Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 611.08; 611.018+611.214

Э. П. Тихонов, канд. техн. наук, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Состояние и перспективы теоретико-экспериментальных исследований морфологии твердых тканей зубов

Часть 2

Ключевые слова: зубы, структура, ткани, исследование, сопротивление, физико-математическая модель

Во 2-й части статьи по экспериментальным исследованиям с применением электрического, оптического и рентгеновского зондирующих сигналов формируется априорная информация, на базе которой разрабатывается логическое обоснование для математического описания морфологической структуры твердых тканей зубов. Показано, что физико-математическая модель твердых тканей зубов выводится по изменению активного сопротивления при взаимодействии сканирующего электрического зондирующего сигнала со шлифом зуба.

Введение

При исследовании тонкой структуры морфологии твердых тканей зубов необходим комплексный подход, сформированный на базе известных закономерностей взаимодействия изучаемого биообъекта с различными зондирующими физическими полями — сигналами (ЗС). Комплексный подход к исследованию обуславливает возможность перехода от качественного представления к количественному математическому описанию структуры твердых тканей зубов в виде физико-математической модели (ФММ). Знание структуры твердых тканей зубов на уровне ее количественного описания представляет интерес не только для нозологии зубной системы, а и для гистологии, включая гистопатологию, тканей зубов.

Цель исследования

Основная цель работы состоит в формулировке проблемы и ее логическом обосновании, чтобы определить исходные сведения и зависимости для синтеза математической модели твердых тканей зубов на основе апостериорной информации об их

морфологической структуре, получаемой посредством различных физических ЗС и по результатам микроскопических исследований.

Методика исследования

Качественную и некоторую количественную апостериорную информацию о строении тканей зуба можно получить посредством анализа фотографий, фиксирующих искажения исходного рисунка, сформированного по соответствующему тесту, за счет нелинейного преобразования отраженного от теста оптического сигнала, при прохождении его через шлиф зуба. При этом тест представляет собой различные виды регулярных геометрических структур. Приведенные на рис. 2.1 фотографии [1] показывают характер, специфику и общую карти-

Рис. 2.1

Фотографии шлифов зуба, полученные для радиалъ-но-кругового (а, б) и локалъно-ортогоналъного (в, г) геометрических тестов, для прямого и перевернутого положения шлифов

3!

Медицинские компьютерные технологии

ну искажения теста из-за анизотропии структуры шлифа. Следствием анализа фотографий, в том числе приведенных на рис. 2.1, являются выводы:

• эмаль не искажает тест;

• дентинная ткань искажает тест нелинейно;

• искажения тестов для одного и того же шлифа в исходном и перевернутом состоянии позволяют сделать вывод об увеличении (как показывают измерения, максимум в 1,7 раза, что совпадает с данными [2]) и соответственно уменьшении изображения теста;

• эффект нелинейного увеличения изображения подтверждает гипотезу о неоднородности расхождения канальцев в направлении от пульпы к эмали.

Анализ микроснимков твердых тканей зубов в отраженном свете при большом увеличении, типичными представителями которых являются снимки рис. 2.2, также визуально и, следовательно, качественно подтверждает их структурную анизотропию. Из анализа фотографий, включая изображения рис. 2.1, вытекает важный для выявления и решения проблемы анизотропии тканей зубов вывод, что радиально-круговая симметрия менее нарушена у всех исследованных шлифов, чем локально-ортогональная. Этот факт обусловлен тем, что линии радиально-кругового теста, сходящиеся к центру, менее искажены, чем линии теста, сформированного из прямоугольной сетки. Такая закономерность лучше всего объясняется особенностью общей формы зуба, имеющего вид коронки, близкой к геометрической форме цилиндра. Напомним [3, 4], что твердо минерализованное основное вещество дентина — матрикс имеет в своем составе пучки каллагеновых волокон и кристаллов неорганических веществ и пронизывается множеством трубочек, включающих в себя канальцы. Канальцы содержат отростки одонтобластов, тела которых лежат на периферии пульпы зуба, и их ход направлен от пульпы к эмалево-дентинному соединению (рис. 2.3) в области коронки зуба.

Для электрометрического метода исследования существенным является то, что проводимость в разных локальных областях шлифа зависит от распределения канальцев в дентине. Структура дентина с нерегулярным, анизотропным расположением канальцев по объему зуба приводит к соответствующему изменению проводимости в разных точках шлифа. Эти изменения зависят от измене-

Дентин

Рис. 2.2

Фотографии шлифов зуба, полученные при микроскопическом исследовании для разных увеличений и методов программной обработки изображений

Раствор Оси роста

канальцев (симметрии)

Направления канальцев

Эмаль

Шлиф

Десна

Пульповая камера Дентин

Корневой канал

Цемент

Периодонтальная связка, удерживающая и амортизирующая зуб в кости

Челюстная кость

Верхушечное отверстие

Рис. 2.3

Структура твердых тканей зубов и положение шлифа относительно зуба

ния плотности распределения канальцев в дентине, внутренних диаметров этих канальцев и их длины. Плотность тока, проходящего через шлиф, в отличие от плотности тока, проходящего через металл, зависит как от положительных, так и от отрицательных ионов электролита, заполняющего канальцы. Неоднородность распределения канальцев в дентине и, следовательно, структуры твердых тканей исследуемого зуба выявляется по показаниям прибора для измерения активного сопротивления электрическому току твердых тканей зубов, получаемым в результате перемещения электрода по поверхности шлифа. Кроме того, очевидно, что на результаты измерения этого сопротивления и, следовательно, проводимости оказывает влияние, но существенно меньшее, расположение так называемых волокон Эбнера и Корфа [4]. В результате анализа полученной и известной информации о структуре твердых тканей зубов, в том числе приобретенной из различных источников [36], выявлены и сформулированы следующие гипотезы, объясняющие неоднородность тканей зуба и необходимые для построения ФММ:

• существование локальных областей с осями симметрии (роста), включая главную ось симметрии, относительно которых в пределах этих локальных областей происходит расхождение канальцев с изменяющимся раствором [5, 6];

• корреляция числа локальных областей для различных типов зубов с числом бугорков коронки зуба;

• существование точек или осей роста зуба, совпадающих с осями симметрии, в которых наблюдаются локальная геометрическая регулярность структуры канальцев и, следовательно, наименьшее активное сопротивление, полученное при проведении измерений электрометрическими методами;

• существенная зависимость проводимости канальцев от патологического состояния тканей зубов;

• изменение у различных типов зубов числа осей симметрии, их углов наклона и наклона канальцев относительно осей симметрии — растворов;

• расхождение канальцев от осей симметрии, образующих раствор в пределах каждой локальной области, в направлении от пульпы через дентин к эмали;

• статистическая регулярность структуры канальцев в пределах малых углов растворов, что и определяет локальную геометрическую регулярность в окрестности осей роста зуба.

Вопрос о положении осей симметрии в теле зуба экспериментально исследован только частично, так как все известные результаты исследования проведены по единственному шлифу от каждого зуба. Ориентация шлифа относительно коронки зуба при его получении, как известно автору, не фиксировалась посредством специального измерительного инструмента, а фиксировалась только приблизительно перпендикулярно к оси зуба. В соответствии с результатами работ [5, 6] по обнаружению в отдельных точках исследуемых шлифов темных крестов, относящихся к тем особым признакам, наряду с другими менее выраженными признаками, по которым как раз и можно делать выводы о существовании осей роста зуба и локальной регулярности расположения канальцев. Благодаря существованию наибольшего по размерам креста можно следовать гипотезе о наличии главной оси роста (оси симметрии), расположенной под некоторым углом к перпендикуляру, опущенному из центра зуба к горизонтальному срезу шлифа, даже при наличии нескольких осей симметрии в пределах одного зуба. Наличие нескольких осей симметрии, по-видимому, следует из того факта, что пульпа имеет неровную поверхность и несколько бугорков, коррелирующих по расположению с бугорками эмали на коронке зуба. Вершина каждого бугорка пульпы может служить основанием для оси роста. Причем, как утверждается в приведенных работах (см., например, [5,6]), размер креста, расположенного ближе к центру, превалирует над размерами других аналогичных по форме крестов. Однако его контрастность менее выражена, а сам крест обнаружен не у всех шлифов. Эти факты можно объяснить особенностями конфигурации пульпы, влиянием патологий и нечеткой фиксацией шлифа при его выпиливании из зуба относительно направления главной оси роста.

Необходимо отметить для устранения путаницы в терминах, что вектор оси роста зуба и вектор симметрии локальной области совпадают между собой, однако несут разную смысловую нагрузку. Термин «ось симметрии» характеризует геометрию расположения канальцев в пределах локальной области зуба относительно оси конуса с вершиной, направленной к пульпе. Ось роста определяет био-

логическую функцию локальной области зуба, выделенной в виде указанного выше конуса, определяющей преимущественное направление роста тканей зуба в период его развития и формирования, а также трофику и механическую прочность твердых тканей зрелых зубов [7]. Именно благодаря этому в пределах локальных областей зуба, как представляется, и формируются бугорки на поверхности коронки зуба (рис. 2.3).

На поперечных срезах шлифов при эксперименте с электрическим сигналом также выявлены по изменению активного сопротивления особые локальные зоны, аналогичные по размерам зонам, обнаруженным оптическим ЗС [5, 6]. Этот факт объективно подтверждает зависимость активного сопротивления в локальных точках шлифа зуба от структуры расположения канальцев. В нелинейных изменениях активного сопротивления в различных локальных областях шлифа наблюдается определенная закономерность, результаты анализа которой могут быть использованы не только для диагностики состояния твердых тканей зубов [1], а и для построения ФММ.

Для логического обоснования и вывода ФММ на основе электрического ЗС была использована априорная информация о структуре зуба, полученная из разнообразных источников, включая эксперименты и способы наблюдения на основе различных ЗС, например рентгеновских, оптических, визуальных по фотографиям и микрофотографиям [1, 3-6]. На основе электрометрии установлено, что на структуру канальцев, т. е. на закономерность их расположения в дентине, в основном влияет отмеченная выше главная ось роста, относительно которой при формировании ФММ принята информация о ее отклонении от центральной оси зуба. Отклонение для модели принимается в виде определенной гипотезы. По всей видимости, с учетом исследований, представленных в работе [7] по биомеханике и окклюзии зубов, главная ось роста по направлению совпадает с вектором полной реакции зуба на силы жевательного давления.

Принимаем также гипотезу о том, что изменение углов, под которыми расходятся канальцы относительно осей роста, подчиняются преобразованному равномерному закону распределения вероятностей в пределах соответствующей локальной области. Эта гипотеза логически обосновывается тем, что поверхность пульпы равномерно покрывается отростками одонтобластов, из которых формируются канальцы. Экспериментально установлено, что для каждой оси роста зуба имеются свои границы локальной области, в пределах которой угол отклонения одонтобластов распределен равномерно.

На границах локальных областей, определяемых стыковкой распределения векторов направления канальцев, отклоняющихся от различных осей роста, могут происходить аномальные отклонения от

общей закономерности распределения канальцев. Таким образом, общая структура канальцев в дентине существенно зависит от геометрии пульпы. Это хорошо согласуется с результатами анализа указанных выше работ и схемой среза зуба, приведенной на рис. 2.4.

В соответствии с логическим анализом полученных результатов эксперимента приходим к выводу, что оси роста проходят через особые экстремальные точки поверхности пульпы, например точки, в которых производные по пространственным координатам равны нулю, т. е. стационарные точки на поверхности пульпы. При этом размер локальных зон в окрестности точек роста непосредственно связан с кривизной поверхности пульпы и ее симметрией относительно экстремальных точек, что и иллюстрируется рис. 2.4. По всей видимости, эволюция зуба допускает различные формы локальных областей дентина, включающих оси роста зуба, что подтверждается при исследованиях этой области посредствам оптического и электрического ЗС.

На рис. 2.4 представлены далеко не все варианты возможных форм локальных областей дентина, а на рис. 2.5 и 2.6 приведены результаты электрометрического эксперимента по определению активного сопротивления при сканировании игольчатым

электродом поверхности шлифа зуба. Оче-видно, что окончательную верификацию формы локальной области в окрестности оси роста для конкретного зуба можно определить только посредством эксперимента с последующей идентификацией выбранной модели.

Сопоставление и анализ рис. 2.4-2.6 показывает их структурную идентичность. Естественно, что по результатам эксперимента, по целому ряду причин, в том числе обусловленных погрешностью измерения, выделенные на рис. 2.5 и 2.6 замкнутые изолинии резистентности отличаются от эллипсов и окружностей, однако эти изолинии можно аппроксимировать данными геометрическими фигурами.

На рис. 2.5 и 2.6 видны также деформации изолиний резистентности, соответствующие локальным областям в окрестности вспомогательных точек роста зуба, расположенных на осях ближе к периферии шлифа и описанных в работах [5, 6]. В целом подобная структура обладает фрактальными свойствами [8], так как расположение канальцев в окрестности вспомогательных и основной точек роста зуба подобны и поэтому для оптического сигнала имеют одни и те же по форме, но разные по размерам коноскопические фигуры [1, 5, 6].

С учетом проведенного анализа в основу разработки ФММ положены данные показателя, кото-

/ уУШ^

• • Главные точки роста -х 4

л • £ ••• * ' \ *

* . * * • ** \

Контактные сечения электродов

Вспомогательные точки роста

Направления движения электрода

Главные точки роста

К* ; .* •

а

Рис. 2.4

Варианты расположения выходов канальцев (пунктирные линии), включая главную точку и вспомогательные точки роста на торцевой поверхности шлифа зуба. Диаметры канальцев изменяются случайно в пределах от одного до нескольких микрон. Указанные точки роста принадлежат соответствующим сечениям осей

Вспомогателъные точки роста

Главная точка роста

Рис. 2.5

График релъефа в виде изолиний активного сопротивления поверхности шлифа, содержащего главную и вспомогателъные точки роста шлифа

рым для электрического ЗС является активное сопротивление электрическому току локального объема шлифа, находящегося под контактной площадью электрода. Поэтому активное сопротивление в указанной локальной области шлифа зуба определяется интегралом

«Э

В[р, п8 (ср),Яэ ] = | Я[р(х, у), п(х, у,р)] йэ, (2.1)

ненное число канальцев в исследуемой локальной области шлифа. Тот очевидный факт, что контактная площадь электрода много больше площади сечения одного канальца, существенно облегчает решение задачи, так как позволяет перейти к усредненному искомому активному сопротивлению с достаточной для практических расчетов статистической достоверностью.

В дальнейшем потребуются следующие параметры, характеризующие исследуемый объект для вывода явного вида усредненной функции, описывающей динамику активного сопротивления в пределах поверхности исследуемого шлифа:

• ка — длина перпендикуляра, опущенного из «условного» центра зуба, например центра сопротивления зуба, на поверхность шлифа (предполагается, что величина Ьа лежит ориентировочно в пределах 2,75-7 мм с вероятностью, близкой к единице);

• безразмерный коэффициент Н = гш/Ъ.а, где гш — диаметр исследуемой области шлифов зуба, заполненной дентином, гш = 5 + 9 мм для взрослого человека;

• безразмерный коэффициент Н1 = г /НЛ, где гя — радиус электрода, для рассматриваемого случая, г3 = 0,22 мм и выше;

• у и а — углы, характеризующие отклонение вектора, совпадающего с главной осью роста (симметрии), от перпендикуляра, опущенного из центра зуба на поверхность шлифа;

• АЬ — шаг дискретизации шлифа при перемещении электрода относительно поверхности шлифа, который определяет совместно с параметрами Н и Н1 изменение угла ф;

где .й[р, п^ф), £э] — активное сопротивление локального объема шлифа, охватываемого электродом с площадью поверхности контакта, равной Яд; ф — угол наклона канальца в точке шлифа с координатами х, у относительно перпендикуляра, опущенного из пульпы в центр шлифа; р — удельное сопротивление канальца, заполненного электролитом; п(х, у, ф) и Пд(ф) — функции, описывающие изменение множества канальцев, попадающих под контактную поверхность электрода до и после интегрирования, и зависящие от угла ф и координат х и у; ф[р(х, у)] — активное сопротивление, зависящее от удельного сопротивления, в точке с координатами х, у в пределах локальной области шлифа, ограниченной контактной площадью электрода.

Как видно из общей формулы (2.1), усредненное активное сопротивление зависит от физических и структурных параметров зуба, к которым относится сопротивление канальцев ионному току, и их множества, попадающего под контактную поверхность электрода в зависимости от его положения на поверхности шлифа. Поскольку это множество канальцев изменяется случайно в зависимости от изменения координат центра электрода, то интегрирование по площади 5 определяет усред-

Главная точка роста, лежащая на главной оси роста

Вспомогателъная точка роста

Рис. 2.6

График релъефа в виде изолиний динамики активного сопротивления фрагмента поверхности шлифа в увеличенном масштабе, содержащего главную и одну из вспомогательных точек роста шлифа

42

Медицинские компьютерные технологии

• К = р/5к — постоянная, определяемая отношением удельного сопротивления канальцев к площади сечения канальца.

Искомая функция -й[р, I, п3(ф), 5э], которая математически описывает резистентность локального участка шлифа, попадающего под электрод, может быть представлена на основании закона Ома в виде

Д[р, пя(ф), £э] = ргср/[«кп^(ф)].

(2.2)

Здесь р — удельное сопротивление канальца; 5к — площадь поперечного сечения канальца; п^(ф) — число канальцев, непосредственно соприкасающихся с контактной площадью электрода; I — средняя

Ср

длина канальцев, попадающих под контактную площадь электрода,

гср=Й0/СО8 ф.

Ср

(2.3)

где ф — усредненный угол наклона в пределах

Ср

электрода канальца относительно перпендикуляра, опущенного в центре шлифа на плоскость поверхности шлифа.

В формуле (2.3) используются усредненные значения параметров канальцев, поскольку угол наклона канальцев и функционально связанная с ним длина канальцев являются случайными величинами. Случайной величиной является и число канальцев п^(ф), попадающих под контактную площадь электродов.

Допускается, что исследуемая точка, соответствующая фср, совпадает с центром площади элек-

Ср

трода, установленного в исследуемую точку. Отметим, что термин «условный» при определении центра зуба для теоретического вывода ФММ введен из-за того, что реальный центр зуба невозможно определить. Поскольку в окончательный вид ФММ, как это будет показано ниже, угол наклона фср как аргумент соответствующей функции в явном виде не входит, то отпадает необходимость экспериментального определения «условного» центра зуба.

Строго говоря, величина п^(ф) зависит от числа осей симметрии и представляет собой композицию числа канальцев, формируемых относительно каждой оси симметрии. Если принимать во внимание гипотезу о зависимости распределения канальцев относительно всех осей симметрии, то это значительно бы затруднило построение ФММ. Однако, как показали эксперименты, гипотеза о независимости распределения канальцев для каждой оси оказалась предпочтительнее. Канальцы, радиаль-но пронизывающие дентин от пульпы до его периферии (от цементно-дентинной границы в корне до дентиноэмалевой границы в коронке), в околопуль-парном дентине близки к прямым, а в плащевом (вблизи эмалево-дентинного соединения) — У-об-разно ветвятся. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что в окрестности каждой оси сим-

метрии распределение угла наклона канальцев к оси симметрии подчиняется равномерному закону с неперекрывающимися областями распределения.

Поскольку площадь поверхности пульпы меньше площади коронки зуба, а одонтобласты равномерно заполняют поверхность пульпы, направленной в сторону коронки зуба, то за счет расширения объема дентина, окружающего поверхность пульпы, плотность насыщения канальцами дентина уменьшается в соответствии с определенным законом в направлении от пульпы к эмалево-ден-тинному соединению (см. рис. 2.3). Этот закон определяется площадью расширения слоя дентина, которого достигают канальцы с учетом равномерного распределения угла ф для множества канальцев, распространяющихся от поверхности пульпы. Исходя из равномерного распределения угла расхождения канальцев от пульпы с круговым распределением выходов канальцев на шлифе (см. рис. 2.3) зависимость площади расширения определяется равенством

5(ф ) = я*

или с учетом того, что гш = ка tg фтах, получаем 3(фтах) = Я(А„ ^ фта*^ (2.4)

где фтах — максимальный угол, который определяется между образующей конуса с основанием, равным площади шлифа без учета эмали, и высотой ка.

Радиус шлифа г фиксирован, связан с высотой ка формулой гш = ка tg фтах и подлежит прямому измерению.

Измеряемое активное сопротивление зависит от физических и структурных параметров зуба (2.1)-(2.4). К этим параметрам, в частности, относятся активное сопротивление канальцев ионному току и их множество, попадающее под контактную поверхность электрода в зависимости от его положения на поверхности шлифа. Таким образом, результат измерения активного сопротивления в конкретной точке шлифа определяется той случайной долей канальцев из их общего возможного числа, определяемого площадью <5(фтах), которое попадает под площадь электрода. Поскольку это множество канальцев изменяется случайно в зависимости от изменения координат центра электрода, то интегрирование по площади Яд определяет усредненное значение числа канальцев, попадающих под площадь контактного электрода в исследуемой точке шлифа.

Тот очевидный факт, что контактная площадь электрода много больше площади сечения одного канальца, существенно облегчает решение задачи, так как позволяет перейти к усредненной искомой резистентности с достаточной для практических

расчетов статистической достоверностью. Однако для вывода ФММ необходимо выполнить соответствующие математические выкладки, представленные в 3-й части статьи. Эти выкладки можно осуществить, воспользовавшись разработанным в теории вероятности выводом закона распределения функций от случайных величин, который для монотонной функции имеет вид

(у) = wx [v(y)]-|V(y)|>

(2.5)

где Му(у) — плотность распределения вероятностей случайной величины у; у = ф(х) — монотонная функция, для которой обратная функция х = ^(у) однозначна; — плотность распределения

вероятностей случайной величины х; |у'(у)| — абсолютное значение производной по у функции \^(у).

Л и т е р а т у р а |

Системный анализ твердых тканей зубов на основе оптического, рентгеновского и электрического зондирующих сигналов/3 олотаревВ. М., Ива-

нов а Г. Г., Касумова М. К. и др. В 3-х ч. Тр. ин-та стоматологии. 2006: № 2 (31). С. 74-76; № 3 (32). С. 100-103; 2007, № 1 (34). С. 102-104. Walton R. Е., Outhwaite W. С., Pashley D. F.

Magnification — An Interesting Optical Property of Dentin//J. Dental Research. 1976, Vol. 55, N 4. P. 639-642.

Борисенко А. В. Кариес зубов. Киев: Книга плюс, 2005. 416 с.

Боровский Е. В., Леонтьев В. К. Биология полости рта. М.: Медицина, 1991. 196 с. Золотарев В. М. Интерференция света в композиционных системах на основе упорядоченных анизотропных волокон. Ч. 1. Физические основы//Опти-ка и спектроскопия. 2002. Т. 69, № 3. С. 10-14. Интерференция света в композиционных системах на основе упорядоченных анизотропных волокон/ Золотарев В. М., Тулин Д. В., Орешков А. Б. и др. Ч. 2. Оптическое исследование влияния структурной организации дентиновых трубочек на строение и форму коронки зуба.//Оптика и спектроскопия. 2002. Т. 69, № 3. С. 15-20. Шварц А. Д. Биомеханика и окклюзия зубов. М.: Медицина, 1994. 185 с.

Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.160 с.

КАК ОФОРМИТЬ ПОДПИСКУ?

• В любом отделении связи по каталогам «Роспечать» (по России) и «Прессинформ» (по Санкт-Петербургу и Ленобласти) — индекс № 45886

• Через Интернет:

по электронному каталогу «Книга-сервис» www.akc.ru — индекс № 29877

• Через редакцию, отправив по факсу (812) 312-57-68 или электронной почте bts@polytechnics.ru заполненный запрос счета на подписку

Запрос счета для редакционной подписки на журнал «Биотехносфера»

Полное название организации_ Юридический адрес_

Банковские реквизиты_

Адрес доставки.

Срок подписки_Кол-во экз._

Тел._Факс_e-mail,

Ф. И. О. исполнителя_

Стоимость одного номера журнала 550 руб. (в том числе НДС 10 %) с добавлением стоимости доставки (простой бандеролью). К каждому номеру журнала будут приложены накладная и счет-фактура. Журнал выходит 6 раз в год

Отдельные номера можно заказать с получением наложенным платежом. Информация о журнале — www.polytechnics.ru.

Для ознакомления высылаем по заявке бесплатно один номер журнала.

Журнал «Биотехносфера» распространяется только по подписке в России и странах СНГ.