О КОНЕЧНО ПЛОТНОМ РЕШЕНИИ ВЫСШЕГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 4 (2009). С. 133-143.

УДК 517.946

О КОНЕЧНО ПЛОТНОМ РЕШЕНИИ ВЫСШЕГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ

А.Б. ХАСАНОВ, А.А. РЕЙИМБЕРГАНОВ

Аннотация. В данной работе найдено конечно плотное решение высшего нелинейного уравнения Шредингера с самосогласованным источником с помощью метода обратной задачи рассеяния для оператора типа Дирака.

Ключевые слова: линейный оператор, обратная задача рассеяния, данные рассеяния, собственное значение, собственная функция.

1. Введение

Открытие замечательных свойств уравнения Кортевега-де Фриза [1] вызвало интенсивный поиск других нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. В настоящее время существует несколько путей, приводящих к такого рода уравнениям. Так или иначе все они связаны с нахождением пары линейных операторов, удовлетворяющих некоторому операторному соотношению, часто понимаемому как условие совместности двух линейных уравнений [2]. При этом возникает следующая задача: дан линейный оператор Ь и требуется найти линейный оператор Б такой, что условие совместности линейных уравнений Ьу = £у и уг = Бу порождает операторное уравнение

I - §Х + 1Ь"Б = °. «

Ах -и*(х,г) \ тж с_ ( Б\ Б*

2

Пусть L(t) = г f ,, п и S = с с

w V u(x,t) -Dx ) \ S2 -Si

где

m j-1 ( / i x k+1

Si(x,t,0 = 2г£га - 2^ D-1^ \ [-) u*Df (uQ-k-1) \^m-j -j=1 k=0

2i

j-1 f / i ^ k+1

-2E D-T I [-2г) uDk(u*Qj-k-1)jem-j

m j-1 / i \ k+1

S2(x,t,o = -2EE (2г) Dk(uOj-k-1 )em-j

2i

d_ dx

Здесь Qj (x,t) определяется из следующих реккурентных соотношений:

Dx = dx, DxD-1 = D-1Dx = 1.

A.B. Khasanov, A.A. Reyimberganoy, About the finite density solution of the higher nonlinear Schrodinger equation with self-consistent source. © Хасанов А.Б., РЕЙимвЕРГАнов А.А. 2009 . Поступила 17 октября 2009 г.

Q0(x, t) = 2i,

f / 1 \ k+1 / 1 \ k+1 Qj(x,t) = j ^-J u*Dkx(uQj-k-i) + --J uDkx(u*Qj-x-i)

J [ 2J ^'%-x-i) + ( -^ ) uDX(u*Qj-x=o к

j = 1, 2, ..., m.

Тогда условие (1) примет вид

m ( 1 \x+i

iut - Dk(uQm-x) = 0.

/1—n V /

Это уравнение называется высшим нелинейным уравнением Шредингера (ВНУШ). В частности, при m =2 получаем классическое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а в случае m = 3, 4, 5, ... имеем, соотвественно,

2 1

ut + 3|u| u — — uxxx = 0,

I 3 |2 1 01 I 3 |4 1 * I 1 * 2 1 П

iut + 2 |u|xux + 2|u|uxx - 2 |u| u - 2uxuxu + ^uxxu - 4uxxxx = 0,

3 I i2 7 i2 1 i i 9 |4 3 I |4 1 * 2 3 I i 2 * 1

ut + 4|u|xxux + 4|u|xuxx + 2|u| - 4|u| ux- 4|u|xu - 4uxux + 2|u|u ux- 8u*

и т.д.

В работе [3] В. Захаров и А. Шабат показали, что НУШ

0

± 21и|2и + ихх = 0,

встречающееся при изучении оптической самофокусировки и расщеплении оптических пучков, также включается в формализм метода обратной задачи. Используя приём, предложенный П. Лаксом, они смогли решить НУШ для заданных начальных функций и (ж, 0), достаточно быстро убывающих при |ж| ^ то. Оказывается, в случае знака плюс перед вторым членом НУШ имеет солитонообразные решения. В работе [4] В.К. Мельников получил эволюции данных рассеяния по £ самосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением НУШ с самосогласованным источником интегрального типа, и в работе [5] интегрировал НУШ с источником, состоящим из комбинации собственных функций оператора Дирака. В работе [6] В.Е. Захарова и А.Б. Шабата НУШ было проинтегрировано в классе "конечно плотных" функций, т.е., функций, для которых и(ж,£) ^ ег«±-2^, их(ж,£) ^ 0 при ж ^ а М-солитонное решение НУШ в случае конечной плотности было найдено в работе Уап-СЬс№ Ма [7].

Следует заметить, что ВНУШ ранее изучено в работе [8]. В [9, 10] интегрировано высшее уравнение Кортевега-де Фриза с источником, а в [11] — высшее модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза с источником интегрального типа.

В настоящей работе с помощью метода обратной задачи рассеяния найдено конечно плотное решение ВНУШ с самосогласованным источником.

2. Постановка задачи Рассмотрим ВНУШ с самосогласованным источником

при начальном условии

m , N

—4 m () Dk (u^m-fc) = 2 E « -

fc=Q

n=1

n

1, 2,..., N

и (ж, 0) = и0(ж), ж € Д, (3)

где Фп = (Ф1п, Ф2п)Т — собственная вектор-функция оператора ¿(£), соответствующая собственному значению п =1, 2,..., N.

В рассматриваемой задаче начальная функция и0(ж) (-то <ж< то) обладает следующими свойствами:

0 оо

1. / (1 — ж)|и0(ж) — рега|^ж+/ (1 + ж)|и0(ж) — регв< то, р > 0.

-о 0

2. Оператор ¿(0) имеет ровно N собственных значений £1(0),£2(0), (0) лежащих на интервале (—р, р).

Пусть функция и(ж,£) достаточно гладкая и достаточно быстро стремится к своим переделам при ж ^ ±то, так что

(1 — ж) |м(ж, t) — pe

га-2Q2°i

dx + / (1 + x)|u(x,t) — pe

dx+

Здесь П^ = lim Пт.

В частности, П^ = 2i, Предполагается, что

+ Е

k=l

öuk (ж, t)

dx < то, p > 0.

= 0, = ip2, = 0,

3ip4

и т.д.

$in$2ndx = An(t)e

2Q~i

n = 1, 2,..., N,

(5)

где ап(£) — изначально заданные непрерывные функции от

Основная цель данной работы — получить представления для решений и(ж,£), Фп(ж,£),п = 1, 2,...,N задачи (2)-(5) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора ¿(£).

3. Необходимые сведения из теории рассеяния Рассмотрим систему уравнений

6)

г>1х + г£г>1 = и*(ж,£)^2 ^2х — = и(ж, ¿)г>1

с потенциалом и(ж,£), удовлетворяющим условию (4). В этом разделе будут приведены хорошо известные, необходимые для дальнейшего сведения касающиеся теории прямой и обратной задачи рассеяния для системы уравнений (6) на всей оси (см. [12]).

Q

4

При выполнении условия (4) существуют решения Йоста системы уравнений (6) со следующими асимптотиками

где

Ч>

Ф

1

^ ~ | ¿(£ - р) „га-2П»4 | е

—грх

Р

¿(£ - Р) „Р

¿(£ - Р) _

1 1

Р

Згрх

эгрх

ф - 1 ¿(£ - р) егв-2П~* | е

—грх

> при X —> —ТО,

> при X — ТО,

р(£) = л/ё2-Р2. (8)

При действительных £ (£2 > р2) ветвь квадратного корня фиксируется условием згдпр(£) = вгдп £. Риманова поверхность Г функции р(£) состоит из двух экземпляров Г+ и Г— комплексной плоскости С1 с разрезами по вещественной оси от -то до -р и от р до то с отождествленными надлежащим образом берегами разрезов. Функция р(£) вводится на Г формулой (8), где ±Тшр > 0 на листах Г±. В дальнейшем для удобства мы часто будем опускать зависимость функции р(£) от £. Таким образом, в формулах, где участвует р(£) и £, всегда подразумевается, что р является функцией от £.

При действительных р и £ пары вектор-функций (//} и {ф, ф} образуют фундаментальную систему решений уравнения (6), поэтому

р(х, £) = а(*, £ )ф(х, £) + 6(*, £)ф(х, £).

Заметим, что

а(*,£)

Р2

2р(£ - р)

Ж{ <^,ф},

(9)

10)

6(*,£) = -2р(£Р-р)Ж{ и |а(*,£)|2 -|6(*,£)|2 = 1.

Обозначим вронскиан двух функций и и у через Ж {и, у} = и1у2 - и2у1. Из формул (10) следует, что а(£,£) аналитична на листе Г+, исключая точки ветвления £ = ±р. Нули £п функции а(£, £) на Г+ лежат в интервале (-р,р), являются простыми и их число N конечное. Они составляют дискретный спектр оператора Ь(£). Из (10) при £ = £п следует, что

р(х,*,£п) = СП(*)ф(х,*,£п), п = 1, 2,..., N. Для функции ф(х, ¿, £) справедливо следующее интегральное представление

1

/ г(;—р)е—гв+2П~4 \ [■ / _гй—р)е—гв+2П~4 \

ф(х,*,£) = р е егрх + / К(х,М)- р е егр^, (11)

где А(т Ч £)= Г Кп(ж,5,£) А12(ж,МЛ

где А К21(ж,ч,£) А^М) У .

В представлении (11) компоненты матрицы А (ж, у, £) не зависят от £ и имеет место равенство

2А21(ж,ж,£) = р*в-2П~* — и(ж,£).

Компоненты ядра А(ж,у,£) при у > ж являются решениями системы интегральных уравнений

А (ж, у, £) + ^ (ж + у,£) + / А (ж, ч, (ч + у, = 0,

где

* (ж,£)=^ ^(ж,£) Л(ж,*) у)

= ре-!^ о0 е-) * — 1V ре:^е*(«- С

-о

оо

^ = О + ^Р2 —

да(£, г) дг

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

и а(£,

Лемма 1. Пусть вектор-функции фп, п = 1, 2,...,N являются решениями уравнений

= = п = 1, 2,..., N,

соответственно, тогда справедливы равенства

&

^ж — ^2^1«) + г(£ — + ^2 Фы) = 0,

&

— ^2^2«) — ¿(£* — + ^2^2«) = 0.

Отметим, что вектор-функции

Мж,*) = --■,,, , ^ , п =1, 2,..., N (12)

являются решениями уравнений = £гаЛ.га. Согласно равенству (10) получим следующие асимптотики

ф ~ а(£,£) ( — р ) е4рх при ж ^—то,

V ~ a(t,£) l(g-p) егв-2П»^ e lPX ПРИ x ^ TO которые справедливы при Imp > 0. Из этих оценок и равенства (12) следует, что

/ i(gn-Pn) e-ia+2Q~i \ ,

hn--Cn(t) ( - р j eiPnX при x ^ -то,

hn ~ ^ !(gn-Pn) егв-2П»t ^ e-ipnx ПРИ x ^ TO

где pn = i\Jр2 — . В частности,

W{Vn,U = — 2Pn(gn~ Pn) Cn, n =1, 2,..., N. р2

Набор величин { a(t,£), b(t,£), (t), Ck (t), k = 1, 2,...,N } называется данными рассеяния для системы уравнений (6).

4. ЭВОЛЮЦИЯ ДАННЫХ РАССЕЯНИЯ Пусть потенциал u(x,t) в системе уравнений (6) является решением уравнения

m , 1 ч fc+1

" / 1 \ k+1

iut — ^(^J Dk (ufim-k ) = G(x,t), (13)

1— n V /

й=0

где функция С(х,£) достаточно гладкая и достаточно быстро стремится к нулю при X ^ ±то.

Лемма 2. Если потенциал м(х,£) является решением уравнения (13), то данные рассеяния системы уравнений (6) с потенциалом м(х,£) зависят от £ следующим образом:

оо

= -

— о

оо / оо

¿р2 Г I ¿р2 Г

Ь< = - I ^^+

— о \ —о

+4П° - 2£°° + р) е-га+2П^ - Ь, Р /

оо

f vnRVndx

-о dt = "

оо

2 J VniVn2dx

оо

dCn + (4П° — 2S°ni(gn + Pn) e-ia+2n^ — 2STn)Cn = -г I h^Vndx

dt v m 2,n р n 2pn(£n — Pn)

'n(4n pn)

— oo

n = 1, 2,..., N,

г^е

/ о G* \

R = ( ^ о )' = hT = (h2,hi),

= lim Sj(X't'O' j = j = 1, 2.

Доказательство. Легко проверить, что в классе достаточно гладких функций, являющихся решением уравнения Lv = £v, выполняется функциональное равенство

[L' S] = LS - SL

' 0 4Е (-2i)fc+1 Dk(u*Om-k) X

fc=0

m , ,

-4Е (2i) DX(u^m-k) 0 \ k=0 /

'14)

По определению оператора ¿(£) и из равенства (14) следует, что уравнение (13) тождественно операторному соотношению

+ [¿,5] = Д. (15)

Пусть <^(ж,£, £) — решение Йоста уравнения

Дифференцируя это равенство по получим

+ = (16)

Поставляя из (15) в (16), имеем

(£ — £)(^ — ^) = — Д^. (17)

Будем искать решение (17) в виде

^ — ¿V = 71 (ж,£)ф + 72 (ж, (18)

Для определения 71 (ж,£) и 72(ж,£) получим уравнение

+ = ¿R^' (19)

матрица

фТ = (ф2'ф1), находим

где а = ( о 0 1 ) — матрица Паули. Умножая обе части (19) на = (^2 '^1) и

гР2 то 71х = ^^-г-Ч>

2Р(£ — р)а (20)

72х = — —гфТ 2Р(£ — Р)а

На основании (4), (14) и асимптотики (7) при ж ^ —то выводим

С,„ , /ООО со + р) „-га+2П2?4 оо\ ( 1 \ 4рх

^ — ^ — — ¿2 -р-е + т— ¿о ^ 4(;-Р) ега-2П»^ е Р.

Поэтому из (18) следует, что

71 (ж, £) ^ 0, 72(ж, £) ^ —+ + Р) е-га+2П™4 + при ж ^ —то.

р

Решая (20), имеем

71(х,£) =

гр

2 х

/ рТ ДрОх,

2р(£ - р)а—о

72(х,£) = -0„,¿Р ^ / фТДрОх - + ^ + р)е--+2П™г + .

2р(£ - р)а—о

Таким образом, (18) может быть переписано в виде

р

рг -

гр2

2Р(£ - Р)а

рТ ДрОхф+

+

гр2

фТДрОх - +

г(£ + р) _

г«+2П~4 , соо

2Р(£ - р

—

Используя (9) и переходя в (21) к пределу х ^ то, находим, что

+ р.

(21)

а4

гр2

2р(£ - р)

фТ Др Ох,

гр2

2Р(С - Р)а

рТ ДрОх -

гр2

2Р(С - Р)а

фТ ДрОх +

+4П° - 25°^ + Р) е-га+2П™г - 25°^ Ь.

р

Дифференцируя равенство рп = Спфп по имеем

др Ж

др

+

= ОСП ф + с дф

+ с дф + Сп

«=«п

Подставляя вместо (р - Спф)|^=^ его выражение через Л.га(х), из (12) находим

дрга _ ОСП дфга

"дГ = + Сп^Г - ^

где

дрп = др.

(22)

Также, как и в случае непрерывного спектра, выводим равенство

д£

«=«п

- 5р„ = -

— I —

гр2 х

2р р )С I рПДрп°х^п-

2рп(^п рп)сп-оо

¿р2 X г.то.. ^ ,0000 ООО г(Сп + Рп)_.

2 (, )С / ^Др„Ох + - ^п"™* ' "е-- ^ ) рп.

2рга(^га - рп)сп-сх> р

Согласно (22) последнее равенство можем написать в виде

гр2

ОСП ; п дфп . , . ч, п с , _

+ Сп^Г - ^ - Сп^фп = - 2Рп(£п - Рп)Сп

рПДрпОх^п-

- I--

гр 1 ВДМх + - ^ ' рп

г(Сп + -¿а+2П~4 _ с<оо I

р е °1,п | рп.

2рп ( £п рп ) Сп

Используя равенство рп = Спфп и переходя в (23) к пределу х ^ то, получим

х

х

Ь

г

х

х

оо

2

^ + (4ПО0 — 2^«е-*+2П** — 250П)С« = —/ ВДМГ

р 2р«(£«— р«) „

— оо

&£« «р2 /то.

2р«(£« — р«)а(£, £«)С,

На основании равенства

-

оо

¿р2 Г

а(£,£«) = р (£ )С

р«(£« р«)с« J

—оо

уравнение для £« напишем в следующем виде

оо

оо

&£« - оо

2 /

Лемма 2 доказана. Пусть

N

с(ж,£) = ^(ф2« — ф2«).

«=1

Применяя лемму 1,2 и асимптотики для ф и Л,«, получим

оо оо

[ (с>2 + = 0, [ (с*^2« + = 0,

-

оо

1 *

(С*ф2«^2« + Сф1«^1«)&ж = 0,

оо

(С%«ф2« + С^1«ф1«)&ж = — 4Р«(£«2 Р«) (А«(£)е2^4 — А«(£)е-2^4).

р2 «

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Если функции и(ж, £), Ф«, п = 1, 2, ...N являются решением задачи (2)-(5), то данные рассеяния оператора ¿(£) с потенциалом и(ж,£) меняются по £ следующим образом:

а(£,£) = а(0, £),

6(£,£) = 6(0, £) ехр / \ —4^ + 252о°¿(£ + Р) е-га+2П™т + 251о° ^т при 1тр = 0,

С«(£) = С«(0) ехр / {—4^ + 252е:«+ ^е-4а+2П™т + + 0

+2гА«(т)е2П™т — 2гА«(т)е-2П™т}&т, п =1, 2, ...N.

5. Пример Рассмотрим систему уравнений (2) при т =3

N

¿и* + 3г|и|2и — 1 ¿иххх = 2 Е (Ф*« — Ф2«),

«=1

¿Ф« = £«Ф«, п = 1, 2,..., N

с начальным условием

, , г 1 + ¿е-2х

и(ж, 0) = V2 • --2-.

^ ' 1 + е-2х

В этом случае, решая прямую задачу для оператора ¿(0), находим

а(0, £) = £ + р — 1 — *, N =1, 6(0, £) = 0, £1(0) = 1, С1(0) = . Из вышеприведённой теоремы следует, что

а(£,£ ) = £ + ^ — 1 — ^, 6(£,£ ) = 0, £1(£) = 1,

£ + р — 1 + г

г

С1(£) = г-—1 ехр(8£ + 2г J (Л(т) — Л?(т))&т).

0

Применяя процедуру обратной задачи теории рассеяния для оператора ¿(£), получим

и(ж £) = л/2 1 + г ехр(—2ж + 8£ + 2у(£)) ( , ) 1 +ехр(—2ж + 8£ + 2р(£)) ,

г

где д(£) = г/ (А1(т) — А*(т)) . С помощью представления (11) и нормировки (5) находим 0

.Щ \ - 1)A1(t)

ф1 = V2 1 v

1 J 2ch(-x + 4t + g(t))'

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. KrusKal, R.M. Miura Method for solving the KdV equation. // Phys. Rev. Lett. 19, № 19. 1967. P. 1095-1097.

2. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C Newell, H. Segur Nonlinear evolution equations of physical significance,// Phys. Rev. Lett. 31, № 2. 1973. P. 125-127.

3. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. // ЖЭТФ. Москва. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134.

4. V.K. Melnikov Integration of the nonlinear Schrodinger equation with a source// Inverse Probl. 1992. V.8. P. 133-147.

5. V.K. Melnikov. Integration of the Nonlinear Schroedinger Equation with a Self-Consistent Source// Commun. Math. Phys. 1991. V. 137. P. 359-381.

6. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // ЖЭТФ. 1973. Т. 64, № 5. С. 1627-1639.

7. Yan-Chow Ma. The perturbed plane-wave solutions of the Cubic Schrodinger Equation // Studies in Applied Mathematics. 1979. № 60. P. 43-58.

8. Anjan Kundu. Integrable hierarchy of higher nonlinear Schrodinger type equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006. V. 2. nlin.si/051201v2, paper078.

9. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал. Ташкент. 2003. № 2. С. 53-59.

10. A.B. Khasanov, G.U. Urazboev Solution of general KdV equation in the class step functions // Journal of Mathematical Sciences. Springer. 2006. V. 136, № 1. P. 3625-3640.

11. Shuo Ye, Yunbo Zeng. Integration of the mKdV hierarchy with integral type of source // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2002. V. 1, nlin.si/0205024v1.

12. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., Наука. 1986.

Акназар Бектурдиевич Хасанов, Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]

Анвар Акназарович Рейимберганов, Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14, 220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]