Хроника семинара по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в Костромском государственном университете имени Н. А. Некрасова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

УДК 517.9

Ширяев Кирилл Евгеньевич

кандидат физико-математических наук

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

Shiryaev4yandex.ru

Марголина Наталия Львовна

кандидат физико-математических наук

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

Матыцина Татьяна Николаевна

кандидат физико-математических наук

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

Черников Алексей Михайлович

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

Копыл Олег Валерьевич

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

Исакова Екатерина Валерьевна

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

Розова Виктория Андреевна

Костромской государственный университет им. Н. А. Некрасова

[email protected]

ХРОНИКА СЕМИНАРА ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОСТРОМСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИМЕНИ Н. А. НЕКРАСОВА

Работа состоит из тезисов докладов за зимне-весенний семестр 2014 года участников семинара по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в Костромском государственном университете имени Н. А. Некрасова.

Доклады содержат весьма много нерешенных научных задач различного уровня сложности, а также как фундаментальные научные факты, так и малоизвестные теоремы. Целью семинара является не только публикация новых результатов, постановка новых и поиск старых нерешенных задач, но и, главным образом, стимуляция интереса к качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Качественная теория дифференциальных уравнений применяется там, где вычислительные методы бессильны из-за невозможности просчитать бесчисленное множество решений или найти решение на бесконечном интервале, выяснить его поведение вблизи особой точки.

Семинар создавался по образцу аналогичного семинара, функционирующего при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова при кафедре дифференциальных уравнений. В свое время руководителями этого семинара были выдающиеся математики Н. Х. Розов, В. А. Кондратьев и, конечно, В. М. Миллионщиков. Владимир Михайлович Миллионщиков являлся идейным вдохновителем создания Костромской школы по качественной теории, при его активном участии была открыта аспирантура по этому направлению в Костромском государственном университете им. Н.А. Некрасова.

Хроники семинара могут быть полезны как специалистам в области качественной теории дифференциальных уравнений, так и начинающим изучение этого интересного направления теории дифференциальных уравнений. Хочется верить, что в хрониках каждый найдет для себя ту область и ту задачу, которая окажется ему по силам.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, матричная функция, экспоненциал матрицы, показатели Ляпунова, генеральный показатель, показатель Боля, условная устойчивость.

Ширяев К. Е. зателем Ляпунова той же системы [1, с. 71] называ-

О центральном показателе . ^—1, ..и „

ется величина Л = lim-lnX(/,0)1 Здесь X(а, в) -неограниченных систем 1 / / 11 11 v

(19 февраля 2014 г.) оператор Коши системы.

Рассматривается линейная система X = А(/)x , В [1, с. 118] доказано, что в случае ограничен-

где X е Rn ; A(t): R ^ End Rn - непрерывная ности матрицы A(/) выполняется неравенство

матричная функция. Q > Л.

Центральным показателем систе- Утверждение. Для любого n > 1 существуют мы [7, с. 116] называется величина системы с неограниченной матрицей А(/), такие,

Q = inf lim -1 £ ln||X (kT, (k - 1)T)|| ; старшим пока- чт0 Q<Äl'

•ST-k=i

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова ¿j- № 6, 2014 © Ширяев К.Е., Марголина H.JL, Матыцина Т.Н., Черников A.M.,

Копыл О.В., Исакова Е.В., Розова В.А., 2014

Матыцина Т. Н.

Об экспоненте матрицы

(19 февраля 2014 г.)

Введем необходимые понятия, связанные с экс-понентой матрицы. Пусть X = (х.) - квадратная матрица порядка п. Под экспоненциалом квадратной матрицы X = (х..) понимается матричная функция [1, с. 54]:

X1 X2 X3

Xp

1. Если A1 =

0 1 1 A = í cosí sin 11 -1 oJ' T0 i- sin 1 cos1j.

0 a i A í cos a sin a 2. Если A2 =1 I, то eA =1

i - a 0 J i - sin a cos a

(

3. Если A =

4 0 0 4

01 0

V0 0 ... 4j

- диагональная

матрица порядка n, то e 3 =

0

0 e4 00

Черников А. М.

Обобщение задачи о квазипериодической системе

(19 февраля 2014 г.)

Рассматривается уравнение

x" + (sin t + smV2"(t + a))x = 0. Характеристическим показателем решения x(t) назовем величину

Л( x) = lm 11n|| x(t )||.

В работе [1, с. 232] рассмотрена система X = a(t,a)x + b(t,a)y, y = c(t,a)x + d(t,a)y с вещественными коэффициентами вида a,b,c,d = f (p(t), p2(t + a2X...,pm (t + am )), (i = 1,2,3,4) , где функции f и p - непрерывные, p - возможно комплексные, периодические с несоизмеримыми частотами; a = (a2,...,am) - векторный параметр.

Данная система заменой x = r cos u, y = r sin u сводится к следующей: u = U(t,a, u), r = W(t,a)r, где U = c cos2 u + (d - a) sin u cosu - b sin2 u , W (t,a) = [V (t, a, u(t, a)) + a(t,a) + d (t, a)] / 2, V(t, a, u) = (b + c) sin 2u + (a - d) cos 2u . Для полученной системы в [6, с. 235] доказано существование предела 4 и получена формула:

Т Tm

е = >-= Е +-+-+-+... +-+... (1)

Р=0 Р 1! 2! 3! р! ' ^

где X0 = Е, Е - единичная матрица того же порядка,

что и матрица X. Можно показать, что матричный

ряд (1) сходится для любой квадратной матрицы X

и притом абсолютно.

Утверждение 1: Если квадратные матрицы

X и У- перестановочны (т. е. X•Y = YX), то

X У X+У

е ■ е = е . (2)

Следствие. Из формулы (2) следует, что (ех) 1 = е, где -X = (-х.) - матрица, противоположная к матрице X = (х.).

Утверждение 2. Если матрица X1 - квадратная матрица, подобная матрице X (т. е. X1 ~ X»Э : |5| ф 0 и X = ¿'Х^1), тогда е^ = 5 ■ eх • 5-.

Приведем примеры экспоненциалов некоторых матриц:

4 = -

1

Т ...Т

- j... jw(t,a)dtda2 ...dam .

Для уравнения x" + (sin t + si^V2(t + a)) x = 0 в [1, с. 239] с помощью данной формулы в результате численного эксперимента приближенно вычислено значение характеристического показателя: 4 « 0,481.

Там же ([5, с. 242]) получена строгая оценка характеристических показателей решений системы: 0,444 <4< 0,514.

Задача [4, с. 198]. Для всякого целого k > 2 выяснить, устойчиво ли нулевое решение уравнения x(k' + (sint + smV2(t + a))x = 0 .

Марголина Н.Л.

О видах равномерной устойчивости

(5 марта 2014 г.)

Рассмотрим систему

x'= A(t) x, (1)

A(t): R + ^ End Rn непрерывна или кусочно непрерывна, x(t): R+ ^ Rn неизвестный вектор-столбец. X(t,r) - оператор Коши системы (1).

Определение 1 [1, с. 67]. Система (1) называется равномерно устойчивой при t ^ +<х>, если для любого s > 0 существует 8(e) > 0 такое, что для любого t0 > 0, любых решений x(t), y(t) этой системы выполняется ||x(t0)-y(t0)||<8 ^||x(t) -y(t)||<s при t > t0.

Теорема 1 [1, с. 80]. Система (1) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда ее нулевое решение равномерно устойчиво, т. е. для любого s > 0 существует 8(e) > 0 такое, что для любого t0 > 0 , любого решения x(t) системы (1) верно ||x(t0)|| < 8 ^ ||x(t)|| < s при всех t > t0.

Определение 2 [2, с. 6]. Система (1) называется остаточно равномерно устойчивой при t ^ +<х>, если существует положительная константа H , такая, что для любого положительного s существует 8(e) > 0 такое, что для любого t0 > 0, любых решений x(t) , y(t) этой системы выполняется ||x(t0)-y(t0)||<8^||x(t)-y(t)||<s при всех t > t0 + H.

Теорема 2 [2, с. 13]. Система (1) остаточно равномерно устойчива тогда и только тогда, когда остаточно равномерно устойчиво ее нулевое решение, т. е. существует H > 0 такое, что для любого s > 0 существует 8(s) > 0 такое, что для любого t0 > 0, любого решения x(t) системы (1) верно ||x(t0 )|| < 8 ^ ||x(t)|| < s при t > t0 + H .

0

0

e

Определение 3 [2, с. 6]. Система (1) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, если существуют H > 0, N > 0 такие, что для любого решения x(t) этой системы и любого t > 0 верно sup||x(t + mH)|| < N||x(t)||.

meN

Теорема 3 [7, с. 32]. Для равномерной устойчивости системы (1) необходима неположительность ее верхнего генерального показателя

(A) = inf{p | 3Np> 0: | |x(t )|| < Npept-T)\\x(r)||, t >т> 0} и достаточно его отрицательности.

Теорема 4 [2, с. 178]. Для остаточной равномерной устойчивости системы (1) необходима неположительность ее показателя Боля

ß(A) = lim (—ln(sup||XA (t + h, t)||)) и достаточно

H H t>0 его отрицательности.

Теорема 5 [2, с. 3]. Для того чтобы система (1) обладала совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку, необходима неположительность ее верхнего особого показателя Q0(A) = inf (—ln(sup||XA (t + H, t)

H >0 H t>0 его отрицательности.

и достаточно

3. Для JÄ =

Я 1

0 Я

жорданова клетка порядил

ка два относительно числа X имеем е Я = 'Я 1 0 ^ 4. Для Jз =0 Я 1 0 0 Я

\ у

рядка три для числа X, то ее экспоненциалом будет

жорданова клетка по-

(

матрица

е 3 =

Я \

e 0

e

2!

еЯ

„я

(Я 10 0 ^

0 Я 10

0 0 Я 1

0 0 0 Я

ч /

ва клетка порядка четыре для числа X, то

5. Для

J 4 =

жордано-

(

Ширяев К.Е.

Условная равномерная устойчивость

(5 марта 2014 г.)

В работе [2, с. 6-13] введены виды равномерной устойчивости линейной системы с неограниченными, вообще говоря, коэффициентами.

Задача 1. Дать определения асимптотичных видов условной устойчивости, т. е. сохранения указанных свойств решений на некотором ^-мерном подпространстве начальных условий.

Задача 2. Определить величины, отрицательность которых достаточна, а неположительность необходима для соответствующего вида устойчивости.

Задача 3. Выяснить соотношения между собой разных видов показателей условной равномерной устойчивости.

Матыцина Т. Н.

Об экспоненте жордановых клеток

(26 марта 2014 г.)

Можно вычислить экспоненциал [1, с. 54] некоторых жордановых клеток.

'0 1 ^

1. Для J0 = I I - жорданова клетка порядка

^1 ^ J (1 два относительно числа X = 0 имеем е 0 =1 I -

I0 V

это жорданова клетка порядка два для числа X = 1.

(1 ^

2. Для J1 =1 I - жорданова клетка порядка

^ ^ J (е е ^ два для числа X = 1 имеем е 1 =1

10 е,

еЯ еЯ е "2! е ¥

0 еЯ еЯ еЯ 2!

0 0 еЯ еЯ

0 0 0 еЯ

Я Л

Таким образом, можно показать, что для жорда-новой клетки J порядка п, относящейся к числу X, экспоненциалом будет следующая матрица:

еЯ е е е

¥ ¥ ¥ '

0 еЯ еЯ 1! еЯ 2!

0 0 еЯ еЯ 1! '

0 0 0 еЯ '

, 0 0 0 0 •

е

n

еЯ

(n -1)!

(n - 2)!

(n - 3)!

Марголина Н. Л.

О показателях равномерной устойчивости

(26 марта 2014 г.)

Рассмотрим систему вида

x' = A(t) x, (1)

где A(t): R + ^ End Rn непрерывна или кусочно непрерывна, x(t): R+ ^ Rn неизвестный вектор-столбец. Оператор Коши системы (1) будем обозначать X (t ,т).

Определение 1 [7, с. 172]. Верхним генеральным показателем Kg (A) системы (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых существует N > 0 такие, что для любого решения x(t) системны (1) выполняется || x(t) ||< Nр • ep(t-T)• || X(т) ||, при любых t >т> 0.

Я

Я

e

e

Я

eJ 4 =

Я

Я

Я

Я

е

е =

Я

е

Я

е

В книге [1, с. 117] верхний генеральный показатель назван верхним особым числом и определяется тремя способами для систем вида (1) с интегрально ограниченной матрицей коэффициентов

(+1

A(t), т. е. такой, что sup J|| А(т) || dz < .

t>0 (

1. Способ верхних функций.

Q0(A) = inf{p | $Np > 0 :|| Xa(t,т) ||< N pe, N ps> 0, t >т> 0}.

Учитывая, что для оператора Коши системы (1) при фиксированных произвольных t и т справедливо || X (t, т) ||= || x(t) ||, где max берется по || х(т) ||

всем решениям x(t) системы (1), способом верхних функций определяется в точности Kg (A).

2. Способ стекловских усреднений.

Q0 (A) = rnf^MsupfXA (t + H, t)||)) =

H>0 H t>0

= Him(-Un(sup||XA (t + H, t)||)).

H H t>0

3. Дискретный способ.

Q0 (A) = inf^MsuplXA (iH, (i - 1)H||)) =

H >0 H t>iN

= Hm^MsuplXA (iH ,(i -1) H )||)).

H H t>iH

Авторами [1, с. 117] доказана эквивалентность этих определений и возможность замены inf на lim.

Для систем с интегрально неограниченной матрицей коэффициентов указанные выше эквивалентности могут нарушаться, поэтому становится необходимым закрепить за конкретными формулами старые обозначения либо вводить новые.

Определение 2 [2, с. 4]. Показателем Боля системы (1)

_ 1 t+1

назовем ß(A) = lim (—ln(sup J|| XA (t + H,t) |dt)).

H H t>0 t

Определение 3 [2, с. 4]. Верхним особым показателем системы (1) назовем

1 t+'

Q0(A) = inf(—ln(sup J|| Xa(t + H,t) |dt)).

H>0 H t>0 t

Для систем вида (1) всегда верно очевидное неравенство Q0(A) < ß(A) < Kg(A).

Ширяев К. Е.

О нерешенной задаче теории устойчивости

(26 марта 2014 г.)

В работе [2, с. 6-13] даны определения остаточной равномерной устойчивости и обладания совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Эти понятия являются неким ослаблением понятия равномерной устойчивости [1, с. 67] и, в случае ограниченности матрицы системы, совпадают с ней.

Задача. Дать определения просто (неравномерной) остаточной устойчивости и обладания совокупностью решений, ограниченных по начальному отрезку.

Замечание. Автор склонен полагать, что в случае неограниченной системы эти определения можно попытаться дать как ослабление определения устойчивости по Ляпунову.

Ширяев К. Е.

Метод оценки сверху минимального класса Бэра

(9 апреля 2014 г.)

Рассматривается функция f: R ^ R, где R -произвольное топологическое пространство.

Определение [1, с. 8-9]. Функцияf принадлежит нулевому классу Бэра (f е Cl0 B), если она непрерывна.

Функция f принадлежит первому классу Бэра (f е Cl B), если она представима в виде предела (поточечного) последовательности функций нулевого класса.

Вообще, функция f принадлежит (к + 1)-му классу Бэра (f е Cl), если она представима в виде предела последовательности функций к-го класса Бэра.

Поскольку каждая функция представима в виде предела последовательности из себя самой, то любая функция к-го класса является и функцией класса (к + 1)-го, (к+2)-го и т. д., т. е. любого большего.

Таким образом, возникает задача об оценке именно минимального класса Бэра, так как принадлежность функции к минимальному классу гарантирует и принадлежность ко всем большим.

Суть метода оценки сверху минимального класса Бэра состоит в представлении функции в виде к-кратного предела последовательности непрерывных функций. Примером таких рассуждений может служить следующее.

Рассматривается линейная система x' = A(t)x с ограниченной и непрерывной на R + матрицей A(t).

Назовем k-м обобщенным логарифмическим показателем [8, с. 60] величину

— 1 *

alhк = lim-У ln dkX(h(r),h(r -1)). Здесь

h(s) Г=1

X(a,ß) - оператор Коши системы, h(r): N ^ R + -некая растущая быстрее логарифма функция, d к -к-ое сингулярное число оператора X.

Утверждение.

1 1

alhk (A) = lim lim sup-У ln dkX (h(r), h(r -1)),

je[l,m] h(j) r=1

что доказывает его принадлежность второму классу Бэра.

Марголина Н. Л.

Нерешенная задача о показателе Боля

(9 апреля 2014 г.)

Определение 1. Функция f е Cl0 B - принадлежит нулевому классу Бэра тогда и только тогда, когда f непрерывна.

Определение 2. Функция f e Clk-1B - принадлежит k + 1 классу Бэра тогда и только тогда, когда она является поточечным пределом последовательности функций, принадлежащих k-му классу Бэра: f (x) = lim fn (x), f e ClkB.

Рассмотрим множество систем вида

x' = A(t ) x, (1)

где A(t) : R + ^ End Rn, x(t) : R + ^ Rn наделенных равномерной топологией системы x' = A(t)x и x' = B(t)x близки в смысле равномерной топологии, если sup||A(t) - B(t)|| < s.

meN

Любой показатель системы вида (1) может быть рассмотрен как функция правой части этой системы, следовательно, может быть отнесен к тому или иному классу Бэра.

Задача об оценке минимального класса Бэра показателей системы (1) была впервые сформулирована В. М. Миллионщиковым.

Если система (1) имеет интегрально неограниченную матрицу коэффициентов, т. е.

t+i

sup f || A (г) ||dr = +<», то ее показатели

t>0 t

— 1 ?

ß(A) = lim (—ln(sup f||XA(t + H,t)||dt)) и H t>0 t 1 t+1

Q0( A) = mf(-ln(sup f|| Xa (t+H, t ) |dt ))

H>0 H t>0 t

могут быть различны и отличаться от верхнего генерального показателя Kg ( A) этой системы.

Известно [7, с. 157], что Kg (A) является полунепрерывным сверху, как функция правой части систем, подчиненных равномерной топологии. Следовательно Kg (A) е Cl1B.

Для систем с интегрально ограниченной матрицей коэффициентов Q°( A) = ß( A) = Kg ( A).

Вопрос об оценке минимального класса Бэра показателей Q 0(A) и ß(A) систем вида (1) с неограниченной A(t) до с их пор не решен.

Матыцина Т. Н.

Логарифмический показатель линейной системы

(30 апреля 2014 г.)

Рассмотрим систему

x' = A(t ) x, (1)

где x - n-мерный вектор-столбец, A(t) - квадратная матрица порядка n.

Можно показать, что множество решений этой системы (1) образует n-мерное линейное пространство. Показатель X(x) [7, с. 21] решения x(t) можно рассматривать как действительную функ-

цию, определенную на элементах этого пространства. Ее значения на нулевом элементе равно -<», остальные значения конечны (при условии, что матрица A(t) ограничена).

Пусть M - множество, не ограниченное справа, и пусть h(l) : N ^ M - положительная и неубывающая функция. Пусть h(l) удовлетворяет условиям:

1. h(l + 1) - h(l) > h(l) - h(l - 1) для V l e N;

2. h(l) - h(l - 1) ^ +t», при l ^ +œ.

Тогда k-ым обобщенным логарифмическим показателем линейной системы (1) называется величина [5, с. 60]

alh = lim 1

ln dkX(h(i), h(i -1)),

• h(m) '¡=i

где X(t,T) - оператор Коши системы (1), dk - сингулярные числа оператораX, занумерованные в порядке невозрастания.

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть R - множество систем вида (1), тогда функция alhk : R ^ R (где R - множество действительных чисел) принадлежит второму классу Бэра.

Теорема 2. Пусть размерность системы (1) n = 1, тогда функция alhk : R ^ R непрерывна, следовательно, принадлежит нулевому классу Бэра.

Теорема 3. Для V n e N, n > 2 обобщенный логарифмический показатель alhk : R ^ R не принадлежит первому классу Бэра для всех k e {1, ..., n} одновременно.

Теорема 4. Пусть R - множество систем вида (1). Тогда при n > 2 функция alhk : R ^ R принадлежит в точности второму классу Бэра.

Копыл О. В.

О функции роста в формуле обобщенного логарифмического показателя

(30 апреля 2014 г.)

Одним из направлений теории дифференциальных уравнений является та область этой теории, которая занимается вопросами, связанными с показателями Ляпунова линейных систем.

Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Все они являются модификациями показателей, введенных Ляпуновым, и поэтому, в широком смысле, могут называться ляпуновскими, однако, во избежание путаницы, для них существуют особые названия. Одним из таких показателей является обобщенный логарифмический [6, с. 60].

Определение. Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

dd(t) = A(t) x (t ), (1)

где A(t) - непрерывная ограниченная матричная функция, x (t ) - n-мерная вектор-функция. Пусть дана неотрицательная неубывающая функция h(-): N^R и h(l) - h(l - 1) ^ œ, при l ^ œ. k-ым обобщенным логарифмическим показателем си-

стемы (1) называется величина

- 1 m

alh„ = lim—£lndtX(h(l),h(l -1)), (2)

alh, = lim 1

• h(m)

где X(a, ß) - оператор Коши системы (1), dk - занумерованные в порядке невозрастания сингулярные числа оператора.

Утверждение. В случае матрицы с постоянными коэффициентами A(t)=A значение alhk не зависит от h(l) и совпадает с k-м показателем Ляпунова.

Задача. Останется ли справедливым этот результат для периодической матрицы?

Исакова Е. В. Об одном показателе линейной системы

(14 мая 2014 г.) Рассматривается линейная система

x' = A(t) x, (1)

где x(t): R + ^ Rn, A(t) - непрерывна на R +.

Определение. Для системы (1) k-м верхним вспомогательным Болевским степенным показателем называется величина

aSßk = Iii!! sup j ' j- ln dkX(T', T-1) , где

TjeN TJ - T'

X(a, ß) - оператор Коши системы (1), dkX - сингулярные числа оператора X, занумерованные в порядке невозрастания.

Заметим, что данный показатель является модификацией показателя, введенного в работе [3, с. 1089].

Утверждение. Пусть R - множество систем вида (1), наделенное равномерной топологией. Тогда функции aSßk: R ^ R являются функциями третьего класса Бэра.

Розова В. А.

Нерешенная задача об обобщенном логарифмическом показателе

(14 мая 2014 г.) Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений dx (t)

dt

- = A(t) x (t),

(1)

h(m)

£ ln dkX(h(l), h(l -1)), (2)

где X(а, в) - оператор Коши системы (1), ёк -сингулярное число оператора, h(s): N ^ Я+ - произвольная функция, растущая быстрее логарифма.

Задача. Найти ту разновидность устойчивости, для которой необходима неположительность и достаточно отрицательность ном h.

alhk при фиксирован-

и её k-ый обобщенный логарифмический показатель [8, с. 10]

Библиографический список

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 480 с.

2. Марголина Н.Л. Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. -Кострома, 2009. - 68 с.

3. Миллионщиков В.М. Вспомогательные показатели во временных шкалах, растущих быстрее логарифма // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30. - № 6. - C. 1098.

4. Некоторые нерешенные задачи теории дифференциальных уравнений и математической физики / Арнольд В.И., Вишик М.И., Ильяшенко Ю.С., Калашников А.С., Кондратьев В.А., Кружков С.Н., Ландис Е.М., Миллионщиков В.М., Олейник О.А., Филиппов А.Ф., Шубин М. А. // Математические заметки. - 1989. - Т. 44. - Вып. 4. - С. 198.

5. Филиппов А.Ф. Отыскание характеристических показателей линейных систем с квазипериодическими коэффициентами // Математические заметки. - 1988. - Т. 44. - Вып. 2. - С. 231-243.

6. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

7. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Далец-кий Ю.Л., Крейн М.Г. - М.: Наука, 1970. - 536 с.

8. Ширяева К.Е. Некоторые показатели Ляпунова и их классификация по Бэру: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 1996. - 99 с.

i=1