CC BY
141ANIQ INTEGRALNING BA'ZI BIR TATBIQLARI Qurbonov Sardor Shavkatovich
Qashqadaryo viloyati Qamashi tumani 51-maktab matematika o'qituvchisi Normatova Ozoda Asror qizi
Toshkent davlat pedagogika universiteti talabasi https://doi.org/10.5281/zenodo.6634868
Annotasiya. Ushbu maqolada aniq integralni ta 'rif yordamida hisoblashga oid misollar yechilgan. Shuningdek, aniq integral yordamida ba'zi bir limitlarga doir misollarni hisoblash o'rganib chiqilgan.
Kalit so'zlar: interval, limit, uzluksiz funksiya, aniq integral.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
Аннотация. В этой статье приведены некоторые примеры того, как вычислить определенный интеграл по определению. А также исследуются некоторые примеры пределов с использованием определенных интегралов.
Ключевые слова: интервал, предел, непрерывная функция, определенный интеграл.
SOME APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL.
Abstract. This article provides some examples of how to calculate a definite integral by definition. And some examples of limits using definite integrals are also explored.
Keywords: interval, limit, continuous function, definite integral.
KIRISH
Limitlarga oid misollarni yechish matematik analizni o'qitishning muhim yo'nalishini tashkil etadi va bu sohada talabalarni o'rganishni qo'llab-quvvatlovchi o'quv yondashuvlari bo'yicha tadqiqotlarga ehtiyoj bor.
Ushbu maqolada ba'zi bir limitlarga doir misollarni aniq integral yordamida yechishni o'rganib chiqildi.
TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI
Quyidagi masala, chegaralangan oraliqda uzluksiz funksiyasining aniq integralining ta'rifini o'z ichiga oladi. [a,b] oralig'ida y — f (x) uzluksiz funksiya berilgan bo'lsin. Ushbu bo'laklar
a — x0, xl, X2,..., x„_ 2, x„_i, xn — b
[a, b] oralig'ining ixtiyoriy (tasodifiy tanlangan) bo'laklari bo'lib, u intervalni n ichki intervallarga (bo'laklarga) ajratadi. Ichki intervallardan
C1, C2, •••, Cn_2, Cn_1, Cn
nuqtalar ixtiyoriy tanlangan bo'lib,
c, e [x„, x ], c e [x, x. ],..., c 0e[ x ,, x 0], c , e [x x ,], c e[x ,, x ] bo'ladi.
1 L 0' 1J> 2 L 1' 2 7 n_2 L n_37 n_2J> n_1 L n_2> n_1 n L n_17 n J iw-v**.
Har bir ichki intervalning uzunligi kxw — xw _xw_1 (w —1,2,3,...,n) va eng katta ichki intervalning uzunligi Ä — max kxw orqali belgilaymiz.
1< w<n
y — f (x) funksiyaning [a,b] oralig'idagi aniq integrali odatda quyidagicha aniqlanadi.
b n
J f (x) dx = lim £ f (cw )kxw.
a w—1
Shunday qilib, har bir ichki intervalning uzunligi bor
b - a
Ax„
, (w —1,2,3,..., n)
(s)
bo'lib, hisoblashni qulaylashtirish uchun cw (w —1,2,3,...,n) ni n ta ichki intervallarning
o'ng tomonidagi so'nggi nuqtalarni tanlagan nuqtalaridan foydalaniladi. O'ng tomondagi so'nggi nuqta formulasi
f u \
b - a
cw = a +
V n
■ w, (w —1,2,3,..., n)
(S3)
y — f (x) funksiyaning [ a, b] oralig'idagi aniq integrali quyidagicha
bn
J f (x)dx — lim £ f (cw )AXw
a w—1
aniqlanadi.
Bizga quyidagi taniqli yig'indi qoidalari kerak bo'ladi.
n
1. £c — c + c + c +... + c — n■ c, bu yerda c o'zgarmas ;
w—1
-n , ^ ^ 1 + n
2. ^ w — 1 + 2 + 3 +... + n —--n;
w—1
2
3. £ w2 — 12 + 22 + 32 +... + n2 —
n ■(! + n)■(2n +1)
w—1
n
4. £ w3 — 13 + 23 + 33 +... + n3 —
n
■(1 + n )2
w—1
4
5. £c ■ f (w) — c ■£ f (w), bu yerda c o'zgarmas;
w—1
w—1
6. (w)± g(w)]—£ f (w)±£g(w) .
w—1 w—1 w—1
TADQIQOT NATIJALARI
Quyidagi muammolarning aksariyati o'rtacha va ba'zilari biroz murakkab. Agar siz ushbu muammolarni hal qilish yo'llarini izlashdan oldin sinab ko'rmoqchi bo'lsangiz, yuqoridagi formulalarni xuddi shunday ishlatib, keng tarqalgan xatolardan qochishingiz mumkin. Quyidagi muammoni hal qilishda yuqoridagi (3) va (33) tengliklarda ko'rsatilganidek, teng o'lchamdagi
ichki intervallar va ichki nuqtalari sifatida o'ng nuqtalardan foydalaniladi.
0
Misol 1: Aniq integralni ta'rifidan foydalanib toping. J (x - 2) dx .
-4
Yechish. [-4,0] oralig'ni n ta teng qismlarga bo'lamiz
n
6
0_(_4) 4 , A*w — —— -, (w —1,2,3,...,n). n n
Ichki intervallarning o'ng tomonidagi so'nggi nuqtalarini cw sifatida tanlaymiz 0_(_-)
c, — _4 +
n
, 4 • w , л „ „ \
• w — _4 +-, (w —1,2,3,..., n).
n
Funksiya f (x) — x _ 2 bo'lib, aniq integral quyidagicha hisoblanadi:
0 n n f
j( x _ 2 ) dx — lim X f ( cw K, — Im V f l_4 +
w—1
4 • w | ( 4 _
w—1 v n J V nJ n^0
r f
4 • w
n
V n у
l im V
_4 +
4 • w
w—1 V
n
_ 2
J J
(41 V n)
n i
lim VI -6
n^Q ^ 1
_6 + ■
4 i ^(-24 16• w| _24 ^ 16• w
41—lim ZI —+—|—lim iZ-r4+V1
nn
n
n
— lim \ n •
n^0
-241 16 ^ 1 f 16 n•(n +1)1 f 8•(n +1) - | + —V w !> — lim < -24 + —--^-Ц — lim <¡-24 + ^-L
™2 ^ 1 n^0 I n2 2 n^Q n
V n J n w—1
n 1 - + -
n n J| "^0
n
— limJ-24 + 8•[ n +1 |l — limJ-24 + 8•Ii +1 |U -24 + 8-(1 + 0) —-16.
[ V n n )J [ V n )J
4
Misol 2: Aniq integralni ta'rifidan foydalanib toping. J x3 dx .
0
Yechish. [0,4] oralig'ni n ta teng qismlarga bo'lamiz
4 - 0 4 , л ^ ^ v
A^w —-— 4, (w —1,2,3,...,n)
n n
Ichki intervallarning o'ng tomonidagi so'nggi nuqtalarini cw sifatida tanlaymiz
4 • w
c,., — 0 +
M - 0Л
w—
V n j
n
, (w —1,2,3,...,n) .
Funksiya f (x) — x3 bo'lib, aniq integral quyidagicha hisoblanadi:
4 n n J x3dx — lim V f ( cw )Axw — lim V f
4 • w
w—1
w—1
n
V n у
lim VI
w—1
4 • w >i 3 ( 41
n V n J
lim V
w—1
64 • w31
V n J
41 — lim V
n ) ^0 w—1
A256•w
n
J 256^ 31
— lim < —— V w > — lim
«^0 I n
w—1
256 n2 •(n +1)2
n
— lim < 64 • —•
n n +1 n + 1
— lim < 64 •
n n n
'1+!л
V n у
'1+!Л
V n у
— 64 ^(1 + 0 )•(! + 0) — 64.
^ 2• w + n• w
Misol3: Quyidagi limitni aniq integral orqali hisoblang: lim y-
w—1
n
^ 2• w2 + n• w ^ Yechish. lim V ---— lim V
л—^nn 1/1 3 л—^nn
w—1
n
w=1
( w Л
V n J
w +—
n
1
~ bundan cw nuqtani tanlaymiz n
4
и
w—1
0
J
V
cw =-» (w = 1,2,3,...,n).
n
Ushbu cw nuqtalar [0,1] dagi teng o'lchamdagi bo'lakchalarning o'ng tomonidagi
so'nggi nuqtalarini ifodalaydi va
Axw = -, (w = 1,2,3,...,n).
Shunday qilib,
n
lim £
w=1
2 •
/ \ w
V n J
w + —
n
• - = lim £ [ 2 • cw + «
У! n^œ n w=1
•Ax,.
( f (x) = 2 • x2 + x bo ' ladi.)
n 1 1
= lim £ f (Cw )• AXw = j f (x)dx = К2 • x2 + x)d
w=1
MUHOKAMA
2 3 x — • x +
2 Л
^ ( 1 - w + 2пл
Misol 4: Quyidagi limitni aniq integral orqali hisoblang: lim £ I-
n^œ I 1 _
w=1 V -1
w + n
7
6'
1
n
Yechish. Yig'indidan cw nuqtani tanlaymiz.
-1 + 2n Л
n
lim £
n^œ w=i V w -1 + n J
n
1 = lim £
yi n^œ
1L vr=1
w
-1 + 2n Л
1V w-1+n J
n
•n •1 = lim £
1 n n^œ ^^
1L ли;=1
n
( w 1 „Л
---+ 2
n n
w1
---+1
V n n J
1
n
lim £
( w -1 „Л
-+ 2
n
w-1 -+1
V n j
1
n
w-1
w — 1 / \
Bundan cw =-, ( w = 1,2,3,..., n ) bo'ladi.
n
w-1 / \ г 1
Ushbu cw =- (w = 1,2,3,...,n) nuqtalar [0, 1] intervalining n teng o'lchamdagi
n
w -1
n
w -1
ichki intervallarning chap tomonidagi nuqtalarini ifodalaydi va Axw =-, ( w = 1,2,3,..., n )
bo'ladi.
( x + 2 л
Shunday qilib, f (x) =- bo ' ladi.
V x + 1
w
lim £
( w-1 „Л
-+ 2
n
w-1
-+1
V n j
1 = lim £
Vi n^œ ^^
1L ли;=1
^c + 2^
w_
c +1
w=1 V cw + 1 J
1 x + 2
•Axw = i1^ £ f ( cw )'Axw =j f ( x ) dx = j-2
n^œ w=1 n П x + 1
dx =
= x +
ln ( x +1)| 1 = 1 + ln2.
XULOSA
Tadqiqot shuni ko'rsatdiki, ko'p jihatdan ishlangan misollarni o'rganishga tayanadigan o'qitish muammoni hal qilishga urg'u beradigan ko'rsatmalarga qaraganda tajribasiz o'quvchilar uchun samaraliroqdir. Biroq, ba'zi ishlangan misollarni o'rganish bilan bog'liq yo'l-yo'riq ko'proq tajribali o'quvchilarning ish faoliyatini kamaytirishi mumkin.
Bu yerda ba'zi bir limitlarni topish uchun aniq integral qo'llanilgan. Bu usulni bilish muhim, ammo bu texnikani qachon qo'llashni bilish ham muhimdir.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Azlarov T., Mansurov H. ,, Matematik analiz" I-qism T., ,, O'qituvchi" 1994 y.
2. Sadullayev A., Mansurov H., Xudoyberganov G., ,,Matematik analiz kursidan misol va masalalar to'plami " I-qism T., ,, O'qituvchi" 2008 y.
3. TOSHMETOV O', TURGUNBAYEV R. MATEMATIK ANALIZDAN MISOL VA MASALALAR TO'PLAMI. 1-Q. TDPU. 2006 Y.-140 B.
4. Б.П.Демидович „Сборник задач и упражнений по математическому анализу"-Москва: Наука, 1997.
5. Gaziyev A., Israilov I., Yaxshibayev M. "Matematik analizdan misol va masalalar" T.: "Yangi asr avlodi" 2006 y.
w
