Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

52

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

произойти значительно раньше, что может существенно сказаться на режиме работы скважины. Наши исследования показывают, что время обводнения скважины зависит от метода аппроксимации потока (рисунок). В таблице приведено время, когда блок с перфорацией скважины, от которой идет трещина, оказался обводнен на 10% при использовании метода подсетки и Ь-метода.

Оказывается, что при измельчении сетки в области скважины метод подсетки дает более адекватный с физической точки зрения результат. Вычисление потоков в этом методе основано на решении задачи ё1укУи = 0 в локальной подобласти О, называемой областью взаимодействия, с граничными условиями первого рода, полученными интерполяцией значений и в соседних блоках. Для решения этой задачи методом конечных элементов в О строится временная сетка, что сравнимо с локальным сгущением сетки. Это позволяет обнаружить сильный переток между расположенными по диагонали блоками с высокой проводимостью, который оказался не учтенным другими методами аппроксимации.

Параметр А 1 2 5 10 20 50 100

L-метод 497,7 488,6 475,9 468,2 463,0 459,5 458,8

Метод подсетки 497,6 476,6 442,8 418,7 400,5 392,1 390,9

Метод подсетки в случае однородной среды и ортогональной сетки не превращается в двухточечный метод, т.е. в этом смысле он не является адаптивным алгоритмом в отличие от О- и Ь-методов. С одной стороны, это преимущество, так как снижает ориентационный эффект на любой сетке, но, с другой стороны, это увеличивает время расчета, так как возрастает число ненулевых элементов в разреженной матрице. Поскольку количество блоков с трещинами обычно невелико, то нами был построен адаптивный вариант метода подсетки, в котором оригинальный метод применяется в подобласти, содержащей трещины и их окрестность, покрываемую областями взаимодействия. В остальной же части области используется двухточечная аппроксимация. Численные эксперименты на большом количестве реальных моделей с трещинами показали общее увеличение времени расчета не более чем 0,5%. Это подтверждает эффективность адаптивного метода подсетки для аппроксимации задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в трещиноватой пористой среде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богачев К.Ю., Мельниченко Н.С. О пространственной аппроксимации методом подсеток для задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9. 191-199.

2. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers, 1979.

3. Aavatsmark I. An introduction to multipoint flux approximations for quadrilateral grids // Comput. Geosci. 2002. 6, N 3-4. 405-432.

4. Aavatsmark I., Eigestad G.T., Mallison B.T., Nordbotten J.M. A compact multipoint flux approximation method with improved robustness // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2008. 24, N 5. 1329-1360.

5. Zhangxin C, Guanren H., Yuanle M. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. Philadelphia: SIAM, 2006.

Поступила в редакцию 06.05.2009

УДК 539.4.25

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ В СИММЕТРИЧНОЙ И НЕСИММЕТРИЧНОЙ УПРУГОСТИ

В. И. Горбачев1

В работе получены новые интегральные представления решений задач теории упругости (моментной и немоментной) для неоднородного тела через решения таких же задачдля

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

53

однородного тела. Эти интегральные представления могут быть использованы, в частности, для обоснования методики осреднения задач механики композитов.

Ключевые слова: упругость, композит, интегральные формулы, моментные теории, осреднение.

Some new integral representations of the solutions to the problems of the moment and nonmoment elasticity theories for nonhomogeneous bodies are obtained using the solutions to the same problems for homogeneous ones. In particular, these integral representations can be used to substantiate the homogenization procedures for composite mechanics problems.

Key words: elasticity, composite, integral formulas, moment theories, homogenization.

1. Интегральные формулы классической теории упругости. В классической теории упругости тензор напряжений и тензор деформаций симметричны. Постановка статической смешанной краевой задачи для тела, занимающего объем V и ограниченного поверхностью Т, дается следующими уравнениями:

аЧ,3 + Хг — 0) — СцЫ£ки £к1 — Ак1тпит,п; п] ^ — р0, ^^ — и0 ' (1)

Интегральные формулы, о которых идет речь, выводятся из локального тождества Бетти ач е'г] — а'г] £ч, где штрихом помечены напряжения и деформации в задаче (1) с другими входными данными X', р0', и0'. Проинтегрируем тождество Бетти по объему тела. Преобразуем объемный интеграл, используя уравнения равновесия и граничные условия, в результате получим интегральную формулу, которая выражает теорему взаимности Бетти [1]:

У Хги'г йУ + 1 а^пзи'г йТ — J Х'щ йУ + J а'^п^иг йТ' (2)

У £ У £

Теорема взаимности находит большое применение в сопротивлении материалов и в строительной механике. Из теоремы взаимности можно получить некоторые полезные сведения о решении исходной задачи, не решая саму задачу. Например, в случае второй краевой задачи по входным данным можно вычислить средние значения напряжений.

Из теоремы взаимности следует формула Сомилианы, по которой решение исходной краевой задачи выражается через фундаментальное решение уравнений упругости для бесконечной среды и через перемещения и усилия на всей границе тела.

Для вывода этой формулы обозначим через и(к\х,£) фундаментальное решение уравнений теории упругости, т.е. перемещения в точке х от единичной силы Xг — 5»к5(х — £), приложенной в точке £ и направленной по оси хк. Например, в случае бесконечной однородной изотропной среды это известное решение Кельвина. По перемещениям найдем напряжения Т^(Х)£) — С^тпит}п(Х) £). Положим в формуле (2) X' — 5гк5(х — £), и'» — и(к\х,£), а- — Тк\х)£). В результате после замены х ^ £ получим формулу Сомилианы

иг(х) — У Хк(£)и(к)(х,£) йУ^ + 1 [ак](£)щи(к)(х,£) — ик(£)Т®(£)х) щ] (Щ' У

Здесь ик (£) — перемещения граничных точек, а а к^ (£)щ — Рк (£) — соответствующие им реакции, т.е на границе должно быть задано шесть величин. На самом деле на границе упругого тела независимо можно задать лишь три величины из шести указанных. Другие три должны определяться из решения задачи. По этой причине, как принято считать, формула Сомилианы представляет лишь теоретический интерес. Однако из этой формулы можно получить систему из трех интегральных уравнений для нахождения трех неизвестных на поверхности функций по трем заданным. Эти интегральные уравнения имели большое значение при разработке различных методов граничных интегральных уравнений [2].

Из теоремы взаимности легко получить формулу Грина, позволяющую представить решение исходной задачи через входные данные и тензор Грина рассматриваемой краевой задачи [3]:

иг(х) — I Хк(£)и(к)(х,£) У + !Р0к(£)и(к) (х,£) (Щ — | иКОа^ (£,х) щ (Щ' (3)

У £р £«

Формулу (3) можно использовать, если известен тензор перемещений Грина и(к) (х,£) и напряжения Грина а'(х,£) = Сгутпи№г,п(х,£). Сошлемся на Новацкого, который пишет [1, с. 152], что тензор перемещений Грина найден для плит и мембран. В других случаях задача нахождения тензора Грина ничуть не проще, а может быть, даже и сложнее решения исходной задачи. Отметим, что формула Грина справедлива как для однородного, так и для неоднородного тела.

Из формулы Грина можно получить еще одну полезную формулу, позволяющую выразить решение смешанной краевой задачи для тела с одними упругими характеристиками через решение такой же краевой задачи для тела с другими упругими характеристиками. Пусть наряду с задачей (1) рассматривается такая же задача для тела с другими упругими параметрами С^к1, и пусть е? = А'кгУк,г, т? = С'^екг — перемещения, деформации и напряжения в этой задаче. Назовем ее сопутствующей задачей. Учитывая нулевые граничные условия в задаче о тензоре Грина и то, что объемные нагрузки и граничные условия в исходной и сопутствующей задачах одинаковы, преобразуем поверхностные интегралы в формуле (3) в объемные. В итоге найдем [4]

Щ (х) = уг (х) + ! е« (£,х)[С°Ырд — СкЛрд(£)]еРд (£) (Щ. (4)

у

Здесь (х, £) = [и(к (х, £)+Щк}(х, /2 — деформации Грина. В формуле (4) величины могут быть как постоянными, так и переменными, зависимыми от £ величинами. Представим далее деформации в точке £ С V через их значения в точке х С V, используя для этого многомерные ряды Тейлора [5, с. 326]:

^ 1 = ПП..Лд(С,Фч,П..лд(х), Пп..лд(£,х) ЕЕ - - Хъ) . . . - Хгч) . (5)

9=0

В результате подстановки ряда (5) в интегральную формулу (4) получим разложение решения исходной задачи в ряд по градиентам деформаций в сопутствующей задаче:

Щ(х) = Уг(х) (х) еЫ,г! ,.ЛЧ (х).

9=0

Здесь Ж-функции фактически являются моментами тензора деформаций Грина. Для них из исходной краевой задачи (1) можно получить систему рекуррентных краевых задач [4, 6].

Интегральные формулы, подобные формуле (4), были получены для динамической задачи теории упругости [7], а также для других задач МДТТ, описываемых линейными уравнениями [8, 9].

2. Моментная теория упругости. В моментной теории упругости кроме обычных напряжений и деформаций присутствуют тензоры моментных напряжений и тензор искривлений. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости состоит: из уравнений равновесия + X^ = 0, ц+ е?ка?к + У = 0; определяющих соотношений а? = С'кгекг + В'кгкы, ц? = В'гекг + Щкгкы; соотношений типа Коши е? = и?,i — е?шк, к? = ш?, ^ граничных условий а'П? |Е = р0, и^ = и0; = т0, = ш0.

Уравнения моментной теории упругости легко сводятся к шести связанным дифференциальным уравнениям в частных производных относительно трех перемещений Ул(х) и трех углов вращения ш^х). Как и в классической теории, в моментной теории имеет место локальное тождество типа тождества Бетти а?е' + к' = а'е? + к?, из которого выводится формула взаимности [1, с. 840]

У (ХЩ + Уш'') (V + ! и[ + ш'') йТ* = J (ХЩ + (V + J (а'п?щ + ц'п?ш^ й^. (6)

У £ У £

В статической задаче моментной теории упругости тензоры Грина можно ввести двумя различными способами. В первом случае в точке £ тела задается единичная сосредоточенная сила, направленная по

оси хк, т.е. Xi = 5ik5(х — £), У, = 0. Обозначим через и (к\х,£) и ш (к)(х,£) решение исходной задачи

неоднородной моментной теории упругости в точке х при нулевых граничных условиях. Во втором случае в точке £ тела задается единичный сосредоточенный момент, направленный по оси хк, т.е. Xг = 0,

У — 5гк5(х — £). Этому случаю соответствует решение и (к)(х,£) и и (к\х,£), удовлетворяющее исходным уравнениям равновесия при нулевых граничных условиях. Эти тензоры используем для получения аналогов формулы Грина из формулы взаимности (6):

иг

(х)— I X(£) и (г)(£,х) + Ук(£) и (г)(£,х)] йУ^ + I [р°к(£) и (г)(£,х) +

(О,

пкт (г)1 к

У

+ т°к(£) и (г) (£,х)] йТ — I [и°к(£) а % (£, х) щ + и0(£) А % (£, х) щ] й^

(г)

А (г),

(7)

¿г(х) — X (£) и(г) (£,х)+Ук(£) (£,х)] Щ + Р (£) и(г) (£,х) +

У

+ т°к(£) и (г)(£,х)] йТ — [ик(£) а %(£,х) щ + ¿0(£) А %(£,х) щ] Щ

(8)

Уравнения сопутствующей задачи моментной теории упругости запишем, применив другие обозначения для искомых функций и свойств материала:

уравнения равновесия т^гц + Xг — 0, и^ц + ецкт^к + Уг — 0;

определяющие соотношения тц — СЦкгекг + В^ы^ки Ач — Щы^ы + О^ыФкГ;

соотношения типа Коши ец — — екугфк, пц — фчгг;

граничные условия т^щ^ |£р — рк, у^« — и0, — тк, фг — и0.

Преобразуем формулы (7) и (8) с помощью уравнений сопутствующей задачи. Получим

иг(х)— Уг(х)+ кгШ £ « (£,х) — еы(£) О^^х)] йЦ + \иы(£) х(Щ (£,х) — Пк1(£) аЫ1 (£,х)] й^) (9)

У

У

¿г(х) — фг(х)+ I Тк1(£) £<¿1 (£,х) — еы(£) а® (£,х)1 + / ¡и^) Кс^х) — пы(£) А к (£,х) У' (10)

У

У

Воспользуемся далее определяющими соотношениями исходной и сопутствующей задач и заменим ормулах примут вид

в формулах (9), (10) величины ты, Vкг, а(1, Аы на ек1, пкг, , , после чего предыдущие формулы

иг

(х) —Уг(х) + I \ £ к) (£) х) Кгрд — Скгрд(£)] + К кг £ х) Вкгрд — Вкгрд(£)] \ерд(£) йУ5 +

(О,

У

+ I \ £ н(£,х) [В0гРд — ВкгРд(£)]+ К %(£,х) [Бкцрд — Бк1рд(£)] \пРд(£) йУ^

(г)

У

¿г

(х) —фг(х) + I \ £ « (£) х) Сгрд — Скгрд(£)] + К % (£, х) [В^д — ВНрд(£)] крд(£) йУ^ +

(г)

У

+ /{ £ы(£) х) [Вкгрд — Вкгрд(£)] + (£) х) [Бкгрд — Пкгрд(£)]} прд (£) йУ^'

У

Из этих интегральных формул следует представление решения исходной задачи моментной теории упругости в виде рядов по градиентам деформаций и искривлений в сопутствующей задаче:

те

щ(х) = у^х) + ^ [Nikгií...iq(х) ем,ь,.лч(х) + ЩШ1..лч(х) ,.лч(х)],

9=0

те

ш^х) = ф^х) + ^ [Vikгil..Лq (х) екЦ1..лч (х) + MiШl..лq(х) пы,п..лч (х)].

9=0

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-01-00231-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

3. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981.

4. Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. Вып. 2. 61-76.

5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

7. Горбачев В.И., Кокарев А.Е. Интегральная формула в динамической задаче неоднородной упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. 62-66.

8. Горбачев В. И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 6. 68-71.

9. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 31-37.

Поступила в редакцию 15.02.2008

УДК 531.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСТРЕЛА ИЗ ЛУКА: ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ С РЕЗУЛЬТАТАМИ

ЭКСПЕРИМЕНТА

А. А. Лужин1

В работе проведена проверка метода, предложенного автором совместно с А.В. Звягиным для решения задачи о выстреле из лука. Кратко изложен сам метод, выполнены оценка влияния величины шагов на точность вычисления и сравнение результатов численного метода с результатами эксперимента.

Ключевые слова: лук, стрела, выстрел.

The method proposed by the author and A.V. Zvyagin for the archery problem is verified. The method is briefly discussed. The effect of step sizes on the accuracy of computation is estimated. The numerical results are compared with experimental data.

Key words: bow, arrow, shot.

Лук как метательное орудие является достаточно сложным физическим объектом, состоящим из двух скрепленных между собой плеч, выполненных из упругого материала, и тетивы, соединяющей

1 Лужин Александр Александрович — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].