . 0 0 А-1
\ ' ' ' тт)
есть обратный к А. Теорема 3 доказана.
5. Разложения скалярных дифференциальных операторов
Теорема 4. Скалярный дифференциальный оператор обратим в интегро-дифференциальном смысле, если и только если он представим в виде композиции и0 о Д о и1 о... о Д о ик, где и0, и1, . .., ик — операторы умножения на ненулевые функции. Для доказательства теоремы 4 нам понадобится следующая лемма. Лемма 1. Если скалярный интегро-дифференциальный оператор А: А ^ А не является дифференциальным, то для любого и е А его образ А(и) есть либо пустое множество, либо многоэлементное множество.
Доказательство леммы 1. В скалярном случае представление (5) имеет вид
А = Ак о Д-1 о ... о А1 о Д-1 о А0, (9)
г
где А0, А1,.. ., Ак — скалярные дифференциальные операторы. Если Ак = ^ а^Д1, а е А,
1=1
г
то один из операторов Д-1 можно удалить, так как Ак о Д-1 = ^ ягД есть дифферен-
1=1
циальный оператор. Удалим указанным способом из представления (9) все Д-1, перед которыми стоят дифференциальные операторы только с положительными степенями Д.
Так как по условию оператор Д не является дифференциальным, то после удаления некоторые операторы О-1 в представлении (9) для Д останутся. Пусть в представлении (9) Дк = 52Г=0 «г О1 и а0 = 0. Тогда для произвольного и € А если элемент V принадлежит (О-1 о Дк-1 о ... о О-1 о Д0)(и), а с — функция, удовлетворяющая условию О(с) = 0, т.е. произвольная константа в случае А = (К) или произвольная гладкая функции от t в случае А = Т (Е ),тоиэлемент у+с принадлежит этому множеству. Поэтому Дк (у)+а0с € Д(и), а значит, Д(и) есть многоэлементное множество.
Если же множество (О-1 о Дк-1 о ... о О-1 о Д0)(и) пустое, то и множество Д(и) пустое, это завершает доказательство леммы 1.
Доказательство теоремы 4. Пусть Д: А ^ А — скалярный дифференциальный оператор, а Д-1 — обратный к нему. Если Д-1 — дифференциальный оператор, то огё Д = 0 = огё Д-1, так как порядок композиции Д о Д-1 равен сумме порядков Д и Д-1. Следовательно, Д и Д-1 — операторы умножения на функции. Эти функции ненулевые, так как операторы обратимы. Таким образом, утверждение теоремы выполняется в случае дифференциального оператора Д-1. В этом случае к = 0.
Если оператор Д-1 не является дифференциальным, то по лемме 1 для любого V € А образ Д-1(у) есть многоэлементное множество. Пусть и1 и и2 — два различных элемента множества Д-1(у). Тогда Д(и1) = V = Д(и2). Так как Д — линейный дифференциальный оператор, то Д(и1 — и2) = Д(и1) — Д(и2) = 0. Поэтому (Д о и)(1) = 0 для и = и1 — и2, а
значит, Д о и = Д0 о О для некоторого дифференциального оператора Д0 ,т.е. Д = Д0 о О о—.
и
Оператор Д0 также обратим, для него мы можем повторить это рассуждение. Так как огё Д0 < огё Д, то за конечное число шагов мы придем к обратимому оператору нулевого порядка, а это — умножение на ненулевую функцию. Это окончательно доказывает теорему.
6. Препятствия к обратимости дифференциальных операторов
Из доказательства теорем 2-4 получаем следующий алгоритм проверки обратимости и построения обратного интегро-дифференциального оператора.
1. Приводим в окрестности точки общего положения исследуемый дифференциальный оператор Д к диагональному виду Д^, используя алгоритм из доказательства теоремы 2. Если в процессе преобразований возникает нулевая строка или столбец, то оператор Д необратим. Иначе получаем представление Д = Дг о Д^ о Дг, где Дг и Дг — обратимые дифференциальные операторы, соответствующие элементарным преобразованиям над строками (Дг) и столбцами (Дг) матрицы оператора.
2. Скалярные дифференциальные операторы Дгг, стоящие на диагонали матрицы оператора Д^, раскладываем в композицию и0 о О о и1... о О о ик, используя доказательство теоремы 4. Оператор необратим, если хотя бы одно из возникающих дифференциальных
уравнений вида Дм г = 1, т получаем
0 имеет только нулевое решение. В противном случае для каждого
1
Д,-1 = — о д-1
о д-1 о —.
Мо
3. Строим интегро-дифференциальный оператор
/Д-1 Д11
Дг-1 о
\
Дтт )
о Д
1
обратный исходному дифференциальному оператору Д.
о
0
0
Заключение
Доказано, что известные алгоритмы приведения матрицы к ступенчатому или диагональному виду обобщаются на матрицы дифференциальных операторов с производными по одной переменной. Сформулирован алгоритм для проверки обратимости в интегро-диф-ференциальном смысле дифференциального оператора и построения обратного интегро-дифференциального оператора. Данные результаты могут быть использованы для решения некоторых задач теории эволюционных систем с одной пространственной переменной. Например, известно [3], что оператор рекурсии X системы вида (2) есть решение уравнения А о X = У о В, где А и В — дифференциальные операторы, определенные системой (2), а У — какой-либо дифференциальный оператор. Если оператор А имеет обратный инте-гро-дифференциальный оператор А-1, то оператор X = А-1 о У о В есть искомый оператор рекурсии для произвольного У.
Второй пример — уравнение А* о X = X* о А, являющеейся одним из уравнений на симплектический оператор X. Здесь А — дифференциальный оператор, определенный системой; А* и X* — дифференциальные операторы, сопряженные к А и X соответственно [3]. Используя алгоритм приведения матрицы дифференциального оператора к ступенчатому виду, представляем А = Дг о А^ о Дг, где Дг и Дг — двусторонне обратимые дифференциальные операторы, а дифференциальный оператор А^ в заданных координатах имеет диагональный вид. Находим диагональный дифференциальный оператор X0 как решение уравнения А* о X0 = X* о А^. Тогда X = (Д-1)* о А^ о Дг есть искомое решение.
Уравнения на производящие векторные функции ^ высших симметрий и законов сохранения имеют вид А(^) = 0, где А — дифференциальные операторы, определенные системой [2, 3]. Как и выше, представляя А = Дг о А^ о Дг и находя как решение уравнения А^(^0) = 0, получаем искомое решение ^ = Д-1(^0).
Таким образом, результаты работы позволяют свести матричные операторные уравнения к наборам скалярных операторных уравнений.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ 19-07-00817 и 18-07-00269.
Список литературы
1. Magri F. A short introduction to Hamiltonian PDE's // Matematica Contemporánea. 1998. Vol. 15. Pp. 213-230.
2. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А.В. Бочаров и др.; иод ред. А.М. Виноградова и И.С. Красильщика. 2-е изд. М.: Факториал, 2005. 380 с.
3. Krasil'shchik I.S., Verbovetsky A.M. Geometry of jet spaces and integrable systems // J. of Geometry and Physics. 2011. Vol.61, no. 9. Pp. 1633-1674. DOI: 10.1016/j.geomphys. 2010.10.012
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с.
5. Кон П. Свободные кольца и их связи: иер. с англ. М.: Мир, 1975. 422 с. [Cohn P.M. Free rings and their relations. L.; N.Y.: Academic Press, 1971. 346 p.].
6. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных оиераторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №7. С. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107
7. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных оиераторов с одной независимой иеременной // Математика и математическое моделирование. 2015. №4. С. 13-40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952
8. Четвериков В.Н. Анализ и синтез обобщенных обратимых дифференциальных оиера-торов с одной независимой иеременной // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 11. С. 1534-1544. DOI: 10.1134/S037406411511014X
9. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geometry and Physics. 2017. Vol. 113, pp. 10-27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014
10. Четвериков В.Н. Представление обратимых линейных обыкновенных дифференциальных оиераторов в виде комиозиции иростейших оиераторов // Математика и математическое моделирование. 2018. №4. С. 45-61. DOI: 10.24108/mathm.0418.0000138
11. Хьюзмоллер Д. Расслоенные иространства: иер. с англ. М.: Мир, 1970. 442 с. [Husemoller D. Fibre bundles. N.Y.: McGrawHill Publ., 1966. 350 p.].
Mathematics and Mathematical Modeling, 2019, no. 4, pp. 20-33.
DOI: 10.24108/mathm.0419.0000195
Mathematics & Mathematical Modelling
Electronic journal http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
© Chetverikov V.N., 2019.
Linear Differential Operators Invertible in the Integro-differential Sense
i &
Chetverikov V. N.1
1Bauman Moscow State Technical University, Russia * [email protected]
Keywords: invertible linear differential operators, integro-differential operators, integrable systems Received: 27.10.2019.
The paper studies linear differential operators in derivatives with respect to one variable. Such operators include, in particular, operators defined on infinite prolongations of evolutionary systems of differential equations with one spatial variable. In this case, differential operators in total derivatives with respect to the spatial variable are considered. In parallel, linear differential operators with one independent variable are investigated. The known algorithms for reducing the matrix to a stepwise or diagonal form are generalized to the operator matrices of both types. These generalizations are useful at points, where the functions, into which the matrix components are divided when applying the algorithm, are nonzero.
In addition, the integral operator is defined as a multi-valued operator that is the right inverse of the total derivative. Linear operators that involve both the total derivatives and the integral operator are called integro-differential. An invertible operator in the integro-differential sense is an operator for which there exists a two-sided inverse integro-differential operator. A description of scalar differential operators that are invertible in this sense is obtained. An algorithm for checking the invertibility in the integro-differential sense of a differential operator and for constructing the inverse integro-differential operator is formulated.
The results of the work can be used to solve linear equations for matrix differential operators arising in the theory of evolutionary systems with one spatial variable. Such operator equations arise when describing systems that are integrable by the inverse scattering method, when calculating recursion operators, higher symmetries, conservation laws and symplectic operators, and also when solving some other problems. The proposed method for solving operator equations is based on reducing the matrices defining the operator equation to a stepwise or diagonal form and solving the resulting scalar operator equations.
References
1. Magri F. A short introduction to Hamiltonian PDE's. Matematica Contemporánea, 1998, vol. 15, p. 213-230.
2. Simmetrii i zakony sokhraneniia uravnenij matematicheskoj fiziki [Symmetries and conservation laws of equations of mathematical physics] / A.V. Bocharov a.o.; ed. by A.M. Vinogradov and I S. Krasil'shchik. 2nd ed. Moscow: Faktorial Press Publ., 2005. 380 p. (in Russian).
3. Krasil'shchik I.S., Verbovetsky A.M. Geometry of jet spaces and integrable systems. J. of Geometry and Physics, 2011, vol.61, no. 9, pp. 1633-1674. DOI: 10.1016/j.geomphys. 2010.10.012
4. GantmakherF.R. Teoriiamatrits [Matrix theory]. 5th ed. Moscow: FizmatlitPubl., 2004. 560 p. (in Russian).
5. Cohn P.M. Free rings and their relations. L.; N.Y.: Academic Press, 1971. 346 p. (Russ. ed.: Cohn P. Svobodnye kol'tsa i ikh sviazi. Moscow: Mir Publ., 1975. 422 p.).
6. Chetverikov V.N. Classification and construction of invertible linear differential operators on a one-dimensional manifold. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2014, no. 7, pp. 105-127. DOI: 10.7463/0714.0718107 (in Russian)
7. Chetverikov V.N. Classification and construction of generalized invertible linear differential operators with one independent variable. Matematika i matematicheskoe mod-elirovanie [Mathematics & Mathematical Modelling], 2015, no. 4, pp. 13-40. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952 (in Russian)
8. Chetverikov V.N. Analysis and synthesis of generalized invertible differential operators with one independent variable. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 11, pp. 1529-1539. DOI: 10.1134/S0012266115110142
9. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators. J. of Geometry and Physics, 2017, vol. 113, pp. 10-27. DOI: 10.1016/j.geomphys.2016.06.014
10. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators represented as a composition of the simplest operators. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics & Mathematical Modelling], 2018, no. 4, pp. 45-61. DOI: 10.24108/mathm.0418.0000138 (in Russian)
11. HusemollerD. Fibre bundles. N.Y.: McGrawHill Publ., 1966. 350 p. (Russ. ed.: Husemoller D. Rassloennyeprostranstva. Moscow: Mir Publ., 1970. 442 p.).
