Вычисление экспоненциала некоторых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Кудрявцев Б.Ю. Задача о флаттере пластины в геометрически нелинейной постановке // Известия МГТУ «МАМИ». - №° 1(9). - 2010. - С. 199202.

7. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ Сер.: Математика, механика, информатика. - 2005. - Т. 11. - Вып. 3. - С. 99-102.

УДК 517.2

Матыцина Татьяна Николаевна

кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

[email protected]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛА НЕКОТОРЫХ МАТРИЦ

Работа относится к той части теории матриц, которая играет существенную роль в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, в данной работе подробно описан способ вычисления экспоненциалов жордановых матриц. В начале статьи даны необходимые определения и понятия, связанные с экспоненциалом квадратной матрицы и способом его вычисления. Далее рассмотрены частные примеры вычисления экспоненциалов квадратных матриц сначала второго порядка, и результат обобщается, потом ищется экспоненциал диагональной матрицы n-ого порядка. После этого подробно рассматриваются вычисления экспоненциалов матриц, которые являются жордановыми клетками порядка два относительно чисел 1 = 0, 1 = 1, и сделано обобщение для произвольного действительного числа 1. Также в работе представлено вычисление экспоненциала для жордановой клетки порядка три и четыре относительно произвольного действительного числа 1. Из полученных результатов выведена закономерность, которая позволяет вычислять экспоненциал матриц, являющихся жордановыми клетками порядка n, относящимися к произвольному действительному числу 1.

Ключевые слова: матричная функция, экспоненциал матрицы, жорданова матрица.

Введем необходимые понятия, связанные с экспонентой матрицы. Пусть X = (х) -квадратная матрица порядка п. Под экспоненциалом квадратной матрицы X = (х) понимается матричная функция [1, с. 54]

V? V1 V2 V3 V?

ех =У— = X0 + — + — + — +... + — +... (1) р=0 р! 1! 2! 3! р! , (1)

где X0 = Е, Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица X.

Нетрудно видеть, что если квадратные матрицы А и В перестановочны (т. е. АВ = ВА), то

А+В А В

е = е • е .

Приведем примеры вычисления экспоненциалов некоторых матриц.

Г 0 11

Пример 1. Для матрицы А1 =1 I вычислим

ее экспоненциал еА1. 1 1

Решение. Согласно определению экспоненциала матрицы имеем:

А2 А3 А?

еА1 = А0 + А1 + А^ + А^ + ... + А+ ...

1 1 2! 3! р! .

Вычислим последовательно все компоненты данного соотношения:

A0 = E =

A2 = A3 = A4 =

A =

0

1

'0 '1

1 0 0 1 1

0 0

-1

0 0

a; =

0 1 -1 0

0 1 И-1 -1 0) { 0

-01 к

0 i W10 -1 0 ) = l,0 1 0 1W 0 1

1 М-1 0,1 = 1-1 0

--E,

= A,

Тогда 1

0 1 0

0 Ii0,

1

+— 4! i 0

1

+ — 5!

0

1

+ — 2!

-1

0

0

-1 J + 3! i 1

a,

0

при этом

1111

= 1 —+---+—... = cosi1,

2! 4! 6! 8!

,1111

= 1---1-----1---... = sml,

3! 5! 7! 9!

,1111 =-1 +-----1-----+... = -sin 1,

21 3! 5! 7! 9!

1111

a22 = 1 - — + ... = cosl.

2! 4! 6!

Таким образом, получаем экспоненциал исходной матрицы А1, а именно

А Г 0081 8ш11

1 - 8ш1 0081 I '

Пример 2. Для матрицы A2 =

0

a i

0 I

ее экспоненциал e 2.

Решение. Обобщим полученный мере 1 результат. В итоге

'a,, а,0 i ( cos a sin а

найдем

в при-

получаем

e

a

a.

a a

= 1--+--

2! 4!

a3 a5

= 1--+--

3! 5!

-sin a

„6

cos a

.8

в силу того, что

a

+--.

aa

— +--.

7! 9!

a3 a5 a1 + — 7! a3

3! 5! 9!

2 4 „6 8

a a a a

= 1---1-----1---... = cos a .

2! 4! 6! 8!

© Матыцина Т.Н., 2014

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова ¿j. № 7, 2014

1

+

0

a

+

1

а

а

21

22

a

ii

a

- a

a

cos a

ii

sin a

a

12

= - sin a

a

21

a

22

29

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Пример 3. Для диагональной матрицы

(1 0 ••• 0^

4 =

0 1

0

0

„А,

0

1

ненциал е 3.

Решение. По формуле (1) имеем

А А

АР

= АО + А1 + ^ + ^ + ... + ^ + ... =

(1 0 0 1

2! 3! 0) 1 0 0 1

Р!

0

00

0 0

00

1 0 • • 0) 1 0 • • 0)

1 0 12 • • 0 1 0 12 • • 0

+ — + — +

2! 3!

,0 0 • • 1) ,0 0 • • 1)

-12 -1, ч4

при этом знаем, что 1 + 1 +—- + —- +—- +... = е , 1 2! 3! 4!

п2 -1, ч4 л , 1 12 12 3 1 + 1 + — + — + — +... = е1

2! 3! 4!

Следовательно, еА3 =

и т. д.

0 •••

12

вида:

0 е

0

J 0 =

0 0

Получили, что е 0 =

1 1 0 1

Решение. Пусть J1 =

0

жорданова клетка

порядка п найдем ее экспо-

порядка два относительно числа 1 = 1. Тогда нетрудно видеть, что

•=(0 !)=(0 ?Н° 0)=Е+^

При этом матрицы Е и •0 перестановочны, тогда

•*=--=••=(; 0)(0 Н :)■

Пример 6. Найдем экспоненциал для жордано-вой клетки порядка два относительно действительного числа 1.

Решение. Поступим аналогично вычислениям примера 5 и обобщим результат. Пусть

(2 Г

0 1

жорданова клетка порядка два для

числа 1. Тогда •, =

1 1

0 1

= 1- Е + •0 и матрицы

• , 1Е+•0 1Е

е 1 = е = е

0е 00

Частный случай примера 3. Если в качестве матрицы А3 взять единичную матрицу Е, то для нее экспоненциалом будет матрица (е 0 ••• 0)

1-Е и •0 перестановочны, следовательно, аналогично примерам 3-4 имеем

е1 0)(1 1) = (е1 е1) 0 е1^) ^0 0 е1).

Пример 7. Найдем экспоненциал для жордано-вой клетки порядка три относительно действительного числа 1.

(1 1

Решение. Пусть •3 =

0 ) 1 1 0 1

- жордано-

Таким образом, если

ва клетка порядка три для действительного числа 1. Нетрудно видеть, что • 3 = 1 - Е + А, где

( 0 10 )

А =

0 • е,

Е - единичная матрица, то справедлива формула е1 = ел - Е для любого действительного числа 1. Пример 4. Найдем экспоненциал матрицы

( 0 1)

- это жорданова клетка порядка три

0 0 1

V0 0 0)

для числа 1 = 0 (или первый единичный косой ряд порядка три, см. [1, с. 14]). Аналогично примеру 4 можно вычислить экспоненциал матрицы А:

( 1

которая является жордановой клеткой

порядка два относительно числа 1 = 0.

Решение. Поступаем аналогично предыдущим примерам.

•2 • з

е = Е + •0 + + + ... = 0 2! 3!

= (о 1) + (0 0) +

+1(0 0) +1 (0 0) + ... = (1 1 2! V 0 0 ) 3! V 0 0 ) I 0 1

1

0

0 0

1 -2 11

1

Имеем, что матрицы 1-Е и А перестановочны, тогда

0 0

0 0

0

0

( 1)

1 1

2

0 1 1 =

0 0 1

V )

(

0

это жорданова

клетка порядка два для числа 1 = 1.

Пример 5. Найдем экспоненциал для жордано-вой клетки порядка два относительно числа 1 = 1.

Пример 8. Найдем экспоненциал для жордано-вой клетки порядка четыре относительно действительного числа 1.

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова .4> № 7, 2014

1

А

е

+

+

1

0

е

Е

е =

еА =

•3 1-Е+А 1-Е А

е = е = е - е =

1

1

е

е

1

1

е

1

1

е

е

30

Решение. Пусть J4 =

(X 0 0 0

01 0 1

X

жорда-

деть, что

(

11^1 3! 1 2! 1

1

0 0

Тогда экспоненциал матрицы J будет равен:

X

X X е е

е е 2! 3!

0 X X ея

е е 2!

0 0 X е X е

0 0 0 X е I

Таким образом, можно обобщить результат: для жордановой клетки J порядка п, относящейся к числу X, экспоненциалом будет матрица

нова клетка порядка четыре для действительного числа X. Тогда J4 = X • Е + А, где В - первый единичный косой ряд порядка четыре. Нетрудно ви-

е 2!

2!

X

е 1!

„X

(п -1)!

X

е

(п - 2)!

X

е

(п - 3)!

0 0 0 0 ••• е"

Примечание

1 Это есть разложение тригонометрической функции косинуса в виде степенного ряда для аргумента равного единице.

Библиографический список

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Демидович Б.П. - М.: Лань, 2008. - 480 с.

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 7, 2014

X Л

X

X

е

е

е

X

е

X

е

1!

X

е =

с

0

е =

е ^ =

31