РАЗРЕШЕНИЕ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 26, № 136

2021

© Усков В.И., 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-414-420 УДК 517.922

м9

open fil access

Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной

Владимир Игоревич УСКОВ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г. Ф. Морозова» 394613, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8

Аннотация. В статье рассматривается алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнениями и системами дифференциальных уравнений второго порядка описывается работа схемы электронного триода с обратной связью, вращение жесткого тела с полостью, считывание информации с диска и т. д. Перед старшей производной находится необратимый оператор. Этот оператор фредгольмов с нулевым индексом, обладающий ядром произвольной размерности и цепочками Жордана произвольной длины. Уравнения с необратимыми операторами при старшей производной называются алгебро-дифференциальными. В связи с этим решение задачи существует при определенных условиях на компоненты искомой функции. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции уравнения, заключающегося в пошаговом расщеплении уравнения на уравнения в подпространствах уменьшающихся размерностей. Рассмотрены случаи одношагового и двухшагового расщепления. При расщеплении используется результат о решении линейного уравнения с фредгольмовым оператором. В каждом случае получен результат, сформулированный в виде теоремы. Для иллюстрации полученного результата в случае одношагового расщепления приводится иллюстрирующий пример задачи Коши.

Ключевые слова: алгебро-дифференциальное уравнение второго порядка, банахово пространство, фредгольмов оператор, каскадная декомпозиция, задача Коши

Для цитирования: Усков В.И. Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка относительно производной // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 136. С. 414-420. БО! 10.20310/2686-9667-2021-26-136-414-420.

© V. I. Uskov, 2021

DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-414-420

Solving a second-order algebro-differential equation with respect to the derivative

Vladimir I. USKOV

Voronezh State University of Forestry and Technologies after named G.F. Morozov 8 Timiryazeva St., Voronezh 394613, Russian Federation

Abstract. We consider a second-order algebro-differential equation. Equations and systems of second-order differential equations describe the operation of an electronic triode circuit with feedback, rotation of a rigid body with a cavity, reading information from a disk, etc. The highest derivative is preceded by an irreversible operator. This is a Fredholm operator with index zero, kernel of arbitrary dimension, and Jordan chains of arbitrary lengths. Equations with irreversible operators at the highest derivative are called algebro-differential. In this case, the solution to the problem exists under certain conditions on the components of the desired function. To solve the equation with respect to the derivative, the method of cascade splitting of the equation is used, which consists in the stepwise splitting of the equation into equations in subspaces of decreasing dimensions. Cases of one-step and two-step splitting are considered. The splitting uses the result on the solution of a linear equation with Fredholm operator. In each case, the corresponding result is formulated as a theorem. To illustrate the result obtained in the case of one-step splitting, an illustrative example of the Cauchy problem is given.

Keywords: second-order algebro-differential equation, Banach space, Fredholm operator, cascade splitting, Cauchy problem

Mathematics Subject Classification: 34A12.

For citation: Uskov V.I. Razresheniye algebro-differentsial'nogo uravneniya vtorogo poryadka otnositel'no proizvodnoy [Solving a second-order algebro-differential equation with respect to the derivative]. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika - Russian Universities Reports. Mathematics, 2021, vol. 26, no. 136, pp. 414-420. DOI 10.20310/2686-9667-2021-26-136-414-420. (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Уравнениями и системами дифференциальных уравнений второго порядка описывается работа схемы электронного триода с обратной связью (уравнение Рэлея) [1], вращение жесткого тела с полостью (уравнение Ламе) [2], считывание информации с диска [3] и т. д.

Уравнения с вырожденным оператором при старшей производной называют алгебро-дифференциальными. Задача Коши решалась в работе [4], где этот оператор — нормально разрешимый фредгольмов с и -мерным ядром, имеющий относительно некоторой оператор-функции полный биканонический жорданов набор; в работе [5] операторные коэффициенты являются и х и -матрицами, для краевой задачи применялся метод сеток. Используемый здесь метод каскадной декомпозиции применялся в работе [6] при исследовании возмущений, вызываемых наличием малого параметра у алгебро-дифференциального уравнения первого порядка.

В настоящей работе рассматривается уравнение

А— = Ви(Г) + Е (Г), (0.1)

где Л, В : Е ^ Е2 — замкнутые линейные операторы, Е^Е — банаховы пространства, ёош Л = Е, ёош В = Е ; Л — фредгольмов оператор с нулевым индексом; Е(Г) — заданная функция со значениями в Е2.

Здесь оператор Л имеет более сложную структуру — каждый элемент ядра имеет присоединенные элементы различной длины.

Фредгольмов оператор Л вполне определяется следующими свойствами. Свойство А (см. [7]).

Е1 = Сот Л ф Кег Л, Е2 = 1ш Л ф Сокег Л,

где Сот Л —прямое дополнение к Кег Л в Е1 , Сокег Л —дефектное подпространство, Кег Л = Сокег Л < то . Сужение Л имеет ограниченный обратный Л-1. Обозначим через ф(Л) проектор на Сокег Л , Р(Л) —проектор на Кег Л и через I — единичный оператор в соответствующем подпространстве. Введем полуобратный оператор

л- = Л-1(/ - д(Л)).

Свойство В (см. [8]). Равенство Л^ = т , V Е Е1 П ёош Л ,

т Е Е2 , равносильно

системе

V = Л-т + Pv для всех Pv Е Кег Л, = 0.

В дальнейшем используются следующие обозначения: Ао = Л, дг = д(Лг), Рг = Р (Аг), г = 0,1,2, Аг = 5г-1Рг-1, Л- = Л-1(/ - ^г), г =1, 2,

¿2 (0.2)

То = А0 В, &о = ^оВ, Ко = ^о, ¿о = А0 , До = &оТо, Со = &о¿о + т^Ко,

аг2

Т1 = То - Л-До, & = д1Л-До, ¿1 = ¿о - Л-Со, К1 = д1Л-Со.

Цель работы: разрешить уравнение (0.1) относительно производной, для чего применяется метод каскадного расщепления уравнения на уравнения в подпространствах уменьшающихся размерностей. Рассматривается случай обратимости оператора Л1 (один шаг

расщепления) и случай обратимости оператора А2 (два шага расщепления, А1 в этом случае полагается необратимым).

Приводится иллюстрирующий пример задачи Коши.

1. Случай обратимости оператора А!

В силу свойства В из работы [8] уравнение (0.1) равносильно системе

= Тои + Ь0Г (г) + Ро —|, (1.1)

Бои(г) + KоF (г) = 0 (1.2)

—2и

с искомым элементом Р0 —— Е Кег А0.

0 -г2 0

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1.1. Функция К0Г (г) дважды дифференцируема.

Дифференцирование дважды равенства (1.2) и подстановка в него выражения (1.1) приводит к уравнению

-2и

А1 (Р0) = -^и(г) - (г). (1.3)

Теперь пусть выполнено следующее условие. Условие 1.2. Оператор А1 : Кег А0 ^ Сокег А0 обратим. Тогда обращение уравнения (1.3) и подстановка в (1.1) влекут уравнение

-и

— = Ти + ь^ (г). (1.4)

Тем самым, получено следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия 1.1, 1.2. Тогда уравнение (0.1) равносильно системе (1.4), (1.2) в обозначениях (0.2).

2. Случай обратимости оператора А2

Теперь пусть выполнено следующее условие.

Условие 2.3. Оператор А1 фредгольмов с нулевым индексом.

Замечание 2.1. Теперь имеют место следующие разложения в прямые суммы:

Кег А0 = Кег А1 ф Сот А1, Сокег А0 = 1т А1 ф Сокег А1.

Сделаем второй шаг расщепления уравнения (0.1). Применением свойства В уравнение (1.3) сводится к равносильной системе

-2и С2и

Р0= -А-К0и(г) - А-С0^(г) + Р1Р0, (2.1)

^и(г) + к^ (г) = о (2.2)

—2 и

с искомым элементом Р-|Р0-г— Е Кег А1.

10 -г2 1

Наложим следующее условие.

Условие 2.4. Функция (¿) дважды дифференцируема.

Аналогично, продифференцировав равенство (2.2) и подставив в него последовательно выражения (1.1), (2.1), получим уравнение

а2и а2

Л2(Р1 Ро ¿2 ) = -&1(То - Л-До)и(г) - &1(ЬоД(г) - Л-СоЕ(Г)) - ^(Г). (2.3)

Теперь пусть выполнено следующее условие. Условие 2.5. Оператор Л2 : Кег Л1 ^ Сокег Л1 обратим.

а2 и

Выразив элемент Р1Ро^2 из (2.3), подставив его в (2.1), а затем — в (1.1), приходим к уравнению

а2и

— = Т2и + ¿2^ (Г). (2.4)

Тем самым, получено следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия 2.3, 2.4, 2.5. Тогда уравнение (0.1) равносильно системе (2.4), (1.2), (2.2) в обозначениях (0.2).

3. Вспомогательное утверждение

Рассмотрим уравнение

аИ = Я«(*), (3.1)

где О - замкнутый линейный оператор, действующий в банаховом пространстве Е; ёош О = Е.

Под решением уравнения подразумевается дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая (3.1).

Имеет место следующее утверждение.

Предложение 3.1. Пусть число Л Е С и вектор Л таковы, что

(О - Л2/)Л = 0 ^ Л = 0.

Тогда функция

и(Г) = ехр(Лг)Л (3.2)

является частным решением уравнения (3.1).

Это утверждение доказывается подстановкой функции (3.2) в уравнение (3.1).

4. Пример

Рассмотрим задачу Коши на Т = [0; ] :

а2и1 а2и2 а2м3 / ч / ч / ч

Ж +1Р +Ж = + *■*) +¡МО,

а2^! 12Ц<2 12из , ч , ч , ч / л -1 \

2 "аг^1 + 2 ¿г? + 2 "аг^3 = ад1(г) + з^) + 2из(г), (41)

а2и1 12м2 а2и3 З^Г + З^ГГ + З^3 = 2«1(*) + 3«2(Г) + Из (г),

ui(0) = ai, M2 (0) = a2, из (0) = аэ,

«1(0) = bi, u2(0) = 62, u3(0) = Ьз,

где a1, a2, a3, 61, 62, b3 —заданные скаляры из R. Здесь A, B : R3 ^ R3 :

(4.2)

(4.3)

'1 1 1N A = [2 2 2 ,3 3 3>

B

и(г)= | и2(г) | € R3 — искомая функция, и0 :=и(0):

Чи3(г)у

начальные векторы, F(г) = 0. Для оператора А имеем:

123 1 3 2 231

V

а2 | GR3, и1 :=и'(0):

a3

62 I G R3 Л,

Ker A

a1 а2

—a1 — а2,

Im A

P

7 27

43Yy

1 0 0^

0 1 0

,-1 -1 0,

Coker A

Q

Coim A =

0

¿1

Л 00 —2 1 0 ,-3 0 1

000 000 100

Нетрудно видеть, что Кег А П Сот А = {0}, 1т А П Сокег А = {0}, отображение Сот А в 1т А взаимнооднозначно, Р, Q идемпотентны.

Из уравнения А(Р-у) = Qw, где Р^ € Кег А, Qw € Сокег А, следует, что оператор А1 = QBP обратим в Кег А и

A-

-1

'0 —5/6 1/2' 0 7/б —1/2 0 —1/3 0

Рассмотрим теперь задачу Коши (4.1), (4.2), (4.3). В силу непрерывной зависимости от начальных условий требуется наложить условия согласования, вытекающие из (1.2) и продифференцированного выражения:

Sou0 + S0F (0) = 0, Sou1 + So F' (0) = 0,

(4.4)

то есть

а1 + а2 + 4а3 = 0, а1 + 3а2 + 8а3 = 0,

61 + 62 + 4^3 = 0, 61 + З62 + 863 = 0. Вычисления с применением теоремы 1.1, предложения 3.1 и (4.4) приводят к искомому решению

и(г) = (а3 еЬг + 63 яЬг) | -2

References

[1] Дж. Стокер, Нелинейные колебания в механических и электрических схемах. Т. 2, Чистая и прикладная математика, Издательство иностранной литературы, М., 1952, 273 с.; англ. пер.: J. Stoker, Nonlinear Vibrations in Mechanical and Electrical Systems. V. II, Pure and Applied Mathematics, Interscience Publishers, Geneva, 1957, 273 pp.

[2] Н.Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи, Наука, М., 1989. [N. D. Kopachevskiy, S. G. Kreyn, Ngo Zuy Kan, Operator Methods in Linear Hydrodynamics. Evolutionary and Spectral Problems, Nauka Publ., Moscow, 1989 (In Russian)].

[3] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Modern Control Systems, Marquette University Faculty, USA, 1998.

[4] С. С. Орлов, "Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах", Известия Иркутского государственного университета, 2:1 (2009), 328-332. [S. S. Orlov, "Continuous solutions of a degenerate integro-differential equation in Banach spaces", Izvestiya of Irkutsk State University, 2:1 (2009), 328-332 (In Russian)].

[5] М.Н. Ботороева, О. С. Будникова, Л. С. Соловарова, "О выборе краевых условий для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка", Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика, 2019, №3, 32-41. [M.N. Botoroeva, O. S. Budnikova, L.S. Solovarova, "On the choice of boundary conditions for differential-algebraic equations of the second order", Bulletin of Buryat State University. Mathematics, Computer Science, 2019, №3, 32-41 (In Russian)].

[6] В.И. Усков, "Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части", Вестник российских университетов. Математика, 26:134 (2021), 172-181. [V.I. Uskov, "Study of rigidity of a first-order differential system with perturbation in the right-hand side", Russian Universities Reports. Mathematics, 26:134 (2021), 172-181 (In Russian)].

[7] С. М. Никольский, "Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах", Изв. АН СССР. Сер. матем., 7:3 (1943), 147-166. [S. Nikolsky, "Linear equations in normed linear spaces", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 7:3 (1943), 147-166 (In Russian)].

[8] С.П. Зубова, В.И. Усков, "Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай", Математические заметки, 103:3 (2018), 392-403; англ. пер.^.Р. Zubova, V.I. Uskov, "Asymptotic Solution of the Cauchy Problem for a First-Order Equation with a Small Parameter in a Banach Space. The Regular Case", Mathematical Notes, 103:3 (2018), 395-404.

Информация об авторе

Усков Владимир Игоревич, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математики. Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова, г. Воронеж, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Поступила в редакцию 17.08.2021 г. Поступила после рецензирования 30.10.2021 г. Принята к публикации 27.11.2021 г.

Information about the author

Vladimir I. Uskov, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of the Mathematics Department. Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G. F. Morozov, Voronezh, Russian Federation. E-mail: [email protected]

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3542-9662

Received 17.08.2021 Reviewed 30.10.2021 Accepted for press 27.11.2021