CC BY
10016. Lu L.-Y., Linb G.-L., Shihn M.-H. An experimental study on a generalized Maxwell model for nonlinear viscoelastic dampers used in seismic isolation // Eng. Struct. 2012. 34, N 1. 111-123.
17. Хохлов А.В. Нелинейные модели вязкоупругости типа Максвелла. Особенности их поведения, скоростная чувствительность и возможность использования для описания ползучести и сверхпластичности материалов. Отчет № 5193 НИИ механики МГУ им. Ломоносова. М., 2013.
18. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов: свойства теоретических кривых ползучести и моделирование затухания памяти // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2007. № 2. 147-166.
19. Хохлов А.В. Определяющее соотношение для реологических процессов c известной историей нагружения. Кривые ползучести и длительной прочности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 2. 140-160.
20. Хохлов А.В. Характерные особенности семейств кривых деформирования линейных моделей вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2015. 77, № 2. 139-154.
21. Хохлов А.В. Свойства семейств кривых ползучести при ступенчатом нагружении линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности. 2015. 77, № 4. 329-344.
Поступила в редакцию 23.12.2015
УДК 539.30, 519.6
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ БАХВАЛОВА-ПОБЕДРИ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ
В. И. Г°рбачёв1 Светлой памяти Учителя
посвящается
Статья посвящена роли выдающегося ученого-механика, профессора Бориса Ефимовича Победри в становлении и развитии метода осреднения в механике композиционных материалов с периодической структурой. Приводится обобщение метода осреднения на случай неоднородных тел, не обладающих периодичностью структуры.
Ключевые слова: композиционные материалы, неоднородная теория упругости, метод осреднения, интегральные формулы в теории упругости.
In the article the role of the outstanding scientist Professor Boris Efimovich Pobedrya in the formation and development of the method of averaging in the mechanics of composite materials with periodic structure is discussed. A generalization of this method is given for the case of nonuniform bodies with no periodic structure.
Key words: composite materials, nonuniform theory of elasticity, averaging method, integral formulas in the theory of elasticity.
Сам по себе термин "осреднение" или "усреднение" обозначает операцию вычисления среднего значения функции, определенной на некотором множестве. В теоретической механике термин "осреднение" обычно связывается с методами приближенного решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые метод осреднения был применен в небесной механике при исследовании движения планет вокруг Солнца. Потом этот метод стали использовать в нелинейной теории колебаний, теории автоматического регулирования и в решении ряда других проблем. Отметим, что во всех исходных уравнениях явно или неявно присутствует малый параметр, так что метод осреднения можно считать вариантом метода возмущений [1] или метода разложения по малому параметру.
В механике композитов объектом исследования являются материальные тела, составленные из объемов вещества с различными механическими и физическими свойствами. Для композита существенно то обстоятельство, что объемы вещества, составляющего тело, обладают характерными размерами, которые много меньше характерных размеров всего тела и в то же время намного больше размеров молекул, так что вещество в каждом объеме можно считать сплошной средой. По этой причине процессы, происходящие во всем композиционном теле, описываются дифференциальными
1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorby@mail.ru.
уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами, которые иногда называются уравнениями с быстроосциллирующими коэффициентами. Такое название связано с тем, что на малых промежутках коэффициенты могут существенно меняться несколько раз. В большинстве своем композиционные материалы обладают периодической или почти периодической структурой, поэтому коэффициенты в уравнениях являются быстроосциллирующими периодическими функциями.
Задачи теории упругости для тел с быстроосциллирующими упругими свойствами в 1960-е гг. рассматривал В.А. Ломакин [2-5]. Для этого он активно использовал метод возмущений. Примерно в эти же годы появились первые работы Бориса Ефимовича Победри в механике композитов [6-14]. В 1970 г. у него совместно с Алексеем Антоновичем Ильюшиным вышла книга по математической теории термовязкоупругости [15]. Как раз в это же время появились первые математические работы Николая Сергеевича Бахвалова по осреднению дифференциальных уравнений в частных производных с быстроосцилирующими коэффициентами. В 1974 и в 1975 гг. в журнале "Доклады Академии наук СССР" вышли три его работы по осредненным характеристикам тел с периодической структурой и по осреднению линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами [16-18]. Борис Ефимович, пожалуй, первым связал эти математические работы с реальными композитами и начал активно развивать это направление. В 1984 г. одновременно вышли две замечательные книги: Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. "Осреднение процессов в периодических средах" [19] и Победря Б.Е. "Механика композиционных материалов" [20], в которых обобщены результаты самого Победри и его учеников по развитию и практическому применению метода осреднения к линейным и нелинейным задачам статики и динамики композитов. В 1985 г. Н.С. Бахвалов и Б.Е. Победря в составе коллектива авторов за создание методов расчета конструкций из композиционных материалов получили Государственную премию СССР в области науки. В 1987 г. на механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова была организована кафедра механики композитов, которую с первого дня и до своей кончины 1 марта 2016 г. возглавлял Борис Ефимович Победря. Основной задачей новой кафедры было обучение специалистов в области фундаментальной механики композитов. За прошедшие 29 лет кафедрой было подготовлено более 250 студентов и около 150 аспирантов.
Начиная с 1967 г. Б.Е. Победрей опубликовано более 200 печатных работ, из них примерно половина так или иначе касается проблем деформирования и прочности композитов, причем в большинстве работ используются идеи, заложенные в методе осреднения. Метод осреднения в механике композитов с регулярной структурой по праву называется методом осреднения Бахвалова-Победри.
После публикации перечисленных выше работ Н.С. Бахвалова появилось большое количество публикаций российских и иностранных авторов, посвященных математическим и механическим проблемам теории осреднения. Учитывая, что целью настоящей работы не является полный обзор трудов, отметим из обширного списка лишь некоторые монографии: В.А. Марченко, Е.Я. Хруслов [21], Э. Санчес-Паленсия [22], О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаев [23], В.В. Жиков, С.М. Козлов, О.А. Олейник [24], Д.И. Бардзокас, А.И. Зобнин [25], В.Л. Бердичевский [26], В.И. Большаков, И.В. Андрианов, В.В. Данишевский [27], A.L. Kalamkarov [28], T. Levinski, J.J. Telega [29]. В этих публикациях можно найти более подробную библиографию по теории осреднения.
1. Математическая формалистика метода осреднения задач для тел с регулярной структурой. На примере статической задачи теории упругости периодически неоднородного тела кратко опишем основные этапы метода осреднения. Динамические задачи, а также связанные задачи термоупругости, электромагнитоупругости и т.д. рассматриваются похожим способом.
Итак, пусть периодически неоднородное упругое тело с ячейкой периодичности в виде куба с ребром l находится в равновесии под действием объемных и поверхностных сил. Обозначим через L характерный размер тела. Введем безразмерные декартовы координаты Xi, отнесенные к L. Пусть Oij — напряжения, eij — деформации, ui — перемещения, Cijki(Zi, С2, Сз) — компоненты тензора модулей упругости, представляющие собой интегрируемые функции локальных безразмерных переменных в кубе периодичности. Постановка задачи в безразмерных координатах в объеме, занятом телом, дается следующими уравнениями:
Oij,j + Xi(x1,x2,x3) = 0 , Oij = Cijfci(Z1, С2, С3) £kl , £kl = Akimn um,n ,
[Cijki(Z) Uk,i]!3 + Xi(x)=0, (1)
а на границе £ = £p + £u — условиями
Uil = u0(y), Oij nj I = p0(y) (y € £). (2)
a
P
Переменные 0 ^ (т ^ 1 — локальные (быстрые) переменные в кубе периодичности. Каждая локальная переменная связана с глобальной (медленной) безразмерной координатой
Г хг 1 I
где фигурные скобки означают дробную часть числа. Отсюда вытекает правило дифференцирования функции от локальных переменных по глобальной безразмерной координате:
да(() _ да д(к 1 да _ 1 дхг (1'% дС,к дхг а д^ а
Индекс после черты означает производную по соответствующей локальной переменной. Решение исходной задачи (1), (2) ищем в виде рядов по малому параметру:
те
щ(х) = Уг(х) + ^ ад+1 Мгки1..лч(С) еы^...^(х), еы = (ум + ^^/2. (3)
д=о
Здесь ^гкНь..г — непрерывные однопериодические функции локальных переменных ("ъ С2, Сз, а Уг(х) — гладкие функции глобальных переменных. Подстановка ряда в уравнения исходной задачи приводит к рекуррентным уравнениям для N-функций:
\_Cijmn Nmkl|n + С^'ы] у = 0 I (4)
\_Cijmn Nmkli1|n + Cijmiq Nтк^ |j = hii1kl \Сц1тп NткЦп + СИ1к}\ 1 (5)
\_Cijmn Nmkli1...iq|п + Cijmiq Nmklil...iq—l^ у = = hiiqklil...iq—1 — тп Nmkli1...iq—1|n + СЩmiq-l Nmklil..Лq-2^ при ч ^ 2- (6)
Константы hiiqки1..л<1—1 определяются по формулам
^^Ы — i^Ciilmn Nmkl|n + СИ1Ы^ 1 (7)
hiiqklil...iq—l = ^Сцг{тп Nmkli1...iq—1|n + Ciiqmiq—l Nmklil..Лq—2^ при ч ^ 2- (8)
Из уравнений (4)—(8) однозначно находятся непрерывные периодические функции с нулевыми средними значениями в ячейке периодичности.
Гладкие функции Vi(х,а) ищутся в виде асимптотических рядов по степеням малого геометрического параметра:
те
„п„ Лп}1
г(х,а) = ^ ап У{п}(х).
п=о
Функции у{п}(х) вычисляются из рекуррентной последовательности краевых задач для однородного анизотропного тела с эффективными свойствами (7), (8):
г, {п} , \г{п} „ {п}
Ыуы Уку + ХУ '=°1 у]
= ¡{п}(у)
где
Хт(х), если п = 0;
Лп},
ХТ (х) = \ ^ , {п-д} , , ^ ,
(х)1 если п > 1
,д=1
и0(у), если п = 0;
;^(У) ^Е (С) (х)
. д=1
, если п ^ 1.
£
и
Граничным условиям второго рода на для функций Vi удается удовлетворить лишь в среднем по ячейкам, прилегающим к границам тела.
Таким образом, в методе Бахвалова-Победри исходная задача сводится к двум рекуррентным последовательностям задач. В первой последовательности решаются задачи на ячейке периодичности. Эти задачи сводятся к нахождению непрерывных периодических решений уравнений неоднородной упругости в ячейке, т.е. N-функций. Кроме условий периодичности на N-функции накладываются дополнительные ограничения равенства нулю их средних значений в ячейке периодичности.
Во второй рекуррентной последовательности на каждом этапе решаются задачи теории упругости для однородного анизотропного тела с эффективными свойствами, которые вычисляются через N-функции с тремя индексами по формулам (7).
Метод осреднения в данной интерпретации понимается как асимптотический метод, справедливый при а — 0. В этой связи Борис Ефимович предложил так называемую теорию нулевого приближения, которая хорошо работает при "мелкой" структуре. В теории нулевого приближения необходимо решить первые задачи из каждой рекуррентной последовательности, т.е. найти функции Niki((i, (2, Сз). После этого вычисляются эффективные модули упругости, решается задача для однородного анизотропного тела с эффективными характеристиками, а уже затем находятся микронапряжения в нулевом приближении.
Решение практических задач показывает, что для удовлетворительной точности достаточно нулевого и первого приближений даже в тех случаях, когда тело состоит всего лишь из нескольких ячеек периодичности. Например, нулевое приближение в задаче о двухслойной трубе под давлением улавливает основные особенности решения, а первое приближение хорошо соответствует точному решению даже в том случае, когда свойства слоев существенно различаются [30].
Под непосредственным руководством Б.Е. Победри было показано, что в некоторых случаях асимптотические ряды сходятся и приводят к точным аналитическим решениям. Таким способом было получено решение нескольких новых задач теории упругости для неоднородных полос, которые вошли в "золотой" фонд науки [9, 31].
2. Обобщение метода осреднения задач для неоднородных тел с нерегулярной структурой. В 1991 г. метод осреднения был обобщен на случай неоднородных тел необязательно периодической структуры [32]. Постановка исходной задачи в этом случае дается уравнениями (1), (2), в которых модули упругости считаются уже функциями глобальных координат. Переход к безразмерным координатам не осуществляется. Обобщение основано на интегральном представлении решения исходной задачи через решение задачи для однородного тела той же формы и находящегося по воздействием тех же нагрузок:
Г dU(m)(r Я
иг{х) = Щ{х) + у * ^ [с°тпк1 - Стпк1Ш еы(£) (Щ , (9)
V
где vi(x), eij (x), Tij(x) _ перемещения деформации и напряжения в сопутствующей краевой задаче, т.е. в задаче того же типа, что и исходная задача, но для однородного тела такой же формы
и с модулями упругости C°jkl = const. Через U(m\x,£) = Um(£,x) обозначены компоненты тензора перемещений Грина [33]. Подстановка ui в виде (9) в уравнения (1), (2) исходной задачи при Cijki = Cijki(x\,x2, x3) показывает, что уравнения и граничные условия удовлетворяются при любых физически допустимых модулях упругости Cjki сопутствующего однородного тела.
В 1964 г. З. Хашиным и Б.В. Розеном в работе [34] были сформулированы две специальные краевые задачи (СКЗ), из решения которых находятся эффективные модули упругости и эффективные податливости неоднородного упругого тела. В первой СКЗ на всей границе неоднородного тела задаются перемещения специального вида ui(y) = YjVj (У £ Yj = Yji = const. Во второй СКЗ на границе тела задается распределенная нагрузка специального вида aij (y)nj = Xijnj (y € £), Xij = Xji = const. Решением первой сопутствующей СКЗ является vi(x) = Yjxj (x € V), а решением второй сопутствующей СКЗ является Tij = Xij. Из общей интегральной формулы (9) следует, что эффективные модули упругости в соотношениях < aij > = hjki < £ki > и эффективные податливости в соотношениях < eij > = Hjki < Vki > выражаются по формулам
hijki = (Cijki(x) - VCijmn(x)( (гЦ (x,0) )x , Hijki = ^(j (x,0) )x^mnki-
Здесь а^ (ж,£) — компоненты тензора напряжений Грина первой краевой задачи, а (ж,£) — компоненты тензора деформаций Грина второй краевой задачи. Эффективные тензоры удовлетворяют всем условиям симметрии и положительной определенности, однако в общем случае они не
являются взаимно обратными. Они становятся таковыми в случае композита с периодической структурой при а = 1/Ь — 0. Интегральные формулы для динамической задачи неоднородной упругости, моментной неоднородной упругости, связанной задачи неоднородной термоупругости приведены в работах [35-37].
Предположим теперь, что деформации е^ (х) являются гладкими функциями координат XI в области V, занятой сопутствующим телом. Тогда в окрестности любой точки х С V их можно разложить в ряды Тейлора, так что в любой точке £ С V справедливо следующее представление:
1
д=0
еч(0 = Е иг1-гЛ>Х)еЧ,П-Ф) , = — - Х^) . . . - Ж,,) . (10)
Подставляя (10) в формулу (9), получим разложение решения исходной задачи в ряд по производным от деформаций в сопутствующей задаче:
Щ(х) = ^(х) + Е ^Шг.-.ц (х) ек1^..Лч (х) , (11)
д=0
где
КШ1..л„(х) = и{Х(х,0 [о°тпк1 -Стпк1(£)\ ПЦ..Л,,(£,х)(Щ.
V
Формула (11) полностью идентична формуле (3). Разница в том, что в формуле (11) малый параметр отсутствует как таковой, глобальные координаты — размерные переменные, Ж-функции зависят от глобальных координат. N-функции находятся из рекуррентной последовательности, вид которой аналогичен уравнениям (4)-(7). Константы Нцчки1..лч-1 = 0 при д ^ 2.
Таким образом, в модифицированном методе осреднения необходимо решить одну задачу для однородного упругого тела с эффективными характеристиками и одну рекуррентную последовательность вспомогательных задач для нахождения коэффициентов ряда, т.е. Ж-функций.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-01-00848а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.
2. Победря Б.Е., Ломакин В.А. Об эффекте моментных напряжений в неоднородной среде // Проблемы надежности и строительной механики. Вильнюс, 1967. 112-117.
3. Ломакин В.А. О задачах теории упругости для тел с быстроосциллирующими упругими свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1967. № 2. 110-116.
4. Ломакин В.А. Статистические задачи механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1970.
5. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.
6. Победря Б.Е. Термовязкоупругая задача об армированном полом цилиндре // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1971. № 5. 173-179.
7. Победря Б.Е. О структурной анизотропии в вязкоупругости // Механика полимеров. 1976. № 4. 622-626.
8. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1977. № 5. 101-111.
9. Горбачев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неоднородных полос // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1979. № 5. 111-118.
10. Победря Б.Е., Холматов Т. Деформирование слоистых композитов // Механика композитных материалов. 1981. № 5. 778-788.
11. Победря Б.Е. Об упругих композитах // Механика композитных материалов. 1983. № 2. 216-222.
12. Победря Б.Е. К теории вязкоупругости структурно-неоднородных сред // Прикл. матем. и механ. 1983. 47, № 1. 133-139.
13. Победря Б.Е., Горбачев В.И. Концентрация напряжений и деформаций в композитах // Механика композитных материалов. 1984. № 2. 207-214.
14. Мольков В.А., Победря Б.Е. Эффективные модули упругости однонаправленного волокнистого композита // Докл. АН СССР. 1984. 275, № 3. 586-589.
15. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
16. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. 1974. 218, № 5. 1046-1048.
17. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосцилли-рующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. 221, № 3. 516-519.
18. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. 225, № 2. 249-252.
19. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
20. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
21. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.
22. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
23. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.
24. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993.
25. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Эдиториал УРСС, 2003.
26. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.
27. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги, 2008.
28. Kalamkarov A.L. Composite and reinforced elements of construction. Baffins Lane, Chechester, West Sussex, England.: John Wiley & Sons Ltd., 1992.
29. Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. N.J.: World Scientific Publishing Co, 2000.
30. Горбачев В.И. Об упругом равновесии цилиндрической неоднородной по толщине трубы под действием поверхностных нагрузок и перемещений // Проблемы прочности. 1979. № 5. 79-83.
31. Горбачев В.И. Об одном подходе к решению задач теории упругости для длинной неоднородной по ширине анизотропной полосы // Упругость и неупругость. Ч. II. М.: Изд-во МГУ, 1993. 39-55.
32. Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. № 2. 61-76.
33. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
34. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials // Trans ASME. J. Appl. Mech. 1964. 31, N 2. 223-232.
35. Горбачев В.И. Динамические задачи механики композитов // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. 75, № 1. 117-122.
36. Горбачев В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 57-60.
37. Горбачев В.И. Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости. Применение в механике композитов // Прикл. матем. и механ. 2014. 78, № 2. 277-299.
Поступила в редакцию 22.04.2016
