Индексные алгебры и моделирование многопроцессорных систем в потоке пользователей Текст научной статьи по специальности «Математика»

До недавнего времени частота появления слова и близость слов в документе были практически единственными критериями оценки соответствия запросу, но с приходом поисковых систем в Интернет в области информационного поиска открылись новые перспективы, связанные, в первую очередь, с наличием гипертекстовой структуры и с большим количеством документов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ricardo Baeza-Yates and Berthier Riberio-Neto. Modem Information Retrieval.- ACM Press, 1999.

2. Некрестьянов И.С. Тематико-ориентированные методы информационного поиска: Дисс. к.т.н.: 05.13.11.- СПб, 2000.

А.Э. Саак

ИНДЕКСНЫЕ АЛГЕБРЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМ В ПОТОКЕ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ

Новая эпоха как информатическая цивилизация, сменившая цивилизацию индустриальную, повышает роль экономической среды при анализе функционирования многопроцессорной системы в потоке пользователей, превращая дуальность «экономическая среда - вычислительный сервис» в приоритетный фактор моделирования по отношению к внутренним алгоритмам эксплуатационного характера. Не уменьшая роли последних, мы хотим подчеркнуть экономические приоритеты, побуждающие к сложному комбинаторному моделированию в рамках индексных алгебр и вариантных массивов многогранников.

В основе моделирования многопроцессорной системы находится градуированная форма комбинаторного эксперимента как пересечения множества требований пользователей и некоторого подмножества совокупности вариантов предлагаемых ресурсов. Последнее возникает при рассмотрении всего диапазона суммарных требований вычислительного ресурса от минимального до максимально допустимого при элементарно-аддитивной суперпозиции заявок на процессоры без пропусков и наложений. Инвариантность изложенной процедуры размещения заявок относительно выбора начального элемента на линейке процессоров индуцирует множество базисных допустимых граничных частей множества вариантов предложенных ресурсов. Дополнительное центральное подмножество индексного массива мы интерпретируем как совокупность неблагоприятных, недопустимых вариантов спроса-предложе-ния относительно правил, условий функционирования многопроцессорной системы.

В мультииндексных числовых массивах аг. . , а е С в качестве базис-

ной операции берётся транспонирование, определение которого мы начнём с одноин-дексного случая a(i-^), il = 1,2, ..., k. Инверсия переменной ^ к — Ц, к = к +1 индуцирует транспонирование индексного массива а1"1 (гх) = а(к +1 — \) относительно централи гг = к +1 — ц . При нечётном к = 2т +1 последняя содержит одну точ-

ку i = m+1, при чётном k=2m - пару точек id =

к +1 к +1

_ 2 _ _ 2 _

+1 = m; m +1-

Для двухиндексных массивов используется классическое транспонирование матриц

Далее транспонирование вводится индуктивно, и мы остановимся детально на трёхиндексном случае. Заметим с этой целью, что матричное транспонирование распадается на два одноиндексных транспонирования при задании централи -главной диагонали квадратной матрицы / + і2 = к +1. А именно,

Для трёхиндексного куба ^ = 1,2,...,£;} = 1,2,3 роль централи переходит к равнонаклонной плоскости ц + /2 + ц = к + 2 - основной грани прямоугольного

координатного тетраэдра 3 < ц + /2 + /3 < к + 2. Выбрав в каждой координатной

грани куба в качестве централи рёбра основной равнонаклонной грани и осуществив парные одноиндексные транспонирования, получим три зеркальных образа упомянутой грани тетраэдра. В совокупности имеем четыре правильных треугольника в качестве граней правильного внутреннего тетраэдра - централи индексного куба. Остальная часть куба состоит из четырёх прямоугольных тетраэдров, идентичных основному координатному тетраэдру, определённому предыдущими неравенствами и совпадающих с ним с точностью до инверсии (рис. 1 - рис. 5).

Свойство индексной симметрии в кубе отражает то обстоятельство, что некоторые стороны явления обслуживания в многопроцессорной системе не зависят от того, начинается ли нумерация процессоров с левого конца линейки процессоров или с правого конца.

Рис. 2. Допустимые варианты четырех базисных прямых тетраэдров ресурсных

вариантов

а(к — / +1, к — +1) — [/і — к +1 — і2, ^2 — к +1 — ^ ]

= а(/2, /1) = аТ і2).

Рис. 1. Индексно-вариантный куб ресурсных вариантов

Рис. 3. Центральный правильный тетраэдр неблагоприятных ресурсных вариантов

Рис. 4. Пересечение куба требо- Рис. 5. Куб требований в объемлющем ваний с объемлющим коорди- кубе индексов предложений -

натным множеством эксперимента полная индексная модель эксперимента

Преимущество координатной части индексного массива состоит в наличии операции 2-интегрирования по координатным точкам-вариантам

Тк

— ^1 , е[1; — +1], ] = 1,2,к.

к! 11+...+1к <Ь+1

Вариантно-индексный куб также можно рассматривать как носитель кубической меры, если поместить его в качестве координатного подмножества в котет-раэдр-носитель предыдущей меры в Як. Таким образом, 2^-интегрирование индексных массивов допускает условное определение посредством предварительного разложения на элементарно-аддитивные многогранники кубической, призматической, котетраэдной формы.

Ближайшим обобщением квадратного индексного массива и матрицы является индексный ромб, диагонали которого сохраняют роль диагонали и кодиагонали квадратной матрицы. Для координатно-ориентированного ромба транспонирование индексной функции Я(/'ьу2) по первому индексу Л^О^г/г^ЯСк’-к^г), к’=к+1 меняет ориентацию по горизонтали, и, следовательно, транспонирует левый и правый треугольники ромба. Аналогичные преобразования вызывает транспонирование второго индекса ромбического массива. Обобщение на правильный октаэдр индексов приводит к чисто количественным изменениям; напротив, асимметричный переход к параллелограмму вызывает разрастание централи в подпараллелограмм и выделение граничных треугольников допустимых вариантов. Инверсия последних требует транспонирования всей группы переменных индексов, как и в случае индексного куба.

В качестве ещё одного приложения индексного транспонирования приведём построение тотальности для модели канонических кубов Лапласа с ребром «к». Единичный начальный индексный куб предполагаем основной координатной частью искомого тотального подмножества объемлющего вариантно-индексного куба. При отображении объемлющего 2-куба в координатный 2-тетраэдр единичный 2-куб приобретает искомый прообраз - тотальное множество канонической модели индексных кубов (рис. 6, 7).

Рис. 6. Координатная часть Рис. 7. Ординарные кубы

тотального множества при к=2 успешных исходов при к = 2

Тотальное подмножество в данном примере оказывается дополнением в объемлющем множестве к совокупности ординарных успешных исходов. При к > 3 принимаем в качестве определения тотальности дополнительность к упомянутым кубам, что при к = 3 даёт рис. 8.

Рис. 8. Начальный и дополнительные семь кубов тотальности

Таким образом, на основе введённых понятий индексной алгебры построена каноническая модель кубов Лапласа, параллельная предыдущей тетраэдной модели Лапласа. Отметим, что каждой из данных моделей соответствует своя система аксиом компьютерного обслуживания: в тетраэдной модели диспетчирования неразличимы, в кубической все диспетчирования различны между собой.