ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА НА ПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

НАУКА И МИРОВОЗЗРЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА НА ПРОСТРАНСТВЕ Гарлыева Сахрагул Гелдимырадовна

Студент Туркменский государственный университет имени Махтумкули г. Ашхабад Туркменистан

Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, т.е. пренебрегая второстепенным характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде интегральных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакциях, электрических и магнитных явлений, в электростатике, гидростатике и многих других разделов физики.

Также интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях, таких как, теории упругости, гидростатике, экономике, медицине и т.д. В работе изложены характерные особенности интегральных уравнений и их классификация. Она является одним из разделов математического анализа. Фредгольм (Fredholm) Эрик Ивар (7.4.1866, Стокгольм, - 17.8.1927, Мёрбю), шведский математик. Окончил Стокгольмский университет (1893), с 1906 профессор там же. Основные труды по интегральным уравнениям. В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. уравнения Фредгольма).

Решение линейных интегральных уравнений актуально в наше время. Интегральные уравнения помогают в решении множества задач, которые порой невозможно или очень не рационально решать другим способом. На сегодняшний день полноценный раздел, имеющий большое практическое значение в задачах радиоэлектронике, экологии и формировании многих физических процессов. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные понятия интегральных уравнений. Актуальность работы. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Один из классов таких некорректных задач составляют интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Приводится большое число прикладных задач, в том числе, задач математической обработки (интерпретации) результатов измерений в физических экспериментах. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, рассмотрены отдельные методы.

При исследовании природных явлений в виде интегральных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом.

Целью нашей работы является рассмотрение особенностей интегральных уравнений Фредгольма и изучение применения этого метода в механических и физических явлениях. Для поставленной цели необходимо решить задачи: 1 Рассмотреть понятие интегрального уравнения;

ш

2 Рассмотреть однородные и неоднородные интегральные уравнения Фредгольма второго рода;

3 Изучить методы решения интегральных уравнений Фредгольма.

4 Показать приемы решения интегральных уравнений в различных физических явлениях и процессах.

В результате выполнения работы рассмотрены физические задачи, приводящие к интегральным уравнениям, основные типы интегральных уравнений и методы их решений. Выполнены решения интегральных уравнений с помощью метода последовательных приближений.

Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида

где - неизвестная функция, К(_х>£) Иf(x) - известные функции, х и ^ - действительные переменные, изменяющиеся в интервале числовой множитель.

Функция называется ядром интегрального уравнения (1); предполагается, что ядро к{х>$ определено в квадрате ^М11 —х — — * — на плоскости О1'0 и непрерывно в ^ , либо его разрывы таковы, что двойной интеграл

имеет конечное значение.

Если ДО ^ ^ , то уравнение (1) называется неоднородным; если же , то уравнение (1) принимает вид

И называется однородным. Интегральное уравнение вида

не содержащее искомой функции вне интеграла, называется интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода.

Пределы интегрирования а и ^ в уравнениях (1), (2) и (3) могут быть как конечными, так и бесконечными.

Решением интегральных уравнений (1), (2) и (3) называется любая функция ^0*0' при подстановке которой в уравнения последние обращается в тождества относительно х е

2. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма

Как и в случае уравнений Вольтерра, интегральное уравнение (1) можно решать методом последовательных приближений. Для этого полагаем

где определяются по формулам

/

Здесь

и вообще

п 2,3,... ^ причем ^(^'О — ^С^'0-функции -и(ж'0 определяемые по формулам (3), называются итерированными ядрами. Для них справедливо соотношение

где ш - любое натуральное число, меньшее п-

Резольвента интегрального уравнения (1) определяется через итерированные ядра формулой

где ряд, стоящий в правой части, называется рядом Неймана ядра . Он сходится для

где

Решение уравнения Фредгольма 2-го рода (1) выражается формулой

. (7)

/

Граница (6) является существенной для сходимости ряда (5). Однако решение уравнения (1) может существовать и для значений ' ' в