CC BY
52
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТВЕРДЫХ ТКАНЕЙ ЗУБА НА ОСНОВЕ ЗОНДИРУЮЩИХ
СИГНАЛОВ
Э.П. Тихонов
В предлагаемой работе ставится задача идентификации физико-математической модели (ФММ) твердых тканей зубов с учетом общих физических законов и на основании информации о морфологии зуба, изложенной в литературе [1-3]. Исходные сведения по ФФМ приведены в работе [4]. Результаты расчетов по разработанной ФММ сравниваются с результатами эксперимента, полученными при исследовании шлифов зубов на основе электрического зондирующего сигнала (ЗС). Электрический ЗС формируется посредствам прибора, измеряющего в широких пределах и с достаточно высокой точностью омическое сопротивление исследуемого объекта. Применение для исследований специальной экспериментальной установки позволяет измерять сопротивление шлифа зуба в отдельных локальных точках, которые благодаря сканированию могут быть получены со всей его поверхности.
Рассмотрим основные исходные положения проводимых исследований. Познавательный процесс, вершину которого составляет адекватная ФММ, неоднозначен и базируется не только на общих знаниях фундаментальных физических, химических, биологических и других законах, но и на экспериментах, выполненных на основе современных методов и технических средств. В целом процесс построения ФММ твердых тканей зуба и ее верификация с использованием специально организованного эксперимента, можно отнести к задаче идентификации ФММ биологического объекта.
Понятие идентификации в широком смысле объединяет методы и алгоритмы построения или уточнения математической модели исследуемого реального объекта или процесса по экспериментальным данным [5]. В настоящее время хорошо разработаны методы идентификации объектов, относящихся к классу технических систем, в частности, к системам управления [5, 6]. При этом общая задача идентификации в зависимости от имеющейся априорной информации разбивается на три разных уровня [7]. Для первого уровня (проблема черного ящика) имеется только информация о входном и выходном сигналах. Для второго уровня (проблема белого ящика) добавляются дополнительные априорные сведения об общей структуре математической модели (часто на уровне класса моделей), описывающей исследуемый объект. Третий уровень характерен тем, что для него имеется математическая модель и известны номинальные значения параметров модели. В последнем случае задачу идентификации отождествляют с задачей диагностики. Задача диагностики в этом случае сводится к определению экспериментальным путем модели объекта и значения ее параметров в момент проведения идентификации. Применительно к биологическим объектам в решении задачи идентификации имеется определенная специфика, поэтому успехи, достигнутые в области идентификации биологических объектов, значительно скромнее. Специфика эта связана в первую очередь со сложностью исследуемого объекта, который математически можно описать даже в первом приближении только посредствам нелинейной модели.
При идентификации вследствие подачи на исследуемый объект внешнего ЗС после взаимодействия с объектом исследования меняются его исходные характеристики. В этих изменениях характеристик ЗС и содержится информация о структуре объекта. Поэтому необходимо разработать такую методологию исследования, благодаря которой можно было бы связать тем или иным способом структуру исследуемого объекта с количественными изменениями ЗС после его взаимодействия с объектом. Достаточно точные измерения количественных изменений характеристик ЗС на выходе объекта возможны с помощью измерительного прибора, использующего так называемую гра-
дуировочную характеристику, выражающую исходные данные через установленную единицу измерения.
В общем случае математическая постановка задачи сводится к следующему. Пусть имеется функциональная зависимость между доступной для прямых измерений физической величиной, определяемой видом ЗС, и параметрами, связанными со свойствами исследуемого биологического или иного объекта. При этом множество этих параметров, входящих в исходную ФММ, делится на два подмножества (две группы параметров). В первую группу входят те параметры, информацию о которых можно получить путем прямого измерения (доступные для наблюдений параметры). К этим параметрам можно отнести, например, геометрические размеры исследуемого объекта. Ко второй группе параметров относятся параметры, которые недоступны непосредственному наблюдению, но они входят в функциональную зависимость, формирующую ФММ. При построении самой ФММ учитываются только те параметры, которые играют доминирующую роль в обеспечении требуемой адекватности модели реальному объекту.
Следовательно, функциональная зависимость, определяющая ФММ, имеет вид Я = Я(Х, У),
где Х = (XI, х2, ..., хт) - вектор доступных для прямых измерений параметров; У = (у1, у2,..., уП) - вектор недоступных для наблюдений параметров.
Особенность рассматриваемой задачи применительно к биологическим объектам состоит в том, что по полученной априорно в явном виде математической зависимости измеряемой реакции объекта на воздействие зондирующего сигнала Щ от параметров, зависящих от структуры исследуемого объекта, требуется:
• удостоверится в том или ином смысле в правильности построенной ФММ, т. е. в достоверности функциональной зависимости Щ(Х, У);
• определить составляющие вектора У, значения которых невозможно получить путем прямых измерений.
Таким образом, речь фактически идет о совместных измерениях неоднородных величин при условии отсутствия полной априорной информации о функциональной зависимости, связывающей неоднородные параметры (величины). Отсутствие полной априорной информации объясняется тем, что ФММ построена на основании обобщенной исходной информации, не учитывающей индивидуальные особенности исследуемого объекта. Иначе говоря, по построенной ФММ можно определить только номинальные значения недоступных для прямого измерения параметров. Кроме того, объем обобщенной исходной информации может быть далеко не полным, либо недостаточно достоверным, либо исходная информация используется с неучтенными искажениями.
Прямые измерения реакции объекта на зондирующий сигнал определяются видом физической величины, т.е. сопротивлением, функционально связанным через построенную ФММ с другими физическими параметрами, описывающими структуру объекта, например, с диаметром капилляров (канальцев), пронизывающих дентин.
В качестве критерия идентификации, устанавливающего достоверность разработанной ФММ, используется некоторая мера величины отклонения (невязки) в соответствии с выбранным критерием результатов сравнения расчета, произведенного по ФММ, с данными эксперимента в любой выбранной точке исследуемого объекта. Обычно считается, что модель является достоверной, если отклонение в соответствии с выбранным критерием не превышает 20% с вероятностью, близкой к единице.
В соответствии с разработанной методикой измерения при ручном сканировании удалось получить предварительные данные по множеству шлифов, позволяющих сформировать объективное представление о структуре строения шлифов с точки зрения электрометрических измерений. Чтобы визуально представить изменение сопротивления по поверхности шлифа в результате проведения эксперимента, на рис.1 и 2 приведены данные эксперимента для различных масштабов изменения сопротивления по оси 2.
Локальная область наименьшего сопротивления, соответствующая обнаруженному центру симметрии
95,45?
□ 190,90!
286, зе<
381,81! О 477,2/;
□ 572,72
без.13 '-Л 7ез,ез0
[_| 359,09
Н 954,М! ■ дЬоуе
Рис. 1. Результат сканирования шлифа зрелого моляра при измерении сопротивления в точках, расположенных на поверхности шлифа.
5253
□ 5311 5368 ;.._: 5,426 Ш 5,484 Г^! 5 £42 С-! 5)600 М 5|658
!_ 5,715
5,773 □□ 5331
Рис. 2. Увеличенная локальная область пониженного сопротивления при измерении
сопротивления в соответствии с рис. 1.
Из рисунков видно, что уровни сопротивления изменяются в виде концентрических нелинейных кривых, проекции которых на плоскость основания образуют плоские непрерывные кривые. Нелинейность изменения кривых вызвана в основном погрешностью измерения сопротивления.
На рис. 3 приведены результаты теоретического расчета изменения сопротивления по принятой ФММ только для номинальных значений параметров без конкретной привязки к эксперименту. Из приведенного рисунка следует, что общий характер изменения графика, полученного по результатам расчетов в соответствии с принятой моделью, коррелирует с результатами экспериментальной зависимости. Явный вид ФММ рассмотрен в [4].
На всех рис. 1-3 отчетливо видна локальная область пониженного сопротивления, относительно которой на плоскости (х, у) можно определить замкнутые плоские кривые, соответствующие одинаковым значениям сопротивления. В свою очередь, локальная область пониженного сопротивления смещена относительно геометрического центра шлифа. При теоретическом расчете эти плоские кривые имеют правильную форму в виде эллипсов, центром которых является область пониженного сопротивления. В работах [3, 8] посредством использования поляризованного оптического сигнала были
найдены геометрические фигуры в виде крестов, центры которых совпадали с осью симметричного распределения волокон (капилляров). Вокруг данной оси симметрии капилляры распределены конусообразно с вершиной конуса, направленного к пульпе зуба. В работах [3, 8] направление оси отождествляется с бугром, расположенным на коронке зуба. Направление оси симметрии определим как центр роста зуба. Таких центров роста может быть больше одного, и они в среднем совпадают с количеством бугров на коронке зуба. При сопоставлении результатов эксперимента, проведенного с оптическим и электрическим сигналами, можно утверждать, что центр роста зуба соответствует наименьшему сопротивлению, так как в этом направлении капилляры имеют наименьшее расстояние от пульпы до коронки зуба.
Рис. 3. Пример результата общего расчета изменения сопротивления шлифа зуба.
Из проведенных измерений следует, что плоские кривые, определяющие уровни одинаковых сопротивлений, имеют различные формы. Это, во-первых, объясняется погрешностью измерения сопротивления в каждой точке шлифа и, во-вторых, тем, что при экспериментальном измерении сопротивления используется построчный закон сканирования. Не исключено, что на форму плоской кривой оказывает влияние и неупорядоченность распределения капилляров в теле конуса. Однако следует предположить, учитывая условия эксперимента, что эта неупорядоченность оказывает наименьшее влияние на изменение формы плоских кривых по сравнению с вышеуказанными двумя причинами.
Тем не менее, визуальный анализ рисунков показывает, что расчетные уровни сопротивления в значительной степени коррелируют с полученными экспериментальными данными (рис. 4) и в среднем наглядно отражают общую закономерность в изменении сопротивления от центра шлифа к периферии. Такое функциональное изменение сопротивления связано с особенностями архитектоники зуба, которая в свою очередь зависит от многих биологических факторов, природа которых в настоящей работе не анализируется.
Как следует из дополнительного численного анализа, незначительные изменения в исходных параметрах ФММ приводят к существенному изменению характера распределения уровней сопротивлений, что как раз объясняет большое разнообразие в структуре твердой ткани зуба у различных пациентов при сохранении общей закономерности ее строения. Отмеченное разнообразие структур твердых тканей зубов при наличии только одной точки роста еще больше возрастает при увеличении числа точек роста. Сами точки роста также можно классифицировать по определенным признакам.
X
Рис. 4. Результаты сравнения расчетных значений с экс-периментальными данными, полученными при сканировании шлифа по диаметральному сечению
Рис. 5. Томографическая реконструкция шлифа по экспериментальным данным
Можно предположить, и это логически обоснуется, что для любого зуба количество точек роста, как правило, больше одной, но они различаются интенсивностью роста. Последнее утверждение связано с индивидуальными особенностями распределения капилляров в дентине [9], для обнаружения которых посредством электрических методов требуется проведение более тонкого эксперимента, например, за счет повышения точности и разрешающей способности измерительного прибора в целом. Однако даже при наличии той разрешающей способности, которую имеет используемый прибор, он позволяет обнаружить несколько точек роста, соответствующих экспериментальным данным, полученным с помощью оптических методов исследования [5, 8, 9]. Результаты подобного эксперимента приведены на рис. 5.
Представляет также интерес сравнение данных расчета и эксперимента, выполненного в результате сканирования шлифа по хорде, которая может совпадать с диаметром шлифа. Пример результатов идентификации приведен в таблице. Как показано в работе [4], качество идентификации существенно зависит от используемого алгоритма идентификации. При этом путем подбора параметров ФММ в результате ее программной идентификации можно добиться очень хорошего совпадения результатов расчета и эксперимента с погрешностью до одного процента и ниже.
Расчет (кОм):
308,180 262,285 231,918 211,258 197,234 188,129
182,972 181,264 182,844 187,860 196,798 193,404
199,964 210,946 227,573 252,010 288,184 343,766
435,705 609,882;
Эксперимент (кОм):
295,000 255,000 231,000 207,000 199,000 193,000
192,000 192,000 192,000 192,000 192,000 195,000
204,000 207,000 227,000 255,000 287,000 334,000
423,000 608,000
Таблица. Сравнение результатов эксперимента с результатами расчета по одному сечению
Аналогичные результаты были получены при сканировании по другим сечениям шлифа.
Выводы
Сравнение результатов расчета и эксперимента приводит к следующим выводам.
• Полученная физико-математическая модель, соответствующая структуре твердых тканей зубов, в пределах проведенного эксперимента совпадает с реальным исследуемым объектом (максимальное отклонение расчета и эксперимента в одной точке составляет 5,9%, минимальное отклонение более чем в одной точке составляет 0,25%.)..
• Полученные результаты по идентификации модели зуба могут быть улучшены за счет совершенствования алгоритма идентификации.
• Электрическое сопротивление тканей зубов зависит от структуры капилляров, пронизывающих дентин зуба и обеспечивающих, по всей видимости, питание твердых тканей зубов.
• Электрическое сопротивление возрастает при перемещении от центра распределения одонтобластов к периферии зуба, что полностью соответствует теоретической модели зуба.
• Питание твердых тканей зубов зависит от распределения капилляров в дентине и осуществляется более интенсивно через так называемые точки роста зуба, соответствующие буграм эмали, расположенным на коронке зуба.
• Выявленная экспериментально и теоретически структура твердых тканей зуба на основе электрического зондирующего сигнала коррелирует с аналогичной структурой, полученной посредствам применения оптического зондирующего сигнала.
Выражаю благодарность доктору мед. наук Г.Г. Ивановой (Ин-ут стоматологии (ассоциация МЕДИ)) и доктору мед. наук В.Н. Грисимову (НПЦ «Стоматология» СПбГМУ им. акад. И.П. Павлова)) за предоставление образцов.
Работа выполнена при частичной поддержке Федеральной целевой програм-мы «Интеграция науки и высшего образования России на 2002-2006 годы», Про-ект № Б0120. Направление 1.1. УНЦ «Оптика и научное приборостроение».
Литература
1. Быков В.Л. Гистология и эмбриология органов полости рта человека. СПб: Спец. лит-ра, 1999. 255 с.
2. Гофман С. Колесник А.Г. Электрическое сопротивление тканей зуба // Стоматология. 1982. №4. С. 75-81.
3. Иванова Г.Г., Леонтьев В.К., Питаева А.Н., Жорова Т.Н. Разработка и научное обоснование новых способов диагностики, прогнозирования и повышения резистентности эмали зубов к кариесу // Тр. Ин-та стоматологии. №1. 1998. С. 32-37.
4. Иванова Г.Г., Леонтьев В.К. и др. Клинические методы определения резистентности зубов к кариесу // Тр. Ин-та стоматологии. №1 (2). 1999. С. 42-49.
5. Walton R.E., Outhwaite W.C., Pashley D.F. Magnification - An Interesting Optical Property of Dentin // J. Dental Research. 1976. V. 55. №4. P. 6 39-642.
6. Грисимов В.Н. Эффект гало: оптическая модель и условия воспроизведения при реставрации режущего края // Тр. Ин-та стоматологии. №3 (4). 1999. С. 38-41.
7. Золотарев В.М., Грисимов В.Н. Архитектоника и оптические свойства дентина и эмали зуба // Опт. и спектр. 2001. Т. 90. №5. С. 836- 843.
8. Тихонов Э.П. Роль измерений в идентификации физико-математической модели биологического объекта // Вестник Метрологической академии. 2003. В. 11. С. 1428.
9. Золотарев В.М., Тулин Д.В., Орешков А.Б. и др. // Оптический журнал. 2002. Т.69. №3. С. 15-20.
