CC BY
28
UTICAJ PARAMETARA CILINDRICNIH ZUPCASTIH PAROVA NA STEPEN SPREZANJA PROFILA ZUBACA
Predrag S. Dobratic a, Mileta R. Ristivojevic b a Univerzitet odbrane u Beogradu, Vojna akademija,
Katedra vojnomasinskog inzenjerstva b Univerzitet u Beogradu, Masinski fakultet, Katedra za opste masinske konstrukcije
DOI: 10.5937/vojtehg62-5393
OBLAST: masinstvo
VRSTA CLANKA: originalni naucni clanak Sazetak:
U domenu prenosa i transformacije snage od pogonske do radne masine zupcasti parovi zbog kompaktnosti konstrukcije, velike pouzda-nosti i nosivosti imaju najvecu primenu u masinogradnji. Jedan od naci-na poboljsanja radnih karakteristika zupcastih parova, a time i zupcastih prenosnika, jeste povecanje broja istovremeno spregnutih parova zuba-ca, odnosno povecanje stepena sprezanja profila zubaca. U radu je de-taljno analiziran parcijalni i istovremeni uticaj broja zubaca i oblika profila zubaca, preko koeficijenta pomeranja profila zubaca i ugla nagiba profila alata, na broj istovremeno spregnutih parova zubaca. Na osnovu dobije-nih rezultata mogu se definisati optimalni parametri cilindricnih zupcastih parova sa aspekta velicine stepena sprezanja profila zubaca.
Kljucne reci: cilindricni zupcanici, sprega zubaca, stepen sprezanja.
Uvod
Da bi se obezbedilo kontinualno prenosenje obrtnog kretanja sa pogon-skog na gonjeni zupcanik, neophodno je da, pre nego sto jedan par spregnutih zubaca zavrsi svoje dodirivanje, sledeci par zapocne svoj dodir. Kinematski pokazatelj postojanja kontinualnosti prenosenja obrtnog kretanja jeste stepen sprezanja bokova zubaca, koji je definisan kao odnos ugla obrtanja zupcanika koji odgovara vremenu trajanja dodirnog perioda posmatranog para zubaca i ugla koji odgovara koraku zubaca. Prema ovom kriterijumu, da bi postojalo kontinualno prenosenje obrtnog kretanja, stepen sprezanja bokova zubaca mora biti veci od jedan (Ristivojevic, Mitrovic, 2002), (Ristivojevic, 1985).
Na osnovu stepena sprezanja bokova zubaca dobija se informacija o broju istovremeno spregnutih parova zubaca, koji se smenjuju u toku dodirnog perioda. Tako, na primer, ako je 1 <sy < 2 - naizmenicno se
e-mail: [email protected]
smenjuju jedan i dva para zubaca, a ako je 2 <sY < 3 - naizmenicno se
smenjuju dva i tri para zubaca, itd. Jedan od nacina povecanja radne sposobnosti zubaca zupcastih parova jeste angazovanje veceg broja pa-rova zubaca u prenosenju opterecenja (Ristivojevic, Mitrovic, 2002), (Ri-stivojevic, 1985). Treba napomenuti da je sY> 1 samo potreban, ali ne i
dovoljan uslov za ostvarivanje visestruke sprege. Sledeci uslov koji treba ispuniti je kompatibilnost izmedu tacnosti izrade zubaca, krutosti zubaca i intenziteta ukupnog opterecenja zupcastog para.
U radu (Li, 2008) prikazan je uticaj koeficijenta visine zubaca na ste-pen sprezanja profila zubaca. Pokazano je da se promenama koeficijenta visine zubaca u sadejstvu sa odgovarajucim vrednostima koeficijenta po-meranja profila zubaca i kinematskog prenosnog odnosa mogu ostvariti vrednosti stepena sprezanja profila zubaca vece od cetiri. U radu (Imrek, 2009) pokazano je kako se izborom odgovarajuceg konstrukcionog rese-nja oblika zubaca cilindricnih zupcanika sa pravim zupcima moze ostvariti dvostruka sprega zubaca u svim tackama aktivne duzine dodirnice profila zubaca kada su vrednosti stepena sprezanja profila zubaca manje od dva.
Matematicki model stepena sprezanja
profila zubaca
Stepen sprezanja bokova zubaca jednak je zbiru stepena sprezanja profila zubaca i stepena sprezanja bocnih linija. Kod cilindricnih zupcanika sa pravim zupcima stepen sprezanja bocnih linija jednak je nuli. Sa-glasno tome, kod ovih zupcastih parova stepen sprezanja bokova zubaca i stepen sprezanja profila zubaca su jednaki. U ovom radu razmatran je uticaj parametara zupcastog para na velicinu stepena sprezanja profila zubaca, koji je definisan odnosom aktivne duzine dodirnice (l) i koraka zupcanika na osnovnom krugu (pb):
s«= — (1)
Pb
Smenom izraza za aktivnu duzinu dodirnice (l) i za korak zupcanika na osnovnom krugu (pb) u jednacini 1 dobija se izraz za stepen sprezanja profila zubaca (Ognjanovic, 2011), (Ristivojevic, 2005):
V^al2 - rb12 2 - rb2 - a '
S a =--(2)
mn - n- cosa
gde je mn - standardni modul zupcanika.
dD
Smenom izraza za osno rastojanje (a), kao i izraza za poluprecnike
podeone (r1 i r2), podnozne (rf 1 i rf 2), temene (ra1 i ra2) i osnovne (rb
'bl
rb2 ) kruznice u jednacini 2, dolazi se do opsteg izraza za stepen sprezanja profila zubaca (Ognjanovic, 2011), (Ristivojevic, 2005):
sa = ■
z1 + z 2 cosa z 2
------ x2 +1
2 cos aw 2
"1 2 — -cos a
■ +
n- cosa
+ ■
z1 + z 2 cosa
cosa
- x, +1
22 — -cos a
n- cosa
(3)
z1 + z 2 cosa
2
cos aw
sin aw
n- cosa
gde su:
z1 i z 2 - broj zubaca malog i velikog zupcanika, respektivno,
x1 i x2 - koeficijent pomeranja profila zubaca malog i velikog zupcanika, respektivno,
a - ugao nagiba profila alata (osnovne zupcaste letve), aw - ugao dodirnice.
Ovaj izraz izveden je za koeficijent visine zubaca zupcanika y = 1, koeficijent visine glave alata ca0 = 0,2 i koeficijent temenog zazora c = 0,2.
Ako je zbir pomeranja profila zubaca x1 + x2 = 0 , ugao dodirnice (aw) jednak je uglu nagiba profila alata (a), i ako su zupci spregnutih zupcanika uradeni bez pomeranja profila, tada je x1 = x2 = 0, a opsti izraz za stepen sprezanja profila zubaca moze se napisati u obliku (Ognjanovic, 2011):
s„ =
^1-2 i --sin a + z1 +1 +
4 1
z 2 .2 i z1 + z 2
- sin a + z2 +1 —1--
4 2 2
sin a
-. (4)
n - cos a
2
2
4
2
2
2
2
4
2
<8D
Na osnovu jednacina 3 i 4 razmotren je uticaj broja zubaca malog i veli-kog zupcanika ( z1 i z 2 ), koeficijenta pomeranja profila zubaca malog i veli-kog zupcanika (x1 i x2) i ugla nagiba profila alata (a) na stepen sprezanja profila zubaca, a u skladu sa algoritmom prikazanim na slici 1 (Rosic, 2003).
start
Z - 2
xmi ^ 2
aw = fw ( z1, z2, x1, x2,a) i
sa = fa(z1, z2, x1, x2,a,aw)
Slika 1 - Algoritam za odredivanje stepena sprezanja profila zubaca Figure 1 - Algorithm for the transverse contact ratio determination
CeT>
Uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca na stepen sprezanja profila zubaca
Najcesce koriscena vrednost ugla nagiba profila alata je ugao a = 20°. Medutim, za dobijanje zeljenih performansi zupcastog para u pogledu nosivosti bokova i podnozja zubaca, sve cesce se koriste vrednosti ugla nagiba profila alata razlicite od a = 20°. Radi toga u ovom delu je razmatran uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca spregnutih zupcanika na stepen sprezanja profila zubaca primenom jednacine 4.
Na slikama 2, 3 i 4 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca spregnutih zupcanika na velicinu stepena sprezanja profila zubaca kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 = 0 i x2 = 0, i kada je broj zubaca malog zupcanika z1 u intervalu 20 - 50 .
Na slici 2 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z 2 = 50. U ovom slucaju, trostruka sprega zubaca prisutna je kod zupcastih parova koji imaju ugao nagiba profila alata a = 14° i kada se broj zubaca malog zupcanika z1 nalazi u intervalu 21 - 50, odnosno kada se kinematski prenosni odnos u nalazi u intervalu 2,38 -1.
Takode, trostruka sprega zubaca prisutna je i kod zupcastih parova pri uglu nagiba profila alata a = 16°, ali u veoma malom intervalu broja zubaca malog zupcanika, z1 = 47 - 50.
Na slici 3 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 200. Trostruka sprega zubaca postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° kada je z1 u intervalu 20 - 50 i pri uglu nagiba profila alata a = 16° kada je z1 u intervalu 21 - 50 . Pri tome, period trajanja trostruke sprege veci je kod ugla nagiba profila alata a = 14°.
Na slici 4 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 500. Trostruka sprega postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° i a = 16° kada je z1 u intervalu 20 - 50 . Kod ovih zupcastih parova periodi trostruke sprege su veci od perioda trostruke sprege zupcastih parova kod kojih je z2 = 200 .
Stepen sprezanja profila zubaca se pri povecanju broja zubaca malog zupcanika zx od 20 - 50 povecava 8% za a = 14°, 5% za a = 20° i 4% za a = 25°. Saglasno tome, sledi da se gradijent stepena sprezanja profila zubaca povecava sa smanjenjem ugla nagiba profila alata. Pri povecanju broja zubaca velikog zupcanika z 2 od 50 - 500 stepen sprezanja profila zubaca se povecava 10% za a = 14°, 5% za a = 20° i 3% za a = 25°, s tim sto se pri povecanju z 2 od 200 - 500 povecava 3% za a = 14° , 1% za a = 20° i 1% za a = 25°. Ova analiza pokazu-je da je uticaj broja zubaca na stepen sprezanja profila zubaca znatno iz-razeniji kod manjih vrednosti ugla nagiba profila alata.
Moze se zakljuciti da se stepen sprezanja profila zubaca povecava sa povecanjem broja zubaca i sa smanjenjem ugla nagiba profila alata. Gradijent povecanja stepena sprezanja profila zubaca je izrazeniji pri ma-njim vrednostima kinematskog prenosnog odnosa zupcastog para i pri manjim uglovima nagiba profila alata.
Slika 2 - Stepen sprezanja profila zubaca za ^1=0, x2=0 i z2=50 Figure 2 - Transverse contact ratio for x1=0, x2=0 and z2=50
Свг>
VOJNOTEHNICKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2014., Vol. LXII, No. 3
Uticaj ugla nagiba profila alata, broja zubaca i koeficijenta pomeranja profila zubaca na stepen sprezanja profila zubaca
Kao sto je vec receno, najcesce koriscena vrednost ugla nagiba profila alata je ugao a = 20°. Za dobijanje zeljenih performansi zupcastog para u pogledu nosivosti bokova i podnozja zubaca sve cesce se koriste vrednosti ugla nagiba profila alata razlicite od a = 20° i koeficijenti pomeranja profila zubaca razliciti od nule. U ovom delu razmatran je uticaj ugla nagiba profila alata, broja zubaca spregnutih zupcanika i koeficijenta pomeranja profila zubaca na stepen sprezanja profila zubaca primenom jednacine 3.
Koeficijenti pomeranja profila zubaca x1= x2=0,5
U ovom delu prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca spregnutih zupcanika na velicinu stepena sprezanja profila zubaca kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 = x2 = 0,5 i kada se broj zubaca malog zupcanika z1 nalazi u intervalu 20 - 50 (slike 5, 6 i 7).
Na slici 5 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z 2 = 50. U ovom slucaju trostruka sprega zubaca ne postize se ni pri jednom uglu nagiba profila alata kada je z1 u intervalu 20 - 50 .
Na slici 6 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 200. Kod ovih zupcastih parova trostruka sprega zubaca postize se samo pri uglu nagiba profila alata a = 14° i to u veoma malom intervalu promene broja zubaca malog zupcanika, z1 = 44 - 50.
Na slici 7 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 500. Kod ovih zupcastih parova trostruka sprega zubaca postize se samo pri uglu nagiba profila alata a = 14°, ali u znatno vecem intervalu promene broja zubaca malog zupcanika, z1 = 33 - 50 .
Uticaj broja zubaca na stepen sprezanja profila zubaca je znatno veci kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca veci od nule, ali su istovremeno vrednosti stepena sprezanja profila zubaca manje.
Slika 7 - Stepen sprezanja profila zubaca za *i=0,5, x2=0,5 i z2=500 Figure 7 - Transverse contact ratio for x1=0.5, x2=0.5 and z2=500
Koeficijenti pomeranja profila zubaca xi=0,5 i x2=-0,5
U ovom delu prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca spregnutih zupcanika na velicinu stepena sprezanja profila zubaca kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 = 0,5 i x2 = -0,5, i kada je broj zubaca malog zupcanika z1 u intervalu 20 - 50 (slike 8, 9 i 10).
Na slici 8 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 50. Trostruka sprega zubaca postize se samo pri uglu nagiba profila alata a = 14° i kada se broj zubaca malog zupcanika z1 nalazi u intervalu 35 - 50.
Na slici 9 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 200. Trostruka sprega zubaca postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° kada se broj zubaca malog zupcanika z1 nalazi u intervalu 28 - 50.
CO
o
X
o >
o <N
W
0£ ZD
o o
-J
<
o
X
o
LU
I—
>-
CC
£
w <
-j
CD >Q
X LU I—
o
o >
Na slici 10 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 500. Trostruka sprega zubaca postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° kada je z1 u intervalu 27 - 50 i pri uglu nagiba profila alata a = 16° kada se z1 nalazi u veoma malom intervalu 48 - 50.
Stepen sprezanja profila zubaca se, pri povecanju broja zubaca malog zupcanika z1 od 20 - 50 povecava 14% za a = 14°, 10% za a = 20° i 7% za a = 25°. Pri povecanju broja zubaca velikog zupcanika z 2 od 50 - 500 stepen sprezanja profila zubaca povecava se 3% za a = 14°, 1,5% za a = 20° i 1% za a = 25°, s tim sto se pri povecanju z 2 od 200 - 500 povecava 1% za a = 14°, 0,5% za a = 20° i 0,1% za a = 25°.
Kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca malog zupcanika pozi-tivni, a velikog zupcanika negativni, uticaj broja zubaca na stepen sprezanja profila zubaca je manji u odnosu na slucaj kada su oba koeficijenta pomeranja profila zubaca pozitivna. Istovremeno, povecan je interval broja zubaca malog zupcanika kada se ostvaruje trostruka sprega. Takode, i vrednosti stepena sprezanja profila zubaca su povecane.
1.4
_i_i_I_i_i_
25 30 35 40 45 50
A
20
2,
Slika 8 - Stepen sprezanja profila zubaca za x1=0,5, x2=-0,5 i z2=50 Figure 8 - Transverse contact ratio for xi=0.5, x2=-0.5 and z2=50
ö 1 . I 1
Slika 9 - Stepen sprezanja profila zubaca za л1=0,5, x2=-0,5 i z2=200 Figure 9 - Transverse contact ratio for x1=0.5, x2=-0.5 and z2=200
Slika 10 - Stepen sprezanja profila zubaca za xi=0,5, x2=-0,5 i z2=500 Figure 10 - Transverse contact ratio for x1=0.5, x2=-0.5 and z2=500
co o
X
o >
o <N
a:
LJU 0£ ZD O O
-J <
o
X
o
LU
I— >-
Q1
£
w <
-j
CD >o
X LU I— O
O >
Koeficijenti pomeranja profila zubaca x1=-0,5 i x2=0,5
U ovom delu prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata i broja zubaca spregnutih zupcanika na velicinu stepena sprezanja profila zubaca kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 = -0,5 i x2 = 0,5, i kada je broj zubaca malog zupcanika z1 u intervalu 20 - 50 (slike 11, 12 i 13).
Na slici 11 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z 2 = 50. Trostruka sprega zubaca postize se samo pri uglu nagiba profila alata a = 14° kada je z1 u intervalu 20 - 50 .
Na slici 12 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 200 . Trostruka sprega zubaca postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° i a = 16° kada je z1 u intervalu 20 - 50 i pri uglu nagiba profila alata a = 18° kada je z1 u intervalu 28 - 50.
Na slici 13 prikazan je uticaj ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca kada je broj zubaca velikog zupcanika z2 = 500. Trostruka sprega postize se pri uglu nagiba profila alata a = 14° , a = 16° i a = 18° kada je z1 u intervalu 20 - 50 .
Stepen sprezanja profila zubaca se pri povecanju broja zubaca malog zupcanika z1 od 20 - 50 povecava 4% za a = 14°, 2% za a = 20° i 1% za a = 25°. Pri povecanju broja zubaca velikog zupcanika z2 od 50 - 500 stepen sprezanja profila zubaca se povecava 17% za a = 14° , 10% za a = 20° i 7% za a = 25°, s tim sto se pri povecanju z2 od 200 - 500 povecava 4% za a = 14° , 2,5% za a = 20° i 2% za a = 25°.
Kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca malog zupcanika ne-gativni, a velikog zupcanika pozitivni, uticaj broja zubaca na stepen sprezanja profila je znatno manji u odnosu na slucaj kada su oba koeficijenta pomeranja profila zubaca pozitivna ili kada je koeficijent pomeranja profila zubaca malog zupcanika pozitivan, a velikog zupcanika negativan. Istovremeno, povecan je interval broja zubaca malog zupcanika kada se ostvaruje trostruka sprega. U ovom slucaju dobijene su najvece vrednosti stepena sprezanja profila zubaca. Povecan je i interval promene ugla nagiba profila alata kada se ostvaruje trostruka sprega zubaca.
2.2 2.1 2 1.9 ö 1 8 1.7
"а 14
otlS
otl В
аЕО
"otEE
otES
1.6
1.5
1.4
20
25
30
35
40
45
50
Slika 11 - Stepen sprezanja profila zubaca za ^=-0,5, x2=0,5 i z2=50
Figure 11 - Transverse contact ratio for.rp-0.5, ,t2=0.5 and z2=50 2.5
2.4 2.3 2.2 2.1
u л 1.9 1.8 1.7 1.6
Р18
1.5
20
25
30
35 z,
40
45
50
Slika 12 - Stepen sprezanja profila zubaca za xp-0,5, x2=0,5 i z2=200 Figure 12 - Transverse contact ratio for x1=-0.5, x2=0.5 and z2=200
C9D
Slika 13 - Stepen sprezanja profila zubaca za x1=-0,5, x2=0,5 i z2=500 Figure 13 - Transverse contact ratio for x1=-0.5, x2=0.5 and z2=500
Promena stepena sprezanja profila zubaca sa promenom koeficijenta visine zubaca
U radu (Li, 2008) analiziran je uticaj koeficijenta visine zubaca (y ) na stepen sprezanja profila zubaca cilindricnih zupcastih parova. Analiza je sprovedena za dva zupcasta para, kada je kinematski prenosni odnos u = 1 i u = 2 , i kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 = x2 = 0.
Kod obe prikazane varijante vidi se da se stepen sprezanja profila zubaca povecava sa povecanjem koeficijenta visine zubaca (tabele 1 i 2). Da bi se sagledao istovremeni uticaj koeficijenta visine zupca i oblika profila zubaca na stepen sprezanja profila zubaca, u radu su menjane vrednosti koeficijenta pomeranja profila zubaca, a rezultati su prikazani u tabelama 1 i 2. U tabeli 1 prikazane su vrednosti stepena sprezanja profila zubaca kada se u toku dodirnog perioda ostvaruje dvostruko-trostruka sprega zubaca. Vrednosti stepena sprezanja profila zubaca kada se po-stize jednostruko-dvostruka, dvostruko-trostruka, trostruko-cetvorostruka i cetvorostruko-petostruka sprega, prikazane su u tabeli 2.
Tabela 1 - Stepen sprezanja profila zubaca za ugao nagiba profila alata a=20° Table 1 - Transverse contact ratio for the pressure angle a=20°
z1=50 x1 y
z2=100 x2 1.05 1.1 1.2 1.3
0 0 2.18 2.27 2.45 2.63
0.15 0.25 2.08 2.16 2.34 2.51
0.25 0.15 2.06 2.15 2.33 2.50
0.15 - 0.25 2.18 2.27 2.45 2.63
- 0.25 0.15 2.23 2.32 2.50 2.68
0.25 - 0.15 2.12 2.21 2.39 2.57
- 0.15 0.25 2.17 2.26 2.44 2.62
- 0.15 - 0.25 2.29 2.38 2.57 2.76
- 0.25 - 0.15 2.30 2.40 2.58 2.77
Za oba para zupcanika u sprezi povecanje koeficijenta visine zubaca za 20% (na primer, sa y = 1 na y = 1,2) povecava stepen sprezanja
profila zubaca priblizno za 15% . Za spregnuti zupcasti par kada je z1 = 94 i z 2 = 94 povecanje koeficijenta visine zubaca za 50% (na primer, sa y = 1 na y = 1,5) povecava stepen sprezanja profila zubaca priblizno za 30%, a smanjenje koeficijenta visine zubaca za 50% (na primer, sa y = 1 na y = 0,5) smanjuje stepen sprezanja priblizno za 50%. Na osnovu toga moze se zakljuciti da je gradijent povecanja stepena sprezanja profila zubaca veci pri manjim vrednostima koeficijenta visine zubaca.
Kod oba zupcasta para u sprezi najveci stepen sprezanja profila zubaca dobija se kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 < 0 i x2 < 0 , a najmanji kada su koeficijenti pomeranja profila zubaca x1 > 0 i x2 > 0, i njihova medusobna razlika iznosi oko 8 -10%.
U svim slucajevima prikazanim u tabelama 1 i 2, stepen sprezanja profila zubaca je veci kada je x2 > x1, nego kada je x2 < x1. Stepen sprezanja profila zubaca, kod oba prikazana primera, opada sa porastom koeficijenata pomeranja profila zubaca x1 i x2.
Takode, moze se primetiti da se stepen sprezanja profila zubaca, za slucaj kada su x1 > 0 i x2 < 0 ili kada su x1 < 0 i x2 > 0, veoma malo razlikuje od stepena sprezanja profila zubaca kad nema pomeranja profila zubaca x1 = 0 i x2 = 0. Ova razlika iznosi 2 - 4% za vrednosti stepena sprezanja profila zubaca koje su prikazane u tabeli 1, odnosno samo 1% za vrednosti koje su prikazane u tabeli 2. Time se jos jednom potvrduje da se najvece promene stepena sprezanja profila zubaca postizu kada su x1 < 0 i x2 < 0 ili kada su x1 > 0 i x2 > 0 .
LO ■sT
T7
O o
<0 LO
ra -t
T7
ra ¡3
i- ct
cp d ca
.Q (D
5? ^
<o f>
£= tfí
o £
(ü a.
3 j®
(ü
N ^
(0 £
8 ■ S
N
« £
ü=
2 (5 ü. o
ro <u
<0 <u
N >
<U tf>
tfí ÍZ
c H
5 1
6 c^
55
i -Q
I <B
oj I—
-2 <d
-Q £
U3 CT> co co co co m co co
oo co OO oo c^ o co co
T- co co co c^ ■t ■t
CT> -Ji- -Ji- CN CN ■t -ü- ■t ■t
■t co co m m 03 03
co co co c^ c^ c^ P3 co
o co co co co co co m U3
co c^ co cg cg
co co co co co c^ co P3 c^
-ü- -ü- m U3
co 00 c^ c^ cg CN
co cn cn c^ c^ c^ P3 co
oo oo -ü- -Ji- m U3
co 00 co <XD <XD
cn cn cn cn cg cn cn P3 c^
cn CT> CT> -ü- ■t oo oo ■t -ü-
U3 U3 C!3 C!3 <XD K>
cn cn cn c^ cn cn cn cn c^
o CT> CT> -ü- ■t oo oo co co
U3 co co 03 03
cn cn cn c^ cg cn cn cn cn
o o co co cn cn
co cn cn c^ co cg cg
cn cn cn cn cn cg cn cn c^
o CT> CT> cn cn o o
^— co 00 c^ c^ cn cn
o cn T- T- c^ cg cg cg cn cn
U3 CT> CT> CT> co co CT> CT>
OO co OO oo o C3 co co o
O ■<- ■<- cn cg ■<- ■<- cn c^
CT> CT> CT> o o co co oo oo
OO 00 co <XD <XD co co
O
U3 co co cn cn cn cn
■t co co U3 U3
O
cn U3 co co o o oo oo
cn T— T— c^ cn cg cg cn cn
O
U3 U3 U3 U3
T- cn cg T- T- cg c^ T- c^ T- T- c^ T- cn c^ T-
o o o o o c^ o o 1 o o 1 o o 1 o o 1 o o 1 1 o o 1 1
o, s
co
n n
Zakljucak
Sprovedena analiza je pokazala da se variranjem parametara zup-castog para mogu menjati vrednosti stepena sprezanja profila zubaca, odnosno uticati na broj istovremeno spregnutih zubaca u prenosenju ukupnog opterecenja zupcastog para.
Vecim vrednostima broja zubaca spregnutih zupcanika, odnosno ve-cim vrednostima kinematskog prenosnog odnosa odgovaraju vece vrednosti stepena sprezanja profila zubaca. Nasuprot tome, manjim vrednostima ugla nagiba profila alata odgovaraju vece vrednosti stepena sprezanja profila zubaca. Pri tome, gradijent uticaja broja zubaca i ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca zavisi od vrednosti koeficijenta pomeranja profila zubaca. Ovaj gradijent je najveci kada su vrednosti koeficijenta pomeranja profila zubaca malog i velikog zupcanika negativne.
Negativnim vrednostima koeficijenta pomeranja profila zubaca malog zupcanika i pozitivnim vrednostima kod velikog zupcanika dobija se najmanji gradijent uticaja broja zubaca i ugla nagiba profila alata na stepen sprezanja profila zubaca. Istovremeno, pri ovoj kombinaciji koeficijenta pomeranja profila zubaca dobijaju se najvece vrednosti stepena sprezanja profila zubaca.
Sprovedena analiza je pokazala da se variranjem broja zubaca zupcastog para, ugla nagiba profila alata i koeficijenta pomeranja profila ne mogu ostvariti vrednosti stepena sprezanja profila zubaca vece od tri. To znaci da se u toku dodirnog perioda moze ostvariti samo dvostruka i tro-struka sprega zubaca. Za postizanje cetvorostruke sprege zubaca po-trebno je menjati koeficijent visine zupca.
Literatura
Imrek, H. 2009. Width modification for gears with low contact ratio. Mecca-nica, 44(5), pp. 613-621.
Li, S. 2008. Effect of addendum on contact strength, bending strenght and basic performance parameters of a pair of spur gears. Mechanism and Machine Theory, 43(12), pp. 1557-1584.
Ognjanovic, M. 2011. Masinski elementi.Beograd: Masinski fakultet.
Rosic, B. 2003. Planetarni prenosnici - unutrasnji cilindricni parovi.Beograd: Masinski fakultet.
Ristivojevic, M. 1985. Analiza raspodele opterecenja na istovremeno spreg-nute parove zubaca sa primenom na cvrstocu podnozja zupca zupcanika.Beo-grad: Masinski fakultet. Magistarski rad.
Ristivojevic, M., & Mitrovic, R. 2002. Raspodela opterecenja - zupcasti pa-rovii kotrljajnilezaji.Beograd: Masinski fakultet.
Ristivojevic, M. 2005. Zupcanici 1 - kinematika i kontrola.Beograd: Zavod za udzbenike i nastavna sredstva.
CO
o
X
o
> o
2
a: w 0£ ZD
o o
-J <
o
X
o
LU
T
Q1
£
S
< -J
CD >Q
X LU
T
O
o >
INFLUENCE OF THE CYLINDRICAL GEAR PAIRS PARAMETERS TO THE TRANSVERSE CONTACT RATIO
FIELD: Mechanical Engineering ARTICLE TYPE: Original Scientific Paper
Summary:
In the field of transmission and power transformation from the power engine to the working machine, gear pairs, are mostly used in mechanical engineering due to their compactness of the structure, high reliability and capacity. One way of improving the performance characteristics of gear pairs, and thus the gear transmitters, is to increase the number of simultaneously meshed pairs of teeth, or increasing the transverse contact ratio. To this end, this paper analyzes in detail the partial and simultaneous influence of the number of teeth and tooth profile shapes, moving through shifting coefficient and pressure angle, to the number of simultaneously meshed pairs of teeth. The obtained results allow us to define the optimum parameters of cylindrical gear pairs, in terms of the size of the transverse contact ratio.
Introduction
The kinematic indicator of the existence of the transmitting continuity of a rotary movement is the total contact ratio. In order to achieve the transmitting continuity of a rotary movement, the total contact ratio must be higher than one.
Based on the total contact ratio, the information on the number of simultaneously meshed pairs of the teeth which rotate during the contact period is obtained. For example, if the 1 < sY < 2 - one and two pairs of teeth alternately take turn, and if the 2 < sY < 3 - two and three pairs of teeth alternately take turn, etc. It should be noted that the er > 1 is a necessary but not sufficient condition for achieving multiple meshes. The next condition to meet is the compatibility between the accuracy of teeth production, the teeth rigidity and the intensity of the total load of the teeth pair.
The influence of the addendum coefficient on the transverse contact ratio is shown in the paper (Li, 2008). It is shown that changes in the
shifting coefficient and gear ratio can achieve the transverse contact ratio value higher than four. The paper (Imrek, 2009) showed that the appropriate structural solution of the form of the teeth of spur gears can achieve a double mesh of the teeth at all points of the lenght of the line of action, when the value of the transverse contact ratio is less than two.
The mathematical model of the transverse contact ratio
This section presents a mathematical model (equations from 1 to 4) and the algorithm (Fig. 1) to determine the transverse contact ratio.
The effect of the pressure angle and the number of teeth on the transverse contact ratio
This section analyzes the effect of the pressure angle and the number of the teeth meshed on the transverse contact ratio using equation 4. Figs. 2, 3 and 4 show the effect of the pressure angle and the number of the teeth meshed on the size of the transverse contact ratio when the shifting coefficient x1 = 0 and x2 = 0, and when the number of the teeth on the pinion z-i is in the interval from 20-50.
The analysis shows that the influence of the number of the teeth on the transverse contact ratio is much more pronounced at smaller values of the pressure angle.
It can be concluded that the transverse contact ratio increases with the number of teeth and with a reduction in the pressure angle. The gradient of enhancement of the transverse contact ratio is more expressed at lower values of the gear ratio and at lower pressure angles.
The effect of the pressure angle, the number of teeth and the shifting coefficient on the transverse contact ratio
This section analyzes the effect of the pressure angle, the number of teeth meshed and the shifting coefficient on the transverse contact ratio using equation 3.
Shifting coefficients xj = x2 = 0.5
This section shows the influence of the pressure angle and the number of the teeth meshed on the size of the transverse contact ratio when the shifting coefficients are x1 = x2 = 0.5 and when the number of the teeth on the pinion Z1 is in the interval from 20-50 (Figs. 5, 6 and 7).
The influence of the number of the teeth on the transverse contact ratio is significantly higher when the shifting coefficients are higher than zero, but at the same time the value of the transverse contact ratio is lower.
Shifting coefficients x1 = 0.5 and x2 = -0.5
This section shows the influence of the pressure angle and the number of the teeth meshed on the size of the transverse contact ratio when the shifting coefficients are x1 = 0.5 and, x2 = -0.5 and when the number of the teeth on the pinion zj is in the interval from 20-50(Figs. 8, 9 and 10).
When the shifting coefficients of the pinion are positive and the shifting coefficients of the gear are negative, the influence of the number of the teeth on the transverse contact ratio is lower than in the case when both shifting coefficients are positive. At the same time, the interval number of the teeth of the pinion is increased, when the triple mesh is achieved. Also, the value of the transverse contact ratio is increased.
Shifting coefficients x1 = 0.5 and x2 = 0.5
This section shows the influence of the pressure angle and the number of the teeth meshed on the size of the transverse contact ratio when the shifting coefficients are xj = -0.5 and x2 = 0.5, and when
o o
7
o
oo ¡±
cp
ro
.Q N
.<5 o
CP
ro
N <D
cr tn c
<u p
<u tn ro c
ro >
o
ro p
JZ
tn ro
>o p
N
>o
T3 £Z
O
2 ro <u E
ro p
ZD
T3
□L
_Q O
Q
the number of the teeth on the pinion zi is in the interval from 20 - 50 (Figs. 11, 12 and 13).
When the shifting coefficients of the pinion are negative and the shifting coefficients of the gear are positive, the influence of the number of the teeth on the transverse contact ratio is much lower compared to the case when both coefficients are positive or when the shifting coefficient of the pinion is positive, a the gear's one is negative. At the same time, the interval number of the teeth of the pinion is increased, when the triple mesh is achieved. In this case, the highest values of the transverse contact ratio were obtained. The interval of the pressure angle was increased when the triple mesh of the teeth is achieved.
The change of the transverse contact ratio by changing the addendum coefficient
The paper (Li, 2008) analyzed the impact of the addendum coefficient (y) on the transverse contact ratio of the cylindrical gear pair. The analysis was conducted for two gear pairs, when the gear ratio u = 1 and u = 2, and when the shifting coefficients xj = x2 = 0.
What was shown in both variants is that the transversej con2tact ratio increases with the growth of the addendum coefficient. To perceive the simultaneous influence of the addendum coefficient and the shape of teeth profiles on the transverse contact ratio, the shifting coefficient was changed in the paper, and the results are shown in Tables 1 and 2.
Conclusion
Higher values of the number of teeth meshed gears and higher values of the gear ratio correspond to higher values of the transverse contact ratio. In contrast, the lower values of the pressure angle correspond to higher values of the transverse contact ratio. Thereby, the gradient of the influence of the number of teeth and the pressure angle on the transverse contact ratio depends on the value of the shifting coefficient. This gradient has the highest value when the shifting coefficients of the pinion and the gear are negative.
The negative values of the shifting coefficient of the pinion and the positive values of the shifting coefficient of the gear cause the smallest gradient influence of the number of teeth and the pressure angle on the transverse contact ratio. At the same time, the combination of shifting coefficients causes the highest value of the transverse contact ratio.
The analysis has shown that by varying the number of teeth of the gear pair, the pressure angle and the shifting coefficient, the value of the transverse contact ratio higher than three cannot be accomplished. This means that during the contact period only a double and triple mesh of teeth can be achieved. For achieving the quadruple mesh of teeth, it is necessary to change the addendum coefficient.
Key words: spur gears, mesh of teeth, contact ratio.
Datum prijema clanka/Paper received on: 24. 01. 2014.
Datum dostavljanja ispravki rukopisa/Manuscript corrections submitted on: 14. 02. 2014.
Datum konacnog prihvatanja clanka za objavljivanje/ Paper accepted for publishing on:
16. 02. 2014.
(m)
