Моделирование курсового движения многозвенного автопоезда с жесткими колесами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.114.2

Э. И. Ясюкович, канд. техн. наук, доц.

МОДЕЛИРОВАНИЕ КУРСОВОГО ДВИЖЕНИЯ МНОГОЗВЕННОГО АВТОПОЕЗДА С ЖЕСТКИМИ КОЛЕСАМИ

В статье рассматриваются разработанные математическая модель и программное обеспечение имитационного моделирования курсового движения многозвенного автопоезда в составе ведущего звена и двухосных прицепов по абсолютно гладким опорным поверхностям. Обсуждаются полученные результаты имитационного моделирования курсового движения трехзвенного автопоезда по траекториям «смена полосы движения», «обгон» и «круговое движение».

Введение

В реальных условиях автомобили и автопоезда движутся по криволинейным траекториям. Это обусловлено неровностями и извилистостью дороги, а также условиями движения, такими, как повороты на другую дорогу, объезды препятствий и обгоны других, движущихся попутно транспортных средств, изменение направления движения под воздействием боковых сил. По статистическим данным, на грунтовых дорогах автомобили до 70 % времени движутся по траекториям с радиусом кривизны траектории меньшим 300...400 м и средними скоростями 20.25 км/ч [1].

Под радиусом кривизны траектории понимается расстояние от мгновенного центра вращения (поворота) до центра масс автомобиля.

Для изучения криволинейного движения автомобиля используют траектор-ную устойчивость, характеризующую способность сохранять направление движения центра масс, и курсовую, характеризующую способность сохранять ориентацию его продольной оси [1, 2].

В настоящей работе рассматриваются математическая модель и программное обеспечение (ПО), позволяющие оценить курсовую устойчивость автопоезда с использованием таких показателей, как критическая скорость по курсовой и траекторной устойчивости, а также критическая скорость по вилянию прицепов.

Математическая модель курсового движения автопоезда на основе плоской динамической схемы

Для составления уравнений движения автопоезда примем расчетную динамическую схему, приведенную на рис. 1, на которой даны следующие обозначения: /2/-1, /2/ - расстояния от центров масс до передней и задней осей автомобиля и прицепов; /01, /0/+1 - расстояния от центров задней оси ведущего звена и /-го прицепа до точки крепления их сцепных устройств; - длина дыш-

ла /-го прицепа.

Примем допущение, что центры поворота ведущего звена и прицепов находятся в точках пересечения нормалей к передним и задним колесам. Таким образом, траектории движения центров масс ведущего звена и прицепов не будут совпадать.

Предположим также, что звенья автопоезда имеют между собой упругие связи, и тогда в качестве независимых координат выберем поступательные перемещения центров масс каждого звена автопоезда по продольной и поперечной осям и их курсовые углы [3]. Таким образом, примем следующие обобщенные координаты: х/, у/, фг- - перемещения центров масс по продольной, поперечной осям и курсовой угол ведущего звена, первого и последующих прицепов.

Q Хсз Хс2 ХС1

Рис. 1. Расчетная динамическая схема трехзвенного автопоезда

Традиционно математическая модель курсового движения автопоезда состоит из двух видов дифференциальных уравнений: динамических и уравнений кинематических связей. Динамические уравнения записаны в следующем виде:

miXi + Y2i _1 Sin(©j + ф.) +

+ Y2i Sin ф. = 0;

mi + Y2i _1 C OS (0 i + Ф i) + \ (1)

+ Y2i Cos ф. = 0;

Jiфi = Y2i_1l2i_1 CoS © i + Y2il2i = 0, i = 1, 2,..., n,

где mi - массы ведущего звена и прицепов; J. - моменты инерции автомобиля первого и второго прицепов относительно их центральных вертикальных осей; Y2i-1, Y2i - боковые реакции опорной поверхности на передние и задние колеса ведущего звена и прицепов; l2i-1, l2i - расстояния от центров масс до передней и задней осей ведущего звена и прицепов; n - количество звеньев автопоезда.

В системе уравнений (1) Y2i-1, Y2i

являются неизвестными величинами, которые можно определить в результате совместного решения системы (1) и уравнений кинематических связей колес звеньев автопоезда с опорной поверхностью. Составим названные уравнения в предположении отсутствия бокового проскальзывания колес на опорной поверхности. Для этого выразим уравнения линейных скоростей центров колес ведущего звена и прицепов через первые производные от принятых независимых координат и спроектируем их на нормали к плоскостям вращения соответствующих колес. Затем, продифференцировав по времени полученные уравнения, получим следующие уравнения кинематических связей:

(2)

_х. Sin(Pi +©i) + y Cos (ф. +©i) +

+ ф Cos©. = (ф i + © i)[ xci Cos (ф. + ©. ) +

+y. Sin(фi + © )] + фi©ili Sin©.;

_x Sin ф. + yt Cos ф. _ фil2i =

= ф (XiCos ф. + y i Sin ф.), i=1, 2,...,n.

Чтобы записать уравнения движе-

ния для первого и последующих прицепов, сделаем предположение, что каждый прицеп имеет передние управляемые колеса, а углы их поворота 0/+1, ., 0+ при криволинейном движении зависят от курсовых углов звеньев автопоезда следующим образом:

собой математическую модель курсового движения многозвенного автопоезда с жесткими колесами.

©і+n =pi+n-1 -pi i = 1, 2,..., n.

©і+1 =pi

©і+2 = pi+1 -p^;

(3)

Проведем расчетные исследования курсового движения трехзвенного автопоезда. Для формирования математической модели такого автопоезда объединим уравнения (1) и (2) в единую систему, приняв п = 3. В результате получим плоскую математическую модель, которая имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4), не разрешенных относительно старших производных:

Таким образом, полученные системы уравнений (1) и (2) представляют

mx + Y1 Sin(01 + фх) + Y2 Sin ф1 = bx1; m1 y1 + Y1 Cos(0x + фх) + Y2 Cos ф1 = by^

J1ф 1 = YLl1 Cos 0. + Y2l2 = b/i1;

_X1 Sin(ф1 + 0J + j^1Cos(ф1 + 0J + ф 1 l1 Cos01 =

= ((ф1 + 0 j)[ XjCos^ + 0j) + J^'1Sin(ф1 + 0j)] + (ф1(© 1 l1 Sin 0j;

_ X1 Sin ф1 + y1 Cos ф1 _ ф 1l2 = ф 1( X1 Cos ф1 + y1 Sin ф1); m2 X2 + Y3 Sin(0 2 + ф2) + Y4 Sin ф2 = bx2; m2 y2 + Y3 Cos(0 2 + ф2) + Y4 Cos ф2 = by2;

J2ф2 = Y3l3 Cos 02 + Y4l4 = b/i2;

_X2 Sin(ф2 + 02) + y2 Cos (ф2 + 02) + cp 213 Cos02 =

= (ф2 + 02)[X3 Cos(Ф2 + 02) + У3 ^*1п(ф2 + 02)] + ф20 213 Sin 02;

_X2 Sin ф2 + y2 Cos ф2 _ ф2l4 = (ф2 (X2 Cos ф2 + y2 Sin ф2); m3 X3 + Y5 Sin(03 + ф3) + Y6 Sin ф3 = bx3; m3 y3 + Y5 Cos(03 + ф3) + Y6 Cos ф3 = by3;

Если коэффициенты Ъх, Ъу/, Ъ/г1 в правых частях динамических уравнений принять равными нулю, то система (4) применима для проведения имитационных экспериментов курсового движения трехзвенного автопоезда с постоянной

скоростью по произвольной, заранее заданной траектории [4].

Значительно расширить область применения разработанной модели можно, если дополнить ее уравнения компонентами, позволяющими модели-

ровать, например, режим разгона автопоезда. Рассмотрим такие дополнения.

Выразим координаты соединения дышла первого прицепа с ведущим звеном (х^, У1к), принадлежащие ведущему звену, а также координаты соединения дышла второго прицепа с первым (Х2£, У2к), принадлежащие первому прицепу, через принятые обобщенные координаты:

хік = X- (12 + 101)Со^;1 Уїк = Уі- (12 + /оі)^іп^і; J

Х2к = Х2 - (14 + 101)Со!іФг; У2к = У2 - (14 +

(5)

(6)

а также координаты соединения дышла первого прицепа с ведущим звеном (Х2р, у2р) и дышла второго прицепа с первым прицепом (Хзр, узр):

х2 р = Х2 + ^ 2С°^;

У 2 р = У 2 + 1з$ІПУі + Ь 2Лп^; хз = хз + ї5Со.фз + 1азСо.ф2; |

Уз р = Уз + І5Л'П^з + їй з&пщ.

(7)

(8)

С помощью выражений (5) и (6) можно определить силы (Х12, У12), действующие на первый прицеп при изменении скорости движения ведущего звена или прицепа, а выражения (7) и (8) позволяют определить аналогичные силы (Х23, У23), возникающие при взаимодействии первого и второго прице-

пов:

Х12 (х1к Х2 р )С.12;

^12 = (У1к — У 2 р )С.12;

Х2з = (Х2к — Хз р )С.2з ; I

^2з = (У2к — Уз р )С.2з ,

(9)

(10)

где Сц12, С23 - коэффициенты жесткости в сцепке между ведущим звеном и первым прицепом и между первым и вторым прицепами автопоезда.

Теперь математическую модель

(4) можно использовать для моделирования неустановившихся режимов движения автопоезда.

Если, кроме этого, к ведущим колесам автомобиля приложить касательную силу тяги, то система уравнений (4) может быть использована для моделирования режима трогания с места автопоезда, а если вместо нее тормозную к соответствующим колесам - то и для режима торможения.

Тяговый момент ведущих колес и касательную силу тяги можно определить по выражениям, приведенным, например, в [1]. В данной работе для моделирования плавного нарастания касательной силы тяги на ведущих колесах использовалось выражение

Рк =

ГкІпг '

где Мк - вращающий момент двигателя, реализуемый ведущими колесами; гк -радиус качения ведущих колес; /0 - коэффициент пропорциональности; і - время моделирования; іпг - момент времени завершения нарастания момента Мк.

Алгоритм, программное обеспечение и расчетные исследования курсового движения трехзвенного автопоезда

Полученная система дифференциальных уравнений курсового движения автопоезда является неразрешенной относительно старших (вторых) производных обобщенных координат и реакций опорной поверхности на колеса. Поэтому алгоритм решения данной задачи содержит блоки: разрешение системы уравнений относительно старших производных; приведение ее к системе из восемнадцати дифференциальных уравнений первого порядка; интегрирование полученной системы численным методом.

При решении задачи было принято, что в начальный момент времени точка центра масс второго (последнего) прицепа находится в начале неподвижной системы координат Х0У, т. е. х30 = 0;

y30 = 0, а координаты центров первого прицепа (х20; y20) и ведущего звена (х10; yio) равны:

Х20 = Х30 + l5 Cos фз + (ld3 + l02 + l4)Cos ф2 ; У20 = У30 + l5 Sin фз + (ld3 + l02 + l4)Sin ф2;

X10 = X20 + l3 Cos ф2 + (ld 2 + l01 + l2 ) Cos ф1;

У10 = У20 + l3 Sin ф2 + (ld 2 + l01 + l2) Sin ф1 •

Для решения уравнений полученной математической модели (4) разработано ПО на языке VBA в среде программы Excel, которое позволяет проинтегрировать их на заданном интервале времени. Исходные данные задачи в виде численных значений массогеометрических параметров и таблицы закона управления передними колесами ведущего звена вводятся с первого листа Excel. Результаты интегрирования сохраняются на первых двух листах Excel

и в текстовом файле, который используется программой анимации автопоезда. На первый лист выводятся также диаграммы движения центров масс каждого звена автопоезда в координатах Х0У, а на второй - динамические характеристики движения основных параметров автопоезда: независимые координаты и боковые реакции опорной поверхности на его колеса.

Рассмотрим пример моделирования курсового движения трехзвенного автопоезда по абсолютно гладкой горизонтальной опорной поверхности, состоящего из ведущего звена массой 3600 кг и двух двухосных прицепов массой по 4500 кг.

На рис. 2.4 приведены результаты имитационного моделирования режима движения автопоезда «смена полосы движения» на скорости 5 м/с.

0,12

А Ра()

| 0,00 0;

-0,12

0 4 8 12 с 16

{ --------►

Рис. 2. Динамические характеристики углов поворота управляемых колес звеньев автопоезда при совершении маневра «смена полосы движения»: 1 - ведущего звена; 2 - первого прицепа; з - второго прицепа

I

Ус

X1--------►

Рис. 3. Диаграммы перемещения центров масс звеньев автопоезда при движении по траектории «смена полосы движения»: 1 - ведущего звена; 2 - первого прицепа; 3 - второго прицепа

О 15 30 45 60 75 М 90

рад

1,2

0,9

0,6

0,3

о

-0,3

xi У;.Хг,уг,\>

VI м. м/с

г 160 8

■ 120 6

- 80 . 4

■ 40 2

0 . 0

^ -40 . -2

Ц1Ц12\13\

1

2/з/4/ <15 Л6

V / ч10

‘V

12

С 15

Рис. 4. Динамические характеристики параметров движения звеньев автопоезда при совершении маневра «смена полосы движения»: 1 - абсолютная линейная скорость V центра масс ведущего звена; 2, 3, 4 - линейные скорости Х. центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0Х; 5, 6, 7 - линейные скорости у. центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0У; 8, 9, 10 - линейные перемещения х. центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0Х; 11, 12, 13 - линейные перемещения у. центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0У; 14, 15, 16 - курсовые углы (р. звеньев автопоезда

На рис. 2 представлены динамические характеристики углов поворота передних колес звеньев автопоезда при совершении указанного маневра, из которого видно, что передние колеса первого прицепа формируют его поворот с некоторым запаздыванием по отношению к ведущему звену и выходят из поворота с некоторым запаздыванием, а второго прицепа - с запаздыванием по отношению к первому прицепу. Величина этого запаздывания определяется в основном геометрическими параметрами автопоезда, а также режимом и скоростью криволинейного движения.

Процесс входа в поворот звеньев автопоезда и выхода из него, полученный в результате моделирования режима движения автопоезда по траектории «смена полосы движения», представлен на рис. 3, который отражает перемещение центров масс ведущего звена, первого и второго прицепов в координатах Х0У. Из диаграммы видно, что вход в поворот первого прицепа по отношению к ведущему звену, а также второго при-

цепа по отношению к первому и выход из поворота происходят с небольшим запаздыванием, что вполне логично.

Динамические характеристики продольных и поперечных перемещений и скоростей, а также курсовых углов и модуля скорости движения автопоезда на интервале времени 0.15 с по траектории «смена полосы движения» приведены на рис. 4.

После входа в поворот (см. рис. 4) начинают уменьшаться линейные продольные скорости ведущего звена и прицепов (графики 2.4), а поперечные -увеличиваться (графики 5.7). При этом курсовые углы звеньев автопоезда также начинают возрастать (графики 14, 15, 17).

По истечении 8 с движения автопоезд перестроился в новый ряд движения. При этом поперечные координаты центров масс звеньев автопоезда (графики 11.13) достигли значения 6,12 м, а продольные продолжали увеличиваться согласно заданной скорости движения (графики 8.10).

Транспорт

А (р1_ у> А

рад рад кН м

0,025 Г 0,8 Г 5 ' ю -

г 500

25

5,0

0,0125

- 0,4

- 2,5

- 250

12,5

2,5

0,0

-0,0125

- -0,4

--2,5

-5

- 250

- -12,5

-2,5

-0.025

Рис. 5. Динамические характеристики параметров движения звеньев автопоезда при совершении маневра «обгон»: 1 - абсолютная линейная скорость центра масс ведущего звена; 2, 3, 4 - линейные скорости центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0У; 5, 6, 7 - линейные перемещения центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0Х; 8, 9, 10 - линейные перемещения центров масс звеньев автопоезда по координатной оси 0У; 11, 12, 13 - углы поворота управляемых колес ведущего звена и передних колес прицепов; 14, 15, 16 - курсовые углы звеньев автопоезда, соответственно ведущего звена, первого и второго прицепов; 17, 18 - боковые реакции опорной поверхности на передние и задние колеса ведущего звена; 19 - пики боковых реакций опорной поверхности на колеса ведущего звена при сбросе управляющего воздействия на управляемые колеса

Вестник Белорусско-Российского университета. 2010. № 3(28)

Модуль скорости движения автопоезда на всем интервале времени моделирования оставался постоянным, равным 5 м/с (график 1).

В процессе имитационных экспериментов с ПО проводилось моделирование и других режимов движения. На рис. 5 приведен фрагмент результатов имитационного моделирования режима «обгон» на скорости движения 20 м/с (72 км/ч). Маневр был начат через 1 с после начала движения. С этого момента управляемые колеса ведущего звена в течение 0,5 с отклонялись со скоростью 0,015 рад/с в направлении против часовой стрелки. За это время они отклонились на угол 0,0075 рад (0,43 град). После входа в поворот начинают возрастать линейные скорости боковых перемещений центров масс звеньев автопоезда (графики 2.4) и боковые координаты (графики 5.7), а также их курсовые углы (графики 14.16). Боковые реакции опорной поверхности на колеса ведущего звена при совершении данного маневра достигают значений 3240 Н (графики 17, 18).

В моменты времени, когда пре-

кращается управляющее воздействие на управляемые колеса, т. е. угол их поворота устанавливается в некоторое постоянное значение, имеет место резкий сброс боковой реакции опорной поверхности на управляемые колеса (см. рис. 5, позиции 19) до 40 %. Это объясняется тем, что в данной постановке задачи закон управления управляемыми колесами задается в виде функции времени скорости угла их поворота, а не ускорения. В связи с этим при завершении управляющего воздействия скорость угла 0; мгновенно устанавливается в нулевое значение, что и вызывает появление указанных пиков боковых реакций. При правильном формировании управляющего воздействия на управляемые колеса боковые реакции опорной поверхности должны плавно снижаться от максимального (пикового) значения до установившегося при постоянном угле поворота управляемых колес.

На рис. 6 и 7 приведены результаты моделирования движения автопоезда по прямолинейной траектории в режиме «разгон до скорости 12,8 м/с».

м м/с

5 10 с 15

I ------------►

Рис. 6. Моделирование разгона автопоезда по прямолинейной траектории: 1, 2, 3 - скорости перемещения центров масс Х. ведущего звена, первого и второго прицепов; 4, 5, 6 - перемещения центров масс х. ведущего звена, первого и второго прицепов

На рис. 7 представлен тот же фрагмент, что и на рис. 6, но в интервале времени до 40 с.

Таким образом, проведенные расчетные исследования подтверждают работоспособность разработанных математических моделей и программного обеспечения и возможность их использования для проведения виртуальных испытаний курсового движения и вертикальной динамики колесных машин в условиях, близких к реальным.

Заключение

Таким образом, разработанная методика позволяет провести виртуальные испытания динамики курсового движения многозвенного автопоезда и может

быть предложена в качестве средства функционального проектирования многозвенных колесных машин.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасик, В. П. Теория движения автомобиля : учебник для вузов / В. П. Тарасик. -СПб. : БХВ-Петербург, 2006. - 478 с. : ил.

2. Антонов, А. А. Теория устойчивости движения многоосных автомобилей / А. А. Антонов. -М. : Машиностроение, 1979. - 216 с. : ил.

3. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М. : Физматгиз, 1961. - 824 с. : ил.

4. Ясюкович, Э. И. Имитационное моделирование курсового движения трехосного автомобиля со всеми управляемыми колесами / Э. И. Ясюкович // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. -2009. - № 4. - С. 60-67.

Белорусско-Российский университет Материал поступил 26.02.2010

E. I. Yasukovich

Modeling of the course motion of the multiple-section articulated vehicle with rigid wheels

The paper gives the developed mathematical model and software for the simulation modeling of the course motion of the multiple-section articulated vehicle consisting of the driving section and two-axle trailers upon absolutely smooth bearing surfaces. The paper discusses the obtained results of the simulation modeling of the course motion of a three-section articulated vehicle in «changing the traffic lane», «overtaking» and «circular motion» trajectories.