CC BY
34
отношений между информационными объектами в процессе автоматического анализа документов // Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции: труды XIV Всерос. науч. конф. Переславль-Залесский, 2012. С. 206-212.
18. Серый А.С., Сидорова Е.А. Идентификация объектов в задаче автоматической обработки документов // Компьютерная лингвистика и интеллектуальные технологии: труды Междунар. конф. «Диалог 2011». М.: Изд-во РГГУ, 2011. С.
580-591.
19. Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/CAE). СПб.: Питер, 2004. 560 с.
20. Роджерс Д.Ф., Адамс Дж. Математические основы машинной графики / пер с англ. М.: Мир, 2001. 604 с.
21. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры / пер. с англ. под ред. В.Л. Попова. М.: Мир, 2000. 687 с.
УДК 519.21
«ИНАЯ И ЗАБЫТАЯ» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
© А.В. Петров1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматриваются проблемы взаимодействия классических вероятностных подходов к изучению окружающих нас явлений и современных формализованных методов описания вероятностного мира. Формулируются вопросы, на которые современная теория вероятностей, основанная на теории множеств и аналитических методах, не может дать ответа. Библиогр. 17 назв.
Ключевые слова: теория вероятностей; вероятностные характеристики; моменты; случайные процессы; корреляция.
"OTHER AND FORGOTTEN" THEORY OF PROBABILITY A.V. Petrov
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article discusses the interaction problems of classical probabilistic approaches to the study of the phenomena surrounding us and modern formalized description methods of a probabilistic world. It formulates the questions that the contemporary theory of probability, based on the theory of sets and analytical methods can give no answer. 17 sources.
Key words: probability theory; probabilistic characteristics; moments; random processes; correlation.
Конец XIX - начало ХХ века ознаменовалось для теории вероятностей выходом целой серии трудов: А.А. Марков, А.А. Чупров, Е.Е. Слуцкий и многие другие выдающиеся ученые пытаются дать теоретико-вероятностное описание реальных, физически существующих явлений. Они стремятся придать понятный смысл вероятностным категориям, сопровождают свои рассуждения простыми жизненными примерами.
В известный момент в теории вероятностей и других естественно-научных дисциплинах произошел качественный скачок. Фундаментальные работы А.Н. Колмогорова (монография «Основные понятия теории вероятностей» [2] и статья «Об аналитических методах в теории вероятностей» [3]), по сути, завершили перевод теории вероятностей на другие «рельсы». Если рассматривать теорию вероятностей как математическую науку - это колоссальное достижение. Но с точки зрения практических приложений - несомненное торможение. Стала стремительно теряться культура осмысления сути случайных явлений, ее затмила мощная математическая «символика», приводимые примеры все чаще носят гипотетический характер, а
читателю все труднее подтверждать свое понимание теории вероятностей как прикладной, практически значимой науки. Поэтому теория вероятностей и излагается во многих университетах «независимо от приложений»: «Исчисление вероятностей излагается обычно как чисто математическая дисциплина. Таково оно и есть в своем основном содержании, взятом независимо от приложений» (Слуцкий Е.Е «К вопросу о логических основах исчисления вероятностей» [15]).
Сформулировано и доказано великое множество утверждений и теорем: исследователи, в совершенстве владеющие математическим инструментарием, продолжают накапливать базу теорем, пользуясь терминологией информационных технологий. И автор совершенно далек от мысли, что этого не нужно делать. Несомненно, математика является совершеннейшим инструментом описания окружающего нас мира. Все было бы прекрасно, но, во-первых, остается желание увидеть подтверждение математических результатов на конкретных и совершенно реальных примерах, а не специально сконструированных и потому не всегда полно отражающих действительность.
1Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: (3952) 405162, e-mail: petrov@istu.edu
Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated systems, tel.: (3952) 405162, e-mail: petrov@istu.edu
Во-вторых, современное развитие теории вероятностей не обеспечило качественного скачка в других научных дисциплинах, в силу объективных обстоятельств вынужденных использовать вероятностные категории. Например, в теории автоматического управления случайные воздействия на систему управления рассматриваются в подавляющем числе изложений как гауссовские случайные процессы. А разве в окружающей нас реальности нет процессов с другими законами распределения вероятностей? Это лишь блестящая верхушка айсберга, называемого «вероятностный мир». Да, нормальный (гауссовский) закон описывает ошибки измерений, он хорошо изучен и удобен в математическом применении. Но закон распределения вероятностей ошибок измерения ни в коей мере не может быть адекватной заменой закону распределения вероятностей исследуемого процесса или явления. А как быть с нестационарными случайными процессами? Конструкция «стационарный в узком смысле случайный процесс» весьма показательна. Исключительное математическое удобство сопряжено с совершенной неприменимостью на практике. И неужели в окружающем нас мире стохастические связи отражаются только коэффициентами корреляции и прямо или косвенно связанными с ним вероятностными характеристиками? Но это лишь линейные взаимосвязи. И таких вопросов возникает достаточно много, однако четкого и ясного ответа на них, к сожалению, найти не удается.
Задача этой статьи видится не в развитии и продолжении спора между теоретиками и практиками, а в попытке показать, что простым языком и «простой» математикой можно решить ряд задач теории вероятностей и математической статистики. Эти задачи обозначены давно, но не решены до сих пор в более или менее доступной для практического использования форме. Давно записаны формулы, выражающие смешанные начальные и центральные моменты, но что за ними стоит, какие свойства они отражают, известно только для корреляционного момента и коэффициента корреляции. Решение задачи полиномиального регрессионного анализа с помощью систем нормальных уравнений также известно весьма давно. А вот способа формального нахождения порядка этой системы (порядка регрессионного полинома) нет, и до сих пор его подменяет крайне трудоемкая, неуклюжая и неформализованная методика Т. Андерсона [1, с. 4852].
Что послужило источником такого рода мыслей? Источник этот связан не столько с хронологией получения результатов, сколько с последовательностью возникновения вопросов.
В период обучения в аспирантуре, написания и защиты кандидатской диссертации автором исследовались известные и разрабатывались новые методы генерирования случайных процессов с одновременно задаваемым законом распределения вероятностей и корреляционной зависимостью. Основаны они на так называемой «перестановочной технологии». Сама задача создания методов такого назначения была поставлена еще в 1964 году Ж. Пелегреном [6]. По-
пытка аналитически ее решить потерпела неудачу: создать более или менее общий, универсальный метод не удалось, появились (в том числе и благодаря усилиям Л.А. Растригина [14]) частные методы. Проблемы здесь ясны: многомерный закон распределения вероятностей и корреляционные моменты зависят друг от друга и взаимосвязаны. Поэтому в целях решения этой задачи в Иркутском государственном техническом университете Гумаром Павловичем Хамито-вым и Евгением Иосифовичем Поповым была выдвинута и апробирована перестановочная технология [13]. Суть ее состоит в перестановке по неким не прямым правилам значений реализации случайного процесса. Сами значения не изменяются, что обусловливает сохранение исходного (до перестановок) по крайней мере, одномерного закона распределения вероятностей. А применение некого правила перестановок изменяет корреляционные моменты. В ответ на критику этого метода можно сказать одно: другого способа создать методы генерирования случайных процессов с такими одновременно формируемыми свойствами просто нет. А задача уже давно востребована, например, при имитации физически сложных технологических процессов обогащения полезных ископаемых, характеризуемых необходимостью «работать» с трехфазной средой «газ - жидкость - твердое». Правомерность этого подхода проявилась в независимо появившихся исследованиях [4, 17].
При попытке аналитически обосновать перестановочные технологии были проведены исследования самого простого перестановочного алгоритма для бернуллиевского случайного процесса. И сразу же возник вопрос: какая вероятностная зависимость вводится в этом простейшем случае, когда перестановки есть, а корреляционные моменты нулевые [7, 8 ]?
В процессе поиска ответа на этот вопрос были проанализированы вероятностные числовые характеристики, отражающие вид и степень зависимости. Все это достаточно полно отражено в монографии Г.Я. Мирского [5]. Поиск характеристик, отражающих вероятностные зависимости, отличные от линейных (корреляция), оказался тщетным. Их смогла предложить современная «математизированная» теория вероятностей, но она не смогла объяснить, какие же конкретно свойства они отражают в силу именно того (по мнению автора), что современная теория вероятностей перестала опираться на практику и погрузилась в формальные схемы, в некие действия со знаками и символами. Но не все так плохо. В начале ХХ века появилось понятие начальных и центральных моментов «порядка к, s», то есть числовые характеристики, призванные отразить нелинейные стохастические зависимости, по-видимому, только связи между степенными функциями (например, в классическом труде А.А. Чупрова «Основные проблемы теории корреляции» [16]).
И здесь проявилась «нестыковка» теории и практики. Теория просто не допускает многих выражений, а практика и статистический эксперимент показывают, что это допустимо. Возник и другой вопрос: какой физический смысл, какие явления отражают эти сложные
моменты «порядка к, s»?
Самый «простой» и в то же время достаточно универсальный вид нелинейной зависимости - это полином. Обращение к аппарату регрессионного анализа в его варианте, рассматривающем полиномиальную регрессию, позволило сформулировать ключевой тезис: «Правые части системы нормальных уравнений есть не что иное, как достаточные статистики момент-ных функций, отражающих, описывающих степень (или вклад) каждого слагаемого полинома в нелинейную, полиномиальную стохастическую зависимость» [8, 9]. Правая часть системы - вклад слагаемого полинома в нулевой степени, правая часть второго уравнения - вклад слагаемого в первой степени (классическая корреляция), правая часть третьего уравнений -вклад слагаемого со второй степенью и так далее. На базе этого тезиса далее были сформулированы поня-
тия смешанных начальных и центральных моментов высших порядков и проведено их исследование.
Полученные результаты позволили сформировать для полиномиальной регрессии новый способ исчисления регрессионных коэффициентов через вероятностные характеристики нового класса, частным видом которых является коэффициент корреляции [9]. В свою очередь методика расчета значений новых характеристик нелинейной стохастической взаимосвязи позволила обеспечить автоматическое определение порядка регрессионного полинома в совокупности с нахождением как таковых коэффициентов регрессии.
Автором проведены многочисленные статистические эксперименты, направленные на изучение и подтверждение указанных выше результатов, полученных «неаналитическими» методами [11].
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 757 с.
2. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. 120 с.
3. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук, 1932. Вып. 5. С. 5-41.
4. Кузнецов Б.Ф. Модели и методы анализа погрешностей измерительных систем при оценке эффективности АСУТП в нефтехимической промышленности: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06. 1999. 350 с.
5. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.
6. Пелегрен Ж. К вопросу моделирования физических случайных функций // Труды 2-го Междунар. конгресса Междунар. федерации по автоматическому управлению. М., 1963. Т. 1. Теория непрерывных автоматических систем. С. 272-280.
7. Петров А.В. Анализ простейшей процедуры генерирования случайных процессов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2004. 50 с.
8. Петров А.В. О вероятностных зависимостях. Иркутск: Изд -во ИрГТУ, 2005. 80 с.
9. Петров А.В. О полиномиальной регрессии. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. 74 с.
ский список
10. Петров А.В. О характеристиках взаимосвязи случайных величин // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2004. № 3. С. 36-41.
11. Петров А.В. Полиномиальный регрессионный анализ (ПРА). Свид-во об офиц. регистрации программ для ЭВМ № 2008615509 от 19.11.2008.
12. Петров А.В. Проблемы и задачи перестановочной технологии генерирования случайных процессов // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2005. № 2. С. 119-120.
13. Попов Е.И., Хамитов Г.П. К вопросу моделирования случайных функций, // Труды Иркутского политехнического института. Иркутск. 1970. Вып. 56. С. 24-40.
14. Растригин Л.А. О вероятностных свойствах случайных процессов // Автоматика и вычислительная техника. Рига. 1966. № 13. С. 117-123.
15. Слуцкий Е.Е. Теория вероятностей и математическая статистика // Избранные труды: сб. науч. тр. М.: Изд-во АН СССР, 1960. 292 с.
16. Чупров А.А. Основные проблемы теории корреляции. М.: Госстатиздат ЦСУ СССР, 1960. 176 с.
17. Polge A.J., Holliday E.M., Bhagavan B.K. Generation of a pseudo-random set with desired correlation and ргоЬаЫ^у distribution. Simulation, 1973. № 5. P. 138-158.
