CC BY
96
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
USE OF NEURAL NETWORKS FOR ESTIMATION OF OPTIONS COST
В случае сильных колебаний цен на рынке, классические методы оценки производных инструментов не всегда работают с необходимой точностью. В данной статье рассматривается метод оценки премии опционов, основанный на использовании нейтронных сетей. Этот подход применяется к биржевым опционам, обращающимся на рынке РТС, используя ежедневные данные торгов за период 01. 2007 - 08.2008, приводятся и анализируются результаты работы нейронной сети.
In case of a strong fluctuation of prices in the market, classical methods of an estimation of derivative products don't always work with required accuracy. In given article the method of an estimation of the options premium, based on use of neural networks is considered. This approach is applied to the stock options circulating in the market of RTS, using the daily data of the auctions within 01. 2007 - 08.2008, results of work of a neural network are shown and analyzed.
Ключевые слова: опционы; нейронные сети; искусственная нейронная сеть; нейросетевые модели
Keywords: options; neural networks; an artificial neural network; neural network models
Косевич Константин Юрьевич, аспирант кафедры Прикладной информатики в экономике ГОУ ВПО «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики», 8-926-594-53-77, [email protected]
Konstantin Jurevich Kosevich, the postgraduate from the chair of Applied informatics in economics of SEI HPE «The Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics», 8-926-594-53-77, [email protected]
1. Введение.
Опционы - единственный финансовый инструмент, позволяющий получать прибыль при любом направлении движения цены акций и фьючерсов. При помощи опционных стратегий можно зарабатывать на увеличении или уменьшении цен базового актива. Покупка опционов обеспечивает защиту от рисков неблагоприятного движения цены и одновременно предоставляет возможность сполна получить прибыль от благоприятного движения.[1]
Рост рынка опционов во всем мире во многом был обусловлен развитием методов оценки стоимости этих финансовых инструментов, предложенных в статье Блэка-Шоулза [2]. Большими достоинствами модели являются простота формул и то, что она дает естественный и непротиворечивый метод оценивания. Эта модель была адаптирована к различным типам опционов, и в большинстве случаев на практике предпочитают пользоваться моделью Блэка-Шоулза или ее модификациями.
Однако предложенная модель имеет ряд недостатков, присущих параметрических моделям.[3] Прежде всего, в таких моделях, с самого начала предполагается определенный характер зависимости цены базового актива. Соответственно, успех подобных моделей в большой степени зависит от того насколько точно удалось описать изменение цены базового актива.
Нейронные сети имеют ряд преимуществ над классическими параметрическими моделями[4]:
• Отсутствие ограничений на вид зависимости входных данных;
• Способны учитывать изменение в характере зависимости наблюдаемых величин;
• Возможность улавливать скрытые зависимости искомой величины от входных данных, которые трудно поддаются параметризации.
Однако, эти преимущества, не возникают без дополнительных условий. Прежде всего повышаются требования к используемым данным: для корректной работы нейронной сети необходим достаточно большой массив исторических данных по торгуемым инструментам.
2. Опцион как финансовый инструмент.
Ниже более детально опишем опцион с финансовой точки зрения. Опцион - контракт, который дает покупателю право, но не обязательство, купить или продать базовый актив за конкретную цену или до опреде-
Экономика, Статистика и Информатика
№4, 2008
ленной даты. Опцион, как акция или облигация, является ценной бумагой. Это также финансовый контракт со строго определенными условиями и свойствами.
Цена, уплаченная покупателем или получаемая продавцом опциона, называется премией. Опцион является производным финансовым инструментом, цена которого зависит от цены другого актива - так называемого базового актива. В роли базового актива могут выступать акции, облигации, фьючерсы, сырьевые товары.
Время жизни опциона ограничено: оно заканчивается в дату истечения, указанную в контракте. По условиям опционного контракта, покупатель получает право совершить сделку с базовым активом. Продавец же принимает на себя обязательство удовлетворить право покупателя. Цена, по которой может быть совершена сделка по желанию покупателя, называется ценой исполнения.
Существует два типа опционов: «Колл» и «Пут». Опцион «Колл» дает право купить актив по определенной цене в течение определенного периода времени. Опцион «Пут» похож на длинную позицию. Покупатели этих опционов надеются, что базовый актив возрастет в цене до истечения опциона. Опцион «Пут» дает право продать актив по определенной цене в течение определенного периода времени. Он похож на короткую позицию. Покупатели опциона «Пут» рассчитывают, что цена акций упадет до истечения опциона. Опционы также разделяются на американские и европейские: американский опцион может быть исполнен в течение всего срока действия опциона, европейский только в дату истечения.
В России ликвидный рынок опционов был создан на срочном рынке РТС. Базовыми активами опционов являются фьючерсные контракты на индекс РТС и отдельные акции российских эми-
тентов. Опционы на фьючерсные контракты предоставляют широкие возможности для страхования (хеджирования) рисков на рынках акций и фьючерсов на акции, а также позволяют осуществлять операции с высокой доходностью, низкими издержками и ограниченными рисками.
3. Модель Блэка-Шоулза для оценки стоимости опциона
Рассмотрим модель цены европейского опциона «Колл» на акции, впервые предложенную в статье Блэка-Шоулза [2].
Цена опциона в соответствии с моделью определяется рядом параметров:
• Т - время оставшееся до исполнения опциона
• S - цена базового актива в настоящий момент
• К - цена исполнения опциона (страйк)
• у - безрисковая процентная ставка
• S(N) - цена базового актива в момент исполнения опциона
• а- волатильность (изменчивость) цены базового актива
Данная модель использует несколько приближений. Предполагается, что в момент исполнения опциона цена актива является лог-нормальной случайной величиной. Т.е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение достаточно точно описывает реальные данные.
Второе допущение состоит в том, что волатильность считается постоянной на протяжении всего срока действия опциона. В реальности волатильность актива может меняться в разные моменты времени.
В момент исполнения опциона возможны две ситуации:
1. S(T)>K Цена базового актива больше цены исполнения. В таком случае, прибыль от исполнения опциона равна S(T)-K. Актив можно купить по цене К, а затем немедленно продать по цене S(T)
2. S(T)<K Цена базового актива меньше цены исполнения -исполнять опцион нет смысла, т.к. не дороже купить базовый актив на рынке. В этом случае прибыль равна нулю.
Соответственно, прибыль от исполнения есть: max(0,S(T)-K)
Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени есть
тахфДТЖ)*?^ где е-гТ - дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Поскольку цена актива - случайная величина, то цена опциона в настоящий момент равняется математическому ожиданию возможной прибыли С=<тах(0^(ТЖ *е-гТ> Проводя математические выкладки, получаем формулу Блэка-Шоулза для европейского опциона «Колл» на акцию без дивидендов: C=S*N(d1)-K* е"^(ё2) N(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Величины d1, d2, вычисляются следующим образом-
¿1 =
(12 =
1п(£/К) + (г + <т /2)хТ
сгх у/Т \п(Б/К) + (г-ст2/2)хТ
ах
Я
= сИ -сгх
4т
Первое слагаемое 5*М(с11) представляет собой дисконтированное среднее ожидание цены акции в момент исполнения опциона. Второе слагаемое - это дисконтированные средние затраты по исполнению опциона. Таким образом, ожидаемая цена опциона это разница между средними ожидаемыми доходами и расходами при исполнении опциона.
При оценке опциона на фьючерс используется только безрисковая ставка. Формула цены опциона «Пут» имеет следующий вид:
P=e-rT[F*N(d1)-K*N(d2)]
Где Б - текущая цена фьючерса, а величины , вычисляются
№4, 2008
также как и в формуле для опциона на акцию.
4. Методы обучения нейронных сетей
Искусственная нейронная сеть - набор математических моделей нейронов, соединенных между собой связями - синап-сами.[5] Нейрон реализует скалярную функцию векторного арн
У = fis), s = YuW'Xi+b ¡=i
Где n- число входов нейронов, wi- вес синапса, s - результат суммирования, y - выходной сигнал нейрона, b- значение смещения, f -нелинейное преобразование, акти-вационная функция. Одна из наиболее распространенных активационных функций - сиг-моид: f(s)=1/(1+exp(-as)). Параметр определяет кривизну сигмойды..
Синапсы осуществляют связь между нейронами, умножая входной сигнал на число, характеризующее силу связи - вес синапса. Затем сигналы суммируются по всем связям. На выход нейрона поступает результат действия актива-ционной функции на сумму сигналов синапсов. Как правило, активационные функции всех нейронов фиксированы, а веса являются параметрами сети и могут изменяться. Таким образом, ней-росеть преобразует входной вектор Xk в выходной У^ при помощи нелинейного преобразования, заданного весами сети.
Опишем процесс обучения математически. Нейросеть формирует выходной сигнал Yk на основе входного вектора Xk, реализуя некоторую функцию Yk=G(Xk). Вид функции G определяется значениями синаптических весов сети. Решением задачи является функция Yk=F(Xfc), заданная парами входных - выходных данных (Xp Ур).. (Xn, Уп) для которых Yn=F(Xn) a k=1.N. Обучение нейронной сети состоит в поиске функции G близкой к F в смысле некоторой функции ошибки. Если
выбраны множество обучающих примеров и способ вычисления ошибки, то обучение есть задача многомерной оптимизации, имеющая очень большую размерность. Такая задача в общем случае решается перебором значений переменных, от которых зависит функция ошибки.
Наиболее часто используемым методом обучения для многослойных нейронных сетей является алгоритм обратного распространения. В данном алгоритме функция ошибки представляет собой сумму квадратов разностей желаемого выхода сети и ре™ —""
Z 7=1
где У; - значение ^¡-го выхода
J
- целевое значениеj
[6] Алгоритм использует так называемое «обучение по эпохам», когда коррекция весов происходит после предъявления сети всех примеров из обучающей выборки. Рассмотрим этот метод более подробно.
На каждом шаге обучения рассматривается частная производная
дЕ
Если на текущем
ошибки
d\v„
I
нейросети, го выхода, р - число нейронов в выходном слое. Алгоритм действует циклически. На каждом этапе цикла на вход сети поочередно подаются все обучающие наблюдения, выходные значения сравниваются с целевыми значениями и вычисляется ошибка. Значение ошибки, а также градиента поверхности ошибок используются для корректировки весов,
после чего действия повторяются. дЕ
Дж = -/7-
¿4
Начальная конфигурация весов выбирается случайным образом, значения весов принимают небольшие по модулю значения. Процесс обучения прекращается либо когда ошибка достигает определенного уровня малости, либо когда ошибка перестает уменьшаться.
Одним из серьезных недостатков алгоритма с обратным распространением ошибки является достаточно долгий процесс обучения. В отличие от стандартного алгоритма обратного распространения ошибки, алгоритм эластичного распространения использует только знаки частных производных для подстройки весовых коэффициентов.
Экономика, Статистика и Информатика
шаге частная производная по соответствующему весу w;; поменяла свой знак, то это значит, что последнее изменение веса было большим, и алгоритм пропустил локальный минимум. В этом случае величину изменения необходимо уменьшить на величину коррекции т] и вернуть предыдущее значение весового коэффициента. Если знак частной производной не изменился, то нужно увеличить значение коррекции на // для достижения более быстрой сходимости. Для того, чтобы не допустить слишком больших или малых значений весов, величину коррекции ограничивают сверху максимальным и снизу минимальным значениями величины коррекции. Для вычисления значения коррекции весов используется следующее правило. Если производная положительна, т.е. ошибка возрастает, то весовой коэффициент уменьшается на величину коррекции, в противном случае - увеличивается. Скорость сходимости метода эластичного распространения в 4-5 раз быстрее, чем у метода обратного распространения.
5. Использование нейронных сетей для оценки стоимости опционов
Рассмотрим описанный метод для оценки стоимости опционов.
Целью исследования было создание модели, прогнозирующую среднюю за день цену опциона использую доступные рыночные параметры. Для исследования были использованы ежедневные данные о торгах
№4, 2008
опционов на фьючерсы на РТС с 01.2007 по 08.2008, рассчитаны цены опционов «Колл» и «Пут». Крайние случаи были исключены из обработки: опционы с большими премиями >10000 и меньше 50 рублей не учитывались.
Входными значениями для изучаемой нейронной сети были выбраны четыре величины:
• Историческая волатильность индекса РТС
• Количество торговых дней до момента исполнения опциона
• Страйк (цена исполнения) опциона
• Цена базового актива опциона (фьючерса в день торгов).
На выходе рассматривалась средневзвешенная цена опциона за день.
Для целей обучения было использовано 95% данных, последние по времени 5% данных тестовая выборка. Входные и выходные данные были линейно нормированы на интервале от 0 до 1. Для обучения был выбран метод эластичного распростпанения с величинами коррекции т] 0,5, Т] ,2
Во время исследования были опробованы несколько архитектур нейронных сетей и параметров обучения. Архитектура нейросети регулировалась числом скрытых слоев и числом нейронов в скрытых слоях.
Обучение можно было регулировать значением нормированной среднеквадратичной ошибки, при которой пример считался распознанным.
Критерием успешности была выбрана средняя по тестовой выборке нормированная среднеквадратичная ошибка. Условие остановки обучения - отсутствие изменения в ошибке на протяжении пяти тысяч итераций.
Наилучший результат был получен для нейронной сети с одним скрытым слоем, в котором расположены четыре нейрона (рис 1). При этом пример считался распознанным, если нормированная среднеквадратичная ошибка менее 0,003.
Таблица 1
Характер обучающей выборки
Тип опциона Колл Пут
Количество записей 2717 2594
Тип Макс Мин Сред. Стд. Откл Макс Мин Сред. Стд. Откл
Волатильность индекса РТС 0.20 0.45 0.31 0.069 0.20 0.45 0.29 0.066
Дней до исполнения 0 103 27.4 18.2 0 107 29.8 20.2
Страйк опциона 120000 320000 222191 25795 135000 250000 192267 21738
Цена фьючерса в день торгов 156031 249644 209029 20431 156031 249644 209029 20431
Средневзв. цена опциона 50 10000 3281 2757 50 10000 3299 2716
Таблица 2
Характер тестовой выборки
Тип опциона Колл Пут
Количество записей 136 136
Статист, характерно тика Макс Мин Сред. Стд. Откл Макс Мин Сред. Стд. Откл
Волатильность индекса РТС 0.26 0.37 0.28 0.028 0.20 0.45 0.29 0.066
Дней до исполнения 1 27 15.4 6.7 0 28 13.6 6.55
Страйк опциона 190000 270000 221286 17950 150000 240000 197867 197867
Цена фьючерса в день торгов 171259 221179 204195 14827 156031 249644 209029 20431
Средневзв. цена опциона 50 8729 1942 2174 60 9882 3643 2789
Рис. 1 Структура нейросети 4-4-1
Характер тестовой выборки
Таблица 2
Тип опцпона Колл Пут
Распознано в обучающей выборке % 71.03% 73,13%
Распознано в тестовой выборке % 86.76% 77,21%
Средняя Среднеквадратичная ошибка в обучающей выборке 4,34 Е-3 3,56 Е-3
Среднеквадратичная ошибка в тестовой выборке 1,91 Е-3 2,72 Е-3
Максимальная среднеквадратичная ошибка в обучающей выборке 1,01 Е-1 9,84 Е-2
Максимальная среднеквадратичная ошибка в тестовой выборке 4,32 Е-2 4,84 Е-2
№4, 2008
Наглядно качество модели можно увидеть на диаграмме рассеяния (рис 2.).
На диаграмме рассеяния отображаются выходные значения для каждого из примеров тестовой выборки, координаты которых по оси Х эталонные значения, а по оси Y - значение выхода, рассчитанное обученной моделью на том же примере. Прямая диагональная линия представляет собой ориентир (линию идеальных значений). Чем ближе точка к этой линии, тем меньше ошибка модели. Пунктирная линия показывают границу среднеквадратичной ошибки равно 0,003.Можно заметить что на достаточно широких интервалах входных параметрах, нейронная сеть с малой величиной ошибки рассчитывает выходное значения - цену опциона, что говорит о хорошем качестве модели.
6. Выводы:
Поводя итог выше сказанному, хотелось бы отметить, что нейронные сети позволяют с достаточно высокой степенью точности оценить цену опциона исходя из доступных параметров, что было показано на примере биржевых опционов РТС. Проводя обучение нейросети, пользователи получают легкий в использовании инструмент, который можно применять как дополнительный способ поддержки решений при биржевой торговле. Качество оценок позволяет говорить, о том, что, нейросетевые модели можно использовать на практике наравне со стандартными методами.
Рис 2. Диаграмма рассеяния для опционов Колл и Пут
Литература
1. Вайс С. Опционы. Полный курс для профессионалов. Аль-пина паблишер, Москва 2003
2. Black, F. / Scholes M. (1973) The Pricing and Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy, Vol. 3, p. 637654.
3. Hutchinson, J. M. / Lo, A. W/ Poggio, T. (1994) A Nonparamet-ric Approach to Pricing and Hedging Derivative Securities Via Learning Networks. The Journal of Finance, Vol. 49, p. 227-230.
4. Д.Бестенс, В.Ван ден Берг, Д.Вуд. Нейронные сети и финансовые рынки. Научное издательство ТВП, Москва 1997
5. Круглов В.В. Нечетка логика и исскуственные нейронные сети. Физматлит, Москва 2004.
6. M. Riedmiller, H.Braun. "A direct adaptive method for faster backpropagation learning: The RPROP algorithm". San Fran-cisco,1993
Bibliography
1. S. Weiss, Options. A complete course for professionals. Alpina publisher, Moscow 2003
2. Black, F. / Scholes M. (1973) The Pricing and Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, Vol. 3, p. 637-654.
3. Hutchinson, J. M. / Lo, A. W/ Poggio, T. (1994) A Nonparametric Approach to Pricing and Hedging Derivative Securities Via Learning Networks. The Journal of Finance, Vol. 49, p. 227-230.
4. D. Bestens, V. Van den Berg, D. Vud. Neural networks and the financial markets. Scientific publishing house TVP, Moscow 1997
5. V.V. Kruglov Fuzziness and artificial neural networks. Physmath-lit, Moscow 2004.
6. M. Riedmiller, H. Braun. "A direct adaptive method for faster backpropagation learning: The RPROP algorithm". San Francisco, 1993
Экономика, Статистика и Информатика НИ №4, 2008
