О конечно плотном решении высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 4 (2009). С. 133-143.

УДК 517.946

О КОНЕЧНО ПЛОТНОМ РЕШЕНИИ ВЫСШЕГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ

А.Б. ХАСАНОВ, А.А. РЕЙИМБЕРГАНОВ

Аннотация. В данной работе найдено конечно плотное решение высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником с помощью метода обратной задачи рассеяния для оператора типа Дирака.

Ключевые слова: линейный оператор, обратная задача рассеяния, данные рассеяния, собственное значение, собственная функция.

1. Введение

Открытие замечательных свойств уравнения Кортевега-де Фриза [1] вызвало интенсивный поиск других нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. В настоящее время существует несколько путей, приводящих к такого рода уравнениям. Так или иначе все они связаны с нахождением пары линейных операторов, удовлетворяющих некоторому операторному соотношению, часто понимаемому как условие совместности двух линейных уравнений [2]. При этом возникает следующая задача: дан линейный оператор Ь и требуется найти линейный оператор Б такой, что условие совместности линейных уравнений Ьу = £у и уг = Бу порождает операторное уравнение

Пусть L(t) = i где

dL dS iT n

ж- dX + |L,S ] = °

Dx

u(x,t) -Dx

—u* (x, t)

и

S=

51 S*

52 —Si

m j-i ( / 1 \ fc+i

Si(x,t,0 = 2iC — 2£ D-X I (a) u*D^uSlj-k-i) }C-j—

m j-i ( / 1 \ fc+i 'I

2T, D-T ( — » ) uDk(u*Qj-k-i) 5m-j,

j=i k=0 \

m j-i

S2(x, t, 0 = —^ - Dk (uSj-k-i )C‘~j,

j=i k=0 ' '

Dx = dX, DxD-1 = D-iDx = 1.

Здесь Sj (x,t) определяется из следующих реккурентных соотношений:

A.B. Khasanov, A.A. Reyimberganoy, About the finite density solution of the higher

NONLINEAR SCHRÖDINGER EQUATION WITH SELF-CONSISTENT SOURCE.

© Хасанов А.Б., РЕЙимвЕРГАнов А.А. 2009 .

Поступила 17 октября 2009 г.

Q0(x, t) = 2i,

j-1 ( , 1 Ч fc+1 / 1 ч fc+1

Qj(x,t) = -2D-^^ < J u*Dk(u^j-fc-i) + y—uDX(u*^j-fc-i)

J ; J ^-%-k-i) + ( -^ ) uDk(«*Qj-

fc=0 к

j = 1, 2, ..., m.

Тогда условие (1) примет вид

m / 1 N fc+i

iut — 4^ ] \ 2/ Dk (uQm-fc) = 0.

/->—n \ /

Это уравнение называется высшим нелинейным уравнением Шредингера (ВНУШ). В частности, при m = 2 получаем классическое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а в случае m = 3, 4, 5, ... имеем, соотвественно,

2 1 Ut + 3|u| u — — uæææ = 0,

i 3 |2 I ol I 3 |4 1 * I 1 * 2 1 n

iut + 2 lULU® + 2|u|uxx — 2 |u| U — 2Uxuxu + 2UææU — 4uxæææ = 0,

ut + 4 |u|ææux + ^ |u|æuææ + 2 |u| ^ |u| U® 4 |ULU ^UæUæ + 2 |u|uuæ gUx

и т.д.

В работе [3] В. Захаров и А. Шабат показали, что НУШ

0

ш4 ± 2|и|2и + ихх = 0,

встречающееся при изучении оптической самофокусировки и расщеплении оптических пучков, также включается в формализм метода обратной задачи. Используя приём, предложенный П. Лаксом, они смогли решить НУШ для заданных начальных функций и (ж, 0), достаточно быстро убывающих при |ж| ^ то. Оказывается, в случае знака плюс перед вторым членом НУШ имеет солитонообразные решения. В работе [4] В.К. Мельников получил эволюции данных рассеяния по £ самосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением НУШ с самосогласованным источником интегрального типа, и в работе [5] интегрировал НУШ с источником, состоящим из комбинации собственных функций оператора Дирака. В работе [6] В.Е. Захарова и А.Б. Шабата НУШ было проинтегрировано в классе “конечно плотных” функций, т.е., функций, для которых и(ж,£) ^ ег«±-2»*, их(ж,£) ^ 0 при ж ^ ±то, а М-солитонное решение НУШ в случае конечной плотности было найдено в работе Уап-СЬс,№ Ма [7].

Следует заметить, что ВНУШ ранее изучено в работе [8]. В [9, 10] интегрировано высшее уравнение Кортевега-де Фриза с источником, а в [11] — высшее модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза с источником интегрального типа.

В настоящей работе с помощью метода обратной задачи рассеяния найдено конечно плотное решение ВНУШ с самосогласованным источником.

2. Постановка задачи Рассмотрим ВНУШ с самосогласованным источником

£Ф„

при начальном условии

m , , N

- 4 Е (А) Dk(uftm-k) = 2 Е (ФП - Ф2п)

fc=Q

n=I

Ста Фп

П

1, 2, ..., N

и(х,0) = и0(х), х € Д, (3)

где Фп = (Ф1п, Ф2п)Т — собственная вектор-функция оператора ¿(¿), соответствующая собственному значению £п, п =1, 2,..., N.

В рассматриваемой задаче начальная функция и0(х) (—то < х < то) обладает следующими свойствами:

0 со

1. / (1 — х)|и0(х) — рега|^х+/ (1 + х)|и0(х) — регв|^х < то, р > 0.

— О 0

2. Оператор ¿(0) имеет ровно N собственных значений £1(0),£2(0), ...,£м(0) лежащих на интервале (—р, р).

Пусть функция и(х, ¿) достаточно гладкая и достаточно быстро стремится к своим переделам при х ^ ±то, так что

(1 — x) |u(x, t) — pe

га—2Q2°i

dx + / (1 + x)|u(x,t) — pe

i0-2Q“i

dx+

Здесь = lim ftm.

|x | —

В частности, ft°° = 2i,

Предполагается, что

+ E

fc=i

öufc (x, t)

öxfc

dx < то, p > 0.

ft°° = 0, = ip2, ft°° = 0,

3ip4

и т.д.

$In$2ndx = An(t)e

2Q“i

n = 1, 2,..., N,

(5)

где Ага(і) — изначально заданные непрерывные функции от ¿.

Основная цель данной работы — получить представления для решений и(ж,і),

Фп(х, ¿),п = 1, 2,...,Ж задачи (2)-(5) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора ¿(¿).

3. Необходимые сведения из теории рассеяния Рассмотрим систему уравнений

6)

г>1х + г£г>1 = м*(х,^)^2 ^2х — *С^2 = м(х,^)^1

с потенциалом м(х,£), удовлетворяющим условию (4). В этом разделе будут приведены хорошо известные, необходимые для дальнейшего сведения касающиеся теории прямой и обратной задачи рассеяния для системы уравнений (6) на всей оси (см. [12]).

Q

4

При выполнении условия (4) существуют решения Йоста системы уравнений (6) со следующими асимптотиками

где

ф

1

—грж

р

і(С - р ) „— р

га+2П“і

і(С - р) _

1

1

р

0грж

эгрж

ф ~ І і(С р) егв—2П“і | Є

—грж

> при X —— —ТО,

> при X — ТО,

Р(С) = — р2. (8)

При действительных С (С2 > р2) ветвь квадратного корня фиксируется условием згдпр(С) = згдпС. Риманова поверхность Г функции р(С) состоит из двух экземпляров Г+ и Г— комплексной плоскости С1 с разрезами по вещественной оси от —то до —р и от р до то с отождествленными надлежащим образом берегами разрезов. Функция р(С) вводится на Г формулой (8), где ±1тр > 0 на листах Г±. В дальнейшем для удобства мы часто будем опускать зависимость функции р(С) от £. Таким образом, в формулах, где участвует р(С) и С, всегда подразумевается, что р является функцией от £.

При действительных р и С пары вектор-функций {(, (} и {ф, ф} образуют фундаментальную систему решений уравнения (6), поэтому

Заметим, что

а(£,С)

р2

2Р(С — Р)

(9)

;ю)

ь(і,С) = — 2р(С — Р)Ж{(,ф} и |а(і,С)|2 — |ь(і,С)|2 =1.

Обозначим вронскиан двух функций и и V через Ж{и,^} = м1^2 — м2^1. Из формул (10) следует, что а(і, С) аналитична на листе Г+, исключая точки ветвления С = ±р. Нули Сп функции а(і,С) на Г+ лежат в интервале (—р,р), являются простыми и их число N конечное. Они составляют дискретный спектр оператора ¿(¿).

Из (10) при С = С™ следует, что

((х,г,Сп) = сп(г)ф(х,г,Сп), п =1,2,..., N.

Для функции ф(х, ¿,С) справедливо следующее интегральное представление

1

г($—Р) е—гв+2П“і \ [■ / _г(|—р) е—гв+2П“і

ф(ж,і,С)= ( Р Є егрж + / К(ж,М)- Р Є )вгр^, (11)

где К(х Ч Л= Г Кп(х,5,^) К12(х,МЛ

( , , ) V К21(х,Ч,г) К22(х, 5, *) у .

^21(x,s,t) К 22 (

В представлении (11) компоненты матрицы К(х, у, ¿) не зависят от £ и имеет место равенство

2К21(х, х, ¿) = ргв—2П”‘ — и(х, ¿).

Компоненты ядра К(х,у, ¿) при у > х являются решениями системы интегральных уравнений

К(х,у, ¿) + Р(х + у, ¿)+ / К(х,5,*)Р(з + у,*)&5 = 0,

где

Р(х ¿) = ^ Р1 (х,^) ^2*(х,^) \ Р (х,{) ^ Р(х,*) р\(х,*) у)

р1(х,г) = ре—,в+2П" ‘ О МЦ е‘ *(1 V Ре—‘в+2П"‘ е‘ К 4—О

4пг У а(*,г) 2“^ а (¿,2-) г-

— О

СЮ

Р2(х,*) = -^ О ^ ^ ^ + - V —\ег— О

4п У а(*,г) 2*^-]''а(*, г-)

г- = & + ур2 — £2 да(*, г) дг

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

и <а(*, г„)

Лемма 1. Пусть вектор-функции <^, ^га, п = 1, 2, ...,N являются решениями уравнений

= £<£, = £„0„, п = 1, 2,..., N,

соответственно, тогда справедливы равенства

&

(^1ф2га — ^2ф1га) + *(С — £га)(^1ф2га + ^2 ф1га) = °

&

(^1ф1™ — ^2ф2га) — *(С* — £га)(^1ф1га + ^2ф2га) = 0.

Отметим, что вектор-функции

Мх,*) = ^^ ^ , п =1, 2,..., N (12)

а(*, Что.)

являются решениями уравнений ¿Л,га = £гаЛ.га. Согласно равенству (10) получим следующие асимптотики

/ *($—Р) е—г«+2П“‘ \ ,

ф ~ а(*,£) ( — р ) егрх при х ^ —то,

V ~ a(t,0 j(g-p) егв-2П“^ е грх при x ^ ТО, которые справедливы при Imp > 0. Из этих оценок и равенства (12) следует, что

/ г(£п —Рп) е—ia+2Q^i \

hn ~ — Cn(t) ( - р j егРпХ при x ^ — то,

hn ~ ^ !(gn— Pn)егв—2П“t ^ е—гРпХ пРи x ^ ТО где pn = i\Jр2 — . В частности,

тт/ Г г, 1 2pra(l6ra pn) 1 о Л7

W {^га, hn} =----------2-Cn, П = 1 2,...,N.

р2

Набор величин { a(t,£), b(t,£), (t), Ck (t), k = 1, 2,...,N } называется данными рас-

сеяния для системы уравнений (6).

4. Эволюция данных рассеяния Пусть потенциал u(x,t) в системе уравнений (6) является решением уравнения

m / 1 \ fc+1

iut — 4^ ( 2i ) D(u^m—fc) = G(x,t), (13)

fc=0 ' '

где функция G(x, t) достаточно гладкая и достаточно быстро стремится к нулю при x ^ ±то.

Лемма 2. Если потенциал u(x,t) является решением уравнения (13), то данные рассеяния системы уравнений (6) с потенциалом u(x,t) зависят от t следующим образом:

СО

= — 2pi—о/ r RVdx'

—О

СО/СО

bt = 2P(iip—P)a/vrRvdx — (+

—О —О

+4П°° — 2S|°i(^ + Р) e—га+2П”* — 2£1°Л b,

P /

СО

/ vnRVndx

dSn —o

dt

СО

2 ^n1^n2dx

CO

dCn + (4ПО — 2S2c°ni(^ra + Pn) e—га+2П”* — 2S1°°JCn = ip2--- I h^Rvndx

n±Li^nUj'A-'}

П(Цп pn)

— CO

n = 1, 2,..., N,

где

Д = ^£ оС ) , = (^2,^1), Ьт = (^2,^1),

— (иНИш 5-(х,*,£), — = -(и»), ^ = 1, 2.

^ |*|^О

Доказательство. Легко проверить, что в классе достаточно гладких функций, являющихся решением уравнения Ьь = £и, выполняется функциональное равенство

[Ь, 5] =

''о 4 Е (—2г )к+1 В (и*пт—к )Х

к=0

т , л

—4Е () ск(иПт—к) о

V к=0 /

:14)

По определению оператора Ь(і) и из равенства (14) следует, что уравнение (13) тождественно операторному соотношению

и + [£,£] = Д. (15)

Пусть ((х,і, С) — решение Йоста уравнения

= С(.

Дифференцируя это равенство по ¿, получим

= С(*. (16)

Поставляя и из (15) в (16), имеем

(и — С)(( — 5() = —Д(. (17)

Будем искать решение (17) в виде

( — = 7і (ж,і)ф + 72(ж,і)(. (18)

Для определения 71 (х,і) и 72(ж,і) получим уравнение

а7іжф + ^72ж( = ¿Д(, (19)

матрица

фт = (ф2,ф1), находим

где а = ( о 0 1 ) — матрица Паули. Умножая обе части (19) на (т = ((2 ,(1) и

*Р2 Т Д

71* = ----Г"Ч>

2—(7 — —)а 72* = — 2-77^—Г ^Т Д^.

2—(7 — —)а

На основании (4), (14) и асимптотики (7) при х ^ —то выводим

С,„ , /ООО со *(С +—) ,,—га+2П“‘ 0°^ I 1 \ „—гр*

^‘ — ^ — (2^° — ¿2 р-е + т— ¿О ^ г(;—р) ега—2П“^ е •

Поэтому из (18) следует, что

71 (х, ¿) ^ 0, 72(х,*) ^ — 2П°° + 5°г(7 + —) е—га+2П”‘ + 5° при х ^ —то.

Р

Решая (20), имеем

(20)

71 (М) =

гр

2 х

2Р(С — Р)а—оо

72 (ж, і) = — 0^, 1р ^ / фт— 2П° + 5°г(С + р) е-га+2П”* + 5°.

2Р(С — Р)а—'

Таким образом, (18) может быть переписано в виде

р

гр2

2Р(С — Р)а

(т Я(^жф+

+

гр2

фт — 2П° + 5°

г(С + р) _

га+2П^* і ссо

2р(с — Р)а^ р

-

Используя (9) и переходя в (21) к пределу X — то, находим, что

(21)

а*

гр2

2Р(С — Р)

фт ^ж,

гр2

2Р(С — Р)а

(т —

гр2

2Р(С — Р)а

фт +

+4П° — 25°г(С + Р) е-га+2П”* — 25°^ Ь.

р

Дифференцируя равенство = Сгафга по і, имеем

д(

Ж

?=?г

д( + “^7 дС

^Сга _____ ^Сга ф | с дф

~Ж = ~^Тфга + п Ж

?=?г

?=?п

^Сга

Подставляя вместо ^ (( — Сгаф)|^=^ его выражение через Л;(ж), из (12) находим

<ІС„ дф„ ^С™

ж = “¿гф- + С"^— а(<,С”)Л-^ •

где

д(га ___ ду

"дГ = ж д(

(22)

Также, как и в случае непрерывного спектра, выводим равенство

ді

?=?п — = —

-------- I ------------------

гр2 Х

2р (С _ Р )С I (ПД(^хЛп —

2р;(С; рп)Сп—оо

гр2 Х ^то. ^ , оооо ООО г(С™ + Р™)

2 (С _ )С / + 2^° — 52°П^^ ' ^е га+2^™*— ) (га.

2рга(?га рга)Сга—оо р

Согласно (22) последнее равенство можем написать в виде

гр2

^Сга і , ^ дфи . ^ ^ ^ ^Сга гу о I _____________________

1Гфп + С”-аГ — "5" — С“йф“ = — 2рп(С™ — р„)с„

(Я(га^жЛга—

----- I----------------

гр I л;Д(„йж + 2П° — Й2“ ПС" 1 Р"

г(Си + рга^—га+2П“* соо |

р е °1,га | (п.

2рга(Сга рга)Сга

Используя равенство = С;фп и переходя в (23) к пределу ж — то, получим

ж

ж

Ь

*

ж

ж

оо

2

^ + (4П° — 2й2~„ г(С; + Р;) е—•а+2П"< — 2йй)С„ = „ -?р_ Р, /

^ р 2р;(С; р;) о

— сю

гр2 /то.

^ 2р„(С; — Р;)а(і, Си) С,

На основании равенства

;(С; Рп)а(^ С;)С; J

—

оо

гр2 °

а(і,С;) = Р (С _ Р )С (1га(2;^ж

р;(С; рп)С; и

—оо

уравнение для С; напишем в следующем виде

ОО

оо

^СП — оо

^і °°

2 / (1„(2;^ж

Лемма 2 доказана. Пусть

N

с(ж,і) = 2^](ф*П — ф2„).

;=1

Применяя лемму 1,2 и асимптотики для (, ф и Л;, получим

ОО ОО

[ (с*(2 + С(2)^ж =0, [ (^*(2и + С(1„)^ж = °

—

оо

"У*

(С*ф2„(2; + Сф1„(1„)^Ж = 0,

ОО

(С*Л2„ф2„ + СЛщфщ)^ = — 4Р;(С;2 Р;) (А„(і)в2П“* — А;(і)е—2П“*). р2

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Если функции м(ж,і), Ф;, п = 1, 2,...N являются решением задачи (2)-(5), то данные рассеяния оператора Ь(і) с потенциалом м(ж,і) меняются по і следующим образом:

а(і,С) = а(0,С),

Ь(і,С) = Ь(0,С) єхр ^ \ — 4П° + 25°і(С + Р) е—га+2П”т + 25° при /шр = 0,

С;(і) = С;(0),

Cra(i) = cn(0) exp ^ |- + 2S~i(Cn + Pn) e-ia+2n”r + 2S~ +

0

+2гА„(г)e2Q”T - 2іАП(т)e-2Q”T}dr, n =1, 2, ...N.

5. Пример Рассмотрим систему уравнений (2) при m =3

N

iut + 3i|u|2u - ^И——— = 2 ^ (ФіП - Ф^),

n=1

L$n = Cn^n, n = 1, 2,..., N с начальным условием

, , г 1 + ie-2x

u(x, 0) = V2 —--------2—.

v 1 + e-2—

В этом случае, решая прямую задачу для оператора L(0), находим

<>(0,0 = C + p - 1-І, N =1, 6(0,Є) = 0, Ci(0) = 1, Ci(0) = ^.

Из вышеприведённой теоремы следует, что

a(t,C ) = 1+^—, 6(t,C ) = 0, Cl(t) = 1,

с + p - 1 + г

t

C1(t) = - exp(8t + 2i J (А1(т) - A1(t))dr).

0

Применяя процедуру обратной задачи теории рассеяния для оператора L(t), получим

u(x t) = ^/9 • 1 + гexP(-2x + 8t + 2g(t))

, 1 + exp(-2x + 8t + 2g(t)) ,

t

где g(t) = if (A1 (r) - A(t)) dr. С помощью представления (11) и нормировки (5) находим

0

-Ш \ ^У2(г - 1)Ai(t)

Фі = ^2

1 у 2ch(-x + 4t + g(t))

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. KrusKal, R.M. Miura Method for solving the KdV equation. // Phys. Rev. Lett. 19, № 19. 1967. P. 1095-1097.

2. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C Newell, H. Segur Nonlinearevolution equations of physical significance// Phys. Rev. Lett. 31, № 2. 1973. P. 125-127.

3. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. // ЖЭТФ. Москва. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134.

4. V.K. Melnikov Integration of the nonlinear Schrödinger equation with a source// Inverse Probl. 1992. V.8. P. 133-147.

5. V.K. Melnikov. Integration of the Nonlinear Schroedinger Equation with a Self-Consistent Source// Commun. Math. Phys. 1991. V. 137. P. 359-381.

6. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ. 1973. Т. 64, № 5. С. 1627-1639.

7. Yan-Chow Ma. The perturbed plane-wave solutions of the Cubic Schrodinger Equation // Studies in Applied Mathematics. 1979. № 60. P. 43-58.

8. Anjan Kundu. Integrable hierarchy of higher nonlinear Schrodinger type equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006. V. 2. nlin.si/051201v2, paper078.

9. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал. Ташкент. 2003. № 2. С. 53-59.

10. A.B. Khasanov, G.U. Urazboev Solution of general KdV equation in the class step functions // Journal of Mathematical Sciences. Springer. 2006. V. 136, № 1. P. 3625-3640.

11. Shuo Ye, Yunbo Zeng. Integration of the mKdV hierarchy with integral type of source // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2002. V. 1, nlin.si/0205024v1.

12. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., Наука. 1986.

Акназар Бектурдиевич Хасанов,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]

Анвар Акназарович Рейимберганов,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]