CC BY
524
Saipnazarov J.M.
TATU
Qarshi filiali Dasturiy injiniring kafedrasi o'qituvchisi
Usmonov M. T.
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali 4-kurs talabasi
IKKI KARRALI INTEGRALNING TATBIQLARI. IKKI KARRALI INTEGRAL YORDAMIDA YUZA VA JISM HAJMINI HISOBLASH.
MASSA, O'RTA QIYMAT VA INERSIYA MOMENTI
Annotatsiya: Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri bo'lgan Ikki karrali integralning tatbiqlari. Ikki karrali integral yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, o'rta qiymat va inersiya momentini topish haqida ma 'lumotlar berib o'tildi va mavjud muanmolarga ilmiy yondashildi. Ikki karrali integral aniq integralning ikki o'zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir. Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz.
Kalit so'zlar: Ikki karrali integralning ta'rifi, Ikki karrali integralni hisoblash, Ikki karrali integralning tatbiqlari.
Saipnazarov J.M.
teacher Software Engineering TUIT Karshi branch Usmonov M. T.
4th year student
Tashkent University of Information Technologies
Karshi branch
APPLICATIONS OF DOUBLE INTEGRALS. CALCULATE THE
VOLUME OF A SURFACE AND A BODY USING A DOUBLE INTEGRAL. MASS, MEAN AND MOMENT OF INERTIA
Abstract: In this article, one of the most interesting topics in mathematics is the application of the double integral. Calculate the volume of a surface and a body using a double integral. Information on finding mass, mean and moment of inertia was given, and a scientific approach to the existing problems was given. A double integral is a generalized case of a definite integral for a function with two variables (arguments). The double integral also has the basic properties of a definite integral. We recommend repeating the properties of the exact integral.
Keywords: Definition of double integral, Calculation of double integral, Applications of double integral.
1. Ikki karrali integralning ta'rifi.
f (x, y)funksiya biror D sohada aniqlangan bo'lsin. D sohani n ta Dz qismlarga bo'lamiz. Har bir Dz qismda P (xt, yi ) bittadan nuqta tanlaymiz hamda
Sn = tf ( x, yi (i)
i=l
yig'indini to'zamiz. (1) yig'indiga f (x,y)funksiya uchun D sohadagi integral yig'indi deyiladi. X qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo'lsin. AS;, Dt sohaning yuzi.
Ta'rif. (1) integral yig'indining, qismlarga bo'linish usuliga, P nuqtalarning tanlanishiga bog'liq bo'lmagan X ^ 0 dagi limiti mavjud bo'lsa, bu limitga f (x, y) funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va
ff f ( x y )ds
D
simvol bilan belgilanadi.
Ikki karrali integral aniq integralning ikki o'zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir.
Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz.
2. Ikki karrali integralni hisoblash.
Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. D soha y = y1 (x), y = y2 (x) funksiyalar grafklari hamda x = a va x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsin, ya'ni
f a < x < b
\yi (x ) < y < y2 (x )
tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi:
b
ff f (x, y )ds =f
D a
(1)
Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda x ni o'zgarmas deb, integrallash y bo'yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo'ladi.
D soha
y2 ( x )
f f(
yi( x )
x
y y)dy
b y 2 ( x ) dx = f dx f f (.
a yi( x )
x,
y y)dy
с < y < d
x1 (У) < x < x2 (У) tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral
d
JJ f (x, У )dxdy = J
D
x2 ( У )
J f (x, У )dx
.x1( У )
d x2 (y ) dy = J dy J f (x, y )dx _ s x1(y )
formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi. 1-misol. JJxlnydxdy integralni D soha: 0 < x < 4, 1 < y < e to'g'ri
D
to'rtburchak bo'lganda hisoblang.
Yechish. (1) formulaga asosan,
JJ x ln ydxdy = J xdxJ ln ydy = J xdx[y ln y — y je = —
П П П 2
D
4=8.
2-misol. JJ (x — y)dxdy integralni D : y = 2 — x2, y = 2x — 1, chiziqlar
D
bilan chegaralangan soha bo'lganda hisoblang.
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o'qiga simmetrik bo'lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to'g'ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:
о 2
У = 2 — x y = 2 x — 1
tenlamalar sistemasini yechib, A(—З;—7), B(1,1) nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan,
1 2—x2
JJ (x, y)dxdy = J dx J (x — y)dy =
D
—З 2x—1
= J
xy
2
2—x2
1
dx = J
2x—1
x • (2 — x )
(2 — x2)2
— -
=J
—З
—З 4
2
1 fn _ З 4 — 4x2 + x4 2 4x2 — 4x + 1Л 2 x x 2 x x
J
—З
v
2
2
x • (2 x — 1) -dx =
(2 x — 1)2
2
y
pi 1 4 З /-» 2 З
= il — x — x + 2 x + x —
J| 2 2 y
—З4
15 1423 1 2 3
--x--x + — x x--x
1G Л bo'ladi.
dx =
Л
= 4
15
dx =
4
4
e
3
2
2
3
3. Ikki karrali integralning tatbiqlari.
1. JJ f (x, y )dxdy integralda f ( x, y) = 1 bo'lsa, JJ dxdy integral D
D D
figuraning yuzini ifodalaydi, ya'ni
S = JJ dxdy
D
1-misol. x = 4y — y , x + y = 6 chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.
Yechish. Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.
x = 4y — y2, x = 6 — y dan 4y — y2 = 6 — y, y2 — 5y + 6 = 0, , • , • , , ,
kesishish nuqtalari
y = 2, y2 = 3; x = 4, x = 3; A(4;2) va B(3;3)
bo'ladi. Shunday qilib, yuza
3 4 y—y2 3 2 3 , \3/ 4
S = JJdxdy = Jdy J dx = Jx 4——ydy = j(4y — y2 — 6 + y)dy = j(5y — y2 — 6)dy =
x
D 2 6—y 2
3 ^
V
5 2 y s
-y---6 y
2 3
= — (kv. birlik) 2 6
2. Yuqoridan z = f (x, y ) sirt, quyidan z = 0 tekislik, yon tomondan to'g'ri silindrik sirt bilan hamda XOY tekislikda D sohani hosil qiladigan silindrik îismnins xajmi
V = JJ f (x, y )dxdy integral bilan xisoblanadi.
D
2-misol. y = 1 + x , z = 3x, y = 5, z = 0 sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo'lgan jism yuqoridan z = 3x tekislik,
2
yondan y = 1 + x parabolik silindr, y = 5 tekislik bilan chegaralangan. Shunday kilib
2 5 2 г 2/ ч
V = JJ3xdxdy = 3Jxdx J dy = 3Jxp — (1 + x2)dx = 3J(4x — x3)dx = 3
= 3
D 0 1+x2 0 0
f 04Л
2 2
f 2 xx
4---
24
^ У0
2 • 22
4
= 24 —12 = 12 куб.бир.
3. Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi /(x, y ) bo'lsa, uning massasi m = JJ /(x, y )dxdy
D
integral bilan hisoblanadi. Plastinkaning OX va OY o'qlarga nisbatan statik momentlari.
Mx = JJ y/(x,y)dxdy, My = JJ x/(x,y}dxdy
x
D D
2
2
formulalar bilan hisoblanadi.
Plastinka birjinsli, ya'ni y = cosnt bo'lganda uning og'irlik markazinins koordinatalari
JJ ydxdy
xc =
Mx JJ xdxdy _ M
yc
D
S S S S
formulalar yordamida topiladi, bu yerda S, D sohaning yuzi. Plastinkaning OX va OU o'qlariga nisbatan inertsiya momentlari
Jx =JJ y 2y(x, y)dxdy, Jy =JJ x 2y(x, y)dxdy
D D
formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti
J o =JJ(x 2 + y2 \(x, y )dxdy = Jx + Jy
D
formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda y(x, y) = 1 deb tekis
figuralarning geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz.
2 2
3-misol. y = 4x + 4, y = —2x + 4 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning og'irlik markazining koordinatlarini toping.
Yechish. Chiziqlar OX o'qiga nisbatan simmetrik bo'lganligi uchun yc = 0 xc ni topamiz:
4—y 2
D
= 6
y
S = JJ dxdy = 2J dy J dy = 2J
0 y2—4 0
4
i2 , . 8 A
^4 — y
2 y2 — 4^
2
4
dy = 2J
3
3y
2
4
dy
y_ 12
i
=6
0
2--
v 12,
4—y 2
=8
12
_ 1 „ 1 2 2 xdxdy = - J
xc = "JJ xdxdy = - 2J dy J 80
8 L 8 0 y2 — 4
4 — y ' 4
(y2 — 4)"
16
dy = 1Í f 3
8 0 V
3 2 3 4
-y + — y
2 16 y
dy =
4
f 3 o
o y 3 y 3 y — — + 2 80
2
,2
y 0
= -. Demak C(-;0) 5 5
Adabiyotlar ro'yxati:
1. Claudio Canuto, Anita Tabacco "Mathematical Analysis", Italy, Springer, I-part, 2008, II-part, 2010.
2. W. WL.Chen "Linear algebra ", London, Chapter 1-12, 1983, 2008.
3. W.WL.Chen "Introduction to Fourier Series", London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
4. W.WL.Chen "Fundamentales of Analysis", London, Chapter 1 -10, 1983, 2008.
2
2
0
2
5. 8оа1оу Уо и. ОНу та!етайка. Т., O'qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar.
6. Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O'qituvhi, 1-qism, 1989.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997.
8. У.Уе.БИиеуёег, А.1.81ИзИу, А^БИитоу. Qisqaha оНу matematika kursi. Т., 1985., 2-qism.
9. Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1984.
10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1983.
