CC BY
2
УДК 517.956.6
Mirzamaxmudov U.A.
Doliyev O.B.
Namangan muhandislik-texnologiya institute "Oliy matematika" kafedrasi assistenti O'zbekiston, Namangan
IKKINCHI TARTIBLI GRONUOLL CHEGARALANISHLI BOSHQARUVLAR UCHUN TUTISH MASALASI
Annotatsiya. Ushbu ma'ruzada boshqaruvlar Granoull chegaralanishga ega holda ikkinchi tartibli differensial o'yinlar uchun tutish masalasi o'rganiladi. Bunda quvlovchi uchun parallel quvish strategiyasi quriladi va uning yordamida tutish masalasi uchun yetarli shartlar keltiriladi.
Kalit so^zlar: Differensial o'yin, geometrik chegaralanish, parallel quvish strategiyasi, quvlovchi, qochuvchi, tezlanish, Granoull chegaralanishli.
Mirzamakhmudov U.A.
assistant Doliev. O.B. assistant
Department of Higher Mathematics Namangan Institute of Engineering and Technology
Uzbekistan, Namangan
THE SECOND ORDER GRONUOLL IS A CATCH ISSUE FOR
BOUNDED CONTROLS
Annotation. This report explores the problem of retaining control in second-order differential games with Granule constraints. In this case, a parallel pursuit strategy is built for the pursuer, and with its help sufficient conditions are set for the task of capture.
Keywords: Differential game, geometric constraint, parallel chase strategy, pursuer, escape, acceleration, Granule constraint.
Rn fazoda P va E obyektlar berilgan va ularning harakatlari quyidagi differensial tenglamalarga asoslangan
t
P:x = u, ¿(O)-fa(O) = 0,|m(0|2 < P2 +2/||z^)|2 ds ,(1)
0 t
E: y = v,y(0)-ky(0) = 0, |v(t)|2 < a2 + 2lJ| v(s)|2 ds, (2)
0
bu yerda x - P obyektning R" fazodagi holati, x0 = x(0), x, = x(0)-uning mos ravishda t = 0 vaqtdagi boshlang'ich holati va boshlang'ich tezligi; u - quvlovchining boshqariladigan tezlanishi bo'lib u : [0,ro)^ Rn va u vaqt
bo'yicha o'lchanuvchi funksiya sifatida tanlanadi; barcha
t
|u(t)|2 < p2 + 2lJ|u(s)|2 ds shartni qanoatlantiruvchi bunday u (•) o'lchanuvchi
0
funksiyalar to'plamini Gp bilan belgilaymiz. y-E obyektning Rn fazodagi
holati, y0=y(0), >'i = i'(O) - uning mos ravishda barcha
t
|v(t)|2 <a2 + 2lJ v(s)2 ds shartni qanoatlantiruvchi bunday v(•) o'lchanuvchi
0
funksiyalar to'plamini G bilan belgilaymiz.
Ta'rif 1. Agar (x0, x1 ,u (•)), u (-)e Gp uchlik berilgan bo'lsa, (1) tenglamaning quyidagi yechimiga quvlovchining harakat trayektoriyasi deyiladi
t s
t s
y (t) = У0 + y + JJv(r) drds.
x (t) = x0 + txl + JJu (r) drds.
0 0
Ta'rif 2. Agar (y0, y,v(•)), v(-)eG£ uchlik berilgan bo'lsa (2) tenglamaning quyidagi yechimiga qochuvchining harakat trayektoriyasi deyiladi
t s
V
0 0
Ta'rif 3. (1)-(2) masala uchun tutish masalasi ([1]-[2]) yechilgan deyiladi, agar qochuvchining ixtiyoriy v (•) e GE boshqaruv funksiyasi uchun
quvlovchining shunday u (-)e Gp boshqaruv funksiya mavjud bo'lsaki, biror
chekli t * vaqtda quyidagi tenglik bajarilsin
x(t*) = y(t*). (3)
Ta'rif 4. (1) - (2) masala uchun quvlovchining П-strategiyasi ([3]-[4]) deb quyidagi funksiyaga aytamiz,
u(v) = v-Л(v)£, (4) bunda 4 = А, Я(v) = (v,4) + ^/(v,4)2 + ôe2lt , ¿ = p2-a2 >0, (v,4) - v
va 4 vektorlarning Rn fazodagi skalyar ko'paytmasi. Teorema. Agar Granoull chegaralanishli ikkinchi tartibli differensial o'yin (1)-(2) uchun quyidagi shart p > a o'rinli bo'lsa, u holda П-strategiya (4) yordamida tutish masalasi (0,t) yechiladi va obyektlar orasidagi yaqinlashish funksiyasi quyidagicha bo'ladi
f (l, t ,| z0|, p,a, k) = \zQ\(kt +1)elt + t
Isboti. Faraz qilamiz, agar qochuvchi ixtiyoriy v(-)e Ge bo'lganda,
quvlovchi esa (4) ko'rinishdagi strategiyani tanlasin, u holda (1) va (2) tenglamalarga asosan quyidagi Karateodori tenglamasini topamiz
z, = -/t(v(i))£0, ¿(O)-fe(O) = 0,
Bundan boshlang'ich shartlarni berilishi bo'yicha quyidagi yechim aniqlanadi
t s
z(t) = z0(kt +1 )-£0 v,drds
0 0
yoki
|z (t )| = |zo| (kt +1) - J J ((v, 4) + V( v,5, )2 + de2" )drds.
0 0
Lemmaga ko'ra quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz
t s
|z (t )| < |z01 (kt +1) - jjeh (p - a)drds
t s
+1)- JJel (p-a)drds ^
0 0
p-a lt p-a p-a
|z(t)| <|Z0\(kt +1)-Zjae" + t
rsi i rx i i/r n p-a lt p-a p-a
Agar f (l,t,|Z0 ,p,a,k) = |z0(kt +1)e ++ t
desak bu funksiyani nolga aylantiruvchi musbat t * vaqtni topamiz.
p-a it | Wl .x p-a p-a
p-- elt = № +1) + + p
elt = t
2
l
oxirgi tenglikni soddalashtirish orqali quyidagi tenglikni hosil qilamiz,
+1LM1+1
p-a J p-a
bunda A = +1, B = JZ0il_ +1 bo'lib, bu yerda p>a, B > 1.
p-a p-a
Natijada quyidagi tenglikka ega bo'lamiz
elt = At + B (5)
Tutish vaqtini aniqlash uchun (5) tenglamani quyidagi hollarini ko'rib chiqamiz.
a — p *
1. A < 0 ^ k <-—:— bo'lsin. U holda (5) tenglama yagona t > 0
Iz0 |l
musbat yechim mavjud va bu yechim tutish vaqti bo'ladi. (1-chizma)
2.
A = 0 ^ к =G f bo'lsin. U holda (5) tenglama yechimi
ln
t =
P-G
/
J/
bo'lib, tutish vaqtini beradi.
G — P *
A > 0 ^ к > -—f- bo'lsin. U holda (5) tenglama t > 0 musbat
\l
yechimi mavjud va bu yechim tutish vaqti bo'ladi.
(1-chizma)
(2-chizma)
(3-chizma)
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Isaacs R. Differential games. John Wiley and Sons, New York, 1965.
2. Nahin P.J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, Princeton, 2012.
3. Azamov A.A., Samatov B.T. The n-Strategy: Analogies and Applications. The Fourth International Conference Game Theory and Management, St. Petersburg, Russia: 2010, p. 33-47.
4. Samatov B.T. The Pursuit- Evasion Problem under Integral-Geometric constraints on Pursuer controls. Automation and Remote Control, Pleiades Publishing, Ltd. New York: 2013, 74(7), p. 1072-1081.
