К теории точных показателей Ляпунова решений комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическая теория устойчивости и теория управления

УДК 517.9

к теории точных показателей Ляпунова решений комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным*

А. А. Шестаков

В статье установлены условия существования точного показателя Ляпунова решений комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным, а также условия существования точного показателя Ляпунова решения и его производных линейного дифференциального уравнения высшего порядка с действительной или комплексной искомой функцией. Результаты статьи являются дальнейшим развитием исследований автора статьи в теории точных показателей Ляпунова решений обыкновенных комплексных дифференциальных систем с действительным независимым переменным.

Введение. В настоящей статье рассмотрены вопросы существования точного показателя Ляпунова решений некоторых классов дифференциальных систем. Для обыкновенной дифференциальной системы различные виды асимптотики решений, и в частности, существование точных показателей Ляпунова, изучались, начиная с трудов

A. Пуанкаре [12], А. М. Ляпунова [9], Н. Е. Жуковского [6], а также в работах О. Перрона [15 — 17], И. Г. Петровского [18 — 19], А. А. Ше-стакова и А. У. Пайвина [14], О. В. Дружининой и А. А. Шестакова [5], О. В. Дружининой [4], В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [11], В. В. Козлова [7], В. В. Козлова и С. Д. Фурты [8], Ф. Хартмана [13],

B. М. Матросова, Л. Ю. Анапольского и

C. Н. Васильева [10], Р. Беллмана [1—2], Б. Ф. Былова, Р. Э. Винограда, Д. М. Гроб-мана и В. В. Немыцкого [3] и других отечественных и зарубежных ученых.

Основным методом исследования является метод показателей Ляпунова с использованием редукции дифференциальной системы к канонической форме, называемой в статье базисной канонической формой.

В разделе 1 приведен обзор результатов о существовании точных показателей Ляпунова, полученных в работах [5; 11; 13 — 15]. В разделе 2 доказано существование точного показателя Ляпунова решения дифференциальной системы при некоторых условиях, налагаемых на правую часть системы. В разделе 3 рассмотрены условия существования точных показателей Ляпунова решения и его производных линейного уравнения высшего порядка с комплексной искомой функцией и действительным независимым переменным.

В статье приняты следующие обозначения и терминология:

::= — равно по определению; й, I, j, k, т, п, р, q, а, г — целые положительные числа;

Я+ ::= [0, + да),Я- ::= (—да,0], Я::= (—да, + да);

— й-мерное действительное векторное пространство;

Сй — й-мерное комплексное векторное пространство;

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).

© Шестаков А. В., 2012

& = (/¿у) — комплексная матрица размеров й х й;

£ — действительная независимая переменная (время);

х, х е Я — действительная зависимая переменная;

2, 2 е С — комплексная зависимая переменная;

(г1, г2) — скалярное произведение векторов г1 и г2;

diag(A1, ...,Ap) =

L 0

но-диагональная матрица;

N = V (zz) >max\zi\' Z\zi\

нормы вектора z; j(m),(n)

1

k(x) = lim - ln x(t) — нижний показа-

t^+rn t

тель Ляпунова скалярной или векторной функции x(t);

1

lim - ln x(t)

t^ro t

точный показатель Ля-

пунова скалярной или векторной функции x(t), если k(x) = k(x);

блоч-

различные

операция над

IlI = max /,-,

личные нормы матрицы

2 ZX|

,HA .max1

раз-

L;

L:

L —

элементарная

матрицей L , состоящая из одновременной перестановки m-й строки и n-й строки и m-го столбца и n-го столбца;

1it i = 1, ..., d — собственные значения постоянной матрицы L (или L ) размеров d х d;

a^, Pi — действительная и мнимая часть собственного значения 1 постоянной матрицы L (или L );

выполнено «в конце концов» означает, что выполнено для множества всех значений

t > T , где Т — некоторое положительное число;

выполнено «снова» означает, что выполнено для множества значений времени с верхней границей, равной +да;

dim x — размерность вектора х;

O+ — кривая действительной системы (соответственно комплексной системы) — решение x(t) (соответственно решение z(t)), стремящееся к нулю при t ^ +<»;

x(t) # 0 (соответственно z(t) # 0) — решение действительной системы (соответственно комплексной системы), не равное в конце концов нулю;

- — 1

k(x) = lim - ln x(t) — верхний показа-

t^+ш t

тель Ляпунова скалярной или векторной функции x(t);

транспонированная матрица

— эрмитово-сопряженная матрица;

^ — комплексно-сопряженная матрица %

— перенумерованная матрица &;

det & — определитель матрицы &;

1 ) — собственные значения матрицы &.

Совокупность свойств правой части дифференциального уравнения назовем условиями А [18 — 19], если: а) действительные частицы г = 1, 2, ..., d, собственных чисел матрицы Ь отличны от нуля; б) й-мерная действительная вектор-функция Х(£,х) непрерывна по (£,х) и такова, что в некоторой окрестности начала координат х = 0 выполнены соотношения

X(t, x) ^ 0,

8Xi(t, X)

dX

0 при |x| ^ 0 (А)

равномерно по £ е Я+.

Условиями А' будем называть также и более сильные свойства: а) аг Ф 0, г = 1, 2, ..., d; б) в некоторой окрестности начала координат х = 0 выполнены неравенства

$c > 0, $a

5Xj(t, x)

дХ:

d

^ cZ lxk|' k=1

d.

(АО

г, ] = 1, 2,

Совокупность свойств правой части уравнения (1.1) назовем условиями В [13], если: а) для действительных векторов и, V, ж в евклидовом пространстве Яй справедливы соотношения

X = (X1, X2, X3), ь = ^(ц ьъ ц), х = (и, V, ж), Ьх = (Ци, Ь2р, Ь3ж); (В) ( + ¿2 + ( = (,

где d (i = 1, 2, 3) размерности векторов u, v,

w;

б) действительные части ay a2j, азу собственных значений Ау Ij 1зу матриц Lj таковы, что

aik < a, a2k = a, a3k > k для некоторого числа a e R;

в) выполнено условие Липшица

|X(t, x1) - X(t,x2)| <S(t) x1 - x2|,

где скалярная функция S(t) непрерывна при t > 0 и такова, что

s

sup(1 + s + t)-1 JS(r)dr ^ 0 при t ^

s>t t

Приведем результаты о существовании точных показателей, рассмотренные в работах [5; 11; 13 — 15].

1. Обзор результатов о существовании точных показателей Ляпунова.

Теорема 1.1 [15 — 17]. Пусть задано линейное комплексное уравнение вида

dz = £(Pk + №(t)) ^ (1.1) i = 1, 2, ..., d,

где pk — комплексные числа; Pik(t) — непрерывные комплексные функции от действительного времени t e R, имеющие при t ^ нулевые пределы.

Тогда точный показатель Ляпунова для каждого решения z(t) # 0 линейного уравнения существует и равен действительной части ap некоторого собственного значения 1p спектра матрицы (pik ).

Теорема 1.2 [11; 18]. Пусть для уравнения

— = Lz + Z(t, z) (1.2)

dt

выполнены условия А. Если действительные части ai всех собственных значений 1 матрицы L отрицательны (соответственно положительны), то «почти все» решения уравнения (1.2) при t ^ (соответственно при t ^ -ю) ) касаются плоскости, определяемой ведущими координатами, т. е. координатами, которые соответствуют собственному значению или собственным значениям матрицы L, имеющим наибольшую (соответственно наименьшую) действительную часть.

Смысл выражения «почти все» в теореме 1.2 означает «все, за исключением размерности, меньшей, чем d».

Теорема 1.3 [11, теорема 8, гл. 4; 14]. Пусть для уравнения (1.2) выполнены условия А. Пусть действительные части а^, I = 1, 2, ..., d собственных значений А^ матрицы Ь перенумерованы так, что

0 > а1 > а2 > к > ad, ai Ф 0( = 1,2, ..., d).

Тогда: а) все решения уравнения (1.2) являются 0+-кривыми; б) для каждого решения х(Ь)# 0 уравнения (1.2) существует точный показатель Ляпунова, равный действительной части ар некоторого собственного числа 1 < р < d, матрицы Ь.

Теорема 1.4 (о существовании точного показателя Ляпунова при условии А). Пусть для уравнения (1.2) выполнены условия А. Пусть

0 > а! > а2 > к > а(1, ai Ф 0 ( = 1, 2, ..., d),

где а — действительные части собственных значений Ар матрицы Ь. Тогда для решения х(Ь) # 0 уравнения (1.2) существует точный показатель Ляпунова

d

1п £ ^¿(Ь)|

Нт ——-= ар,

Ь н

равный действительной части ар собственного значения Ар матрицы Ь.

Доказательство теоремы 1.4 может быть проведено по схеме доказательства теоремы 8 гл. 4 монографии [11]. Так как теорема 1.4 является частным случаем доказываемой в дальнейшем теоремы 3.1, то ее доказательство опускается.

Отметим, что имеют место аналоги теорем 1.2 — 1.4 при условии А'.

Теорема 1.5 [11; 13, гл. X]. Пусть: 1) для уравнения (1.2) выполнены условия В; 2) координатный базис в х-пространстве выбран так, что уравнение (1.2) принимает вид

— = Ци + Х1^^^), dt

— = Ци + Х2(и,о, w), dt 2

dw '3, ч

-= ь3и + X (и, о, w);

dt

3) справедливы неравенства

а1к < а, < а, азк < а для некоторого а е Я. Тогда компоненты вектора м(Ь), о(Ь), обладают свойства-

ми

dl

Z\иЩ

d'2

Z Mo I

0,

d3

Z Wi(t)|

_

d2

Z Mo I

0 при t ^

dt

■■ L x + Z(t, z) с действительным незави-

d

\Z(t, z1) - Z(t,z2) < eZ z1 i=1

:C'

d

на множестве

z1 < 5, z2 < 5,

■ 1, 2,

d, t > Te

ln Z |z.(t)| lim —-

t^+i

где d\, ¿2, — размерности векторов и, V, т соответственно.

2. Теорема о существовании точного показателя Ляпунова при условии С. В настоящем разделе доказана теорема о существовании точного показателя уравнения (1.2) при условии С.

Совокупность свойств правой части комплексного дифференциального уравнения

dz

то справедлива оценка сверху

Tim ft), t^+i t

Если выполнено неравенство

f (t) > (/ + e)f Vs> 0 Vt > 0, то справедлива оценка снизу

lim M > l.

t^+i t

Доказательство. Пусть выполнено неравенство f(t) < (I + e)f "e > 0 "t > 0. Тогда имеем

_d_ dt

[f exp(-l - e)t] < 0 Vt > 0 Ve > 0.

симым переменным назовем условием С, если комплексная матрица не равна тождественно нулю и если функция Z(t,z) есть непрерывная комплексная ¿-мерная вектор-функция, то для решения z(t) изучаемого уравнения существует и выполнено неравенство

где числа 3 и Те зависят от заданного числа е > 0.

Теорема 2.1 (о существовании точного показателя Ляпунова при условии С). Пусть действительные части а^ собственных чисел А матрицы & перенумерованы так, что

«1 > «2 > ... > ad. Тогда каждое решение z(t) # 0 уравнения (1.2) имеет точный показатель Ляпунова

Стало быть, функция ^ ехр(-/ - е)£ в конце концов монотонно убывает, и окончательно будем иметь f ехр(-/ - е)£ < где ^ ^ 0. Поэтому

^ < ^ + 1 + е < I + 2е "Ь > 0 "е > 0.

Ь Ь 1

Следовательно, справедлива оценка сверху. Доказательство оценки снизу аналогично. Лемма доказана.

Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Доказательство теоремы 2.1 проводится по схеме доказательства теоремы 8 гл. 4 монографии [12] на основе редукции уравнения (1.2) к треугольной канонической форме. В силу леммы 1 существует линейное неособое преобразование уравнения

(2.2)

zi Z kij '

переводящее его в решение z(t) треугольной канонической формы

dz dt

= Mz + Z(t, z).

При этом

(2.1)

к ::= lim

t t

равный действительной части собственного значения матрицы L.

Доказательство. В доказательстве теоремы будет существенно использована следующая лемма.

Лемма 1. Пусть f(t) — положительная скалярная функция при t > 0. Если выполнено неравенство

f(t) < (l + s)f Vs > 0 Vt > 0,

k ::= lim

t

ln Z lzil t

ln Z lzil

: lim

t^-H t

: lim

Справедливость (2.3)^ — (2.3)2 устанавливается на основе неравенства

(de)-1!<ZЫ * de^lz|,

где 9 — некоторая положительная постоянная, зависящая от матрицы K = (kj).

ln Z\ч

t

ln Z lzil

(2.3)1

(2.3)2

Очевидно, что

d 2 ._1п I Г

= - 11т —^-

2 Ь

d

1 ln Z

к = — lim ———

2 t ^^ t

1

_ln I |z|2

lim ^

2 i^+o

d

1 ln Z lz»

2 lim ——— 2 t

(2.4)1

(2.4),

di

di

« j

:[I|Zi|]2 * ¿11

hj

получаем:

dt 11z I2 < (2ai+2dmo +2ds) I i2, dt I \ziI2 > (2aj - 2dm0 - 2ds) I |zi|2-

«1(0 ::= X2 «2(0 ::= X |2, (2.11)

г=1 г=к+1

которые назовем функциями & -системы. Суммируя неравенства (2.6) соответственно при г = 1, 2, ..., а и г = а + 1, 2, ..., d, получим:

dwi dt

> 2as®1 - 2(dm0 + ds)(w1 + W2), (2.12)

Так как Ь принимает действительные значения, 12 = 2 Re ¿¡Щ1-. Следователь-

dw2 di

< 2as+1w2 + 2(dm0 + de)(®i + ®2) (2.13)

но, при заданных е0 > 0 и т0 > 0 выполнены в конце концов неравенства

^ Р - 2аг12гР + 2тое X|г/1> (2.5) ^ |2 > 2аг (¿г2 + 2тое X|2/|- (2.6)

Суммируя при г = 1, 2, ..., d и учитывая неравенство

d(®i - ®2 ) dt

< 2(ak - 4dmQ - 4ds)®i -

(2.14)

- (2ak+i + 4dmo + 4ds)®2,

(2.7)

(2.8)

:(w1 - W2)exp - 2tt > 0.

Из второго неравенства (2.8) из леммы 1 следует, что либо в конце концов X |2 = 0,

2

либо в конце концов > 0. Исключая

первый тривиальный случай, предположим, что имеет место второй случай. Тогда по лемме 1 будем иметь

к < И1 + dmo, к ^ ad - dmo. (2.9) Так как к и к являются инвариантами линейного преобразования, то к < а^и к ^ а^ Если к = а1, то к = к = а1 и существование точного показателя доказано. Если существует целое число а такое, что 1 < а < d - 1, то

аа+1 <к< аа. (2.10)

Покажем, что и в этом случае существует точный показатель Ляпунова. В самом деле рассмотрим функции

где для краткости записи при функциях опущен аргумент Ь.

Обозначим через т е (к, аа) и выберем числа е и то столь малыми, чтобы

аа - 2dmо - 2ds > t > аа+1 + 2dmо + 2ds.

Тогда из (2.9) следует, что

Отсюда вытекает, что функция y(t) ::= (®1 - ©2) ехр - 2тt в конце концов является монотонно возрастающей. В то же время в силу неравенства т + к > 2к по определению к выполнено снова неравенство

(®1 + ©2 ) ехр -2^ < ехр (к - т)t.

Правая часть этого неравенства стремится при t ^ да к нулю, так как разность к - т отрицательна. Левая часть неравенства становится снова меньше произвольно заданного числа а > 0. Если ©1 > 0, ©2 > 0, то функция у(Ь) будет снова меньше а. В силу монотонного возрастания в конце концов выполнено неравенство ©1 < ©2. По условию теоремы имеем ©1 + ©2 > 0. Поэтому в конце концов выполнено неравенство ©2 > 0. Из (2.13) получаем

d® 2 di

< (2as+! + 4am0 + 4de)®2.

В силу леммы 1 имеем

lim ln W2 < 2as+i + 4dm0,

i^o i

1 T-— ln(w + ®,) , 1 ln 2®, — lim---— < lim --

2 i^o i 2 i^+o i

= 1 lim lnW < as,i + 2dm0.

2 i^» t

Отсюда следует, что к < ac+i и, следовательно, k = к = ac+i- Существование точного показателя установлено и в случае (2.10). Теорема 2.1 доказана.

3. Существование точного показателя решения и его производных неавтономного линейного уравнения высшего порядка. Результаты раздела 2 будут применены теперь для исследования существования точного показателя решения и его производных линейного дифференциального уравнения высшего порядка.

Рассмотрим комплексное уравнение с действительным временем i

dz dt

:Lf z + Z(1)(t, z)

(3.1)1

для которого постоянная матрица 3 = (/¿у"1)

и возмущающая вектор-функция Z(1)(t, г) определены соответственно соотношениями

L1

1 =

■/(1) ld

-Я ld-1

l2

0 ^ 0

(1)

(1)

+/( ) = 0 степени d относи-

= и, z2 = и', ..., zd = иЫ 1), получим линейное дифференциальное уравнение высшего порядка d > 1:

M(d) + [/1(1) + МО] M(d-1) + + [/d1) + Pd(t)] и = 0.

(3.1)

Из теоремы 2.1 вытекает следующая теорема.

Теорема 3.1. Для каждого решения и(О#0 дифференциального уравнения (3.1) существует точный показатель Ляпунова

ln {|M(t)| + |«'(t)| + ... + |M(d-1)(t)|}

lim

t^.

(3.2)

равный Re(4) или нулю, причем первый показатель имеет кратность 1, а второй показатель — кратность d - 1.

Рассмотрим теперь другое комплексное

дифференциальное уравнение вида

^ ^ + £),

dt

(3.1)2

для которого постоянная матрица 32 = (/(2))

и возмущающая вектор-функция Z(2)(t,г) определены соответственно соотношениями

' 0 ...... 0 ^

z(1)(t,z) = 0, i = 1, 2, ..., d -1,

zd1)(t, z) = X Pd- j+1(t)zj, j=1

где функции ^¿(t) непрерывны при t > t0 и стремятся к нулю

limpi(t) = 0, t ^ i = 1, 2, ..., d.

Очевидно, что уравнение (3.1)1 удовлетворяет условиям С.

Легко показать, что собственными значениями I1, I1, ..., ld матрицы Lf являются корни алгебраического уравнения

L2

/(2)

/(2) 'ld-1

(2)

1d + /(^Ч

тельно 1. Нетрудно видеть, что этими собственными значениями являются число кратности 1 и нуль кратности d - 1.

Уравнение (3.1)1, состоящее из d уравнений первого порядка, эквивалентна одному линейному уравнению порядка d. В самом деле, производя в (3.1)1 замену

Zi(2) = Zj+1, i = 1, 2, ..., d - 1, zd2)(t,z) = d

= -Z qd-j+1(0^ j=1

где функции qi(t) определены и непрерывны при t > t0, и

lim qi(t) = 0, i = 1, 2, к, d,

x(t)

где функции X(t) определены при всех t > t0, X(t) ^ при t ^ и существует первообразная t(t) для X(t), такая, что t(t) ^ при t ^ +да.

Очевидно, что для уравнения (3.1)2 выполняется условие С. Легко видеть, что собственными значениями 11, l

ld матрицы L2 являются число -/i2) и нуль, причем

1(2) 1

первое собственное значение является однократным, а второе собственное значение (нуль) является (1-1)-кратным.

Очевидно, что уравнение, состоящее из 1 уравнений первого порядка, эквивалентно линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка

иУ) + [/(2) + ф)] и«-1) + к +

+|^2) + и = 0, и = 21.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.2. Для каждого решения и(0 # 0 дифференциального уравнения (3.2),

сопряженного с — /р"1 или с нулем, существует точный показатель Ляпунова

1п (|и(0| + |и'(0| + к + |м(1-1)(^)|}

lim -1-^,

т^+го %

равный числу или нулю, причем

точный показатель является (1 - 1)-

кратным, а число нуль — однократной действительной частью собственного значения матрицы .

Доказательство теоремы 3.2 вытекает из теоремы 2.1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. М. : ИЛ, 1954. 216 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. 2-е изд. М. : Наука, 1976. 352 с.

3. Былой Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. М. : Наука, 1966. 576 с.

4. Дружинина О. В. Методы анализа устойчивости и динамической прочности траекторий нелинейных дифференциальных систем / О. В. Дружинина. М. : ВЦ РАН, 2008. 199 с.

5. Дружинина О. В. Об асимптотических свойствах решений обыкновенной дифференциальной системы в логарифмической шкале роста / О. В. Дружинина, А. А. Шестаков // ДАН. 2010. Т. 433, № 3. С. 299 304.

6. Жуковский Н. Е. О прочности движения / Н. Е. Жуковский // ПСС. М. ; Л., 1937. Т. 1. С. 110.

7. Козлов В. В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа Дирихле / B. В. Козлов // ПММ. 1986. Т. 50, вып. 6. С. 928 937.

8. Козлов В. В. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой / B. В. Козлов, С. Д. Фурта // Мат. заметки. 1995. Т. 58, вып. 12. С. 851 861.

9. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. 471 с.

10. Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев. Новосибирск : Наука, 1980. 480 с.

11. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. 3-е изд., испр. М. : Эдиториал : УРСС, 2004. 552 с.

12. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. М. ; Л. : ГИТТЛ, 1947. 392 с.

13. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М. : Мир, 1970. 720 с.

14. Шестаков А. А. Об асимптотическом поведении решений нелинейной системы дифференциальных уравнений / А. А. Шестаков, А. У. Пайвин // ДАН. 1948. Т. 58, № 5. С. 495 498.

15. Perron O. Ueber lineare Differentialgleichungen, dei denen die unab-hangig Variable reel list, I und II / O. Perron // Journ. für die Reine und Ange-waudte Mathematik. 1913. Bd. 142.

S. 254 270.

16. Perron O. Ueber lineare Differentialgleichungen, dei denen die unab-hangig Variable reel list, I und II / O. Perron // Journ. für die Reine und Ange-waudte Mathematik. Bd. 143. 1913.

S. 25 50.

17. Perron O. Über Stabilität und asymptotishen Verchalten der Integrate von Differentialgbichungs systemen / O. Perron // Math. Zeitschrift. 1929. Bd. 29. S. 129 160.

18. Petrowsky I. Ueber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewöhnlicher

Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes / I. Petrowsky // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 1. С. 107 155.

19. Petrowsky I. Nachtag zu meiner Arbeit «Über das Verhalten der Inte-gralkurven eines systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes» / I. Petrowsky // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 3. С. 403.

Поступила 13.02.2012.

УДК 517.925.54

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ

А. Ю. Александров, А. В. Платонов

Рассматриваются гибридные сложные системы, динамика которых описывается существенно нелинейными дифференциальными уравнениями с переключениями. С помощью метода функций Ляпунова определяются условия на законы переключения, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений исследуемых систем.

1. Введение. В настоящей работе исследуется проблема устойчивости решений одного класса нелинейных сложных систем. Предполагается, что как в подсистемах, составляющих сложную систему, так и в связях между этими подсистемами имеют место переключения между различными режимами функционирования.

Известно, что для того чтобы доказать асимптотическую устойчивость, равномерную относительно закона переключения, достаточно построить для рассматриваемой гибридной системы общую функцию Ляпунова, подходящую для любого режима [6]. Однако универсальных методов нахождения такой общей функции Ляпунова нет.

В тех случаях, когда общую функцию Ляпунова построить не удается, обеспечить асимптотическую устойчивость можно за счет введения дополнительных ограничений на допустимые законы переключения (dwell-time approach [6; 9]).

2. Постановка задачи. Рассмотрим сложную систему

ii = F/o)(xi> + ¿R(;a)(t,x), i = 1, ..., n, (1)

j=i

описывающую взаимодействие n подсистем. Здесь xi е Rщ, x = (x*,...,x^)*; s = s(t) — кусочно-постоянная функция, определяющая

закон переключения, s(t) : [0, +да) ^ Q = = {1, ..., N}; элементы векторов Ft(s)(xj) являются непрерывными при Xi е Rm однородными функциями порядка mi > !> векторные функции R(j)(t, x) непрерывны в области t > 0, ||x|| < Д (0 < Д < +да, (Л — евклидова норма вектора) и удовлетворяют неравенствам

IR(s)(t, x)|| < cj ||x;|, cj > 0, ai; > 0;

i, j = 1, ..., n; s = 1, ..., N.

Таким образом, полагаем, что переключения не меняют порядки однородности mi взаимодействующих подсистем и степени влияния a ij одних подсистем на другие. Подобная ситуация имеет место, например, в случае, когда правые части подсистем и функции связей представляют собой однородные полиномы, а переключения происходят в коэффициентах этих полиномов.

Обозначим через 9i, i = 1, 2, ... моменты переключений, 0 < 81 < < ... . Будем считать, что эти моменты известны, а порядок, в котором происходит смена режимов функционирования гибридной системы, нет. Пусть 90 = 0, функция s(t) в точках разрыва непрерывна справа, а последовательность

© Александров А. Ю., Платонов А. В., 2012