ИНТЕГРИРОВАНИЕ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ МКДФ С ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ БЫСТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

УДК 517.957

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ МКДФ С ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ БЫСТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ У. А. Хоитметов, Ш. К. Собиров

Аннотация. Рассматривается задача Коши для нагруженного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с самосогласованным источником. Получена эволюция данных рассеяния оператора Дирака, потенциал которого является решением нагруженного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Приведен конкретный пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.75.56.006 Ключевые слова: нагруженное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза, самосогласованный источник, решения Йоста, данные рассеяния.

1. Введение

Одним из основных методов, показывающих интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений, является метод обратной задачи рассеяния. Впервые метод обратной задачи рассеяния был применен для нахождения глобального решения задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза [1]. В работе [2] Лакс показал универсальность метода обратной задачи рассеяния. Вскоре Вадати [3] предложил метод решения задачи Коши для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ)

и + 6и2их + пххх = 0,

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные, и — вещественная скалярная функция.

Уравнение мКдФ может применяться во многих областях, включая альфве-новские волны в бесстолкновительной плазме [4], гиперболические поверхности [5], тонкие упругие стержни [6] и т. д. В работе [7] изучено уравнение мКдФ с переменными коэффициентами

п^ + и2Пх + а(1)и + Ь(г)иххх = 0.

Это уравнение используется в качестве математической модели для изучения физических явлений, возникающих в нескольких областях, представляющих интерес. Например, при изучении прибрежных волн в океане, жидких каплях

© 2023 Хоитметов У. А., Собиров Ш. К.

и пузырьках, в вопросах явления атмосферной блокировки и дипольной блокировки [8-10].

В артериальной механике широко используется модель, в которой артерия рассматривается как тонкостенная предварительно напряженная эластичная трубка переменного радиуса, а кровь рассматривается как идеальная жидкость [11]. Определяющим уравнением, моделирующим слабонелинейные волны в таких заполненных жидкостью эластичных трубках, является модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза с переменным коэффициентом

щ + 6и2их + пххх + Н(1)пх = 0,

где Ь — масштабированная координата вдоль оси сосуда после статической деформации, характеризующая осесимметричный стеноз на поверхности артериальной стенки, х — переменная, которая зависит от времени и координат вдоль оси сосуда, Н(Ь) — форма стеноза, а п(х,Ь) характеризует среднюю осевую скорость жидкости.

Благодаря простоте выражения и богатому физическому применению интегрированию уравнения мКдФ посвящено много работ [12-22].

В работах А. М. Нахушева (см. [23]) дано наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробно классифицированы различные нагруженные уравнения, например, нагруженные дифференциальные, нагруженные интегральные, нагруженные интегродифференциальные, нагруженные функциональные уравнения и т. д. Среди работ, посвященных нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы [24-31] и др.

2. Постановка задачи

В данной работе исследуется нагруженное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза с источником, а именно рассматривается следующая система уравнений:

щ + в(Ь)и(хо,Ь)(6и2Пх + Пххх) + 7(Ь)и(х1,Ь)пх(х, Ь) = (Ф2к1 — ФУ )

к=1 ( ) Ц^Фк = £кФк, к = 1, 2,..., 2М, х е М,

где в(Ь) и — заданные непрерывно дифференцируемые функции и Фк = (Фк1 (х, Ь),Фк2 (х, Ь))т — собственная вектор-функция оператора

Ь(Ь) = I

—и(х, Ь)

А.

ёх

соответствующая собственному значению £к.

Для определенности будем считать, что в сумму, участвующую в правой части (1), входят сначала члены с 1т£к > 0, к = 1, 2,... , N. Также предполагается, что

I Фк1 Фк2 dx = Ак(Ь), к =1, 2,..., 2N, (2)

— оо

с заданными ненулевыми функциями Ак (£), которые удовлетворяют условиям

Ак{1)=Ак{1), 1к = к= 1,2,..., Ж.

Уравнение (1) рассматривается при начальном условии

и(ж, 0) = и0(ж). (3)

При этом начальная функция и0(ж) (—го < ж < го) обладает следующими свойствами:

У (1 + |ж|)|ио(ж)| ¿ж < го; (4)

оператор

¿(0) = з ^

-и0(ж)

-и0(х)

имеет ровно 2Ж простых собственных значений £1(0), £2(0),... , £2№(0).

Предположим, что функция и(ж, £) обладает требуемой гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при ж ^ ±го, т. е.

з

/ (1 + |ж|)|и(ж,*)|

\ к=1

дк и(ж, £)

джк

¿ж < го, к = 1, 2, 3. (5)

Основной целью работы является получение представлений для решения и(ж, £), Фк(ж, £), к = 1, 2,... , 2Ж, задачи (1)-(5) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора £(£).

3. Необходимые сведения

Рассмотрим систему уравнений Дирака

( + г£^1 = и(ж)«2, (6)

на всей оси (—го < ж < го) с потенциалом и(ж), удовлетворяющим условию (4). Видно, что с помощью оператора

Ь-4 1 ш ~<х)

-<*) "Ж

и вектор-функции V = (^1, ^2) систему (6) можно переписать в виде

^ =

Система уравнений (6) имеет решения Йоста со следующей асимптотикой:

~ (о)е ~ (-1) е*х при ж ^ _0°;

~ ( ^ ) > ~Ф{ХЛ) ~ ( д ) ПРИ ж —> го.

(8)

Отметим, что Тр (ф) не является комплексным сопряжением к <р (ф). При действительных £ пары вектор-функций {{р,Тр} и {ф, ф} являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (6). Поэтому имеют место следующие соотношения (см. [32, с. 27]):

^ = а(ОФ + Ь(ОФ, Тр =-а(£)ф+ Ь(£)ф где а(£) = Ь(£) = Ш{ф, </?}• Верны следующие равенства:

|а(0|2 + Ш2 = 1, а(0 = а(-0, Щ) = ЬЫ)- (9)

Коэффициенты а(£) и Ь(£) непрерывны для 1т £ = 0 и удовлетворяют асимптотическим равенствам

а(£) = 1 + 0(|£|-1), Ь(£) = 0(|£|-1), |£И<^.

Функцию ^(х, £) можно представить следующим образом (см. [32, с. 33]):

сю

«*О=(0) ^ + /К<х,.).* <10>

К1(х, в)

где К(х, в) = ^ « (х' . В представлении (10) ядро К(х, в) не зависит от £ и выполняется равенство

и(х) = —2К1(х, х). (11)

Функция а(£) (а(£)) аналитически продолжается в верхнюю (нижнюю) полуплоскость и имеет там конечное число нулей £к (£к), причем £к (£д.) является собственным значением оператора Ь(0), так что

Ч>{яЛк) = Скф(х,£к), Тр(х, £к) = Скф{х,1к), к= 1,2,..., Ж.

Справедливы следующие равенства:

= Ск = Ск. (13)

Определение. Набор величин {г+(£) = £&, Ск, к = 1,2,... , Ж} называется данными 'рассеяния для оператора Ь(0).

Компоненты ядра К(х,у) в представлении (11) для у > х являются решениями системы интегральных уравнений Гельфанда — Левитана — Марченко (см. [32, с. 35])

сю

*№.„) + / К1(х,.)Р (. + у)= °,

X

сю

—К1(х.у) + Г(х + у) + / (. + у) Ь = 0,

где

СЮ

. N

Р{х) = -- I

¿=1

Заметим, что вектор-функции

^((р-Спф I ,

Ы*) = --■ , , п= 1,2,...,Ж, (14)

являются решениями уравнений = Кроме того, функции Л.„(ж) имеют

следующую асимптотику:

й„--С„ ( ег«"х, ж ^-го; Ь,п е-г«"х, ж ^ го. (15)

Согласно (15) получаем равенство

№ {^„,Л„} = рП1 кП2 - НП1 = -С„, п = 1, 2,...,Ж. (16)

Лемма 1. Если вектор-функции

у = / У1(ж,£) \ ^ = ^ ^(ж,п)

являются решениями уравнений ЬУ = £У и Ь^ = п^, то для их компонент выполняются равенства

Справедливость этой леммы доказывается непосредственной проверкой.

Теорема 1 (см. [33, § 6.2, с. 353]). Данные рассеяния оператора Ь однозначно определяют Ь.

4. Эволюция данных рассеяния

Пусть потенциал и(ж,£) в системе уравнений

( У1х + = и(ж,-0У2,

I У2х - ¿£У2 = -и(ж, ¿)у1

(17)

является решением уравнения

и^ + в(^)и(жо,¿)(иххх + 6и их) = С(ж,£), (18)

где

2N

С(ж^) = -7(¿Мж^КМ) (Ф^1 - .

к=1

Оператор

А = 0(*)«(жо ,*)( ^2 "4о£3 + 2.^ 4и£2 - 2и3 - ^ (19)

/ у ' ' 1 -4и£2 + 2гих£ + 2и3 + ихх 4г£3 - 2ш2£ ' у 7

С

удовлетворяет соотношению Лакса

0 — 6и2их — и

[и,А], ^ — ЛЬ = ади(хо,^ —би2иХ — иххх 0 (20)

Поэтому уравнение (18) можно переписать в виде

и + [Ь,А] = ¿Д, (21)

где Д = ^ 0С) . Дифференцируя равенство

=

относительно получаем равенство

+ = £^4,

которое согласно (21) можно переписать в виде

(Ь — £)(^ — А<^) = —гД^. (22)

Используя метод вариации постоянных, можно записать

— А<^ = В(х)* + £(х)<^. (23)

Тогда для определения В(х) и .О(х) получаем

МВх* + = — Д^, (24)

где М = ^ ^ . Для решения уравнения (24) удобно ввести следующие

обозначения:

" = (%), * = (*

Согласно (20) и определению вронскиана справедливы равенства

*т М^ = — фт М* = а, *т М* = фт М^ = 0. Умножая (24) на фт и *т, получаем

Вх = &-, = (25)

аа

Согласно (19) при х ^ имеем

( ^(¿Мхо^ 0 \( 1 \ г«х

0

поэтому, исходя из (23), при х ^ — го получаем следующее равенство: £(х) ^ 4г£3в(4)и(х0,¿), В(х) ^ 0.

Следовательно, из (25) можно определить

х х

£>(ж) = -- [ + Щ3/ЗШи(х0,1), В(х) = - [ фт Н(р Ах.

а ^ а „/

— С —С

Таким образом, равенство (23) имеет следующий вид:

х / х

(рг-А(р=^~1 фт П(р ¿х-ф + ! фтН(рв,х + Щ3/З(1)и(х0,1) \ (р. (26)

— С \ —С

Согласно (8) равенство (26) можно переписать в следующем виде: агф + Ьгф — А(аф + Ъф)

х / х \

= ~ J фТИ<р(1х-'ф+ I-- J ^тД<^ж + 4^£3/3(£)и(ж0,£) 1 (аф + Ьф).

—С —С

Переходя в последнем равенстве к пределу при ж ^ +го и учитывая (19), получаем

СЮ СЮ СЮ

(И = — / фтК^г1х, Ь = — / фтК^г1х--/ фтК^с1х + 8И;3/3(1)и(хо,1)Ь.

аа

—С —С —С

Следовательно, при 1т £ = 0 имеем

СЮ

1 Г

^ = 8- ^ у С{<р\ + Ас. (27)

Лемма 2. Если вектор-функция ^(ж,£) = ^ ^(ж £) ^ является решением уравнения (17), то ее компоненты удовлетворяют равенству

У + ¥>2) ¿ж = 2г£7(*)и(ж1,*)а(£)Ь(£). (28)

—С

Доказательство . Для доказательства леммы нам потребуется вычислить следующий интеграл:

+ Ю +Ю

2 ' '')и(жьг)их

J ¿ж = -у 7(4)и(ж1,4)и^^2+^2) ¿ж+ у (Ф21 -Фи (у? +^2) ¿ж.

к=1

Сначала вычислим первый интеграл в правой части последнего равенства. Используя соотношения (7), (8), (17), имеем

СЮ СЮ

- | 7(£)и(жь-£)их(^2 + ^2) ¿ж = -7(¿)и(ж1,4^У (^1 + ^2) ¿и

С

сю

= - + + Yu(< + <2)'dx

— с

сю

= 2Y(t)u(xi, t) J (u<i<i + u<2<2) dx

—с

сю

= 2Y(t)u(xi, t) J [(-< + ¿£^2M + (<i + dx

—ю сю

= 2Y(t)u(xi, t)j [-<i<2 + ¿£<i<2 + <i<2 + Wd dx

—ю сю

= 2i£Y(i)u(xi,iW (<i<2)'dx = 2i£Y(t)u(xi,t) lim (<i<2)|— я

—ю

= 2i£7(t)u(xi,i)o(£)b(£).

Таким образом, имеем

сю

У Y(t)u(xi,t)ux(<2 + <2) dx = -2i£7(t)u(xi,t)o(£)b(£). (29)

—ю

Согласно условию = Ak{t) при = —и (12), (13) сумма в правой части уравнения (1) может быть переписана следующим образом:

2N N

Е(фк1 - фУ = 2 £ (Фк1 -

k=i k=i, Im ifc >0

Используя это равенство и лемму 1, проведем следующие вычисления: N

2 т. J Ф 1 <2 + <2 - ф12 <2 - Фк2<2) dx

k=i, —ю Im ifc >0

N

= 2 £ / (Фк1 <i - Фк2 <2) (Ф&1 <i + Фк2 <2) dx

k=i, —ю Im ifc >0

N

+ 2 j (Фк1 <2 - Фк2<i)(Фк1 <2 + Фк2<i) dx

k=i, —ю Im £fc>0

ю

N ( 2

XI J —+®k2<P2)dx

k=i, —ю Im ifc >0

X

N

+

2

к=1, -1т Ск >0

N

-¿(£ - £к)

(Фк1 ¥2 - Фк2 ¥1 )'(Фк1 ¥2 - Фк2 ¥1) ¿ж

N

+

(Фк1 ¥2 - Фк2 Ы2 |

2| + ю

к=1, 1т Ск>0

(£ + £к) ^ (£ - £к) к=1,

1т Ск>0

Согласно последним тождествам и (29) можно получить равенство

+ С

[ + ¥>2) ¿ж = 2г£7(*)и(жь ¿)а(£)Ь(£).

= 0.

Лемма доказана.

В силу (27) и (28) имеем

¿г+

= (8^£3в(4)и(жо, ¿) - 2г£7(£)и(жь *))г+.

Продифференцировав равенство ¥п = Спфп по получим равенство

д^ Ж

+

€=€п

9£

€=€п

м ~ мгрп + п дг

с д±

€=€п д£

€=€п

которое согласно (14) можно переписать в виде

д¥п ¿Сп , , „ дФп чс ,, ¿£п

"Ж" = ^Г^™ + " а<^п)Нп~М

(30)

где

д^п д^

€=€п

д* д*

Аналогично случаю непрерывного спектра с учетом (25) в случае дискретного спектра получаем равенство

(крп

дг

- А^п

1

Сп

~ТГ / Й</3„ ¿ж \к„

+ ( уг I ^Н(рпг1х + щ1р(г)и(х0,г) \<рп

Сп

которое является аналогом равенства (26). Согласно (30) последнее равенство можно переписать в виде

дСп , . д"Фп . / ч ¿£п , Л I

-ттгУп + --а{и)——кп - СпАфп

д* д* от

1

Сп

— 7Т~ / Фп^п Ах ] /г„ + [ / %тпК^пАх + 4г£3/3(£)и(ж0, | С„ ?/>«.•

Сп

С

С

С

х

С

х

—С

х

х

—С

—С

Переходя в этом равенстве к пределу при х ^ с учетом (15) и (19) получаем следующие равенства:

^ = «мм»0+/ ¡¡гад. * ^ =

Таким образом, имеем тождества

(сю

- У С{кП1-фП1 + НП2фП2) Ах 1 С„, (31)

-с

сю

— / + О ¿х

п

Сп<а(£п)

Остается заметить, что согласно тождеству (см. [32])

2г ('

последнее равенство можно переписать в виде

ОО

«£п

-ОО

бй

(32)

2г / ^п2 ¿х

Лемма 3. Если вектор-функции

*п(х, £) = ( *пх (^ £ПП , Мх, £) = ( ^(х,£п) 1 *П2 (х,£пП ^ \^П2 (х,£п )

являются решениями уравнения (17), то их компоненты удовлетворяют равенствам

сс

У С (V*пх + ^п2*п2) ¿х = 2г£пи(х1,4)7(4) — 2Ап(4). (33)

-с

Доказательство. Согласно определению С(х,4) справедливо следующее тождество:

сс сс

У *пх + ^П2 *П2 ) ¿х = —■7(4)и(х1,4) У их(йпх *пх + ^П2 *П2 ) ¿х

-с -с

2N

+ Х / (фк1 — фк2) (^ П1 *П1 + ^П2 *П2 ) ¿х.

-с

с

с

с

-с

Сначала, используя лемму 1 и равенства (7), (15) и (17), вычислим следующий интеграл:

сс

— 7(г)и(хЬг)У их(^пх *пх + ^П2 *П2 ) ¿х

-с

со

= —■7(4)и(хЬ4) У (Лпх *пх + ^П2 *П2 ) ¿и = —7(г)и(хЬг)и(йп1 *П1 + *П2 )

-с

сс

+ 7(4)и(х1,4) У (и^П1 *П1 + иНщ*П1 + и^П2*П2 + и^п2*П2) ¿х

-с

сс

= — 7(^)и(хЪ'0 У (( —*П2 + ¿£п*П2 + ( —+ ¿£ПЛП )*П1 ) ¿х

-с +с

— 7(4)и(х1,4^ (ЛП2 (*П1 + ¿£П*П1 )+ *п2 (ЛП + ¿£ПЛЩ )) ¿х

-с

сс

= ¿£п7(4)и(х1,4) У ((V *п2) + (Лп2*П1 )) ¿х

-с

= ¿£п7(4)и(хь4)(^п1 *П2 + ^П2 *П1 )|0000 Теперь вычислим интеграл

+ с

У (Фк1 — Фк2 )(ЛП *П1 + ЛП2 *П2 ) ¿х.

-с

Для вычисления этого интеграла рассмотрим следующие два случая. 1. Пусть £к отличается от £п, в этом случае согласно лемме 1 имеем

(Ч — Фк2) (л

п1 *п1 + Лп2 * п2 )

1 ^-((Фй!^! + ®к2К2){Фк1-фП1 + Фк2Фп2))

2г(£к + £п) ¿х

п2 — Фк2 Л п1 )(Фк1 * п2 — Фк2 *П1 )).

2г(£к — £п) ¿х

Следовательно, в этом случае

с

У (Ф^1 — Ф^2 )(Лп1 *П1 + Лп2 *П2 ) ¿х = 0.

2. Если £к = £п, то

(ФП1 — ФП2 )(ЛП *П1 + ЛП2 *П2 )

-с

п1 п1 + Фп2 Ф п2 )(Ф п1 V + Ф п2 V ))

4г£п ¿ж

+ Фщ Фп2 (Фп1 ^п2 - Фп2 ) ,

поэтому с учетом (2) и (16) получаем равенство

+ Ю +С

2 ! (Фп1 - Фп2 Фп1 + ^п2 Фп2 ) ¿ж = 2 J Фп1 Фп2 № {фп,М ¿ж

—С —С

+ С

= тг ФП1<£п2~№{(рп,1гп}(1х = -2Ап{г).

Сп

—С

Окончательно на основании вышеизложенного получаем

СЮ

У Фп1 + ^п2 Фп2) ¿ж = 2г£пи(ж1,*)7(*) - 2Ап(*).

—С

Лемма доказана.

Согласно (31) и (33) имеем

¿Сп ( )

Подобным образом можно показать, что

+ С

/ + ^) ¿ж = 0,

поэтому

4^ = 0, п = 1, 2,..., Ж.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 2. Если функции и(ж, Фк(ж, к =1, 2,... , N, являются решением задачи (1)-(5), то данные рассеяния оператора Ь(*) с потенциалом и(ж, меняются по * следующим образом:

4^=0, п = 1,2,... , Ж, <И

= Ш3Ш)и(х0,1) - 2^{1)и(х1,1))г+, 1т£ = 0,

от

¿С ( )

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши (1)-(5).

Пример. Рассмотрим задачу

и + в(4)и(М)(6и2их + иххх)+ 7 (4)и(0,4)их = 2^ — Ф^), , ,

. _ (34)

2

^,0) = - —, (35)

где

е2 4 + 1 —24 — 1 1 1

/?(*)= т(*) = —--о/, , ^я +

—32(4 + 1)3 32е2 ' 16 8(4 + 1)3 16(4 +1)4'

1

У Ф11Ф12 ¿х = А1(4)

4(4 + 1)2'

— с

Нетрудно найти данные рассеяния оператора ¿(0):

N = 1, г+ (0) = 0, £1(0)= г, 61(0) = 2г. Согласно теореме 2 имеем

£1(4)= £1(0)= г, г+ (4) = 0, С1(4) = 2гем(4),

где

* 4 *

М(4) = ^ в(т)и(1, т) ¿т + 2J 7(т)и(0, т) ¿т + 2J А1(т) ¿т.

4 4

)и(1,т) ¿т + 2 У 7(Т)И 0 0

Следовательно,

N

2п „/ ,

— с -? = 1

Решая интегральное уравнение

сс сс

К1(х,у) — 2е—х—у+м(4) + 4е—у+2м(4) / / К^х, ф—г—28 ^¿г = 0,

можно получить

2е—х—у+М(*)

К\{х,у) =

1 + е-4х+2М(4) ' Откуда находим решение задачи Коши (32), (33):

о

и(ж, 4) = —-

еИ 2(х — 1п(4 + 1))'

е —3х+21п(4+1)

Фц(ж,4) = - ~тзг^пгттттт> Ф12(Ж,4) =

1+ е —4х+41п(4+1) ' 1 + е—4х+41п(4+1)

е—х

5. Заключение

В работе показано, что метод обратной задачи рассеяния может быть применен для интегрирования нагруженного модифицированного уравнения Кор-тевега — де Фриза с источником. Приведены факты из теории обратных задач для оператора Дирака.

Благодарность. Авторы выражают глубокую признательность профессору А. Б. Хасанову за полезные обсуждения и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gardner C. S., Greene I. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg—de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19, N 19. P. 1095-1097.

2. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure Appl. Math. 1968. V. 21, N 5. P. 467-490.

3. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg—de Vries equation //J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32. P. 1681.

4. Khater A. H., El-Kalaawy O. H., Callebaut D. K. Backlund transformations and exact solutions for Alfven solitons in a relativistic electron-pPositron plasma // Phys. Scr. 1998. V. 58, N 6. P. 545—548.

5. Schief W. An infinite hierarchy of symmetries associated with hyperbolic surfaces // Non-linearity. 1995. V. 8, N 1. P. 1—9.

6. Matsutani S., Tsuru H. Reflectionless quantum wire //J. Phys. Soc. Japan. 1991. V. 60, N 11. P. 3640—3644.

7. Johnpillai A. G., Khalique C. M., Biswas A. Exact solutions of the mKdV equation with time-dependent coefficients // Math. Commun. 2011. V. 16. P. 509—518.

8. Biswas A. Solitary wave solution for the generalized KdV equation with timedependent damping and dispersion // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2009. V. 14. P. 3503—3506.

9. Vaganan B. M., Kumaran M. S. Exact linearization and invariant solutions of the generalized Burger's equation with linear damping and variable viscosity // Stud. Appl. Math. 2006. V. 117. P. 95—108.

10. Xiao-Yan T., Fei H., Sen-Yue L. Variable coefficient KdV equation and the analytical diagnosis of a dipole blocking life cycle // Chin. Phys. Lett. 2006. V. 23. P. 887—890.

11. Demiray H. Variable coefficient modified KdV equation in fluid-filled elastic tubes with stenosis: Solitary waves // Chaos, Solitons, Fractals. 2009. V. 42. P. 358—364.

12. Хасанов А. Б., Уразбоев Г. У. Метод решения уравнения мКдФ с самосогласованным источником // Узб. мат. журн. 2003. № 1. С. 69—75.

13. Мамедов К. А. Integration of mKdV equation with a self-consistent source in the class of finite density functions in the case of moving eigenvalues // Russ. Math. 2020. V. 64, N 10. P. 66—78.

14. Wu J., Geng X. Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg—de Vries equation // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2017. V. 53. P. 83—93.

15. Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: an equivalence based approach // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2012. V. 17, N 2. P. 611—618.

16. Salas A. H. Exact solutions to mKdV equation with variable coefficients // Appl. Math. Comput. 2010. V. 216, N 10. P. 2792—2798.

17. Dai C., Zhu J., Zhang J. New exact solutions to the mKdV equation with variable coefficients // Chaos, Solitons, Fractals. 2006. V. 27, N 4. P. 881—886.

18. Das S., Ghosh D. AKNS formalism and exact solutions of KdV and modified KdV equations with variable-coefficients // Int. J. Adv. Res. Math. 2016. V. 6. P. 32—41.

19. Zheng X., Shang Y., Huang Y. Abundant explicit and exact solutions for the variable coefficient mKdV equations // Hindawi Publ. Corp. Abstr. Appl. Anal. 2013. V. 2013. Article ID 109690.

20. Фролов И. С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 1. С. 44-47.

21. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза // Теор. мат. физика. 2011. Т. 168, № 1. С. 35-48.

22. Хасанов А. Б. Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // Докл. АН. СССР. 1984. Т. 277, № 3. С. 559-562.

23. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

24. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.

25. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

26. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2021. № 38. С. 19-35.

27. Hoitmetov U. A. Integration of the sine-Gordon equation with a source and an additional term // Rep. Math. Phys. 2022. V. 90, N 2. P. 221-240.

28. Хоитметов У. А. Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени // Теор. мат. физика. 2023. Т. 214, № 1. С. 30-42.

29. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. Integration of the loaded Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb., Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. 2022. V. 42, N 4. P. 1-15.

30. Хасанов А. Б., Хоитметов У. А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега — де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплексно-значных функций // Изв. вузов. Математика. 2021. № 7. С. 52-66.

31. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // Журн. экспер. теор. физики. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134.

32. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

33. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

Поступила в редакцию 8 июля 2022 г. После доработки 2 мая 2023 г. Принята к публикации 29 мая 2023 г.

Хоитметов Умид Азадович, Собиров Шехзод Кучкарбой угли Ургенчский государственный университет

кафедра прикладной математики и математической физики, ул. Х. Алимджана, 14, Ургенч 220100, Узбекистан x_umid@mail.ru, shehzod6285@mail.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

UDC 517.957

INTEGRATION OF THE LOADED MKDV EQUATION WITH A SOURCE IN THE CLASS OF RAPIDLY DECREASING FUNCTIONS U. A. Hoitmetov and Sh. Q. Sobirov

Abstract: We consider the Cauchy problem for a loaded modified Korteweg—de Vries equation with a self-consistent source. The evolution of the scattering data of the Dirac operator, whose potential is a solution of the loaded modified Korteweg—de Vries equation with a self-consistent source in the class of rapidly decreasing functions, is derived. A specific example is given to illustrate the application of the obtained results.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.75.56.006 Keywords: loaded modified Korteweg—de Vries equation, self-consistent source, Jost solutions, scattering data.

REFERENCES

1. Gardner C. S., Greene I. M., Kruskal M. D., and Miura R. M., "Method for solving the Korteweg-de Vries equation," Phys. Rev. Lett., 19, 1095-1097 (1967).

2. Lax P. D., "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves," Commun. Pure Appl. Math., 21, 467-490 (1968).

3. Wadati M., "The exact solution of the modified Korteweg—de Vries equation," J. Phys. Soc. Japan., 32, 1681 (1972).

4. Khater A. H., El-Kalaawy O. H., and Callebaut D. K., "Backlund transformations and exact solutions for Alfven solitons in a relativistic electron—positron plasma," Phys. Scr., 58, No. 6, 545-548 (1998).

5. Schief W., "An infinite hierarchy of symmetries associated with hyperbolic surfaces," Non-linearity, 8, No. 1, 1-9 (1995).

6. Matsutani S. and Tsuru H., "Reflectionless quantum wire," J. Phys. Soc. Japan, 60, No. 11, 3640-3644 (1991).

7. Johnpillai A. G., Khalique C. M., and Biswas A., "Exact solutions of the mKdV equation with time-dependent coefficients," Math. Commun., 16, 509-518 (2011).

8. Biswas A., "Solitary wave solution for the generalized KdV equation with timedependent damping and dispersion," Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14, 3503-3506 (2009).

9. Vaganan B. M. and Kumaran M. S., "Exact linearization and invariant solutions of the generalized Burger's equation with linear damping and variable viscosity," Stud. Appl. Math., 117, 95-108 (2006).

10. Xiao-Yan T., Fei H., and Sen-Yue L., "Variable coefficient KdV equation and the analytical diagnosis of a dipole blocking life cycle," Chin. Phys. Lett., 23, 887-890 (2006).

11. Demiray H., "Variable coefficient modified KdV equation in fluid-filled elastic tubes with stenosis: Solitary waves," Chaos, Solitons, Fractals, 42, 358-364 (2009).

12. Khasanov A. B. and Urazboev G. U., "Method for solving the mKdV equation with a self-consistent source [in Russian]," Uzbek. Mat. Zh., No. 1, 69-75 (2003).

13. Mamedov K. A., "Integration of mKdV equation with a self-consistent source in the class of finite density functions in the case of moving eigenvalues," Russ. Math., 64, No. 10, 66-78 (2020).

© 2023 U. A. Hoitmetov, Sh. Q. Sobirov

14. Wu J. and Geng X., "Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg—de Vries equation," Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 53, 83—93 (2017).

15. Vaneeva O., "Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: an equivalence based approach," Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 17, No. 2, 611—618 (2012).

16. Salas A. H., "Exact solutions to mKdV equation with variable coefficients," Appl. Math. Comput., 216, No. 10, 2792-2798 (2010).

17. Dai C., Zhu J., and Zhang J., "New exact solutions to the mKdV equation with variable coefficients," Chaos, Solitons, Fractals, 27, No. 4, 881-886 (2006).

18. Das S. and Ghosh D., "AKNS formalism and exact solutions of KdV and modified KdV equations with variable coefficients," Int. J. Adv. Res. Math., 6, 32-41 (2016).

19. Zheng X., Shang Y., and Huang Y., "Abundant explicit and exact solutions for the variable coefficient mKdV equations," Hindawi Publ. Corp. Abstr. Appl. Anal., 2013, article No. 109690 (2013).

20. Frolov I. S., "Inverse scattering problem for a Dirac system on the whole axis [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 207, No. 1, 44-47 (1972).

21. Demontis F., "Exact solutions of the modified Korteweg-de Vries equation [in Russian]," Teor. Mat. Fiz., 168, No. 1, 35-48 (2011).

22. Khasanov A. B., "An inverse problem in scattering theory for a system of two first-order nonselfadjoint differential equations [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 277, No. 3, 559562 (1984).

23. Nakhushev A. M., Equations of Mathematical Biology [in Russian], Vysshaya Shkola, Moscow (1995).

24. Nakhushev A. M., "Loaded equations and their applications [in Russian]," Differ. Equ., 19, No. 1, 86-94 (1983).

25. Kozhanov A. I., "Nonlinear loaded equations and inverse problems [in Russian]," Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 44, No. 2, 694-716 (2004).

26. Khasanov A. B. and Hoitmetov U. A., "On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions," Bull. Irkut. State Univ., Ser. Math., 38, 19-35 (2021).

27. Hoitmetov U. A., "Integration of the sine-Gordon equation with a source and an additional term," Rep. Math. Phys., 90, No. 2, 221-240 (2022).

28. Hoitmetov U. A., "Integration of the Hirota equation with time-dependent coefficients," Theor. Math. Phys., 214, No. 1, 30-42 (2023).

29. Khasanov A. B. and Hoitmetov U. A., "Integration of the loaded Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source in the class of rapidly decreasing complex-valued functions," Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb., Ser. Phys.-Tech. Math. Sci., 42, No. 4, 1-15 (2022)

30. Khasanov A. B. and Hoitmetov U. A., "Integration of the general loaded Korteweg-de Vries equation with an integral type source in the class of rapidly decreasing complex-valued functions," Russ. Math., 65, No. 7, 43-57 (2021).

31. Zakharov V. E. and Shabat A. B., "Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media," Sov. Phys., 34, No. 1, 62-69 (1972).

32. Ablowitz M. and Sigur H., Solitons and the Inverse Problem Method, SIAM, Philadelphia (1981).

33. Dodd R., Eilbeck J., Gibbon J., and Morris H., Solitons and Nonlinear Wave Equations, Acad. Press, London (1982).

Submitted July 8, 2022 Revised May 2, 2023 Accepted May 29, 2023

Umid A. Hoitmetov, Shekhzod Q. Sobirov Urgench State University,

Department of Applied Mathematics and Mathematical Physics, 14 Kh. Alimdjan Street, Urgench, 220100, Uzbekistan x_umid@mail.ru, shehzod6285@mail.ru