EYLER INTEGRALLARINING TATBIQLARI Текст научной статьи по специальности «Математика»

EYLER INTEGRALLARINING TATBIQLARI

Alijon Xayrulloyevich Avezov Nigora Raxmatova

Buxoro davlat universiteti

ANNOTATSIYA

Ushbu maqolada Eyler integrallari hisoblangan beta va gamma funksiyalarning muhim xossalarini o'rganish va ularni turli xil integrallarni hisoblashga, Eyler integrallari yordamida aniq integrallarni hisoblashga hamda akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblashga tadbiq qilishdan iborat.

Kalit so'zlar: gamma funksiya, beta funksiya, parametrga bog'liq integral, xosmas integral, Nyuton binomi.

APPLICATIONS OF EYLER INTEGRALS

Alijon Khayrulloevich Avezov Nigora Rakhmatova

Bukhara state university

ABSTRACT

In this paper we examine the important properties of beta and gamma functions, which are Euler integrals, and their application to the calculation of various integrals, the calculation of definite integrals using Euler integrals, and the calculation of integrals in the academic high school course.

Keywords: gamma function, beta function, parameter-dependent integral, nonspecific integral, Newton's binomial.

KIRISH

Ushbu maqolada Eyler integrallari hisoblangan beta va gamma funksiyalarning muhim xossalarini o'rganish va ularni turli xil integrallarni hisoblashga, akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblashga hamda Eyler integrallari yordamida aniq integrallarni hisoblashga tadbiq qilishdan iborat. Maqolada Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblash tadbiqiga doir bir qator misollar yechib ko'rsatilgan.

ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA

Aytish joizki adabiyotlarda berilgan bir qator murakkab integrallarni hisoblash, maqolaning maqsad va vazifalarini tashkil etadi.

Maqolada Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblash tadbiqiga doir bir qator misollar yechib ko'rsatilgan va Eyler integrallarining muhim xossalari o'rganilib, bu xossalardan foydalanib, turli xildagi integrallarni hisoblash

usullari ko'rsatilgan. [1-10] maqolalarda matematika fani bo'yicha o'quv mashg'ulotlarini ilg'or pedagogik texnologiyalar yordamida tashkil etish bo'yicha metodik tavsiyalar keltirilgan. [13-30] ishlarda aniq karrali integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi matematik analiz elementlari yordamida ko'rsatilgan.

1-Misol. Eyler integrallaridan foydalanib , quyidagi integralning qiymatini toping. / = /1 Vx — x2 dx

J" 1 r 1 r 1 1 1 3 3

Vx — x2 dx = I Vx^(l — x) dx = I X2(l — x)2 dx = 0 22

Endi r(a + l) = ar(a), ß(a,fc) = r(a)r(b), r(a)r(1 — a) = formulalardan

r(a+ö) sinare

foydalanib, B (3,3) ning qiymatini topamiz, ya'ni

3

^2 ' 2

33

/3 3x ^2) jr(l+l)}2 _„ V2'2/ r(3) 8

r(2 + 2) re

Binobarin, berilgan integralning qiymati -

8

2-Misol.

■dx

2

integralni hisoblang.

I+

(1 — x)2

Yechilishi. Berilgan integralni hisoblashda beta funksiyaning ikkinchi formulasi ß(a, fr) = J0 —^jjdt dan foydalanib, quyidagicha yozib olamiz.

1+tc

5

V^ X4-1 5 3

T:;-rrdx = I -=—dx = ß (—,

0 (1 + x)4+4

Endi ^(~,3) ning qiymatini ß(a, fr) = ^r^, r(a)r(1 — a) = s^an formulalar bilan topamiz.

/5 r (5) r(l+4)r(1—:1^ 1 n _ n l_

\4'4/ = = ' = ' „=-*.=

4'4/ r(2) 1 4s£* V2 4 2V2

4 T

3-Misol.

a

(a>0)

0

integralning qiymatini toping.

Yechilishi: x = aVt, t > 0 almashtirish bajarib, berilgan integralni hisoblaymiz.

J Uzbekistan ^ 1398 |

J- a

x2/c

n

x2y a2 — x2dx

n

r a

x — a^t, dx = —- dt,x = 0,t = 0,x = a,t = 1

l4t

— I a2tJa2 — a2t——dt Jn 2jt

11

a4 I-1 1 _a\f33\_ a4T2(2)_ a^T^f a41n

— t)2dt — —T~D

f1 i i a4 (3 3\

I ri(1 — Wt — TB{l.1) —

2 J0 v y 2 Vil 2T(3) 2*2! 4

4

na4

16

4-misol.

I

+ œ ^m-1

n 1+xn

d x

n>0 integralni hisoblang.

i

Yechilishi. Berilgan integralda x — tn, t > 0 almashtirish bajarib berilgan integralni hisoblaymiz.

■+œ vm-1

x

dx —

n 1 + xn

1 1 —1 I

x — tn,dx — -tn dt,x — 0,t — 0,x — m,t — m!

n I

m-1 m

1 r+œt~^ 1 , 1 r+œtn-1 1 m

1 [+œt~^ 1 , 1 [+œtn 1 1 fm mX n 1 + n 1 + n n n

—l^-Hm)—

m n

. nm

n n

n

5-misol.

I (ln±)pdx

Jn

'n X integralni hisoblang.

Yechilishi. Bu integralni hisoblash uchun belgilash usulidan foydalanamiz 1 'n

X x

J-1 1 f-n

( ln!)pdx — In- — t,\dx — —e-tdt,x — 0,t — m;x — 1,t — 0\ — — I tp e-tdt n X x J + œ

Jn +œ

tP e-tdt — T(p + 1)

n

n

6 - misol.

+œ n2 x

I — I ---dx

Jn 1 + x4

integralni hisoblang.

Yechilishi. Berilgan integralda quyidagicha belgilash kiritamiz.

-J

+ c i„2

Zn2x 1 + x4

d -

1 3

x - t4 (t > 0), dx - -t 4rft, x-0,t-0,x-œ,t-œ

4

13 f+œ'T"6 1 3 1 f+œt-4/n2t

J0 1 + i 4 64 J0 1 + t

1 + co —1

Bu integralda esa — JQ ^rdt integraldan ikkinchi marta a bo'yicha hosila i

olib, a=- qo'yilsa, hosil bo'ladi. demak,

+ c

_ 1 d2 f ta-i _ 1 d2 _ 1 d2 n

1 - 64 da2 J (1 + t)a+(i-a)]a=4: - 64 d^2 1 - ^«=4 - 64 d^2 a=4

0

1 d 1 ^3sin3a^ + * cosarc ---(--) 1 - — (-) 1

64 da sin2a^ a=4 64 sin4a^ «=4

1 + * sm 2" * cos4 3v2

64 - ~64^3

Shunday qilib, misolning javobi — rc3

64

Endi Eyler integrallari yordamida akademik litsey kursida uchrab turadigan ba'zi integrallarni hisoblash uchun quyidagi misollarni ko'rib chiqamiz. 1-Misol.

1

x2(1 — x)3dx

0

integralni hisoblaymiz.

Yechilishi. 1-usul. Berilgan integralni eng avval akademik litsey kursida

hisoblaymiz. Buning uchun litsey o'quvchisi integral ostidagi ifodani qisqa

ko'paytirish formulasidan foydalanib, ko'phad ko'rinishiga yozib, hisoblaydi, ya'ni 1

0

1 I1

1

- J x2(1 — 3x + 3x2 — x3)dx

0

1

1331

- I (x2 — 3x3 + 3x4 — x5)dx - (~ x3 — -x4 + -x5 — — x6)!1 Jy 3 4 5 6

0

_ 1 3 3 1 _ 1

- 3 — 4 + 5 — 6 - 60

2-usul.Endi yuqoridagi integralni Eyler integrallari yordamida hisoblashga o'tamiz. Bunda berilgan integralga e'tibor beradigan bo'lsak, u 1- tur Eyler integrali bo'lgan beta funksiyani ifoda qilayotganini payqash qiyin emas, ya'ni

i i j x2(l — x)zdx = j x3~1(l — x))_1dx = B(3,4)

0 0 bo'ladi. Hosil bo'lgan B(3,4) funksiyaning qiymatini

B( M r(a)r(b)

formulalardan foydalanib, osonlik bilan hisoblaymiz.

r(3)T(4) 21*3! 1

B(3,4) =

V(3 + 4) 6! 60

1

Demak, berilgan integralning qiymati ikkala usul bilan ham yechganda — ga teng

bo'ladi.

2-Misol

1 j1

x3(1 — x)4dx 0

integralni hisoblang.

Yechilishi . 1-usul. Litsey o'quvchisi bu integralni hisoblashi uchun Nyuton

binomi formulasini bilishiga to'g'ri keladi. Aks holda integral ostidagi ifodani ko'p had

ko'rinishiga keltirish uchun bir qancha qiyinchiliklarga uchraydi. Quyidagi Nyuton

binomi formulasiga asosan berilgan integralni hisoblaymiz.

n(n — 1) _ _ (a + b)n = an + nan b + \ n an-2b2 + -

v y 1*2

n(n—1)(n — 2)...(n — k + 1) n-kuk^ un

+---—-—--;-an KbK +-----+ bn

1*2*3*...* k

Demak,

1

j x3(1 — x)4dx 0

1

= jx3(1—4x +6x2—4x3+x4)dx

0

1

= j(x3—4x4 + 6x5—4x6+x7)dx

0

14 64 1., 1 4 6 4 1 1 = hx4 --px5 +-x6 --x7 +-x8]0 = -7—c+T—n + n =

4 5 6 7 8 10 4 5 6 7 8 280 2-usul. Berilgan integralga Eyler integrallarni tadbiq etamiz.

| ^ Page 1401 I

i

r Q „ r(4)r(5) 3! * 4! 1

I x3(1 - x)4dx = 5(4,5) = y = —— = —-

J y J y J r(9) 8! 280

0

i

Shunday qilib, integralning qiymati — ga teng ekanligini topdik.

280

3- Misol.

—

2

sin2x cos2xdx

I

0

integralni hisoblaymiz.

Yechilishi. Bu integralning akademik litsey kursida hisoblash uchun litsey o'quvchisi ikkilangan burchak sinusi formulasidan foydalanib, integral ostida berilgan ifodani bitta funksiyaga keltiradi va darajani pasaytirish formulasini qo'llab, hisoblaydi.

re re re

2 2 2

1 fl - cos4x 11 £ n

2 8 4 yJo 16

0 0 0

2- usul. Endi berilgan integralni Eyler integrallari yordamida hisoblaymiz. Bunda quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:

re 2

f _ _ 1 f _ 1 f 1 - cos4x 11 re n

I sin2x cos2xdx == — I sin22xdx = — I ---dx = — [(x — -sin4x)]f = —

J 4 J 4j 2 8LV 4 n0 16

/sin2, C0S2*d* =

0

i

n

sinx = y, dy = cosxdx, x = 0,y = 0;x = —,y = 1

= /yVw^y 0

integralni hosil qilamiz Bu integralda yana almashtirish usulini qo'llab, berilgan integralning qiymatini topamiz, ya'ni

-L

/ y2V1 -y2dy =

1

y2 = t, dy = — dt, y = 0, t = 0; y = 1, t = 1|

1 a^n^2

0

re

Demak, integrakning qiymati —

16

4-Misol. y = x2 vay = x3 chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini topamiz.

Yechilishi. Berilgan egri chiziqlarni tenglashtirib, kesishish nuqtalarini topamiz va grafigini yasaymiz.

x2 = x3, x2(x — 1) = 0 ,x = 0,x = 1. Ma'lumki, ta'lab qilingan shaklning yuzi aniq integral bilan topiladi.

0

1

fs-, ^ 1 * 1 A 1 11 1

S — f(x2 — x3)dx — [(^x3 — ^x4)]l —^ — j — —

n

Endi bu integralni Eyler integrallari bilan hisoblaymiz. 11

.2—x3^_l„2„ ,J.. T(3)T(2) 2!1 1

¡(x2—x3■)dx = ¡x2a—x)dx — в(з,2)

T(5) 4! 12

nn

1

Demak, shaklning yuzi — kv. bir 5-Misol.

1

f

Vx(x — 1)2dx

n

Integralni hisoblang.

Yechilishi. 1-usul. Bu usulda integral akademik litsey programmasida

quyidagicha topiladi. 1

fvx(x—1)2dx

n

1

2 . 2 14 5 2 3.2 4 2 16

f - 0 214523242

— I ^(x2— 2x + 1)dx—[(-x2—-x2+-x2)]l—- — - + - —

7 5 3 Jin 7 5 3 105

n

2-usul. Berilgan integral Eyler integrallari orqali quyidagicha hisoblanadi ya'ni 11

f Vx(x — 1)2dx — f x3-1(1 — x)3-1dx —)B(3, 3) nn Endi T(n + 1) — 1*3*s*-*(2n r)Vn, B(a, b) — T(aa>T(b^ formulalarni qo'llab,

V 2) 2n T(a+b) H

3

B(-, 3) funksiyaning qiymatini topamiz.

B

3 \ t(3)T(3) T(1 + 2)T(3) \vn*2

16

2 rr3.^ r^.^ 1*3*5*7 J- 105 T(i + 3) T(4 + 2) -^-Vn

Demak, berilgan misolning javobi;

MUHOKAMA

Ushbu Eyler integrallarining afzalliklari: matematik bilimlarini chuqurlashtirish, fikrlash doirasini kengaytirish, tasavvur qobiliyatini o'stirish, Eyler integrallari hisoblangan beta va gamma funksiyalarning muhim xossalarini o'rganib ularni turli xil integrallarni hisoblashga tadbiq qilishga, fizika va mexanikaning ba'zi masalalarini

yechishga hamda adabiyotlarda berilgan bir qator murakkab integrallarni hisoblashga o'rgatadi.

Kamchiliklari: Eyler integrallarining tatbiqlari qisqa yoritildi. NATIJA

Ushbu Eyler integrallarining tatbiqining afzalliklari: talabalarning Eyler integrallarining muhim xossalarini tahlil qilish va isbotlashga, Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblash tadbiq qilishga imkon yaratadi, fikrlash doirasini kengaytiradi, tasavvurini o'stiradi hamda fanga nisbatan qiziqishini oshiradi.Natijada fan yuzasidan bilimlari yanada mustahkamlanadi.

Metodning kamchiliklari deyarli aniqlanmagan. Faqat o'qituvchi va o'quvchidan ozgina izlanish talab qilinadi.

XULOSA

Ma'lumki, hozirgi vaqtda mamlakatimiz Prezidenti tomonidan matematika fani va uni amaliyotga qo'llashni rivojlantirishga katta ahamiyat berilib, bir qator qarorlar imzolangan.Qarorlar ijrosini ta'minlashning negizida albatta fanni talabalarga qulay matematik usullardan foydalanib o'rgatish yotadi. Maqolada Eyler integrallarining akademik litsey kursidagi integrallarni hisoblashga qo'llash bo'yicha izlanishlar olib borilgan.

Eyler integrallari fizika va mexanikaning ba'zi masalalariga tadbiq qilinsa talabalarga qulaylik tug'diradi.

REFERENCES

1. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. (2020). Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики. Наука, техника и образование, 8(72), 29-32.

2. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. (2021). Роль математики в биологических науках.

Проблемы педагогики, 2(53), 7-10.

3. Расулов Т.Х,., Расулов Х.Р. (2021). Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress, 1(2), 559-567.

4. Умарова У.У. (2020). Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними». Вестник науки и образования, 16(94), 21-24.

5. Boboeva M.N., Rasulov T.H. (2020). The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students. Academy, 4(55), 68-71.

6. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. (2020). The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics. International Journal of Scientific & Technology Research, 4(9), 3068-3071.

7. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. (2020). Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics. Academy, 4(55), 65-68.

8. Тошева Н.А. (2020). Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа. Вестник науки и образования, 16(94), 29-32.

9. Хайитова Х.Г. (2020). Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ». Вестник науки и образования, 16(94), 25-28.

10. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2019). Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6(10), 43-45.

11. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдкида, Scientific progress, 1(2), 455-462.

12. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. (2020). О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа, Вестник науки и образования, 19-1(97), 6-9.

13. Dilmurodov E.B. (2020). Discrete eigenvalues of a 2x2 operator matrix. ArXiv:2011.09650. 1-12.

14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.

15. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.

16. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.

17. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.

18. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.

19. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold effects for a family of 2x2 operator matrices. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 10(6), 4-8.

20. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2014). Исследование числовой области значений одной операторной матрицы. Вестн. Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 35 (2), 50-63.

21. Rasulov T.Kh., Dilmurodov E.B. (2015). Estimates for quadratic numerical range of a operator matrix. Uzbek Math. Zh., 1, 64-74.

22. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.

23. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса, Молодой учёный, 9, 17-20.

24. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Матем. заметки., 4(73), 556-564.

25. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его прилож, 1(37):1, 81-84.

26. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 2(127):2, 191-220.

27. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.

Methods of Functional Analysis and Topology, 1(13), 1-16.

28. Авезов А.Х. (2018). Исследование влияния соотношения сторон прямоугольного сопла на параметры диффузионного факела. Ученый XXI века, 1(4), 4-5.

29. Авезов А.Х. (2017). Выбор математической модели и исследование трехмерных турбулентных струй. Молодой ученый, 15, 101-102.

30. Авезов А.Х. (2016). Некоторые численные результаты исследования трехмерных турбулентных струй реагирующих газов. Молодой ученый, 12, 1-2.