ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ МКДФ С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ ПЛОТНОСТИ, В СЛУЧАЕ ПРОСТЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Естественные и точные науки»

'Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali №17

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ МКДФ С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ ПЛОТНОСТИ, В СЛУЧАЕ ПРОСТЫХ СОБСТВЕННЫХ

ЗНАЧЕНИЙ

1Мамедов К.А., 2Эшчанова Г.Ш., 2Бабаева М.Ш

1Ургенчский филиал ТУИТ имени Мухаммеда аль-Хорезми, к.ф.-м.н., тел: +998995646345, e-mail: mqudrat@mail.ru 2Ургенчский государственный университет, тел:+998991201171 gulchehra050989@gmail.com. тел:+998972115209, muhabbat_babayeva@mail.ru

https://doi.org/10.5281/zenodo.7588228

Аннотация: В данной работе показана возможность применения метода обратной задачи рассеяния для интегрирования уравнения мКдФ с самосогласованным источником в классе функций конечной плотности, в случае простых собственных значений соответствующей спектральной задачи.

Ключевые слова: метод обратной задачи рассеяния, модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (мКдФ), оператор Дирака, решение Йоста, собственное значение, собственная функция, данные рассеяния, класс функций имеющих конечную плотность.

1. Введение

Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (мКдФ)

и + 6и 2и + и

0

встречается при решении некоторых задач физики плазмы. В работе [1] это уравнение было проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния для системы Дирака. Метод обратной задачи рассеяния ведет свое начало с работы [2], в которой он представлен как метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза.

Применение метода обратной задачи для уравнения мКдФ опирается на задачу рассеяния для оператора Дирака вида

а

L(t) = i

dx -и (x, t)

-и (x, t) dx

на всей оси. Обратная задача рассеяния для оператора Дирака изучалась в работах М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [3], В.Е.Захарова, А.Б.Шабата [4], И.С.Фролова [5], Л.П.Нижника, Фам Лой Ву [6], А.Б.Хасанова [7], Л.А.Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева [8] и др.

Применения метода обратной задачи рассеяния для оператора Дирака к интегрированию нелинейных эволюционных уравнений изучалась в работах М.Абловица, Д.Каупа, А.Ньюэлла и Х.Сигура [9], В.Е.Захарова, Л.А.Тахтаджяна, Л.Д.Фаддеева [10], В.К.Мельникова [11]-[13], Г.У.Уразбоева, А.Б.Хасанова [14] и др. Именно в работе [11] был введен термин «самосогласованный источник». Самосогласованность источника понимается в том смысле, что правая часть рассматриваемого эволюционного уравнения является комбинацией собственных функций соответствующей спектральной задачи, потенциал которой есть решение рассматриваемого эволюционного уравнения.

Отметим, также, что в работе Ж.Леона и А.Латифи [15] приведена конкретная физическая задача, которая сводится к решению уравнения КдФ с источником.

В связи с применением к конкретным физическим задачам возникла необходимость рассмотрении нелинейных эволюционных уравнений не только в классе «быстроубывающих» функций, но в классах функций специального вида, а именно периодических, ступенчатых, имеющих конечную плотность и др.

Следует отметить, что в работе А.Б.Яхшимуратова, М.М.Хасанова [16] было интегрировано уравнение мКдФ с самосогласованным источником в классе периодических функций, а К-солитонное решение уравнения мКдФ в случае конечной плотности, т.е. в случае и(х,г) ^ с при |х| ^го, с е Я было

найдено в работе Н.Н.Романовой [17].

Рассмотрим систему уравнений

2 N

и + 6и2их + иххх = £ф - Ф^Х

(1)

ЬФк =%кФк, k = 1,2,..., 2 N,

при начальном условии

и( х, 0) = и (х), х е Я, (2)

где и0 (х) ^ с при х ^±го, с е Я. Здесь начальная функция и0 (х) обладает следующими свойствами:

го

1) | (1 + |х|)|и0(х) - с|йХ <го ; (3)

2) Оператор Д0) имеет ровно 2N простых собственных значений ¿1(0), £(0),..., £ N (0).

В рассматриваемой задаче ф = (Фн,Фк2)т - собственная вектор-функция оператора Щ) соответствующая собственному значению так, что

да

|Фф2dx = Ак^), к = 1,2,..., 2^.

№17

(4)

Здесь Л (г) заданные, непрерывные, ненулевые функции, которые удовлетворяют условиям

А (г) = Лп (г) при 4 = -4я. (5)

Предполагаем, что функция и(х, г) обладает достаточной гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при х ^ ±да, т.е.

| (1 + |х|)|и(х, г) - с\ + ^

к=1

д ки( х, г )

дхк

ах < да

(6)

У

Здесь мы укажем путь построения решения задачи Коши для системы уравнений (1) в классе функций (6). 2. Задача рассеяния Рассмотрим систему уравнений

У1х + 14 У = и(х)У2, У2х - 4 У 2 =-и (х) Уг.

(7)

на всей оси (-да < х < да), с потенциалом и(х), удовлетворяющим условию

| (1 + |х|)| и(х) - С ах <да, с е Я.

(8)

Ь = 1

Видно, что с помощью оператора

г а Л

— - и( х) йх

и(х)--

йх у

и вектор-функции у = (у, у2 )г систему (7) можно переписать в виде

Ьу = 4 У. (9)

При условии (8) система уравнений (9) обладает решениями Йоста со следующими асимптотиками

' 1 Л

(р( х,4)'

ср( х,4)

¥( х,4У

1(4- р)

V с у

' 1(4- Р)

е~1рх, при х ^-да,

с

V -1 у

Гис

е1рх, при х ^-да,

1(4- Р)

с

е-1р х, при х ^ да,

да

да

1

№17

¥ (х,£)

ке- р)

в'рх, при х —^ го.

V с у

Здесь р = + с2 и ветвь квадратного корня фиксируется условием 1т р(£) > 0 при > 0. (10)

В дальнейшем мы часто будем опускать зависимость функции р(£) от £. Таким образом, в формулах, где участвует р(£) и всегда подразумевается, что р является функцией от £. (Отметим, что р в общем случае, не является комплексным сопряжением к р). При действительных £, пары вектор-функций {р,р} и ¥,¥} являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (9), поэтому

р( х, £) = а(£¥( х, £) + Ь(£¥( х, £), (1т£ = 0 ), (11) Р(х,£) = -а(£)¥(х,£) + Ь(4)¥(х,4), (1т£ = 0), (12) где

а(£) = ЦГ{р¥\ , Ь(£) = ^{Р¥}.

\а(£)\2 + |Ь(£)|2 = 1.

Риманова поверхность Г функции р(£) состоит из двух экземпляров Г+ и Г_ комплексной плоскости С с разрезами по мнимой оси от - ¡с до ¡с. Условие (10) однозначно определяет аналитическую продолжение функции а(£) на лист Г, исключая точки ветвления £ = ±гс. Невещественные нули функции а(£) соответствуют собственным значениям оператора Щ) на листе Г. Собственные значения оператора Щ) на листе Г совпадают с нулями функции а (£). Итак, числа ,£к являются собственными значениями оператора Ь(г), и других собственных значений этот оператор не имеет. Предположим, что все собственные значения оператора Щ) простые, так, что

ф(х,4) = Ск¥(хЛк), Р(х,4) = С¥ (х,4), к =1, N. Справедливы следующие равенства

¥( х,£) =

¥2(x,-£)' -¥( x,-£)

, Р(х,£) =

' Р2(^ -£) -Р1(x, -£)

(13)

а(£) = а(-£), Ь(£) = Ь(-£), £ = -£, Ск = С^, к = 1,N.

Для функции ¥( х,£) справедливо следующее интегральное представление

¡(£- р)

с 1

егр х +

го

|к (х, 5)

'¡(4- р)

с 1

вгр

(14)

х

№17

где

К( х, 5) =

К (х, 5) К (х, 5)

V- к 2(x, 5) К!( х 5Х

В представлении (14) ядро К (х, у) не зависит от 4 и связано с и(х) с помощью равенства

и(х) - с = 2К2 (х, х). (15)

Компоненты ядра К (х, у) при у > х являются решениями системы интегральных уравнений

_2| с

где

К 2 (х, у)4

V К1(х у)

+

^(х + у) ^ К,(х, 5) К 2( х, 5)У ^1(8 + у)

Р2( х + у)

V 2

+

Г N

V 2

N

К (х, 5) К (х, 5)у

V 5 + у).

й5 = 0,

2) = - (4п - Рп У^ + £ Ц (4п - Рп )е~1р1

С V И=1 И=1

V п=1

П=1

( 1 да 1 да Л

— ¡[г(4) - Г(-4)] е'Р^Р -— ¡[г(4) - Г(-4)] е1РЧ4

V 2Л -да 2Л -да

2 ) = (£ Мпе'Рп* +2 Це ^

п=1

п=1

1 да Г(4) - Г(-4)

2л

1

Р

егРЧ4,

г (4) =

Ь(4)

Цп =

1 с

Цп = -РпА4п)

(15).

а(4) п Рп<%4„)

Определение. Набор величин

г+(4) = Ь(4), 4 е Я; 4кМ4к > 0; Ск, к = 1,N;

называется данными рассеяния для системы уравнений (9).

По данным рассеяния потенциал и(х) определяется с помощью равенства

Отметим, что вектор-функции й

К(х) =

й4

4=4п

<%4п)

п = 1, N

(16)

являются решениями уравнений ЬУ = 4пУ.

Заметим, что по предположению оператор Ь имеет только простые собственные значения, поэтому &(4п) отличны от нуля.

Кроме того функции К (х) обладают следующими асимптотиками

да

№17

^ - Рп)Л

h, ~ - С.

с 1

¡Р„Х

е п при х — -го,

у

hn~

1

¡(£п - Рп )

-¡РпХ

при х — го.

(17)

Согласно (17) справедливо равенство

Ж{р ^ }=рМ7-фА = 2СпРп(£п -Рп), п = Т^.

V' п 5 п } г п1 п2 / п2 п1 2 5 5

(18)

Лемма 1. Если вектор-функции Y и Z являются решениями уравнений

LY = и LZ = ^, то для их компонент имеет место равенства _

Сх Сх

<У1 + У2= -г + ^(У - У 2 -(У1 ^2 - У221) = -г (4-r^)(.У1 ^2 + У2

Справедливость этой леммы доказывается непосредственной проверкой. 3. Эволюция данных рассеяния

Пусть потенциал и (х, г) в системе уравнений (8) является решением уравнения

и + 6и2их + и^. = 0(х,г), (19)

где О достаточно быстро стремится к нулю при х — ±го. Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Если потенциал и (х, г) является решением уравнения (19) в

классе функций (6), то данные рассеяния системы уравнений (9) с потенциалом и( х, г ) зависят от г следующим образом

СГ + с 4

— = (8гр3 - 12с2гр)г+--—с--

С ( р р) 4а2р2(р -£)2

|О • (рр + р2 )Сх, (¡т£ = 0),

сСС

_п

Сг

8р - 12сНр +

п ± п

с

2 Рп ( рп £п )

\О • + ^2¥п2)Сх

С

го

г | О • (Рп21 +Рп22)Сх

п -го

Сг

2 {фпРп 2 Сх

п = 1, N.

Доказательство. Оператор

А = -4

1 0

V0 1 у

Э3

Эх3

- 6

С 2 Л

и их

V-Ux и у

А-3

Эх

2иих иа

V-Uxx 2ииху

(20)

го

го

У.1

удовлетворяет соотношению Лакса

№17

[Ь, А] = ЬА - АЬ = /

0

V-6и\ - иххх

- 6 и \ - ихххл

0

Поэтому уравнение (19) можно переписать в виде

Ц + [Ь, А] = /Я,

(21)

где Я =

0 - О V О 0 ,

— I

Дифференцируя по г равенство Ьф = ф получим Ьф + Ьф{ = , которое согласно (21) можно переписать в виде (Ь-Ж-Аф) = -/Яф . (22)

Используя метод вариации постоянных находим ф- Аф = а (х)у + в (х)ф, (23)

где функции а(х) и (5(х) подлежат определению. Тогда для определения а(х) и /3(х) получим

Маф + Мрхф = -Яф, (24)

(1 0 ^

где М = . Для решения уравнения (24) удобно ввести следующие

Согласно (11), (12) и определению

0

у

(ф ^ >2 ^

ф = , ф =

фУ

обозначения ф

вронскиана

фтМф = -ф Мф = 2 р(^- р) а(4), фтМф = фтМф = 0.

с

л т * т

Умножая (24) на ф и ф получим

а

с2фтЯф с 2фтЯф

^ Их =-

(25)

2ар(4 - р) х 2ар(4 - р) Согласно (20) при х ^ -да ф - Аф ^ (4/р3 - 6сг1р)ф, поэтому на основании (23) при х ^ -да имеем И(х) ^ 4/р3 - 6с2гр, а(х) ^ 0. Следовательно, из (25) можно определить

И( х)

с

2ар(4 - р) -

х

-[ фтЯфdx + 4/р3 - 6с2^

а( х) = -

с

2ар(4- Р) -

х

| фЯфdx.

Таким образом, равенство (23) примет вид

№17

<Р, - Аф

+

2ар(р - -

-| фт' Яф -л

Ц +

-[ ц/т Яф-л + 4/р3 - 6с2¡р

ф.

2ар(р - 4)

Согласно (11), (12) равенство (26) примет вид ац + Ьц - А( ац + Ьц) =

(26)

1 х 1 х

1 Р ^ ^ 1 Р ^ ^ "з о

— I ф Яф-лц +--I ц Яфёл + 4гр - 6с ¡р

а а

. а

V -го

(ау + Ьу).

Переходя в последнем равенстве к пределу л ^ го с учётом (20) получим

а = -

2ар(р - 4)

го

| ц/тЯф-л,

Ь

с

го

| фт Яф-л --

с 2

2ар( р - 4) -го 2аР( р - 4) -

Поэтому, при 1т 4 = 0 из равенства

-г+ Ьа - аЬ

го

| ц/т Яф-л + (8р - 12с2гр)Ь.

С,

а

следует, что

-г+

= (8р3 - 12с р)- + & а

2 р ( р -4)

го

| фт Rфdx,

или

= (8р - 12с2 ¡р)г+-

4а2р2(р -4)2 -

го

| G • (фф2 + ф2)dx.

Дифференцируя ф = Сцп по ,, получим равенство

дф

д,

дф

4=4И

д4

4=4

4 = Сц +с дц & & п п д,

дц

+ ^

4=4 д4

4=4п

4

л

которое согласно (16), можно переписать в виде

(27)

дф -С ^ дц„ , -4 дф=у+Сп ц - а&4п Я-4, д, д,

где

дф- дф

д, д,

4=4п

Аналогично непрерывному спектру, учитывая (25), в случае дискретного спектра получим следующее равенство

2

с

2

4

С

№17

дфп

а х

г

ф =

I фТпЯфп Шх к

+

2Спрп (Рп -4п )

2спр п(р п -4п) -да

х

|+ 4р -6с21рп

+

фп ,

\ пгпУгп ~п' -да

которое, является аналогом равенства (26). Согласно (27) и пользуясь равенством фп = Спуп, последнее равенство можно переписать в виде

дС ^ дш п- Шп + С, ш

дг

г

дг

,)4п - СпАшп = dt

V 2Спрп (Рп -4п ) -да

х

| фтпяФг4х

и. +

+

2Спрп (Рп -4п ) -

х

I ктпЯСпш^ + 4/рп - 6с2/рп

СпШп

V п±п\±п -да

Переходим в этом равенстве к пределу х ^да с учётом (16) и (20):

ш - Щ )^к - С (4/р3 - 6с2гр )ш =

у. т п т. п п\ ± п -Гп;т п

dt dt

с

. 2С р (р - 4 ) ^

V п^пУ-гп -да

| фтпЯфпdx

к +

+

V 2 рп (рп -4п ) -да

Таким образом,

да

Iкт Яш dx + 4/р3 -6с2гр

п п п п

С ш

пп

dC

_п

dt

Ш4п

8/р3 - 12с 2гр +

пп

2 рп ( рп 4п )

да

IктЯш dx

пп

Сп,

да

| ф1 ф йх

ш 2Сп рп (рп -4п )&4п) Следовательно,

8/р3 - 12с2гр +

лг п ± п

с

2 р п ( р п 4п )

ШС

_п_

Ж 2Сп рп (рп -4п Щ4п)-Осталось заметить, что согласно тождеству

да

|О ■ (Ип1шп1 + ИпМп2)Шх

С

с

да

|О ■ ф1 +фп22)Шх .

У

гс

¡фпф 2

(28)

С р (4 - р )-

п± п п ± п /

последнее равенство можно переписать в виде

2

с

2

с

да

2

с

№17

¿4,

ад

' | О ■ СРП:

п -ад

¿Г

2 /РшРпп 2 ¿X

Лемма доказана.

Замечание. Согласно (28) и (4), если функции А (г) являются ненулевыми, то дискретный спектр оператора Ь(г) будет простым.

Займёмся эволюцией данных рассеяния оператора Ь(г), потенциал которого является решением системы (1).

Согласно условию (5) и равенствам (11)-(13) правую часть в уравнении (1), можно переписать в виде

N

О = 2 XФ: - Ф12) .

к=1, 1т 4 >0

Легко заметить, что в силу леммы Римана-Лебега для неотрицательных г О(х, г) = о(1) при |х| ^ ад.

Нетрудно видеть, что при х ^ ад справедливы следующие асимптотики

Г 1 > Г '(4- Р) ] Г 1(4- Р) ]

Р ~ 44) '(4- Р) е'Рх + Ь(4) с в~'Рх, Ж( х,4)~ с е*х

V с У V 1 У V 1 У

Рк ~ ск

'К4к- Рк)

с 1

уРкх

V " У

а при х ^ -ад

' 1 л

Р( х,4)

'(4- Р) V с У

-грх

Г '(4- Р)] Г 1 ^

Ж ~ -а(4) с е'р х + Ь (4) '(4- Р)

V -1 У V с У

е"Рх Ж

С

К4к- Рк)

V с

е

'Рк'

Применим результаты леммы 2 к системе уравнений (1). Сначала вычислим эволюции С. При 4 отличном от 4„ согласно лемме 1 имеем следующее равенство

(Ф 2 1 -Ф \2)КЖп 2 + (Ф 2 1 -Ф 1г)КЖп 1 =

ч2

= (ФмКгЖт - Ф22КЖп 1) + (ФмКфа - ф22К2Жп2) =

1{(Фк 1 К2 - Фк2К 1 )(Фк Жп2 + Фк2Жп 1 ) + (Фк 1 К2 + Фк2К 1 )(Фк Жп2 - Фк2Ж 1 ) +

2

— ОО

1

+ (ФкК„1 -Фк2Кп2)(ФкЖп1 + ФЖ 2) + (ФкКп1 +Фк2 Ю(ФЖп, -Фк2Жп 2)} =

1 Г 1 а

2' 4 - 4п ¿х

[(Ф к А 2 - Ф к 2Кп1)(Ф Жп 2 - Ф к 2^)]

+

+ ^ [(Ф к1Ап1 + Ф к 2Ап2 )(Ф кЖп1 + Ф к 2Жп2)]|-

Тогда при к ф п

ад

I О ■ (А„Ж„1 + К Жп 2)ах = 0 .

-ад

Если к = п, то

(Ф п1 п 2 п2 Ж 2 + КпЖп1) =

1 а [(Ф К, +Ф 9)(Ф ж+Ф ж о )]+Ф ,Ф Лж Ко -ж К д

1Л п1 п1 п2 п2У\ п\т п1 п2т п2УЛ п1 п2п1 п2 г п2 п1 /

4 '4 ¿х Из (4) и (18), имеем

1

I О ■ (КЖп1 + Кп2Жп2)^ = — |Фп!Фп2^{Рп , К ^ =

-ад С п -ад

Таким образом, согласно лемме 2

= (8'Р3 - 12с2р + 2 А ^ ))Сп, п = 1,2,..., N.

аг

Подобным образом можно показать, что

ад ад

| о■ (р2 + р2)¿х = о, | о ■ (Рп21 + р22)ах = о,

-ад -ад

поэтому ¿Г+

= (8'Р3 - 12с2'Р)г+, = 0, п = 1,2,...,N.

2Рп п Рп )

а п (г).

¿г ¿г

Таким образом, доказана следующая теорема

Теорема. Если функции и(х,г), Фк1 (х,г), Фк2(х,г), k = 1, 2,..., Ы,

являются решением задачи (1)-(5) в классе функций (6), то данные рассеяния оператора Щ) с потенциалом и (х, г) меняются по г следующим образом

¿г+

dг

С ¿г

¿г

= (8'Р3 - 12с2'Р) г +, (1т4 = 0), • = (8/Рп3 - 12с1 ¡Рп + 2Ап(£))Сп, п = 1,2,..., N. = 0, п = 1,2,...,N.

ад

ад

2

с

"Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali №17

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши (1)-(5) в классе функций (6).

4. Заключение

Выводятся эволюции данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с простыми собственными значениями, потенциал которого является решением уравнения мКдФ с самосогласованным источником, в случае конечной плотности.

Полученные результаты могут быть использованы в спектральной теории линейных операторов, в математической физике при интегрировании нелинейных уравнений и при решении некоторых задач физики плазмы.

Литература:

[1] Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 32, pp.1681 (1972).

[2] Gardner C.S., Green I.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19, 1095-1097 (1967).

[3] Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака, ДАН СССР, 167(5), 967-970 (1966).

[4] Захаров В.Е., Шабат А.Б.Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде,ЖЭТФ,61(1),118-134 (1971).

[5] Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси, ДАН СССР, 207(1) 44-47 (1972).

[6] Нижник Л.П., Фам Лой Ву. Обратная задача рассеяния на полуоси с несамосопряженной потенциальной матрицей, Укр. матем. журнал, 26(4), 469486 (1974).

[7] Хасанов А.Б. Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка, ДАН СССР, 277(3), 559-562 (1984).

[8] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. Москва, "Наука", (1986).

[9] Ablowitz M., Kaup D., Newell A., Segur H. The Inverse Scattering Transform-Fourier Analisis for Nonlinear Problems, Stud. Appl. Math., 53(4), 249315 (1974).

[10] Захаров В.Е., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений «sin-Gordon» уравнения, ДАН СССР, 219(6), 1334-1337 (1974).

[11] Mel'nikov V.K. Exact solutions of the Korteweg-de Vries equation with a self- source, Phys. Lett. A, 128, 488-4924 (1988).

"Talqin va tadqiqotlar" ilmiy-uslubiy jurnali №17

[12] Mel'nikov V.K. Creation and annihilation of solitons in the system described by the KdV equation with a self-consistent source, Inverse Problem, 6, 809823 (1990).

[13] Mel'nikov V.K. Integration of the nonlinear Schrodinger equation with a source, Inverse Problem, 8, 133-147 (1992).

[14] Уразбоев Г.У., Хасанов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником при начальных данных типа «ступеньки», Теор. и матем. физика, 129(1), 38-54 (2001).

[15] Leon J., Latifi A. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves, J.Phys. A: Math. Gen. 23, 1385-1403 (1990).

[16] Яхшимуратов А.Б., Хасанов М.М. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций, Дифф. уравнения, 50(4), 536-543 (2014).