ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ КАМАССЫ-ХОЛМА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 1 (2022). С. 84-94.

УДК 517.946

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ КАМАССЫ-ХОЛМА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА

Г.У. УРАЗБОЕВ, И.И. БАЛТАЕВА

Аннотация. Работа посвящена исследованию уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником интегрального типа.

Источник рассматриваемого уравнения соответствует непрерывному спектру спектральной задачи связанной с уравнением Камассы-Холма. Как известно, интегрируемые системы допускают операторное представление Лакса Lt = [L, А], где L - линейный оператор, а А - некоторый кососимметрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве. Обобщенное представление Лакса для рассматриваемого уравнения имеет вид Lt = [L, А] + С, где С - сумма дифференциальных операторов с коэффициентами, зависящими от решений спектральной задачи для оператора L. Построение самосогласованного источника для рассматриваемой задачи основано на том, что именно квадраты собственных функций спектральной задачи существенны при решении интегрируемых уравнений методом обратной задачи рассеяния. Кроме этого, для рассматриваемого типа уравнений эволюция собственных функций в обобщенном представлении Лакса имеет особенность.

Применение метода обратной задачи рассеяния основано на спектральной задаче, связанной с классическим уравнением Камассы-Холма. Выведена эволюция данных рассеяния этой спектральной задачи с потенциалом, являющимся решением уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником. При выводе эволюции спектральных данных, соответствующих непрерывному спектру, существенно используется формула Сохоцкого-Племеля. Результаты работы, относящиеся к эволюции данных рассеяния, связанных с дискретным спектром, основаны на методах предыдущих работ авторов. Полученные результаты сформулированы в качестве основной теоремы. Результаты теоремы позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения. Методы данной работы могут быть легко обобщены на высшие аналоги уравнения Камассы-Холма.

Ключевые слова: уравнение Камассы-Холма, решения Поста, самосогласованный источник, эволюция данных рассеяния, метод обратной задачи рассеяния.

Mathematics Subject Classification: 39А23, 35Q51, 34К13, 34К29

1. Введение

В 1967 году американские ученые К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М, Круекал и Р. Миура [1] показали, что решение уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) может быть получено для всех «быетроубывающих» начальных условий, т.е. условий, которые определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), поскольку в нем существенно

G.U. Urazboev, I.I. Baltaeva, Integration of Camassa-Holm equation with a self-consistent

source of integral type.

(с) Уразбоев Г.У., Балтаева И.И. 2022.

Поступила 22 января 2021 г.

используется решение задачи о восстановлении потенциала оператора Штурма-Лиувилля на всей оси, по данным рассеяния (обратная задача теории рассеяния). Далее в 1968 году Лаке [2] существенно обобщил их идеи, А именно он придал условию совместности линейных задач удобную операторную форму, представив условие совместности в виде условия коммутативности линейных дифференциальных операторов: Ь = [Ь, А] где Ь - линейный оператор а А - некоторый кососимметрический оператор, действующий в гильбертовом пространстве,

В работах В,К, Мельникова [3], [4] было представлено некоторое обобщение уравнения Лакса в виде

Ь = [Ь,А] + С,

где С - сумма дифференциальных операторов с коэффициентами зависящими от решений

Ь

стали называться уравнениями с «самосогласованным источником». Отметим, также, что в работе Ж. Леона и А. Латифи [5] приведена конкретная физическая задача, которая сводится к решению уравнения КдФ с источником. Нелинейные эволюционные уравнения с самосогласованным источником встречаются также в задачах гидродинамики, физики плазмы, в физике твердого тела и др.

В 1993 году Р. Камасса и Д.Д, Холм [6], исходя из физических соображений, вывели уравнение

,U'txx I \ 2ши% \ ххх,

которое в безразмерных переменных пространства-времени (х, ¿) описывает однонаправленное распространение волн в мелкой воде над плоским дном, и(х, ¿) представляет горизонтальную компоненту скорости жидкости, описывает свободную поверхность, а параметр ш > 0 связан с критической скоростью. Это уравнение в современной литературе называется уравнением Камассы-Холма, В последнее время уравнение Камассы-Холма вызывает значительный интерес, как пример интегрируемой системы, имеющей более общие по сравнению с КдФ волновые решения. Анализ, проведенный в [7], а также [8] и др..

( > 0

В работах А. Константина, В. Герджикова, Р. Иванова [9] показана применимость метода обратной задачи рассеяния для получения решений уравнения Камассы-Холма.

В работе китайских ученых Е.Х. Хуанг, Ю.К. Йао, Ю.Б. Зенг [10] уравнение Камассы-Холма с простейшим самосогласованным источником было интегрировано с помощью прямого метода - метода преобразования Дарбу.

В данной работе рассматривается система уравнений

те

и, -и„, + 2ши, + 3ии, - 2и.и„ -ии- =! К,/ + 2( т + ш)(д1)'х)<1 к,

дхх(х,к, г) = (1 + Х(т + ш)^ д(х,к, г),

1

4

¡хх(х, к, Ь) = [-+ \(т + ш) ) /(х, к, Ь), х,к е К, ¿> 0,

где

т(х, ¿) = и(х, ¿) — ихх(х, Ь), ш = сопзЬ > 0,

14

ш \ 4

т(х, г)+ш> 0, Цк) = —1 ( к2 + 1

а и = и(х,Ь) - действительная функция, которая обладает достаточной гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при х ^ ±ж, так что

те /

У (1 + и) (нм)1 +

3

£

к=1

дки(х, Ь)

дхк

¿х < ж, Ь > 0.

(1.2)

Задача (1.1)—(1.2) рассматривается при начальном условии

и(х,~к)1г=о = ио(х),

где начальная функция и0(х) обладает следующими свойствами:

1) и0(х) — и"0(х) + ш > 0 х Е

оо

2) / (1 + |ж|)(Мж)| + 1и"о(х)1)сЪх < ж,

—те

3) уравнение фхх = (1 + Х(т(х) + ш)) гф при т(х) = щ(х) — и'0(х) имеет ровно Ж простых собственных значений Л1 (0), Л2(0), А3(0),..., А^(0), лежащих та интервале (— ; 0) . В рассматриваемой задаче функции д = д(х, к,1), f = f (х, к,Ь) непрерывные функции по

, ' дд(х,кЛ) г' 81 (х,к£)

параметру к, имеют производные первого порядка дк = д'к ' /к = дк ■> удовлетворяют следующим неравенствам:

(1д(х,к,г)12 + |/(ж,М)|2)^ < ж,

те / /

—те те

/ (

+

+

¿к < оо,

¿к < оо,

Ь > 0, х Е (—ж; ж),

и при х ^ ж имеют следующие асимптотики:

f - а(к)егкх + р(к)е—гкх, д - 7(к)егкх + 5(х)е—гкх,

(1.3)

где комплекспозпачпые функции а = а(к,1), ¡3 = $(к,Ь), 5 = 5(к,1), 7 = ^(к,{) непрерывные по к и ¿, которые имеют производные первого порядка и удовлетворяют следующим условиям при £ > 0 :

(ИМ)|2 + №(к,^2 + Щк,^2 + |7(М)|2)^ < ж,

—те те

I (

да(к, Ь)

дк

+

др(к,г)

дк

+

дб(к,г)

дк

+

д1 (к,г)

дк

)

(1.4)

¿к < оо.

Положим

д(М) = Р (МЬ(М) + а(—к,г)8(—к,г).

В данной работе мы укажем путь построения решения задачи Коши (1.1)—(1.4).

2

2

2

2

2

2

2

2. Задача рассеяния

Рассмотрим уравнение

фхх(х, k) = Q + Х(т(х) + ш)^ ф(х, к), (2,1)

где т(х) = и(х)-ихх(х), ш = const > 0, т(х)+ш > 0, с функцией и(х) , удовлетворяющей условию

сю

j (1 + |х|)(|и(х)| + 1и"(х)1)(1х< <х>. (2.2)

—с

При выполнении условия (2,2) существует решение Йоета для уравнения (2,1) со следующими асимптотиками:

фг = e—ikx + о(1), Ф2 = eikx + о(1), х ^ щ = e—ikx + о(1), щ = eikx + о(1), х ^—го.

При действительных к пары ) и (фг,ф2) являются парами линейно независимых

решений для уравнения (2,1), поэтому

щг(х, к) = а(к)фг(х, к) + Ь(к)ф2(х, к).

Функция а(к) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет там конечное число простых пулей к = гкп, кп > 0, причем Хп = — 1 (—к^ + 4), n = 1, 2,..., N, является собственным значением уравнения (2,1), так что щг(х, г кп) = Ьпф2(х, гкп), n = 1, 2,... ,N.

Набор {г (к) = ,к Е R,kn, bn, n = 1, 2,...,N} называется данными рассеяния для уравнения (2,1), Прямая задача рассеяния состоит в определении данных рассеяния по и( х)

т( х) и( х)

и( х)

3. Вывод эволюции спектральных характеристик соответствующих

непрерывному спектру

Пусть и = и(х, Ь) решения задачи (1.1)-(1.4). В этом параграфе для удобства, там где

фхх = + А(т(х) + ш)^ ф, (3.1)

дЯ

= (т(х) + ш)ф(х,к)д(х, г]), г) Е Я, (3.2)

где А = — 1 (к2 + , а д(х, г]) и /(х, г]) решения уравнения

у"XX =[\+^(т + w)j у, £ = — ЦV2 + 4

и построим следующие функции

оо

,—(1—,——Л/ д, ч)р {хл (,3)

—те

k, Г]) =g(x, Г]) к) — ^^ ^ ^(x, к) — — О F(x, к, ч)

д^ф(x, к) дg(x, г]) I ( 2 ,2\ т?( , \

=д(х, г])—------ф(х,к)--('ч — к )Р(х,к, г]).

ох ох ш

При произвольных к имеем следующую систему:

дхх — ^ 1 + \(т(х) + ш)^ = (т(х) + ш)/(х, 'Ц^(х,к, гц)(1'ц,

(3.4)

^ 0, х Е К, пе (—ж; ж).

Ох

На основании (3.2) и с помощью решений Йоета уравнения (3.1) введем обозначения:

X

F— = J (т(г) + ш)^1(г, к)д(г, г])йг, —те те

F+ = — (т(г) + ш)ф2(г, к)д(г, г])йг.

Для любого г] Е (—ж, ж) функции Р— и Р+ аналптнчны 1шк > 0, следовательно, из уравнений (1.1), (3.1) и асимптотик решений Йоета получим равенства:

^и I д 1 (х к) д (х 1"!)

F—(x,k, Я) = л ^9(x, ,ц)-^---^Vl(x, к)

{ к) $($ У]) ^ ^ ^

F+(x,k, Г]) = ^ — к2 ( 9(x, V)-у---ф2(х,к)

причем правая часть в разложении (3.6) справедлива при значениях к2 = г/2. Подобно равенству (3.5) для равенства (3.3) при 1шк > 0 положим

те

# 1 = <Ри — ^— ^ ф1х — у — 71^1 — А / f(x, (x, к, ,

—тете (3-7)

$2 = ^21 — ^— ^ Ф2х — — 11^2 — !(х, Г!^+(Х, к, Г])(1Г],

2

при действительных ненулевых значениях к функции F—(x,k, г/) , F+(x,k, г/) имеют особенности при г] = к, г/ = —к.

Подставляя разложения (3,6) в равенства (3,7), вычислим при 1шк ^ +0 функции $1 и $2. Тогда при 1шк = 0 имеют место следующие равенства:

те

$1 — ^2а — и^1х— — 1т — А/ f(х, гп)р-(х,к, ч)(гп

—те

+ Ф-( к) ¡(х, к) + Ф—(к) ¡(х, —к),

те

$2 =ф21 — ^-¿А — и^ ф2х — ~^ф2 — Ъф2 — ^ У f(х, Г])Р+(х, к, Г])(к

—те

+ Ф + ( к) Дх, к) + Ф+(к) Дх, —к),

где интеграл понимается в смысле главного значения, а функции Ф—, Ф—, Ф+ и Ф+ определяются из следующих равенств:

тшА ( д<fl(х, к) дд(х, к) \

Ф-(к) = —^{9(х,к)—х---ъх к)),

тшА{ д^1(х,к) дд(х, — к) \

2( к) = {9(х, —к)—х---^1(х, к)) ,

+ тшА( дф2(х,к) дд (х,к) Л

Ф+( к) = —^{9(х, к)—х---д^ф2(х,к)) ,

Ф+{ к)=— ^ —к) —ф2(х, к)).

Так как функции д(х, к), д(х, —к), <р1(х, к), ф2(х, к) являются решениями уравнения (3,1) функции Ф—, Ф—, Ф+ и Ф+ те зависят от х. Полагая

(3.10)

д щщ \ (х к) д (х 1"!) 1

С—(х,к, г]) = д(х, г])-^---^—щ(х, к)--(г]2 — к2) Я—(х,к, г]),

Ох Ох ш ^3 11)

п< 1 \ I лдф2(х,к) дд(х, У) , ( м 1 ( 2 ,2ЛГ{ , ч

С+(х,к, Г]) = д(х, г])-------ф2(х, к)--(п — к ) Р+(х,к, г]),

дх дх ш

согласно разложению (3,6) в верхней замкнутой полуплоскости 1т к > 0 имеем

С— = 0+ = 0, т] Е (—то, то). (3.12)

Из равенств (3.4), (3.11), (3.12) и определению функций $1(х, к), $2(х, к) при любом к Е (—то, то), получим:

$1хх 4 + А (т + ш)^ $1 = $2хх 4 + А (т + ш)^ $2 = 0. (3.13)

Равенства (3,12)-(3,13) являются упрощенным видом системы (3.3). Для любого к Е (—то, то)

¡(х, к) = а(к)ф2(х, к) + @(к)ф1(х, к), д(х, к) = гу(к)ф2(х, к) + 5(к)ф1(х, к),

с другой стороны имеют место разложения:

f(х, к) = P(к)^f2(х, к) + q(к)^fl(х, к), д(х, к) = 1(к) Щ2(х, к) + в(к) Щ1(х, к),

где

р(к) = а(к)а(к) - [(к)Ь(к), д(к) = -а(к)Ъ(-к) - [(к)а(-к),

1(к) = 7(к)а(к) - 6(к)Ъ(к), з(к) = -7(к)Ъ(-к) + 8(к)а(-к).

Следовательно, из равенств (3,10) и разложений (3,14), (3,15) получим Ф-( к) = -пшXI( к). Аналогично находим

Ф-(к) = -пш X 1( к), Ф+( к) = пшХ 6(к),

Ф- ( к) = -пшX з(-к), Ф+(к) = пшХ 7(-к).

Согласно (3,13), при действительных к = 0 функция (, к) выражается как линейная комбинация решений р\(,к), р2(, к), а для $2(, к) через решения ф\(, к), ф2(, к). Т.е. из (3,8), (3,9) и асимптотических разложений Йоета положим

(х, к) = К-(к)р\(х, к) + К-(к)р2(х, к), $2(х, к) = у + К + (к)^ Ф2(х, к) + К+(к)ф\(х, к), (3.17)

$2(х,-к) = К + (-к)ф\(х, к) + К+(-к)фф2(х, к),

где функции К-(к), К + (к), К-(к), К-(к) те зависят от х.

Теперь будем определять эти функции, для этого введя обозначения

г] + к г] - к

С~(к) = -гшх( (-

J \ г] + к г]-к )

С (к) = Хшп (р(к)1(к) + д(-к)в(-к)),

получим

Ф-(х, к) — С-(к)е-1кх + С(к)е^ при х ^-го. (3.18)

Аналогичным образом получим

Ф+(х, к) - С0(к)е-гкх + С+(к)егкх при х ^ го,

где

С+(к) = -шх} (*> - «)

, , , ld'rl, г] - к г] + к

С0(к) = -Хшп (а(-к)7(-к) + [(к)6(к)). (3.19)

Далее, введем функцию

$(х, к) = $г(х, к) - а(к)$2(х, - к) - Ь(к)$2(х, к). (3.20)

В силу равенств (3.8) и (3.9), используя разложения (3.14), (3.15), из равенства (3.16), согласно обозначению (3.6) и разложению фундаментальной системы решений мы получим следующее равенство

$(х, к) = ^- 2Хшпа(к)<^(к)^ ф\(х, к) + 2а(к)Со(-к)^ ф2(х, к). (3.21)

С другой стороны, переходя к пределу х ^ -го в (3.8), используя равенства (3.15), (3.16), асимптотические разложения решений Йоета уравнения (3.1), (3.18):

К-(к) = С-(к) - пшХ (1(к)д(к) + з(-к)р(-к)), (3.22)

К-(к) = С (к) - пшХ (1(к)д(к) + з(-к)р(-к)), (3.23)

получим

•д\{х, к) = К-(к)'.р1(х, к) + К-{к)ф2(х, к). Переходя к пределу х ^ и вводя обозначение = 2^,

К +(к) = С+(к) + -кшХ (б(к)а(к) + ч(—к)/3(—к)), К+(к) = С0(к) + -кшХ (8(к)/(к) + а(—к)^(—к)),

получим

Мх, к) = К+(к)фг(х, к)+(у + К+(к^ Мх, к).

Аналогичным образом, сделав замену к = —к в (3,11), рассмотрим функцию $2(х, — к). Далее из обозначений (3,22), (3,23) и при = 2^ получим

Мх, —к) = К-(—к)ф2(х, к) + К + (—к)ф1(х, к).

Используя (3,18) и (3,19) соответственно, имеем

К+(к) = К-(к) = 0.

Следовательно, равенства (3,17) можно переписать в виде

{)г(х,к) = К-(к)'^\(х, к),

Мх, к) = у + К + (к)^ ф2(х, к), (3.24)

Мх, — к) = К + (—к)фг(х, к).

Аналогично, используя разложения фундаментальной системы решений уравнения (3,1) из (3,20) заключаем, что

$(х, к) = а(к) (К-(к) — К+(к)) Мх, к) + Ь(к) + К-(к) — К+(к^ ф2(х, к). (3.25)

Объединяя равенства (3.21) и (3.25) путем сравнения коэффициентов при ф\(х,к) и ф2(х, к), получаем эволюционные уравнения для а(к) и Ь(к):

— 2\ъиа(к)Я(к) = а(к) (К-(к) — К+(—к)) , (3.26)

^ — 2а(к)С0(—к) = Ь(к)('-к + К-(к) — К+(к^ . (3.27)

а( к) ( к)

получим

= (— 4РГГ + ^ + Ч* - К +(к'* + К +(—к'^ (3,8)

— 2 Со (—к, Ь), 1тк = 0.

Можно показать, что функции К +(к), К- (к) по к аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость 1т к > 0, Очевидно, что при 1т к > 0 справедливы равенства

те

К+(к) = — -к / (^ — )*V,

К-(к) = —ги\[(^^ —

J \ г/ + к г] —к )

4. ЭВОЛЮЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК, СООТВЕТСТВУЮЩИХ

дискретному спектру

Введя обозначение

Gn(x) = $i(x,i кп) - bn$2(x,ikn), п = 1, 2,...,N, (4,1)

также как и в случае непрерывного спектра получим:

сю

$i(x, гкп) = Pint - ^--^ Vinx - - ЪФы - J f(x, v)F-(x, ikn, rj)dq, (4.2)

-с сю

ih(x, ikn) = Ф2nt - ^--^ ^2nx - -fi>2n - li^2n - Xn J f(x, rj)F+(x, ikn, rj)dk, (4,3)

где

Xn = X(i kn) = -1 \-k2n + 1 ) , п = 1, 2,... ,N.

(-+ 4)

X

F-(x,ikn, v)= (m(z) + u)ipin(z)g(z,rj)dz, (4,4)

-с

с

F+(x, ikn, rj) = - J (m(z) + u)i>2n(z)g(z, rj)dz. (4,5)

X

Подставляя в (4,1) разложения (4,2), (4,3), согласно равенству p1n(x) = Ьпф2п(x), с учетом формул (4,4) и (4,5) и используя лемму 3 из работы [11], получим

с

дЬп [ 1 | дЬп

Gn(x) = - Xnbn J f(x, г]) ^ [g, ф2П] dr] = ф2п. (4.6)

-с

С другой стороны, согласно равенствам (3.24) при к = iкп, равенства (4.1) можно переписать в виде:

Gn(x) = К-(ikn)ipin - bn ^X-l + к +(iкп)^ ф2П = bn^K-(iкп) - ^ - К +(iФ2п, (4.7)

где Xn = X(ikn), п = 1, 2,..., N. Следовательно, сравнивая равенства (4,6) и (4,7), получим эволюционные уравнения для Ьп:

dbn(t)_, , ,, п =1, 2,...,N. (4.8)

+ кkn,f) -к+(гkn,bn(t)

dt V1 - 4k2n

Вывод эволюций для kn. Согласно лемме 3 работы [11], легко получим

= п =1, 2,..., N. (4.9)

Таким образом, равенства (3.28), (4.8) и (4.9) можно объединить в следующую теорему:

Теорема 4.1. Если функции u(x, t), g(x,t, k), f(x,t, k) являются решениями, задачи, (1.1)-(1.4), то данные рассеяния, для, уравнения (2.1) с функцией u(x, t) меняются, по t

следующим образом.

dr(k, t) ( 4гкш 2

(-+ (4k2 + 1)\Q(k, t) - К+ (k, t) + K+(-k, t)^ r(k, t)

dt \ 4 k2 + ^ 4 '2 - 2 Co(-k, t), Imk = 0

dbn(t) _( 4^kn +к-(гкп, t)-K+(ikn, t)) bn(t),

dt V 1 - 4k2 d kn(t)

К +(ikn, t)^

n = 1, 2,...,N,

где

К +(k, , = ( k2 + \)f (^--M - ^^

—oo

- (k2 + (a(k, f)6(k, k, t)P(-k, t)),

J k2 i ^ / (P^, ^, f) ^, t))^ V У J V V + k V-k J

—<x

+ (k2 + 1 ) к (l(k, t)q(k, t) + s(-k, t)p(-k, t))

4/

р(к, г) = а(к, г)а(к, г) - 3(к, Щк, г), д(к, г) = -а(к, Щ-к, г) +/3(к, г)а(-к, г),

1(к, г) = к, г)а(к, г) - 8(к, Щк, г), к, г) = -7(к, Щ-к, г) + 5(к, г)а(-к, г),

Я(к, г) = р(к, г)ч(к, г) + а(-к, г)5(-к, г),

с0(-к, г) = (к2 + (а(к, гу/(к, г) + р(-к, Щ-к, г)).

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (1.1)—(1.4).

Отметим также работу [11], где рассмотрена задача интегрирования уравнения Камассы-Холма с самосогласованным источником в случае движущихся собственных значений. В случае уравнения вт-Гордон и цепочки 'Годы такие задачи рассматривались в работах [12], [13].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. C.S. Gardner, I.M. Green, M.I). Kruskal, R.M. Miura. Method for solving the Korteweg-de Vries equation 11 Phvs. Rev. Lett. 19:19, 1095-1097 (1967).

2. P.D. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math. 21:5, 467-490 (1968).

3. V.K. Melnikov. Integration of the Korteweg-de Vries equation with a source // Inverse Probl. 6:2, 233-246 (1990).

4. V.K. Melnikov Integration of the nonlinear Schrodinger equation with a source // Inverse Probl. 8:1, 133-147 (1992).

5. J. Leon, A. Latifi. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J. Phvs. A: Math. Gen. 23:8, 1385-1403 (1990).

6. R. Camassa, D. Holm. An integrable shallow water equation with peaked soliton// Phvs. Rev. Lett. 71:11, 1661-1664 (1993).

7. R. Camassa, D. Holm, J. Hvman. A new integrable shallow water equation // Adv. Appl. Mech. 31, 1-33 (1994).

8. A. Constantin. Existence of permanent and breaking waves for a shallow water equations: a geometric approach // Ann. Inst. Fourier. 50:2, 321-362 (2000).

9. A. Constantin, V.S. Gerdjikov, R.I. Ivanov. Inverse scattering transform for the Camassa-Holm equation 11 Inverse Probl. 22:6, 2197-2207 (2006).

10. Huang Ye-Hui, Yao Yu-Qin, Zeng Yun-Bo. On Camassa-Holm equation with self-consistent sources and its solutions // Comm. Theor. Phvs. 53:3, 403-412 (2010).

11. Г.У. Уразбоев, И.И. Балтаева. Об уравнении Камасса-Холма с самосогласованным источником II Уфимск. матем. журн. 3:2, 10-19 (2011).

12. А.В. Khasanov, G.U. Urazboev. Integration of the sine-Gordon equation with a self-consistent source of the integral type in the case of multiple eigenvalues // Russian Math. 53:3, 45-55 (2009).

13. A. Cabada G. Urazboev. Integration Toda lattice with an integral-type source // Inverse Probl. 26:8, 85004-85015 (2010).

Гайрат Уразалиевич Уразбоев, Ургенчский государственный университет, ул. X. Алимжана, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]

Ирода Иемаиловна Балтаева, Ургенчский государственный университет, ул. X. Алимжана, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]