CC BY
5
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 1.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-142-152
Интегральные многообразия первого фундаментального распределения IcACs-структуры
А. Р. Рустанов, Е. А. Полькина, Г. В. Теплякова
Рустанов Алигаджи Рустанов — кандидат физико-математических наук, Институт цифровых технологий и моделирования в строительстве, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (г. Москва). e-mail: aligadzhi@yandex.ru
Полькина Елена Александровна — кандидат физико-математических наук, Институт физики, технологии и информационных систем; Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: polkina.ea@mail.ru
Теплякова Галина Васильевна — кандидат педагогических наук, Оренбургский государственный университет (г. Оренбург). e-mail: galinka-78@list.ru
Аннотация
В статье рассмотрены аспекты эрмитовой геометрии /сАС^-структур. Исследовано влияние обращения в нуль тензора Нейенхейса и связанных с ним тензоров N(1), N(2), N(3), на класс почти эрмитовой структуры, индуцированной на первом фундаментальном распределении IcACs-структур. Доказано, что почти эрмитова структура, индуцируемая на итнтегральных многообразиях первого фундаментального распределения: IcACß-многообразия является структурой класса W2 ф W4, причем она будет почти келеровой тогда и только тогда, когда grad а С L(£); интегрируемого /сАС^-многообразия является структурой класса W4; нормального /сАС^-многообразия является келеровой структурой; /сАС^-многообразия, для которого N(2\X,Y) = 0, или N(3)(Х) = 0, или N(4\Х) = О, является почти келеровой структурой в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур.
Ключевые слова: почти контактные структуры, почти эрмитовы структуры, интегрируемость структур, тензор Нейенхейса, нормальные структуры.
Библиография: 11 названий. Для цитирования:
А. Р. Рустанов, Е. А. Полькина, Г. В. Теплякова. Интегральные многообразия первого фундаментального распределения lcACs-структур // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, выи. 1, с. 142-152.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-142-152
Integral manifolds of the first fundamental distribution
IcACs-strudure
A. R. Rustanov, E. A. Polkina, G. V. Teplvakova
Rustanov Aligaji Rustanov — candidate of physical and mathematical sciences, Institut of Digital Technologies and Modeling in Construction, National Research Moscow State University of Civil Engineering (Moscow). e-mail: aligadzhi@yandex.ru
Polkina Elena Aleksandrovna — candidate of physical and mathematical sciences; Institute of Physics, Technology and Informational Systems; Moscow State Pedagogical University (Moscow). e-mail: polkina.ea@mail.ru
Teplyakova Galina Vasilyevna — candidate of pedagogical sciences, Orenburg State University (Orenburg).
e-mail: galinka-78@list.ru
Abstract
In paper we consider aspects of the Hermitian geometry of /cACsstructures. The effect of the vanishing of the Neyenhuis tensor and the associated tensors N(1), N(2), N(3), N(4) on the class of almost Hermitian structure induced on the first fundamental distribution of /cA^sstructures is investigated. It is proved that the almost Hermitian structure induced on integral manifolds of the first fundamental distribution: /cACs-manifolds is a structure of the class W2 © W4, and it will be almost Kahler if and only if grad a c L(£); an integrable /cAC^-manifold is a structure of the class W4; a normal /cAC^-m^ifold is a Kahler structure; a /cAC^-manifold for which N(2)(X,Y) = 0, or N(3)(X) = 0, or N(4\X) = 0, is an almost Kahler structure in the Gray-Herwell classification of almost Hermitian structures.
Keywords: almost contact structures, almost Hermitian structures, integrability of structures, Neyenhuis tensor, normal structures.
Bibliography: 11 titles. For citation:
A. R. Rustanov, E. A. Polkina, G. V. Teplyakova, 2022, "Integral manifolds of the first fundamental distribution IcACs - structures" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 142-152.
1. Введение
Контактная и эрмитова геометрия довольно тесно взаимоствязаны. Ряд работ посвящен изучению почти контактных структур, индуцируемых на ориентируемых гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий. В данной работе мы изучаем почти эрмитовы структуры, индуцируемые на интегральных многообразиях первого фундаментального распределения локально конформно почти косимплектического многообразия.
Одним из наиболее интересных тензоров почти контактных метрических многообразий, с геометрической точки зрения, является тензор Нейенхейса структурного эндоморфизма. Как
известно, обращение в нуль тензора Нейенхейса структурного эндоморфизма почти контактной метрической структуры равносильно интегрируемости структуры. С тензором Нейенхейса естественным образом связаны еще четыре тензора. Исследуем обращение этих тензоров в нуль, а именно, каким образом обращение каждого из этих тензоров влияет на почти эрмитову структуру, индуцируемую на интегральных многообразиях первого фундаментального распределения локально конформно почти косимплектического многообразия.
Пусть М — гладкое многообразие, йгтМ = 2п + 1 X(М) — СМ)-модуль гладких векторных полей на многообразии М; ® — тензорное произведение, Л — внешнее умножение, й — оператор внешнего дифференцирования. Все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса С. В данной работе будем полагать, что индексы г,], к,... принимают значения от 0 до 2п, а индексы а,Ь,с,... — значения от 1 до п, и будем считать, что а = а + п, а = а, 0 = 0.
Определение 1 [1, 3]. Почти контактной метрической (короче, АС-) структурой на нечетномерном ориентируемом многообразии М называется чет верка, (г),£, Ф,д) тензорных полей на, этом многообразии, где ц — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, £ — векторное поле, называемое характеристическим, Ф — эндоморфизм модуля X(М), называемый структурным эндоморфизмом, д = {■, ■) — риманова структура на М. При этом
1) ^(0 = 1; 2) ц о Ф = 0; 3) Ф(£) = 0; 4) Ф2 = -Ы + ц ® £;
5) {ФХ, ФУ) = {X, V) - г}(х)г}(У), УХ, V е X(М).
Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется, почти контактным метрическим (короче, АС-) многообразием.
Задание почти контактной метрической структуры на многообразии внутренним образом порождает присоединенную С-структуру, тотальное пространство расслоения которой состоит из, так называемых, А-реперов. Матрицы компонент тензоров Ф и д в А-репере имеют вид соответственно
0 0 0 \ /10 0
(Ф*) = | 0 л/-11п 0 I , (дг,) = ( 0 0 1п | , (1)
0 0 -у—Х / \ 0 1п 0
где 1п - единичная матрица порядка п. Структурной группой такой С-структуры является группа {1} х и(п) [2]-[4].
В модуле X (М) АС-структуры (ц, Ф, ^многообразия М2га+1 внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора т = ц ® £ и I = — т = — Ф2 на подмодули Ми I соответственно [2]-[4]. Таким образом, X (М) = Ь ф М, где Ь = 1т1 = 1т(Ф) = кегц — так называемое первое фундаментальное распределение, М = 1тт = Ь(£) — второе фундаментальное распределение (линейная оболочка структурного вектора). Распределения Ии I
Ф
А'(М)с = С ф X(М) — комплексификацию модуля А'(М), то X(М)с = оф-1 ф И—'^-1 ф Иф,
где иф-1, И—Оф — собственные распределения структурного эндоморфизма Ф, отвечающие собственным значениям \/—1, — \/—1 и 0 соответственно. Причем, проекторами на слагаемые этой прямой суммы будут, соответственно, эндоморфизмы ж = —1 (Ф2 + у/—1Ф),
* = 1 (—Ф2 + у—Ф), т = V ® СРШ.
Определение 2 [5]. Конформным преобразованием АС-структуры Б = Ф,д) на многообразии М называется переход от, Б к АС-структуре Б = (),Ф,д), где ) = е~а £ = еаФ = Ф, ) = е~2ад, где а — произвольная гладкая, функция, на М, называемая, определяющей функцией преобразования.
Определение 3 [6]. Почти контактная метрическая структура Ф,д) на многообразии М называется локально конформно почти косимплектической (короче, 1сАСз-) структурой, если сужение этой структуры на некоторую окрестность и произвольной
точки р € М допускает, конформное преобразование в почти косимплектическую структуру-
Многообразие, снабженное локально конформно почти косимплектической структурой, называется локально конформно почти косимплектическим (короче, 1сАС5) многообразием.
Первая группа структурных уравнений ¿сАС^-многообразий на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид [6]:
1) йш = —ааш Л ша — ааш Л ша;
2) йша = —ва Л шь + 2я[а5г]ис Л шь + ВаЬсшь Л + ао5ьаш Л шь + ВаЬш Л шь;
3) йша = в'а Л Шъ + 2а\_а5щШс Л шь + ВаЪсшь Л шс + а05ьаш Л щ + ВаЪш Л шь; (2)
где
1) В[аьс = 5^] = 0; 2) В[аЬ] = Ядо = 0.
2. Интегральные многообразия первого фундаментального распределения
Рассмотрим дифференциальную 1-форму ш = ц о где ■к — естественная проекция в главном расслоении реперов над многообразием М, ж* — порожденное ей увлечение Ф-связанных векторных полей на многообразии М. Очевидно, эта форма является формой Пфаффа первого фундаментального распределения, то есть базисом кораспределения ассоциированного с первым фундаментальным распределением Ь [7].
По классической теореме Фробениуса вполне интегрируемость первого фундаментального распределения равносильна условию существования такой формы в, что dш = в Л ш, т.е. внешний дифференциал формы ш должен принадлежать идеалу алгебры Грассмана многообразия М [4].
Определение 4 [4]. Распределение на, многообразии М называется инволют,ивным, если через каждую точку многообразия проходит интегральное многообразие максимальной размерности.
Предложение 1. Первое фундаментальное распределение ¿с^С5:-многообразия является вполне интегрируемым.
Доказательство. Из (2:1) следует, что первое фундаментальное распределение Ь 1сЛС5-многообразия инволютивно, а значит, в силу теоремы Фробениуса [4] вполне интегрируемо.
Пусть N С М — интегральное многообразие максимальной размерности первого фундаментального распределения ¿сАС^-многообразия М. Тогда на нем канонически индуци-руется почти эрмитова структура ^,д), где .] = Ф|^, д = Поскольку форма ш является формой Пфаффа первого фундаментального распределения, первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры на N имеет вид:
1) йша = —6% Л шь + 2а[а5с]шс Л шь + ВаЬсшь Л
2) йШа = 0Ъа Л Щ + 2а[аё£]Шс Л ШЪ + ВаЬс^ Л Шс, (3)
Согласно классификации Грея — Хервеллы почти эрмитовых структур ([4], стр. 450) это уравнения почти эрмитовой структуры класса W2 ® Ж*.
Заметим, что если в этих уравнениях положить аа = аа = 0, то они примут вид:
па УЬ
!ша = - ва Л шь + ВаЬсшь Л шс;
йШа = 0ьа Л Шь + Ваьс^ь Л ШС.
Это уравнения почти келеровой структуры. Выясним, когда выполняется условие аа = = аа = 0. Очевидно, последнее можно записать в виде йаЦт]. Это условие равносильно тому, что дг а с! а С £(£), что в свою очередь, равносильно нормальности ¿сАС^-структуры. Таким образом, можем сформулировать вывод.
Теорема 1. Пусть М — 1сАС в-многообразие, тогда на интегральных многообразиях максимальной размерности его контактного распределения индуцирует,ся структура класса W2 ® почти эрмитовых структур в классификации Грея-Хервеллы. Она будет почти келеровой тогда и только тогда, когда д г (ас! а С Ь(£).
Напомним, что компоненты ковариантного дифференциала структурного оператора Ф в римановой связности V для ¿сАС^-многообразий на пространстве присоединенной в-структуры имеют вид [6]:
1) Ф0ь = -Ф°,ь = -У-^ао; 2) Ф«,ь = -Ф°Ь = У-^ао;
3) Ф0о = -Ф^,о = -=Гаа; 4) Ф«о = -Фа,о = 5) ф^ 4-=Га[аЙ]; 6) Ф«« = -4у-Га^ "
^С , — [а^ЬИ
7) Фа;. = 4-=ГВсаЬ 8) фЬс = -4-=ГВть;
9) Фа,Ь=-Фо,Ь=-^=гваЬ; 10) Фа,Ь=-Ф*ь=V-гв ^
1Г) фа,о=фа,о=о. (4)
Тензором Нейенхейса [1, 8, 9] эндоморфизма Ф называется тензор N типа (2,1), определяемый формулой
Щ(Х, У) = Г([ФХ, ФУ] + Ф2[Х, У] - Ф[ФХ, У] - Ф[Х, ФУ]), Х,У е X(М).
А С
определить так
N(Х, У) = Г№фх(Ф)У - ФVx(Ф)У - Vфy(Ф)Х + Ф^(Ф)Х}.
На пространстве присоединенной С-структуры компоненты тензора N определяются тождествами
1) Кь = - 2"1 2) = -Л& = - 2"1 Фоа,ь);
3) ^Ь = ФЦ^,ь]; 4) nьо = -Nоаь = фа,о - фа,ь;
5) N0; = ^^сГ 6№ = -^=гфаь,е]; 7) NЫо = -N1 = ^ Ф«ь - ^Ф^,о. (5)
Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю [3, 4].
Тогда согласно (4) и (5) ненулевые компоненты тензора Нейенхейса структурного эндоморфизма 1сАС^-структуры задаются равенствами:
1) N^0 = ;ь = - 1ВаЬ; 2) N«0 = = -1Ваь;
3) ^ = 2ВаЬс; 4)^ = 2Ваьс. (6)
Определение 5 [4, 8]. AC-структура на многообразии называется интегрируемой, если
A C
кое многообразие без дополнительной структуры.
A C
Пусть ¿cACs-структура интегрируема, тогда из (6) следует, что ваЬс = ваЬс = 0, Ваь = ВаЬ = 0. Тогда первая группа структурных уравнений (2) примет вид:
1) do = аьш Лшь + аьш Л шь; 2) dwa = -0*1 Лшь + 2а[а5^шс Лшь + а0Л шь; 3) doa = 0ъа Лшь + 2а\а5щШс Лшь + а0 Ьъаш Л шь.
А первая группа структурных уравнений (3) почти эрмитовой структуры интегральных многообразий распределения L интегрируемой IсAС^-структуры запишется в виде
1) doa = - 91 Лшь + 2a[a5%c Л шь;
с ,
2) dшa = дьа Лшь + 2а[а5съ]Шс Л Ш.
Т.е. в классификации Грея-Хервеллы [4] эта структура является структурой класса Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных многообразиях первого фундаментального распределения интегрируемого I с А С в-многообразия является структурой класса, Ш4 в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур.
Известно [9], что задание тензора Нейенхейса равносильно заданию четырех тензоров N (!) N(2), N(3), N(4), а именно:
N(1)(Х, V) = N(X, V) + 2dr](X, V)£; N(2)(Х, V) = (СФХп)(¥) - (СФУ])(Х); N (3)(Х ) = (С Ф)(Х); N(4)(Х) = (С(])(Х); Х, V е X(М),
где Сх — производная Ли в направлении векторного поля Х.
В [10, 11] приводится аналитическое выражение тензоров N(2), N(3), N(4):
1) N(2)(Х, V) = Уфх(r)(V) + ]{У¥(Ф)Х} - УФУ(])(Х) - ]{УХ(Ф^};
2) N(3)(Х) = У (Ф)Х - УФХС + Ф(УхС);
3) N(4)(Х) = у(])(Х); УХ, V е X(М). (7)
Для получения компонент этих тензоров на пространстве присоединенной С-структуры ¿сАС^-многообразия, проведем предварительные вычисления. Пусть М — ¿сАС^-многообра-зие, тензорные компоненты формы римановой связности имеют вид [6]:
1) еаь = -2а[а $Ш - 2ВсаЬшс; 2)= -2а[а5сь]шс - 2ВсаЬшс; 3) 6% = а0ша + ВаЬшь - оаи; 4) = а0ша + ВаЬшь - ааш; 5) в°а = -аоШа - ВаЬшь + ааш; 6) = -а0ша - ВаЬшь + ааш. (8)
Рассмотрим характеристический вектор ¿сАС^-многообразия. Поскольку £ — тензор типа
М
творяют уравнениям d{;tг + = , ^ш1, где ^ — компоненты тензора Расписывая эти
соотношения на пространстве присоединенной С-структуры с учетом (8) и того обстоятельства, что на этом пространстве = 0 = 0 = 1, получаем для I с А С,д-многообразий:
1) = 0; 2) е,0 = V^n = -
а
3) е,ь = = ао^ 4) e>S = V^^ = Bab;
5) £a ,0 = -v—1Фо,о = -аа; 6) £°tb = -V-1n,b = Bab;
7) ? ,о = -v-1$0,b = ао^а. (9)
Аналогично для контактной формы г] ¿сАС^-многообразия получим компоненты кова-риантной производной:
1) Г]0,г = 0; 2) = v-1$a,0 = -аа;
3) Va,b = V-ТФа.ь = а04) = = Bab;
5) Va,0 = = -а?; 6) = -v-TФ¡о,ь = B?b;
7) \ь = = ао %. (Ю)
Учитывая, что ш = ш0 = ж*(т]), где ж — естественная проекция пространства присоединенной G-структуры на ¿сАС^-многообразие М, находим, что на этом пространстве тензор N (D имеет компоненты:
1) (N(1))?о = -(N(1))0а = аа; 2) (N(1))°о = -(N(1))0а = аа; 3) ( N(1))а0 = -(N(1))?о = -2BаЪ; 4) (N(1))а. = 2Babc;
5) ( N(1)) аЬс = 2Babc, 6) (N(1))»о = -( N(1))аб = -±Bab. (11)
Остальные компоненты нулевые.
Определение 6 [1, 9]. Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если N(X, Y) + 2dr](X, Y)£ = 0.
Понятие нормальности было введено Сасаки С. и Хатакеямой Дж. [9] и является одним из фундаментальных понятий контактной геометрии, тесно связанных с понятием интегрируемости структуры.
Пусть М — нормальное ¿сАС^-многообразие. Тогда из (11) и Определения 6 следует, что а? = аа = 0 Bab = Bab = 0 BаЬс = B?bc = 0.
Первая группа структурных уравнений нормального IсАС^-многообразия запишется в виде:
1) du = 0; 2) dua = - в1 Л шь + ао Л шь; 3) du? = 9ьа Лшъ + аоЛ шь.
А первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры, индуцированной на первом фундаментальном распределении такого многообразия, примет вид:
1) dua = - в% Л шь; 2) dua = вЬа Л шъ.
Т.е. в классификации Грея-Хервеллы [4] эта структура является келеровой структурой. А значит, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Почти эрмитова, структура,, индуцируемая на, интегральных многообразиях первого фундаментального распределения нормального IсАСв-многообразия, является келеро-вой структурой.
На пространстве присоединенной С-структуры тождество (7:1) примет вид:
Ч2) = ъ,кФк - Ъ,кФк + ЛкФ^ - ЛкФк,г.
С учетом соотношений г]- = г]а = 0 Ло = 1 (1)5 (4) и (10), из последнего выражения получим:
1) ^ = = -%Ф°,0 = -У-о0;
2) = = -о = уПо*, (12)
остальные компоненты нулевые.
Пусть на ¿сАС^-многообразии N(2)(Х, У) = 0 тогда, го (12) следует, что оа = оа = 0. Первая группа структурных уравнений такого 1сАС^-многообразия примет вид:
1) (ш = 0;
2) (ша = -6% Лшь + ВаЬсшь Л шс + оо5%и Л шь + БаЬш Л шь; 3) ((ша = Л шь + ВаЬсшь Лшс + ооЛ шь + ВаЬш Л шь.
Тогда первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры, индуцированной на первом фундаментальном распределении данного IсАС^-многообразия, имеет вид:
1) (ша = -6% Лшь + ВаЬсшь Л шс; 2) (ша = Лшь + Ваьсшь Л шс.
В классификации Грея-Хервеллы [4] эта структура является почти келеровой структурой. Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Почти эрмитова структура, индуцируемая на первом фундаментальном распределении 1сАСв-многообразия, для, которого N (2)(Х,У) = 0, является почти келеровой структурой в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур.
На пространстве присоединенной С-структуры тождество (7:2) равносильно соотношениям: ( N(3))гк = Ф^ - С,]Фк + Ф)^,к.
А значит, с учетом (1), (4) и (9) ненулевые компоненты N(3) для 1сАС$-многообразия на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид:
1) ( N(3))° = Ф° о = У=1оа; 2) ( N(3))° = Ф°,о = -У=1О«; 4) ( N(3))? = 2У=Г{а -ь = -2Ф^ - = 2У-1ВаЬ; 5) ( N(3))« = -2У=Геа,ь = -2Ф«Ь = -2У-1ВаЬ. (13)
Обращение в нуль тензора N (3)(Х ) на 1с АС в- многообразии влечет, согласно (13), выполнение равенств оа = оа = 0 ВаЪ = Ваь = 0. И первая группа структурных уравнений 1сАСв-многообразия на пространстве присоединенной С-структуры примет вид:
1) (ш = 0;
2) йша = -Лшь + ВаЬсшь Лшс + ооЛ шь;
3) (ша = вьа Лшь + ВаЬсшь Лшс + оо5ьаш Л шь.
Следовательно, почти эрмитова структура, индуцируемая на первом фундаментальном распределении ¿сАС^-многообразия, для которого N(3) (X) = 0, является почти келеровой структурой в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур.
Наконец, рассмотрим тензор N(4)(X) = V (f])(X); VX e X(M). На пространстве присоединенной G-структуры это равенство запишется в виде (N(4))j = r^o, последнее равносильно соотношениям:
1) (N(4))o = т]о,о = 0; 2) (N(4))a = Vao = -V—$8,o = -^a;
3) (n (4))а = ^,0 = ^=i$a,o = -aa. (14)
Равенство нулю тензора N(4)(X), согласно (14) равносильно соотношениям aa = aa = 0. И в этом случае первая группа структурных уравнений 1сАCs-многообразия на пространстве присоединенной G-структуры примет вид:
1) du = 0;
2) dua = -6'a Л ub + Babcub Л uc + aoSgu Л U + Вabu Л ub; 3) dUa = 9ba Л Ub + BabcWb Л Uc + aoÖbaW Л Ub + BabU Л Ub.
А значит, почти эрмитова структура, индуцируемая на первом фундаментальном распределении IсАС^-многообразия, для которой N(4)(X) = 0, является почти келеровой структурой в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур. Как промежуточный факт можно отметить следующее
Предложение 2. Для I с А Сs-многообразия обращение тензора, N(2) в нуль равносильно обращению в нуль тензора N(4).
Доказательство. Сравнивая полученные для I с А Cs-многообразия компоненты тензора N(2) и тензора N(4) на пространстве присоединенной G-структуры, а именно соотношения (12) и (14), получим то, что и требуется доказать.
3. Заключение
Обобщая вышеизложенное, сформулируем следующий результат
Теорема. Почти эрмитова структура, индуцируемая на интегральных многообразиях первого фундаментального распределения:
а) 1сАCs-многообразия является структурой класса W2 ® W4, причем она будет почти келеровой тогда и только тогда, когда grad a С L(£).
б) интегрируемого I с А Cs-многообразия является структурой класса W4;
в) нормального IcАCs-мнoгooбpазия является келеровой структурой;
г) IcАCs-мнoгooбpaзия, для которого N(2)(X, Y) = 0, или N(3)(X) = 0, или N(4)(X) = 0, является почти келеровой структурой в классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. 1976. Vol. 509. P. 1-146.
2. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М. ВИНИТИ. 1986. Т. 18. С. 25-71.
3. Кириченко В.Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. 2002. Т. 193, № 8. С. 71-100. https://doi.org/10.4213/ sm675.
4. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Издание второе, дополненное. Одесса: «Печатный дом». 2013.
5. Vaisman I. Conformai changes of almost contact metric manifolds // Lecture Notes in Mathematics. Berlin-Heidelberg-New-York. 1980. Vol. 792. P. 435-443.
6. Харитонова C.B. О геометрии локально конформно почти косимплектических многообразий // Математические заметки. 2009. Т. 86, № 1. С. 126-138. DOI: https://doi.org/10. 4213/mzm5249.
7. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли: пер. с англ. М.: Мир. 1987.
8. Кобаяши Ш., Номидзу К.М. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука. 1981.
9. Sasaki S., Hatakevama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. II // Tohoku Math. J. 1961. Vol. 13, № 2. P. 281-294.
10. Рустанов A. P. Свойства интегрируемости ЖСю-многообразий // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. Т. 20, № 5. С. 32-38. https://doi.org/10.15688/mpcm. jvolsu.2017.5.4.
11. Абу-Салеем А., Рустанов А. Р., Харитонова C.B. Свойства интегрируемости обобщенных многообразий Кенмоцу // Владикавказский математический журнал. 2018. Т. 20, № 3. С. 4-20 DOI: https://doi.Org/10.23671/VNC.2018.3.17829.
REFERENCES
1. Blair, D.E. 1976, "Contact manifolds in Riemannian geometry", Lecture Notes in Mathematics. Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, vol. 509. pp. 1-146.
2. Kirichenko, V. F. 1988, "Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of almost-contact manifolds", J. Math. Sci., vol. 42. pp. 1885-1919 https://doi.org/10.1007/BF01094419.
3. Kirichenko, V. F., Rustanov, A.R., 2002, "Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds", Sbornik: Mathematics, vol,193(8). pp. 1173-1201. http://dx.doi.org/10.1070/SM2002vl93n 08ABEH000675.
4. Kirichenko, V. F., 2013, "Differential-geometric structures on manifolds", Odessa: Printing House.
5. Vaisman, I., 1980, "Conformai changes of almost contact metric manifolds", Lecture Notes in MathemMics. Berlin-Heidelberg-New-York, vol. 792. pp. 435-443.
6. Kharitonova, S.V., 2009, "On the geometry of locally conformallv almost cosvmplectic manifolds", Mathematical Notes, vol. 86, pp. 121-131. https://doi.Org/10.1134/S0001434609070 116.
7. Warner, F., 1987, "Fundamentals of smooth manifolds and Lie group", M.: Mir.
8. Kobavashi, S., Nomidzu, K.M., 1981, "Fundamentals of differential geometry", M.: Nauka.
9. Sasaki, S., Hatakevama, J., 1961, "On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. II", Tohoku Math. ,J., vol. 13 (2), pp. 281-294.
10. Rustanov, A. R., 2017, "Integrabilitv properties of WC10-manifolds ", Mathematical physics and computer modeling, vol. 20(5), pp. 32-38. https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.5.4.
11. Abu-Saleem, A., Rustanov, A.R., Kharitonova, S.V., 2018, "Integrabilitv Properties of Generalized Kenmotsu Manifolds", Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 20(3). pp.4-20, DOI 10.23671/VNC.2018.3.17829.
nojivHeno 04.08.2021 r. npimaTO B nenaib 27.02.2022 r.
