Идентификация системы управления электропривода на основе функций Лагерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.313 А. Е. Нивин,

главный механик ГНТРК, ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова;

А. В. Саушев,

канд. техн. наук, профессор, ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова;

В. А. Шошмин,

д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова

ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ ЛАГЕРРА

IDENTIFICATION OF THE CONTROL SYSTEM OF THE ELECTRIC DRIVE ON THE BASIS OF LAGER FUNCTIONS

Рассмотрена взаимосвязь структуры и параметров системы управления электропривода с коэффициентами разложения ее импульсной переходной функции в ряд Лагерра. Приведена методика определения функциональной зависимости между коэффициентами разложения импульсной переходной функции и параметрами системы «тиристорный преобразователь-двигатель постоянного тока».

The relationship of the structure and parameters of the control system of electric drive with coefficients of decomposition of the impulse transition functions in a number of Laguerre is considered. The technique of definition of the functional relation between the coefficients of decomposition of the impulse transition functions and parameters of the system “thyristor Converter-DC motor is given”.

Ключевые слова: идентификация, система управления электропривода, функции Лагерра, преобразование Лапласа.

Key words: identification, control system of the electric drive, Laguerre’s function, Laplace’s transformation.

CM

*

U

П

m

|46>

РИ идентификации систем управления электроприводов может применяться процедура вычисления коэффициентов разложения их импульсных переходных функций в ряд по системе ортонормированных преобразованных функций Лагерра [1-3]. При этом импульсная переходная функция идентифицируемой системы представляется рядом

<^)=ал(т)> (1)

]=о

где в а — коэффициент разложения, 1(т) — базисные функции Лаггера.

Модель в виде (1) удобно использовать в тех случаях, когда необходимо знать реакцию системы на то или иное воздействие, а ее структура и параметры (вид передаточной функции, постоянные времени, коэффициенты усиления) не представляют интереса. Такой подход характерен, например, для процесса создания (анализа и синтеза) самонастраивающихся систем [4].

В задачах диагностики технического состояния систем управления электропривода необходимо определение значений их первичных параметров.

Первичными обычно называют внутренние параметры электропривода, характеризующие состояние его комплектующих элементов. К ним относятся как параметры самих элементов (величины сопротивлений, индуктивностей, емкостей, масс, моментов инерции, жесткостей упругих связей), так и функции от этих параметров, имеющие определенный физический смысл (коэффициенты усиления и постоянные времени, соотношения масс).

Получим соотношения, позволяющие определять по известным коэффициентам р. неизвес-

]<а

тные параметры идентифицируемой системы управления электропривода, а также взаимосвязь этих коэффициентов, характеризующую структуру передаточной функции системы [5, с. 160165].

Выразим коэффициенты р через производные передаточной функции системы. С учетом того, что р = а, можно записать

Рь=/ш(‘')(ь(т)Л.

(2)

Из системы взаимно ортогональных на интервале [0; да] функций Лагерра получим

/„(*) = е-*/2;

-х/2

12{х) = е~х,1{ 1-2х + —);

(3)

1к(х) = е-х/2^(-\Ух\

. у-о 7!

Подстановкой т = (1/2а)х можно получить систему взаимно ортогональных преобразованных функций Лагерра 1к(т).

Заменяя в уравнении (2) вместо функции 1ка(т) ее выражение из (3), получим

Рь, = } ш(т)л/2^е-от Х(-1)7^т(2 спуск =л/2а£^(2а)'}е-“ (-с)'ш(т)А. (4)

0 1 ■ j=0 J ■ о

Интеграл в последнем выражении является прямым преобразованием Лапласа функции (-т) ю(т). В соответствии с теоремой о дифференцировании изображения он равен производной Ж (,) (а) [6]. Следовательно.

Р*=^Х^г(2«)^0)И; >0 у!

Жи\а) = ^{р)р__а. ар1

(5)

В соответствии с формулой (5) первые пять коэффициентов Рка будут иметь следующие значения:

р0о=^Ж(а);

Р1в=-Ла[»Г(а) + 2аЖ'(а)];

Р2а = л/2а|Ж(а) + 4аЖ'(«) + 2а2Ж"(а)]; (6)

Р3а = л/2а[Ж(а) + 6аРГ'(а) + 6а2Ж"(а) + (4/3)а3Г"(а)]; р4а = л/2а[^(а) + 8аГ'(а) + 12а2^» + (16/3)а3Ж"(а) + (2/3)а4^<4)(а)],

где Ж (4) — обозначение четвертой производной передаточной функции.

Из формул (5) и (6) следует, что к-й коэффициент разложения выражается через первые к производных передаточной функции при р = а. Это означает, что к-я производная передаточной функции в свою очередь может быть выражена через коэффициенты в0а, в1а, ..., вка.

Опуская для краткости записи индекс а при коэффициентах р. , получим выражения для

Jа

производных при условии, что к = 0, 1, 2, 3, 4:

Выпуск 2

Выпуск 2

Ща) Ж'(а) =

1

Р0;

л/2а ° 1

Ж\а) = }¥т(а) =

2а-у/2а

_1_____

2а2л/2а 3

(~Ро+Рі);

(Ро — 2Рі + Рг)і (“Ро +ЗРі “ЗР2 +Р3)-

4а3л/2а

Методика определения функциональной зависимости между коэффициентами разложения импульсной переходной функции р. и параметрами системы управления электропривода заклю-

Jа

чается в нахождении соотношений между этими параметрами и производными передаточной функции, то есть при р = а и последующим выражении производных Жк)(а) через коэффициенты в в соответствии с формулой (7).

В качестве примера реализации такого подхода выразим параметры К, т1, т2, т3 системы «тиристорный преобразователь-двигатель постоянного тока» с передаточной функцией

Щр) =

к

1 +їіР+і2Р +тз Р

через коэффициенты Р

Введем обозначения:

1 + т^а + т2а2 + т3а3 = + 2т2а + Зт3а2 = А:; 2т2 +6т3а = А2;

6т3 = А3.

(8)

Заметим, что при этом

(9)

6\ -6аА1 +3а2А1 -а3А3 = 6.

Из выражения передаточной функции имеем равенство

Ж (р)(1 + тхр + т2р2 + тгръ) = К.

Последовательно дифференцируя последнее выражение, получим

Ща )А=К;

Ж'(а)А0+Ща) Д =0;

< Иг"(а)А0 +2Иг,(а)Л1+Ща)А2 = 0;

Жт(а )А0 +3 Иг"(а)А1 + ЗЖ'(а)А2+Ща)А3 = 0;

Щ4)(а )А0 + 4Жт(а)А1+6Ж"(а)А2 +4Ж'(а )А3 = 0.

Искомые параметры системы могут быть выражены через вспомогательные величины А А1,

(10)

А2, А3 следующим образом:

К = А0Ща);

т1 — А1 аА^ + Аъ,

т2 =-(4-°^з);

Рассматривая систему линейных алгебраических уравнений Ж'(а)А^ + Ж(а)А1=0;

Ж>Н + 2Ж'(а)А, +Ж(а)А2 =0; " Жт(а)А0+3 Ж"(а)А1 + ЗЖ'(а)А2+Ж(а)А3 = 0; 6А0 - 6аА1 + 3а2А1 - агАъ = 6

и решая эту систему относительно неизвестных функций А А1, А2, А3, получим (далее аргумент при производных для краткости записи опущен) следующие выражения:

^[а,Ж,Ж(0];

-бж2ж'

4 =

А3 =

F\a,W,W{i)n\

6 [2W(W')2 -W2W"~\ F\a,W,W{i)n\

6 [бЖЖТГ" - 6Ж'3 - JT2JFm]

^[а,^,Ж(0]

где ^[а,Ж,Ж(0] = [Ж2 (6Ж + 6аЖ'~ За2Ж" + а3Жт) + 6а2Ж'2(Ж + аЖ’)~ б^ЖЖЖ"].

Подставляя в формулу (11) найденные значения функций А0, А1, А2, А3 с учетом (7), окончательно получаем

^ 4^р:.

;

_ _ 4Р3 - ЗР3 - 4РоР1 - 7Р0Р? + 7РоР2 - ЗРоР3 + 6РДР,.

Т) - 5

оР[ру]

т _ Р^(5Р0 +3р1) + р^(3рз -5р2)-бр0р1р2.

2 а2^[р,] ;

^РрР^ ~ Р? (01 + Ро ) + Ро (Р2 ~ Рз )

с^[р.]

т, =

В этих равенствах

^XPy] = PS(4P0+4P1 -ЗР2 +Р3) + Р?(ЗР0 +р1)-2р0р1р2 .

Пятое уравнение системы (10) может быть использовано для нахождения взаимной связи коэффициентов р. . Эта зависимость определяется следующим равенством:

Ja

р30р4 + ЗРоР2^ + р3р2 + 4P2PjP; = 2РоР3 + p20pf + 2Р0Р3 + 2р20р1рз + pf.

Таким образом, если передаточная функция идентифицируемой системы управления электропривода содержит n параметров, то для их определения требуется знание первых коэффициентов разложения импульсной переходной функции р. . Если известен (n + 1)-й коэффици-

Ja

ент, то по виду взаимосвязи коэффициентов р. можно определить и вид передаточной функции

Ja

системы.

««

Выпуск 2

Список литературы

1. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов / А. М. Дейч. — М.: Энергия, 1974. — 240 с.

2. Егупов Н. Д. Методы классической и современной теории автоматического управления / Н. Д. Егупов, К. А. Пупков. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — Т. 2: Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления. — 640 с.

3. Алексеев А. А. Идентификация и диагностика систем / А. А. Алексеев, Ю. А. Кораблев, М. Ю. Шестопалов. — М.: Академия, 2009. — 352 с.

4. Городецкий В. И. Элементы теории испытаний и контроля технических систем / В. И. Го -родецкий, А. К. Дмитриев, В. М. Маркелов [и др.]. — Л.: Энергия, 1978. — 324 с.

5. Маркелов А. С. Взаимосвязь структуры и параметров линейной САУ с коэффициентами разложения передаточной функции в ряд Лагерра / А. С. Маркелов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1982. — № 4.

6. Фурасов В. Д. Задачи гарантированной идентификации / В. Д. Фурасов. — М.: Бином: Лаборатория знаний, 2009. — 152 с.