Индуктивное построение регрессионных моделей волатильности опционных торгов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 14, № 5, 2009

Индуктивное построение регрессионных моделей

*

волатильности опционных торгов

В. В. Стрижов Вычислительный центр РАН, Москва, Россия e-mail: strijov@ccas.ru

Р. А. Сологув Московский физико-технический институт e-mail: roman. sologub@yahoo. com

Предложен алгоритм индуктивного порождения регрессионных моделей оптимальной структуры. Алгоритм использован для построения моделей опционных торгов. Уточняется заданная экспертами модель зависимости вычисленной волатильности опционов от времени и цены исполнения. Используются данные торгов опционами Brent Crude Oil.

Ключевые слова: нелинейная регрессия, порождение моделей, выбор моделей, анализ параметров моделей, биржевые опционы, моделирование волатильности.

Введение

Существуют по крайней мере два подхода к созданию регрессионных моделей. Первый подход — модель назначается, исходя из информации о моделируемом явлении, второй — модель выбирается из множества универсальных моделей. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки. Предложенный алгоритм сохраняет сильные стороны обоих подходов: получаемые модели, с одной стороны, являются интерпретируемыми в рамках рассматриваемой прикладной области, а с другой — достаточно точно аппроксимируют измеряемые данные.

В этой работе алгоритм используется для уточнения модели опционных торгов, предложенной экспертами. Опцион — договор, по которому покупатель получает право (но не обязанность) совершить покупку или продажу базового инструмента по заранее оговоренной цене — цене исполнения опциона в момент, называемый временем исполнения опциона (см. [1]). В качестве базового инструмента рассматривается нефть (Brent Crude Oil, символ NYM).

Справедливая цена опциона (теоретически обоснованная минимальная цена, при которой продавец может выполнить свои обязательства по договору) вычисляется с помощью модели Блэка—Шоулза [2]. Эта модель включает оценку волатильности (изменчивости) цены базового инструмента. Волатильность — величина, равная стандартному отклонению стоимости базового инструмента, вычисленная на основе текущей стоимо-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-07-00181).

© ИВТ СО РАН, 2009.

сти финансового инструмента в предположении, что рыночная стоимость финансового инструмента отражает ожидаемые риски.

В предположениях, на которых основана модель Блэка—Шоулза, волатильность не зависит ни от цены исполнения опциона, ни от времени до его исполнения. На практике волатильность зависит от этих двух величин. Предполагаемое значение волатильности а1тр вычисляют как аргумент минимума разности между исторической (зафиксированной на бирже) и справедливой (полученной из модели) оценками стоимости опциона в модели Блэка—Шоулза:

а1тр = а^ш1п(Сы* - С(а, Р, В, К,1)), (1)

а

где Сь^ — историческая цена опциона; С — справедливая цена опциона, вычисленная по формуле Блэка—Шоулза; Р — цена базового инструмента; В — банковская процентная ставка; К — цена исполнения опциона; I — время до исполнения опциона.

При исследовании справедливой оценки стоимости опционов возникает задача аппроксимации а (К, I) зависимости волатильности опциона от цены исполнения опциона и времени до его исполнения.

Центральная задача данной работы — уточнение модели вычисления предполагаемой волатильности опциона, предложенной экспертами. Эта модель имеет вид

2\\ '4 агс1ап(ш5х) а = а^) = ' + ш2(1 — ехр(—ш3х )) +--, (2)

Ш 5

где

= 1п К — 1п С (£)

х = VI

и вектор параметров w = {ш\,...,ш5). Оптимальные параметры модели получены с помощью алгоритма Левенберга—Марквардта [3], начальное приближение параметров задано экспертами. При практическом использовании модели полученные параметры экспертами не интерпретировались.

Для уточнения модели (2) был предложен алгоритм, индуктивно порождающий регрессионные модели. Впервые методы последовательного порождения моделей были предложены А. Г. Ивахненко. В его методе группового учета аргументов [4] регрессионные модели-претенденты порождались как линейные суперпозиции. Модель оптимальной структуры выбирается из множества моделей-претендентов согласно назначенному критерию.

Так как модели вычисления предполагаемой волатильности зависят от своих параметров нелинейно, требуется снять ограничения на линейность суперпозиции. Регрессионную модель как произвольную суперпозицию порождающих функций можно построить методами символьной регрессии [5]. Для индуктивного порождения моделей задаются порождающие функции заданного числа аргументов и правила построения этих моделей. Выбор моделей при этом выполняется с помощью методов связанного байесовского вывода [6] и оптимального отсечения [7, 8].

Согласно последнему методу те компоненты суперпозиции, изъятие которых незначительно влияет на точность аппроксимации, изымаются или заменяются другими элементами. В случае замены предполагается, что вероятность получения более точной модели увеличивается.

Предложенный алгоритм уточнения регрессионных моделей развивает алгоритм, описанный в [9], и включает следующие основные шаги.

1. Задана обучающая регрессионная выборка; заданы набор порождающих функций и набор начальных моделей, требующих уточнения.

2. Параметры моделей-претендентов настраиваются в соответствии с заданной целевой функцией.

3. Вычисляются значения информативности элементов суперпозиции.

4. Выбираются лучшие модели.

5. Модели модифицируются: порождаются новые модели-претенденты, алгоритм повторяется с шага 2.

6. Алгоритм останавливается после отыскания модели оптимальной структуры или через заданное число шагов.

Результатом работы алгоритма является регрессионная модель оптимальной структуры с настроенными параметрами.

1. Постановка задачи

Задана регрессионная выборка — множество пар Д = {(хп, уп)}^= 1, в котором х € Ир — свободная переменная и у € И.1 — зависимая переменная. В контексте рассматриваемой задачи вектор хп = (¿п,Сп) содержит значения времени до исполнения опциона и цены его исполнения. Скаляр уп = ап есть предполагаемая волатильность базового инструмента в момент времени ¿п при цене исполнения опциона Сп.

Задано конечное множество порождающих функций О = {д\д : К х ... х К ^ К}. Функция д = д(Ь, •, •,..., •) — гладкая параметрическая. Первый аргумент функции — вектор параметров, последующие аргументы — функции свободных переменных, принимающие значения в К1. Множество О индуктивно определяет набор допустимых суперпозиций Г = {/»}. На эти суперпозиции накладывается ограничение сложности: каждая суперпозиция / состоит не более чем из Я функций д € О.

Суперпозиция / определяет параметрическую регрессионную модель / = /(', х). Она зависит от независимых переменных х и вектора параметров Вектор w € состоит из присоединенных векторов — параметров функций д1,..., дг, входящих в эту

суперпозицию, т.е. ' = Ь1.Ь2.....ЬГ, где . — знак присоединения векторов.

Сложностью регрессионной модели называется число г элементов д в суперпозиции /, задающих эту модель.

Требуется отыскать в множестве Г модель максимизирующую заданную целевую функцию р('\Д,в, /). Число параметров модели не должно превышать заданное число Ш*, число порождающих функций, из которых она состоит, не должно превышать заданное число г*. Модель, удовлетворяющую вышеперечисленным требованиям, будем называть моделью оптимальной структуры.

Целевая функция включает в себя данные Д, модель / = /(', х) и ее дополнительный параметр в. Вид целевой функции зависит от предположений относительно характера распределения данных. Эта функция задана следующим образом. Пусть V случайная величина в задаче восстановления регрессии

у = их) + V

2

с аддитивным некоррелированным гауссовым шумом с дисперсией а2 и нулевым математическим ожиданием.

Тогда, согласно методу наибольшего правдоподобия, целевая функция будет определена как

р(у|х, w,в,fг) 4 p(D|w,в,/i)

д „ ^ ехр(—вЕв(^,Л))

(в)

где в = а- 2 и ZD (в) — нормирующая константа. Функция ошибки Ед — сумма квадратов разности значений модели ^ и зависимых переменных,

N

2

Ед = ^2(fг(w, хп) — Уп)2. (3)

п= 1

Модель ^ является отображением из пространства независимых переменных X Э х и параметров Ш Э w в пространство зависимых переменных У Э у:

fг : X х Ш ^ У.

Параметр, доставляющий максимум целевой функции р, называется наиболее правдоподобным, w ^ wMP. После отыскания wMP отображение fг сужается на отображение fг : X ^ У и может быть использовано для вычисления значений предполагаемой волатильности.

2. Порождение и выбор оптимальной регрессионной модели

Ниже описаны правила порождения моделей и алгоритм, позволяющий существенно сократить число рассматриваемых моделей-претендентов за счет введения понятия влияния параметра модели на функцию ее ошибки. Алгоритм порождения моделей выполняется итеративно. На каждой итерации выполняются следующие шаги: порождение моделей, модификация моделей и выбор моделей с наименьшей ошибкой для новой итерации. При порождении те элементы моделей, которые незначительно влияют на функцию ошибки, заменяются другими. При этом ожидается, что новые модели точнее приближают регрессионную выборку. Так как это стохастический оптимизационный алгоритм, то модели, полученные в результате его работы, имеют локально-оптимальную структуру.

2.1. Порождение суперпозиции

Функции дь £ О проиндексированы числами V £ V = {1,...,У}. Задано отображение 1 : Vк ^ А. Элементы Аь £ А — всевозможные сочетания с повторениями из V по К, где К = 1,... , Я. Мощность множества А равна

|А1 = ¿Ск = ¿(К—!■

к=1 к=1 4 '

где С — число сочетаний с повторениями.

Элементы набора А4 = (аДк)} проиндексированы числами к = 1,... , Кс. Так как а £ V, элементы а4(к) однозначно соответствуют функциям д,и из О. Каждому набору Ас

поставим в соответствие набор матриц инцидентности (р^ (Д.)}, г € N. Индекс г матрицы р задает уникальную суперпозицию / функций д из С; обозначим р^ = рДД,). Число элементов этой суперпозиции равно Матрица инцидентности

рг : (1,...,К4}х(1,...,К4}^(0,1}

задает орграф и суперпозицию функций / нескольких аргументов. Суперпозиция / называется допустимой, если выполнены следующие условия.

1. Орграф р^ является ациклическим.

2. Орграф является односвязным без изолированных вершин, т. е. справедливо равенство

К к к

£Ер<(1'к) = £ *м*0),

1=1

где 5 = з('у) — число аргументов функции д,и. Иначе, число единиц в орграфе р^ равно суммарному числу аргументов в суперпозиции /¿.

3. Число аргументов каждого элемента суперпозиции должно совпадать с числом аргументов соответствующей порождающей функции

К

^^рД/,к) = з(аДк)), для всех к =1,...,К1. 1=1

Иначе, число вершин орграфа, смежных вершине с номером к, есть число з(а4(к)) аргументов функции д^ при V = а.(к).

2.2. Оптимальное упрощение модели

Те элементы д^ модели /¿, которые незначительно влияют на ошибку аппроксимации Еоможно исключить из модели без заметного ухудшения качества аппроксимации. Для определения таких элементов необходимо выполнить следующее.

Найдем локальную аппроксимацию функции (3) в окрестности точки wMP с помощью разложения в ряд Тейлора:

Ео^ + Дw) = Ео+ gT(w)Дw + 2AwTНДw + о (|М|3) ,

где Дw — возмущение вектора параметров w, g = дЕо/дw — градиент и Н = Н= д2Ео/дw2 — матрица Гессе.

Предполагается, что функция Ео достигает своего минимума при значении параметров w = wMP и ее поверхность в окрестности этой точки квадратична. Таким образом, предыдущее выражение можно упростить и представить в виде

ДЕо = Ео ^ + Дw) - Ео (w) = lДwTНДw.

Пусть исключение элемента модели есть исключение одного параметра модели, Исключенный параметр будем считать равным нулю. Это самое сильное ограничение, не позволяющее применять данный метод для регрессионных моделей произвольного вида. Исключение элемента эквивалентно выражению Ди^ + и3 = 0, иначе

еТ Дw + иа = 0,

где es — вектор, г-й элемент которого равен единице, все остальные элементы равны нулю.

Для нахождения исключаемого элемента требуется минимизировать квадратичную форму AwTHAw относительно Aw при ограничениях e^ + ws = 0 для всех значений г. Индекс г, который доставляет минимум квадратичной форме, задает номер исключаемого элемента:

г = arg min (min (AwT H Aw|eJ Aw + ws = 0) ) .

s \ aw /

Задача условной минимизации решается с помощью введения лагранжиана

L = AwTHAw - Л (eTAw + w.

в котором Л — множитель Лагранжа.

Дифференцируя лагранжиан по приращению параметров и по множителю Л, получаем

д ws и-1

Aw = - iH-uH e■

Этому значению вектора приращений параметров соответствует минимальное значение лагранжиана

w2

Ls — w

2[H-1]ss

Полученное выражение называется мерой выпуклости функции ошибки Ed при изменении параметра ws.

Функция Ls зависит от квадрата параметра ws. Это говорит о том, что параметр с малым значением можно удалить из модели. Однако если величина [H-1]ss достаточно мала, это означает, что данный параметр существенно влияет на качество аппроксимации модели.

В дальнейшем рассматривается влияние не отдельных параметров модели, а элементов суперпозиции. Будем считать, что элемент оказывает влияние, равное максимальному влиянию параметра, входящего в этот элемент. Для этого поставим в соответствие каждому элементу д^ суперпозиции fi скаляр

aik = max Ls, ie/fc

где Ik — множество индексов тех параметров, которые принадлежат функции gik.

2.3. Модификация суперпозиций

На каждой итерации алгоритма порождения моделей выполняется следующая последовательность шагов.

1. Каждая модель из множества моделей претендентов /i,... , /м настраивается, т. е. отыскиваются наиболее правдоподобные параметры wMP:

wMP = arg min Ed(w|D,/j).

w

2. Выполняется обмен элементами суперпозиций между случайными парами моделей. Для этого:

а) случайно выбирается пара индексов г, j £ {1, ■ ■ ■ , M};

б) в моделях fi и fj выбираются элементы g^ и gj¡ с вероятностью, пропорциональной значениям aik и ají соответственно;

в) порождаются новые модели fi и fj путем обмена моделей выбранными элементами.

Описанная последовательность выполняется M раз.

3. Выполняется модификация полученных моделей. Для этого в каждой модели из множества порожденных моделей (fj с заданной вероятностью выполняется замена элемента суперпозиции. Для этого:

а) рассматривается множество элементов (д^} модели fi, из этого множества случайно выбирается элемент gik;

б) из подмножества порождающих функций G, имеющих такое же число аргументов, что и у элемента gik, случайно выбирается элемент gs;

в) элемент модели gik заменяется на элемент gs в том случае, если число их аргументов совпадает.

4. Параметры порожденного множества моделей (fi} настраиваются.

5. Из объединенного множества моделей (fi jUfj выбираются M моделей, которые имеют наименьшие значения функции ошибки ED(w|D, fi), i = 1,... , M. Выбранные модели используются в качестве моделей-претендентов на следующем шаге итерации.

Итеративный алгоритм останавливается, когда значение функции ошибки одной из моделей-претендентов имеет значение, меньше заданного, либо после заданного числа итераций. При этом считается, что искомая модель — модель с наименьшим значением функции ошибки.

3. Вычислительный эксперимент

На практике при моделировании зависимости волатильности а(К, ¿) эксперты учитывают факторы, определяемые типом опциона и контекстом торгов. В [10] были предложены правила построения математических моделей предполагаемой волатильности. Цель вычислительного эксперимента — сравнение моделей, полученных с помощью алгоритмов, предложенных в данной работе, и моделей начального приближения, предложенных экспертами с учетом упомянутых правил.

3.1. Исходные данные

Для анализа выбраны исторические данные торгов опционом Brent Crude Oil. Срок действия опциона — полгода, с 02.01.2001 по 26.06.2001. Тип опциона — put (право на продажу базового инструмента), символ CLG01. Базовый инструмент — нефть, символ NYM. Использовались ежедневные цены закрытия опциона и базового инструмента. Сетка цен исполнения опциона K = {13.5,13.0,12.5,12.0,11.5,11.0}.

Данный выбор обусловлен тем, что объемы торговли инструментом велики. Инструмент имеет низкую волатильность, вследствие чего среди точек aimp (K, t) нет выбросов. В исходных данных имеются пропуски, так как опционы с ценами, далекими от цен базового инструмента, не торговались непосредственно после выпуска опционов. Эти данные исключены из регрессионной выборки.

Регрессионная выборка {(xn,yn)} = {((Kn, tn), ага)} была построена с помощью исходных данных — исторических цен опциона C#)t и базового инструмента Pt, где K 6 K,

t £ T, следующим образом. Для каждого значения K £ K и t £ T вычисляется значение предполагаемой волатильности как аргумент минимума

а™Р = arg min (C^ - C(a, P, B, K, t)),

' <г€[0,1.5]

где справедливая цена опциона C вычислена по формуле Блэка—Шоулза. Время t, выраженное в годах до момента исполнения опциона, рассчитывается по формуле t = т/365, где т — число дней, оставшихся до исполнения опциона. Длина истории составляет 112 отсчетов времени. Для индексации выборки задана произвольная биек-ция t, K ^ n. Безрисковая ставка доходности B = 0.075, что соответствует исторической безрисковой ставке за рассматриваемый период. При отыскании минимума введено ограничение на значение волатильности, a ^ 1.5; ни в одной точке исходных данных она не принимает большее значение.

3.2. Множество порождающих функций

Был выбран набор порождающих функций, наиболее часто встречающихся в используемых экономических моделях (табл. 1).

Таблица 1. Порождающие функции

Функция Описание Параметры

g(w,Xl,X2)

plus y = xi + x2 -

times У = xix2 -

g(w,xi)

a a

Л, а, a

a, b a, b, c a, b, c, d

divide У

multiply У

add У

omexpl У

linear У

parabolic У

cubic У

У = 1/x

-exp

па

+ b

= ax2 + bx + c

--I I

(x - o2

2а2

+ a

Л

3.3. Модели начального приближения

В качестве моделей начального приближения был взят набор из четырех моделей: f1 — модель (2), предложенная экспертами, и ее вариации:

а) сумма параболической функции от цены исполнения и гауссиана от цены исполнения, умноженного на обратный корень времени, до исполнения

/2 = (wi + W2K + W3K2 + W4 exp (-W5K2)) VWt;

б) квадратичная поверхность по времени и цене исполнения

/3 = w1 + w2K + w3t + w4Kt + w5K2 + wet2;

в) сумма гауссиана и линейной функции от цены исполнения, умноженная на кубическую функцию времени до исполнения,

/4 = (w1 + w2K + w3 exp (—w4K2)) (w5t3 + wet2 + w7t + wg) .

3.4. Параметры алгоритма модификации суперпозиций

Для модификации моделей был использован набор порождающих функций, описанный в работе [9]. При каждой итерации на основе множества моделей-претендентов порождались 40 новых моделей, из них 20 — модифицировались. Для следующей итерации выбиралось 20 лучших моделей. Алгоритм останавливался при достижении функции ошибки Ed(w|f, D) < 0.01 или после 5000 генераций нового набора моделей-претендентов.

3.5. Результаты

Полученная модель имеет вид

fbest = (wi + W2K + W3 exp (-W4K2)) (w5t3 + w6t2 + w7t + w8) .

Таблица 2. Порожденные модели с наименьшей ошибкой SSE

Модель Ошибка Число Max ошибка Число порождающих

SSE параметров на выборке функций в суперпозиции

fi 0.0590 15 1.5989 15

f2 0.0593 12 1.8325 14

f3 0.0596 15 1.6055 15

f4 0.0601 15 1.5754 15

f5 0.0602 14 1.5532 15

f6 0.0603 14 1.4684 15

f7 0.0603 15 1.4324 14

f8 0.0603 15 1.4409 15

f9 0.0603 14 1.5203 15

f10 0.0604 14 1.7636 15

Одна из лучших полученных моделей

Даже при малом числе итераций в множестве моделей-претендентов остаются в основном те модели, в которых волатильность зависит от времени как обратный квадратный корень. Структура выбираемых моделей имеет вид произведения функции от времени на функцию от цены исполнения, что говорит о независимости профиля во-латильности от времени. Это подтверждает гипотезу о малости изменчивости самой волатильности, высказанную в [1], и гипотезу об обратной зависимости времени и во-латильности, высказанную в [10].

Полученные модели не обладают высокой сложностью, что позволяет экспертам легко их интерпретировать. В табл. 2 представлены доставляющие наименьшую ошибку модели, созданные программой, на рисунке показана одна из лучших полученных моделей.

3.6. Обсуждение

В [10] предложены математическое описание моделей волатильности и правила построения функции a(K, t). Правила используются для моделирования волатильности в случае относительно малого количества опционов.

Функция a(K, t) волатильности от цены исполнения представляется в виде суммы четной и нечетной функций, каждая — от одного аргумента. Четная функция экспертами называется smile, нечетная — skew.

В работе [10] рассматриваются регрессионные модели типа smile. Правило sticky strike предполагает, что a(K, t) не зависит цены исполнения K. Это предположение

dC

требуется для того, чтобы чувствительность цены опциона к K была равна Л = ——,

dK

где Л является чувствительностью по отношению к цене базового инструмента. Величина Л для инструмента — это частная производная цены опциона C по отношению к

цене базового инструмента S, Л = .

Здесь для целей вычисления частная производная цены опциона C полагается функцией цены базового инструмента S, волатильности a(K, t) и времени t. Это предположение позволяет пользоваться формулой Блэка—Шоулза для вычисления Л с волатиль-ностью, равной предполагаемой волатильности опциона.

В модели, основанной на правиле sticky strike, а является функцией только от цены исполнения K и времени до исполнения t и не зависит от цены базового инструмента S.

Был проведен вычислительный эксперимент, в котором модели могли зависеть от цены базового инструмента наравне с ценой опциона, временем до исполнения и ценой исполнения, однако в таком случае лучшие модели от цены базового инструмента не зависели.

Правило square root of time предполагает связь между волатильностями опционов различных цен исполнения и времен до исполнения. В работе это правило использовано в формулировке

a(K,) = *Mf>.

Таким образом, волатильность — это функция одного параметра, являющегося функцией от переменных K и T.

В лучших из полученных моделей волатильность зависит от времени обратно-корневым образом.

Заключение

Предложен алгоритм индуктивного порождения допустимых регрессионных моделей. Модели представлены в виде произвольной суперпозиции заданных нелинейных параметрических функций. На каждой итерации работы алгоритма модели-претенденты последовательно порождаются и настраиваются по исходной выборке. Для следующей итерации выбираются модели, имеющие наибольшее значения заданной целевой функции.

Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрена модель зависимости волатильно-сти биржевого опциона от цены исполнения и времени до исполнения. Использованы исторические цены опциона и базового инструмента за полгода. Модели, полученные в ходе вычислительного эксперимента, сравнивались с моделями, которые были предложены экспертами.

В результате исследований получены интерпретируемые модели волатильности биржевого опциона. Качество аппроксимации этих моделей выше, чем у начальной модели, а сложность моделей не превышает сложности начальной модели.

В полученных моделях зависимость волатильности от времени является обратно-корневой, что соответствует гипотезе, высказанной в [10]. Также наблюдается логарифмическая зависимость волатильности от цены исполнения, что соответствует экспертной оценке (2). При этом среди лучших моделей присутствуют зависящие не от каждого из параметров в отдельности, а от частного логарифма цены исполнения и корня времени до исполнения, что полностью соответствует гипотезам, высказанным в [10-12].

Разработанное программное обеспечение и исходные данные вычислительного эксперимента находятся в репозитории [13] и свободно распространяются на условиях лицензии GNU GPL.

Список литературы

[1] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 2004. Т. 1. Факты. Модели.

[2] Hull J.C. Options, Futures and Other Derivatives. New Jersey, USA: Prentice Hall, 2000.

[3] Kelly C.T. Iterative Methods for Optimization. North Carolina State Univercity: SIAM, 1999. 188 p.

[4] Malada H.R., Ivakhnenko A.G. Inductive Learning Algorithms for Complex Systems Modeling. USA: CRC Press, 1994.

[5] Zelinka I., Oplatkova Z., Nolle L. Analytic programming — symbiloc regression by means of arbitrfary evolutionary algorithms // Intern. J. of Simulation Systems, Science & Technology. 2005. Vol. 6, N 9. P. 44-56.

[6] Bishop C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer Verlag, 2006.

[7] LeCun Y., Denker J.S., Solla S.A. Optimal brain damage / Touretzky D.S. Advances in Neural Information Processing Systems 2. San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. 1990. P. 598-605.

[8] Hassibi B., Stork D.G. Second order derivatives for network pruning: Optimal brain surgeon / Hanson S.J., Cowan J.D., Giles C.L. Advances in Neural Information Processing Systems 5. San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. 1993. P 164-171.

[9] Стрижов В.В. Поиск параметрической регрессионной модели в индуктивно заданном множестве // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12, № 1. С. 93-102.

[10] Daglish T., Hull J., Suo W. Volatility surfaces: theory, rules of thumb, and empirical evidence // Quantitative Finance. 2007. Vol. 7, N 5. P. 507-524.

[11] Derman E. Modeling the Volatility Smile. USA: Columbia University, 2006. 30 p.

[12] Derman E., Kani I. The volatility smile and its implied tree // RISK. 1994. Vol. 7. N 2. P. 139-145.

[13] Strijoy V. et AL. MVR Composer, software package. http://www.sourceforge/mvr. 2008.

Поступила в редакцию 3 сентября 2008 г., в переработанном виде —12 января 2009 г.