CC BY
53
УДК 629.114.2
Э. И. Ясюкович, канд. техн. наук, доц.
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КУРСОВОГО ДВИЖЕНИЯ ТРЕХОСНОГО АВТОМОБИЛЯ СО ВСЕМИ УПРАВЛЯЕМЫМИ КОЛЕСАМИ
В статье приводятся разработанные математическая модель, алгоритм и программное обеспечение имитационного моделирования курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами. Обсуждаются результаты расчетных исследований, отражающие поведение автомобиля при движении его по различным траекториям движения.
Введение
В последние годы в технически развитых странах наблюдается рост производства автомобилей и, соответственно, их количества на дорогах. При этом отмечается повышение скоростей движения автомобилей, что обостряет проблему безопасности, которая во многом определяется устойчивостью их движения и управляемостью. Внедрение многоопорной ходовой части автомобилей снижает устойчивость их движения из-за уменьшения стабилизирующих действий колес [1-3]. Обеспечение устойчивости движения многоосных автомобилей требует корректного, обоснованного выбора его основных параметров, в том числе геометрических [4, 6]. Обоснованный выбор названных параметров многоосных автомобилей может быть выполнен на основе результатов расчетных исследований, проведенных на базе соответствующих математических моделей и программных средств. В связи с этим актуальной является задача разработки экспресс-методики, позволяющей на стадии проектирования выбрать рациональные значения основных геометрических параметров автомобилей, оценить показатели их маневренности, курсовой устойчивости и управляемости.
В данной работе рассматривается методика имитационного моделирования курсового движения трехосных автомобилей со всеми управляемыми колесами по различным траекториям и категориям дорог. При этом движение автомобиля
рассматривается как управляемое, но не корректируемое водителем, т. е. закон поворота управляемых колес определяется заранее и не корректируется в процессе движения. Разработанная методика содержит расчетную схему автомобиля, математическую модель его курсового движения и программное обеспечение.
Расчетная схема и математическая модель моделируемой системы
При разработке математической модели была использована детерминистическая концепция, несмотря на ярко выраженный вероятностный характер проявления внешних условий движения, случайный характер возмущающих воздействий и параметров автомобиля из-за случайного размещения груза, неравномерного износа шин и т. д. [1].
Расчетная схема моделируемой системы представлена на рис. 1. Линия СО на указанном рисунке - это направление мгновенных центров поворота автомобиля. Точка 0 является точкой пересечения нормалей к проекциям на опорную поверхность векторов линейных скоростей колес автомобиля.
Математическая модель объединяет два вида уравнений - динамические и уравнения кинематических связей [3, 4]. Динамические уравнения получены на основе математической схемы Лагранжа 2-го рода [5]. Они представлены в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и
описывают установившееся движение автомобиля с постоянной скоростью. Поскольку на автомобиль в данной постановке задачи действуют лишь боковые реакции опорной поверхности Y1, Y2 и Y3 на его движители, то динамические уравнения математической модели, полученные по методике, изложенной в [7], и в соответствии со схемой рис. 1, представлены в следующем виде:
m • xc = -Y1 • Sin (ф + 0 - J1) -
- Y2 •Sin(ф + 02 - S2) -
- Y3 • Sin(ф + 03 - 53) = 0;
m • y c = Y1 • Cos (ф + 0 - 51) +
+ Y2 • Cos (ф + 0 2 -^2) + > (1)
+ Y3 • Cos(ф + 03 -53) = 0;
Jz • ф = Y1 • l1 • Cos (0 -S1) +
+ Y2 • l2 • Cos (0 2 - 52) -
- Y3 • l3 • Cos(03 + S3) = 0,
где m, Jz - масса и центральный момент инерции относительно вертикальной оси автомобиля; xc, yc, ф - обобщенные координаты, соответственно продольное и поперечное перемещения и курсовой угол автомобиля; S,, - углы увода шин соответствующих колес.
Боковые реакции Y вычисляются следующим образом:
Y = ku • 5, i = 1...3.
(2)
где ^ - коэффициент сопротивления боковому уводу шины /-го колеса.
Значения коэффициентов ки/ в реальных условиях криволинейного движения меняются в зависимости от приложенных к колесу нормальных и тангенциальных (тяговых и тормозных) нагрузок, давления воздуха в шинах, характеристик дорожной поверхности по условиям сцепления с ней шин, неровностей микропрофиля дороги и т. д. В данной работе значения коэффициентов ^ принимались постоянными величинами, т. к. предполагаемые значения углов увод ё/ при исследуемых режимах движения не превышают
3...5 град [1].
В работе рассматривается движение автомобиля при отсутствии бокового проскальзывания его колес на опорной поверхности, поэтому в математическую модель были введены уравнения кинематических связей движителей автомобиля с опорной поверхностью. Для вывода таких уравнений был введен в рассмотрение угол увода 3/, представляющий собой угол между проекцией продольной диаметральной линии обода ьго колеса на опорную поверхность и направлением его скорости в центре пятна контакта шины на дорожной поверхности. Этот угол имеет направление, противоположное углу поворота обода колеса относительно его вертикальной оси.
Запишем условие отсутствия бокового проскальзывания шин автомобиля при движении по криволинейной траектории, которое требует, чтобы нормали к проекциям средних линий шин каждого колеса на опорную поверхность пересекались в одной точке О (рис. 1).
Для колес среднего моста это условие может быть выражено следующим уравнением:
l1 • tg 0 2 = l2 • tg 0,
(3)
где 11, 12 -расстояния от центра масс автомобиля до передней и средней осей с управляемыми колесами соответственно; 0, 02 - углы поворота колес передней и средней осей автомобиля.
Таким образом, угол 02 является зависимым от угла 0 и определяется следующим выражением, полученным из (3):
0 2 = аГ8 tg
у ■ tg0
J1
(4)
Скорость изменения угла 02 зависит от величины и скорости поворота угла 0 и определяется следующим выражением:
в
1 -12 - в
2 _ /,2 - Cos2в +122 - Sin2в ' (5)
Аналогично для колес задней оси условие отсутствия бокового проскальзывания колес:
A - tg ©з = /з - tg в,
(6)
где 13 - расстояние от центра масс автомобиля до задней оси с управляемыми колесами; 03 - угол поворота управляемых колес задней оси.
Рис. 1. Расчетная схема моделируемой системы
Значение угла 03 зависит от угла 0 и определяется геометрией поворота (см. рис. 1). Для вычисления угла 03 будем использовать следующее выражение, полученное из (6):
в з =- arg tg
Ґ/3 Л
— • tgв
l1
(7)
Скорость изменения угла 03 определяется выражением
вз
/1 - /3 - в
(8)
/Г - Cos2в + /32 - Sin2в Движение автомобиля без бокового
проскальзывания его шин достигается при условии равенства нулю суммы проекций продольной и поперечной составляющих скоростей каждого колеса в точке его контакта с опорной поверхностью на нормаль к направлению продольной скорости соответствующего колеса, т. е.:
■ —
(yc + /1 - ф - Cos^) - Cos(ф + в - 51)
- (Xc -11 - ф - Sinф) - Sin(ф + в - 51) = О; (Уc + /2 - ф - Cosф) - Cos(ф + ©г - 5г ) -
- (Xc -/2 - ф - Sinф) - Sin^ + ©г - 5г) = О; (у c - із - ф - Costy) - Cos^ + ©з - 5з ) -
- (Xc + із - ф - Sinф) - Sin(ф + ©з - 5з) = О.
Возьмем производные по времени от уравнений системы (9) и объединим в единую систему полученные в результате уравнения и систему (8), тогда получим математическую модель (10) курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами. Уравнения кинематических связей в системе (10)
записаны относительно скоростей деформаций 3, что является допустимым, т. к. значения старших производных обобщенных координат хс, ус, ф однозначно определяются из первых трех динамических уравнений указанной системы.
m - Xc = -Y1 - Sin(ф + в - 51) - Y2 - Sin(ф + в2 - 52) - Y3 - Sin(ф + в3 - 53) = О; m - yc = Yl - Cos(ф + в - 5Х) + Y2 - Cos(ф + в2 - 52) + Y3 - Cos(ф + в3 - 53) = О; Jz - ф = Y1 - lx - Cos (в - 51) + Y2 -12 - Cos (в2 - 52) - Y3 -13 - Cos (в3 - 53) = О;
5 - [ Xc - Cos (ф + в-51) + у c - Sin (ф + в - 5X) + ф - lx - Sin (в - 5X)] =
= Xc - Sin (ф + в - 5X) - у c - Cos (ф + в - 5X) + ф - lx - Cos (в - 5X) +
+ в - ф - lx - Sin (в - 5X)] + (ф + в) - [Xc - Cos (ф + в - 5X) +
+ у c - Sin (ф + в-5)];
52 - [ Xc - Cos (Ф + в 2 - 52) + у c - Sin (Ф + в 2 - 52) + ф - l2 - Sin (в 2 - 52)] =
= Xc - Sin (ф + © г - 52 ) - у c - Cos (Ф + в 2 - 52) -ф- l2 - Cos (в 2 - 52 ) +
+ в2 - ф -12 - Sin (в2 - 52)] + (ф + в2) - [Xc - Cos (ф + в2 - 52) +
+ ^ -Sin(Ф + ©г -5г)];
53 - [Xc - Cos (ф + в3 - 53) + у c - Sin (ф + в3 - 53) + ф -13 - Sin (в3 - 53)] =
= Xc - Sin (ф + в3 - 53) - у c - Cos (ф + в3 - 53) + ф -13 - Cos (в3 - 53) +
+ в3 - ф -13 - Sin(в3 - 53)] + (ф + в3) - [Xc - Cos (ф + в3 - 53) +
+ yc- Sin(Ф + вз -5з)].
(1О)
Программное обеспечение и расчетные исследования
Решение системы уравнений (10) проводилось с помощью разработанного на языке VBA for Application программного обеспечения в среде программы Excel. Алгоритм решения задачи предусматривает ввод исходных данных и начальных условий интегрирования, вызов процедур: приведения задачи к системе из девяти дифференциальных уравнений первого порядка; интегрирования системы дифференциальных уравнений; анализа текущих результатов интегрирования; формирования графических зависимостей по результатам расчета.
В качестве исходных данных при
проведении расчетных исследований использовались численные значения таких данных, как инерционные и массогеометрические параметры автомобиля, упругие характеристики шин, а также параметры, описывающие закон изменения скорости угла поворота управляемых колес. Последний задается с помощью таблицы, в первой строке которой прописываются моменты времени 1, с, начала действия заданных во второй строке скоростей изменения углов поворота управляемых колес 0, рад/с. В табл. 1 в качестве примера приведен вариант задания траектории движения «переставка», в табл. 2 - круговой траектории, а в табл. 3 - траектории «обгон».
6З
Табл. 1. Закон изменения угла поворота управляемых колес «переставка»
1 3 5 9 11 13 100
0 0,0125 0 -0,0125 0,0125 0
Табл. 2. Закон изменения угла поворота управляемых колес «по кругу»
1 3 100
0 0,025 0
Табл. 3. Закон изменения угла поворота управляемых колес «обгон»
1 2 4 6 в 9 36 37 39 41 43 44 100
0 0,025 0 -0,025 0 0,025 0 -0,025 0 0,025 0 -0,025 0
Имитационное моделирование проводилось на интервале времени до 110 с с различными значениями массогеометрических параметров по представленным выше траекториям движения. Результаты моделирования выводились на лист Excel в виде строк таблицы, содержащих численные значения моментов времени, обобщенные координаты, их скорости, а также боковые реакции опорной поверхности на движители автомобиля. На этот же лист выводились графики изменения во времени названных выше параметров движения. Один из фрагментов имитационного моделирования курсового движения трехосного автомобиля с управляемыми колесами переднего и заднего мостов по траектории «переставка» со скоростью 8 м/с представлен на рис. 2.
Результаты имитационного моделирования, приведенные на рис. 2, показали, что при заданных исходных данных автомобиль после совершения маневра отклонился от начального положения за 12,5 с на 49,9 м и проехал за 40 с 396 м. Движение на всем интервале времени устойчиво, т. к. значения бокового смещения и курсового угла автомобиля практически не изменялись и он продолжал равномерное прямолинейное движение до завершения времени моделирования. На протяжении всего времени моделирова-
ния 40 с модуль скорости движения центра масс автомобиля практически не изменялся и оставался равным 8 м/с.
На рис. 3 и 4 приведены фрагменты результатов имитационного моделирования курсового движения автомобиля соответственно по круговой траектории и траектории «обгон», определяемым заданными в табл. 2 и 3 законами скорости изменения угла поворота передних управляемых колес.
Вариант, представленный на
рис. 3, а, демонстрирует устойчивое движение по кругу радиусом 28 м со скоростью 9 м/с. При этом автомобиль двигался устойчиво и совершил пять кругов.
При увеличении скорости движения до 10 м/с движение автомобиля происходит с меньшим радиусом (23,6 м), который с каждым совершенным кругом несколько уменьшается и в момент времени 103,283 с после совершения семи кругов движение становится неустойчивым, т. к. угол увода д3 превысил предельное значение 15 град (рис. 3, б).
Анализ результатов моделирования, представленных на рис. 3, б, позволяет сделать вывод о том, что при заданном сочетании коэффициентов сопротивления боковому уводу шин с увеличением скорости движения авто-
мобиля, совершающего маневр «круговое движение», радиус траектории его движения уменьшается и при достижении некоторого критического значения дви-
жение становится неустойчивым. При этом значительно увеличиваются углы увода колес и, в первую очередь, задней оси.
300,0
200,0
100,0
Хс,Ус
0,0 0,12 рад
0,00
5\
Х6
7\Г~ ^12 \ /10
\8; 9
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Рис. 2. Фрагмент варианта имитационного моделирования курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами по траектории «переставка»: 1 - модуль скорости движения автомобиля, м/с; 2, 3 - скорости перемещения центра масс автомобиля по осям 0Х и 0У, м/с; 4 - курсовой угол, рад; 5, 6 - перемещения центра масс автомобиля по осям 0Х и 0У, м; 7, 8, 9 - углы поворота управляемых колес: передней, средней и задней осей, рад; 10, 11, 12 - углы увода колес: передних, средней оси и задних, рад
м
Результаты моделирования, представленные на рис. 4, демонстрируют вариант имитационного моделирования режима движения автомобиля по траектории «обгон» с параметрами управления, приведенными в табл. 3. Данная диаграмма характеризует устойчивое движение автомобиля при совершении указан-
ного маневра со скоростью 10 м/с.
На рис. 5 приведен вариант моделирования процесса движения автомобиля по траектории «обгон» со скоростью 13,5 м/с, в котором отмечается нарушение устойчивости движения, выражающееся в отклонении его от заданной траектории.
Уc
-20
Xc
20
40 м 60
Ус
-20 0 20
Хс------------>-
40 м 60
киї = 80000 Н/рад; ки2 = 120000 Н/рад; ки3 = 120000 Н/рад; V = 9 м/с
киї = 120000 Н/рад; ки2 = 80000 Н/рад; ки3 = 80000 Н/рад; V = 10 м/с
Рис. 3. Диаграммы перемещения центра масс автомобиля со всеми управляемыми колесами в координатах Х0У при движении по круговой траектории
0
Ус
Рис. 4. Диаграмма перемещения центра масс автомобиля в координатах Х0У при движении по траектории «обгон» со скоростью 7 м/с
15 м 5
Ус 0
-5
у
0 2! 50 5 )0 71 >0 10 00 12 50 15
Хс
Рис. 5. Диаграмма перемещения центра масс автомобиля в координатах Х0У при движении по траектории «обгон» со скоростью 13,5 м/с
Заключение
Таким образом, разработанные математическая модель и программное обеспечение имитационного моделирования курсового движения автомобиля могут быть использованы для проведения расчетных экспериментов и исследования курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами по основным траекториям движения: «смена полосы движения», «движение по кругу», «обгон» и «прямолинейное движение».
Проведенные расчетные эксперименты и полученные при этом результаты подтверждают работоспособность разработанных математического и программного обеспечений моделирования курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антонов, А. А. Теория устойчивости движения многоосных автомобилей / А. А. Антонов. - М. : Машиностроение, 1979. - 216 с. : ил.
2. Вонг, Дж. Теория наземных транспортных средств : пер. с англ. / Дж. Вонг. - М. : Машиностроение, 1982. - 284 с. : ил.
3. Сазонов, И. С. Динамика колесных машин : монография / И. С. Сазонов [и др.]. -Могилев : Белорус.-Рос. ун-т, 2006. - 462 с. : ил.
4. Ясюкович, Э. И. Влияние параметров установки управляемых колес на курсовую устойчивость трактора класса 14 кН : дис. ... канд. техн. наук : 05.05.03 : защищена 15.10.82 : утв. 09.03.83 / Ясюкович Эдвард Игнатьевич. -Минск, 1982. - 235 с. : ил.
5. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М. : Физматгиз, 1961. - 824 с. : ил.
6. Литвинов, А. С. Управляемость и устойчивость автомобиля / А. С. Литвинов. - М. : Машиностроение, 1971. - 416 с. : ил.
7. Имитационное моделирование курсового движения трехосной колесной машины с управляемыми колесами на передней и средней осях / И. С. Сазонов [и др.] // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2009. - № 4. - С. 38-46.
Белорусско-Российский университет Материал поступил 04.03.2009
E. I. Yasyukovich Simulation of a rout motion of a 3-axes vehicle with six wheels control
A developed mathematical model, algorithm and software of simulation of a rout motion of 3-axes vehicle with six wheel control are given in the paper. The results of design studies, reflecting the vehicle behavior when moving on different trajectories are discussed.
