Хорошо определенные логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Хорошо определенные логики1

И. А. Горбунов

abstract. Some questions concerned the deduction theorem for consequence operations and sentential calculi are considered in the present paper.

Ключевые слова: теорема о дедукции, дедуктивные пропозициональные системы

1 Предисловие

В отношении ее математического содержания данная работа является скорректированным и доработанным пересказом некоторых фактов из работы Ризарда Вуйцицкого [1] (или см. [2]). В частности утверждения 6-10 и 12 являются несколько уточненными фактами из указанной работы. К сожалению, в оригинале эти факты сформулированы и доказаны не совсем корректно. Утверждения 11, 13 и 14 доказаны и сформулированы автором этой работы.

2 Введение

Мы пока не будем определять, что такое логика, а будем опираться на ее интуитивное понимание. Отметим только, что всякая логика определяет (и в синтаксическом случае сама полностью определяется через) отношение логического следования, устанавливаемое между списками предложений языка и предложениями языка. Это отношение сопоставляет списку предложений, называемых посылками, некоторое предложение, которое называется их следствием.

Отношение логического следования, в свою очередь, некоторым образом выражается в естественном языке. Таким образом,

хРабота выполнена при поддержке РФФИ, гранты 08-06-00414 и 10-06-00360.

выделение логики языка посредством этого же языка предполагает, что язык уже располагает некоторыми средствами представления логического следования. То есть в нем существует логическая связка (или формула), назначение которой — выражать в пропозициональном языке отношение логического следования. Если в языке существует такая связка, то, видимо, ее и стоит называть импликацией. Связку эту, как обычно, будем обозначать —.

Частным примером импликации является материальная импликация. Обычно в русском языке эта связка передается включением в предложение словосочетания «Если ..., то...».

Изложение всякой логики происходит в русском же языке и в таком изложении мы вполне можем ожидать появления предложения следующего вида: «Если мы имеем формулу ф в качестве посылки, то имеем формулу ф в качестве следствия». В этом предложении импликация представляет отношение выводимости (которое обычно обозначается символом Ь), существующее в логике. Совокупность всех таких предложений языка, видимо, имеет свою логику. В этой работе мы попробуем приблизиться к этой логике и исследуем, какими же свойствами должны обладать логики, в которых импликация представляет отношение выводимости.

Рассмотрим следующую модель пропозиционального языка. Пусть V — счетное множество символов, называемых пропозициональными, переменными, и £ — не более чем счетное множество конечноместных функциональных символов, называемых пропозициональными связками. Пару {V., £) будем называть пропозициональным алфавитом. Всякий терм, построенный из символов алфавита {V, £), будем называть формулой. Языком Б будем называть множество всех формул алфавита {V, £). Подстановку определим обычным образом, т. е. как гомоморфизм е : Б — Б, который является продолжением отображения е : V — Б. Обозначим через Е множество всех подстановок.

Функцию С : 23 — 23 будем называть операцией присоединения следствий над языком Б, или, кратко, следованием, если для любых Х,У € 23

Л1. X С С(X),

А2. С(X) = С(С(X)), А3. X С У ^ С (X) С С (У),

А4. множество С(0) замкнуто относительно подстановки.

Следование С будем называть структурным, если для любой подстановки е и любого множества формул X выполняется условие е(С(X)) С С(е(X)). Следование будем называть финитарным, если для любого X верно, что С (X) = и Усх С (У), где У — конечное множество. Структурное и финитарное следование будем называть стандартным.

Пару {Б, С}, где С — структурная операция присоединения следствий, будем называть пропозициональной логикой, или, для краткости, логикой.

Любое подмножество р С 23 х Б будем называть правилом, а любой элемент этого подмножества будем называть схемой. Будем говорить, что правило р порождено схемой ^,а}, если р = {{е(X),е(а)} | е € Е}. Такое правило будем обозначать Рх/а (или, если это не будет вызывать недоразумений, просто X/a) и называть секвенцией. Секвенцию 0/а будем называть тавтологией и обозначать ее просто а.

Множество X € 23 будем называть замкнутым относительно правила р, если для любого У С X и для любого а € Б верно, что если {У, а} € р, то и а € X. Будем говорить, что следование С базируется на множестве правил вывода К (символически обозначать С = Си), если для любого X € 23 множество С(X) является наименьшим множеством, содержащим X и замкнутым относительно каждого правила из К. Для данного следования С множество С (X) будем называть теорией со множеством аксиом X.

3 Некоторые свойства операции присоединения следствий

Множество следствий конечного множества {а1,..., ап} будем обозначать С(а1 ,...,ап). Множество следствий из множества {а}UX будем обозначать как С (а, X). Докажем некоторые свойства операции присоединения следствий.

ТЕОРЕМА 1. Если а € С(X), то С(аX) = С(X).

Доказательство. Так как X С {а} и X, то в силу свойства А3 С(X) С С(аX). Докажем обратное включение.

Заметим, что {а} и X С {а} и С(X) = С(X) и значит верно, что С (а, X) С С ({а} и С (X)) = С (С (X)) = С (X). д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 2. У С С (X) & С (У) С С (X)

Доказательство. Пусть У С С(X), тогда, в силу А2 и А3 верно, что С (У) С С (С (X)) = С (X).

Пусть С (У) С С (X). В силу А1 верно, что У С С (У), тогда У С С(X). д.Е.Б.

СЛЕДСТВИЕ 1. а € С (X) & С (а) С С (X) ТЕОРЕМА 3. С (X) и С (У) С С (X и У)

Доказательство. Так как X С X и У и У С X и У. Следовательно С(X) С С(X и У) и С (У) С С (X и У). Таким образом С (X) и С (У) С С (X и У). д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 4. С (С (X) и С (У)) = С (X и У)

Доказательство. Включение С (С (X) и С (У)) С С (X и У) следует из предыдущей теоремы. Докажем обратное включение. Так как X С С (X) и У С С (У), то X и У С С (X) и С (У).

д.Е.Б.

4 Хорошо определенная логика

Поскольку импликация в языке нашей логики должна выражать отношение выводимости из списка посылок, то язык должен содержать также связку, объединяющую посылки в список. Таким образом, будем рассматривать логики в языке, содержащем связки импликации — и конъюнкции Л. При этом предполагаем, что конъюнкция обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Поэтому посредством квазиформулы а1Л.. .Лап будем обозначать конъюнкцию формул а\,..., ап, взятых в произвольном порядке и с произвольной (но правильной) расстановкой скобок, запись [а1 Л ... Л аП] будет означать множество всех таких конъюнкций. Запись [а1 Л ... Л ап — а]

будет обозначать множество всех импликаций, в посылках которых стоят конъюнкции, соответствующие данной квазиформуле. Пусть X — некоторое конечное множество формул, посредством Xл будем обозначать некоторую конъюнкцию всех формул из этого множества.

Будем считать, что операция присоединения следствий С в нашем языке уже задана и к тому же согласована с импликацией и конъюнкцией следующим образом:

В1. [а1 Л ... Л ап — а] С С (0) & а € С (а1, ... ,ап).

Верно следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 5. Условие В1 эквивалентно следующему множеству условий:

С1. С — стандартное следование;

С2. а — в € С (0) & в € С (а);

С3. С (а Л в) = С (а, в).

Для его доказательства нам потребуется следующая

ЛЕММА 1. Пусть С — такое следование, что для него верно, что С (а Л в) = С (а, в), тогда для него верны равенства С ((а Л в) Л 7) = С (а Л (в Л 7)) = С (а, в,7).

Доказательство.

С ((а Л в) Л 7) = С (а Л в,7) = С (С (а Л в),С (7)) = = С (С (а, в), С (7)) = С (а, в, 7) = С (С (а), С (в, 7)) = = С (С (а), С (в Л 7)) = С (а, в Л 7) = С (а Л (в Л 7)).

д.Е.Б.

Доказательство. (Доказательство теоремы 5).

1) Финитарность операции С следует из того, что а € С(X) тогда и только тогда, когда существует такое конечное множество формул {а1, ..., ап} С X, что [а1 Л... Л ап — а] С С(0).

Поскольку множество С(0) замкнуто относительно всех подстановок, то для любой подстановки е верно, что если формула а1 Л ... Л ап — а € С(0), то и еа1 Л ... Л еап — еа € С(0).

Таким образом, для любой формулы а и любой подстановки е верно, что если а € С(X), то и еа € С(еХ). Откуда следует, что еС (X) С C (еХ).

2) Условие C2 совпадает с условием B1, при n = 1.

3) По условию B1:

7 € С (а, в) & [а Л в — y] С С (0) & y € С (а Л в).

Индукцией по n > 1 докажем, что из условий C1-C3 следует условие B1.

Базис очевиден. Пусть для k = n — 1 верно, что

а € С (а1, ... ,ак) & [а\ Л ... Л аи — а] С С (0).

Таким образом, С (а\, ... ,ап-\) = С (а\ Л ... Л ап-г).

Пусть а € С(а\, ... , ап). Поскольку верно следующее включение — С(а\ Л ... Л ап-\) С С(а\ Л ... Л ап-\,ап), то {а\, ... ,ап} С С(а\ Л ... Л ап-1,ап). Следовательно, верно, что С ({а\, ... , ап}) С С (С (а\ Л ... Л ап-\, ап)). При этом в силу условия C3 и леммы 1, мы получаем следующее равенство С(а\ Л ... Л ап-х, ап) = С(а\ Л ... Л ап-х Л ап). Также имеем, что С (С (а\ Л ... Л ап-\,ап)) = С (а\ Л ... Л ап-\,ап). Поэтому С(а\, ... ,ап) С С(а\ Л ... Л ап). Таким образом, а € С(а\ Л ... Л ап) и, следовательно, в силу условия C2 верно, что [а\ Л ... Л ап — а] С С(0).

Пусть [а\ Л ... Л ап — а] С С(0) и, значит, а € С(а\ Л ... Л ап). Так как {а\, ... , ап-\} С {а\, ... , ап}, то следовательно С(а\ Л ... Л ап-\) С С(а\, ... , ап). Таким образом, формула а\ Л ... Л ап-х € С(а\, ... , ап). Отсюда не сложно заметить следующее включение: {а\ Л ... Л ап-х, ап} С С(а\, ... , ап). Следовательно, получаем, что С(а\Л ... Лап) С С(а\, ... , ап).

Q.E.D.

Логика, следование в которой удовлетворяет условиям C1-C3, в работах Ризарда Вуйцицкого ([1] и [2]) была названа хорошо определенной логикой (well-determined logic). Там же определено и понятие дедуктивного множества формул.

Далее следование в хорошо определенной логике мы будем называть хорошо определенным следованием.

5 Дедуктивные множества

Множество формул Ь будем называть дедуктивным тогда и только тогда, когда существует такая хорошо определенная логика С, что С(0) = Ь.

Формулы, содержащие в качестве связки только конъюнкцию, везде далее будем обозначать маленькими греческими буквами с индексом Л, например аЛ. Множество пропозициональных переменных, входящих в формулу а, будем обозначать Уат(а).

ЛЕММА 2. Если множество Ь является дедуктивным, то оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Множество Ь замкнуто относительно всех подстановок.

2. Для любых формул аЛ и вЛ верно, что если имеет место включение Уат(вЛ) С Уат(аЛ), то аЛ — вЛ € Ь.

3. Множество Ь замкнуто относительно следующих правил вывода:

(ТК)р — д,д — т (СМ)Р1 — 91 р — 92 (ЛП)Р^ р — т р1 Л р2 — д1 Л д2 р Л д

СУ)р,р Л д — т (МР)р,р — д (ЕЛ)- р — 9

д — т д р Л т — д

Доказательство. Пусть множество Ь дедуктивно, значит, существует такое хорошо определенное стандартное следование С, что С(0) = Ь.

1. Поскольку С — структурное, то множество С(0) = Ь замкнуто относительно всех подстановок.

2. В силу леммы 1 и свойства С3 верны следующие равенства: С(аЛ) = С(Уат(аЛ)) и С(вЛ) = С(Уат(вЛ)). Тогда, если Уат(вЛ) С Уат(аЛ), то, следовательно, С(Уат(вЛ)) С С(Уат(аЛ)) и значит С(вЛ) С С(аЛ). Таким образом, вЛ € С(аЛ), откуда следует, что аЛ — вЛ € С(0).

3. (ТИ) Пусть р — д € С(0) и д — т € С(0). Значит д € С(р) и т € С(д). Так как по следствию 1 С(д) С С(р), то т € С(р) и, следовательно, р — т € С(0).

(СМ) Пусть р1 — д1 € С(0) и р2 — д2 € С(0), тогда д1 € Ср) и д2 € Ср). Так как {р1} С {рир2}, р} С {р1,р2} и, по теореме 5, С(р1,р2) = С(р1 Лр2), то верно, что С(р1) С С(р1 Лр2) и С(р2) С С(р1 Лр2). Таким образом, множество {д1,д2} С С(р1 Л р2). Тогда, по теореме 2, С(д1,д2) С С(р1 Лр2). Отсюда следует, что С(д1 Лд2) С С(р1 Лр2), и, в силу указанного выше следствия, д1 Л д2 € С(р1 Л р2). Следовательно, р1 Л р2 — д1 Л д2 € С(0).

(СУ) Пусть р € С(0) и р Л д — т € С(0). В силу свойства А3 из первого следует, что р € С(д), и, значит, по теореме 1, С(р,д) = С(д). Из второго условия следует, что т € С(р,д). Таким образом, т € С(д) и, значит, д — т € С(0).

(МР) Пусть р € С(0) и р — д € С(0). Таким образом, д € С(р) и С(р) С С(0). Значит, д € С(0).

(ЛБ) Пусть р € С(0) и д € С(0). Тогда, по свойствам А2 и А3, получаем, что С(р, д) С С(0), а, значит, и С(р Л д) С С(0). Таким образом, р Л д € С(0).

(ЕЛ) Пусть р — д € С(0). Таким образом, д € С(р). Так как {р} С {р,т}, то С(р) С С(р,т) и, значит, д € С(р,т). Следовательно, р Л т — д € С(0). д.Е.Б.

Пусть Ь — непустое множество формул. Посредством Ь обозначим одноместную операцию на множестве 23, котрую определим следующим образом:

(1) а € Ь (X) а1,...,ап € X и Ь (а1 Л ... Л ап — а € Ь).

Пусть X — некоторое множество, посредством Кх будем обозначать множество всех правил вывода, относительно которых множество X замкнуто.

ТЕОРЕМА 6. Пусть Ь — некоторое множество формул, замкнутое относительно подстановки, для которого верно, что {аЛ — вЛ\Уат(вЛ) С Уат(аЛ)} С Ь и {(ТК), (СМ)} С Щ. Тогда Ь является стандартным следованием, причем Ь С Ь(0).

Доказательство. Докажем, что Ь является операцией присоединения следствий.

(А1) Пусть а € X, так как а — а € Ь, то, по (1), а € Ь(X).

(А3) Пусть X С У. Если а € Ь(X), то, по условию (1), 3 а1,...,ап € X и Ь (а1 Л ... Л ап — а € Ь). Так как X С У, то а1,...,ап € У и Ь и, значит, а € Ь(У).

(А2) Включение Ь(X) С Ь(Ь(X)) следует из А1. Докажем обратное включение.

Пусть формула а € Ь(Ь(X)), тогда в силу условия (1) верно, что 3 а1,... ,ап € Ь и Ь (X) (а1 Л ... Л ап — а € Ь).

Заметим, что если а € Ь, то, так как а — а € Ь, имеем а € Ь(0). Следовательно, Ь С Ь(0) и, значит, ЬиЬ(X) = Ь(X).

Таким образом, для любого 1 < г < п, верно, что аг € Ь(X) и, значит, в силу (1), существуют формулы ац,..., агт € ЬиX такие, что ац Л ... Л ат — аг € Ь.

Введем следующие обозначения. Положим вг = ац Л... Лагт, в1 = въ а1 = а1 и для любого 1 < к < п — 1, вк+1 = вк Л вк+1 и ак+1 = ак Л ак+1.

Применяем (СМ). Для любого 1 < к < п — 1:

вк — ак ,вк+1 — ак+1 в к+1 — ак+1 .

Затем применяем (ТИ):

вп — ап, ап — а вп — а .

Таким образом, формула вп — а € Ь. Поскольку при этом верно, что {ац,... ,_а±т1,..., ап1,..., аптп } С X и Ь, то а € Ь (X). Следовательно Ь(Ь(X)) С Ь(X) и, значит, Ь(X) = Ь(Ь(X)).

Чтобы доказать стандартность следования Ь, докажем сначала его структурность.

Пусть а € е Ь(X), тогда существует такая формула в, что а = ев, и существуют формулы а1,... ,ап € Ь и X такие, что формула а1 Л ... Л ап — в € Ь. Так как множество Ь замкнуто относительно любой подстановки, то еа1 Л ... Л еап — ев € Ь. Поскольку при этом еа1,..., еап € Ь и еX, то а = ев € Ь (еX). Таким образом, еЬ(X) С Ь(еX).

Остается доказать финитарность. Пусть а € Ь(X), тогда, по условию (1), 3 а1,... ,ап € Ьи X (а1 Л ... Л ап — а € Ь). Пусть У = {а1,..., ап} П X. По условию (1) получаем, что а € Ь(У), так как 3 а1,... ,ап € Ьи У (а1 Л... Л ап — а € Ь). Заметим, что множество У является конечным подмножеством множества X.

д.Е.Б.

Далее операцию Ь, определенную для множества Ь, удовлетворяющего условиям теоремы 6, будем называть импликативным следованием над множеством Ь.

ЛЕММА 3. Пусть Ь — некоторое множество формул, для которого выполненны условия теоремы 6. Для следования Ь верно, что Ь(0) = Ь, если {(ЛБ), (МР)} С Кь.

Доказательство. Включение Ь С Ь(0) доказано в теореме 6, докажем обратное включение. Пусть а € Ь(0), следовательно существуют формулы а1 , . . . , ап € Ь такие, что формула а1 Л ... Л ап — а € Ь. Применяя п — 1 раз правило (ЛБ), получим, что а1 Л ... Л ап € Ь и, следовательно, по правилу (МР), а € Ь.

д.Е.Б.

ТЕОРЕМА 7. Пусть Ь — некоторое множество формул. Операция Ь является хорошо определенным следованием, для которого Ь(0) = Ь, если и только если

Ь замкнуто относительно подстановки, {аЛ — вЛ\Уат(вЛ) С Уат(аЛ)} С Ь и {(ТК), (СМ), (ЛБ), (МР), (СУ), (ЕЛ)} С Кь.

Доказательство. Следует из леммы 2.

Докажем, что Ь является следованием хорошо определенной логики.

(С1) Что Ь является стандартным следованием, для которого Ь(0) = Ь, доказано в теореме 6 и лемме 3.

(С2) Пусть а € Ь(в), тогда существуют такие формулы а1 , . . . , ап € Ь и {в} , что а1 Л . . . Л ап — а € Ь. Возможны два случая.

1) Формула в € ..., ап}. Так как а1 Л...Лап — а € Ь, то, используя правило (ЕЛ), получаем, что а1 Л... Л ап Л в — а € Ь.

2) Для некоторого 1 < г < п формула в = а». Заметим, что поскольку {аЛ — вЛ\Уат(вЛ) С Уат(аЛ)} С Ь и множество Ь замкнуто отросительно подстановки и правила (ТК), то если верно, что а1 Л.. .Лап — а € Ь, то верно и [а1 Л.. .Лап — а] С Ь. Тогда получаем, что

(а1 Л (... Л (а—1 Л (а»+1 Л (... Л (ап Л в)...) — а € Ь.

Теперь применением в обоих случаях соответствующего числа раз правила (СУ) получим, что в — а € Ь.

Пусть в — а € Ь, тогда из определения операции Ь следует, что а € Ь(в).

(С3) Пусть формула а € Ь(в, 7), тогда существуют такие формулы а1,...,ап € Ь и {в, 7}, что а1 Л ... Л ап — а € Ь. Возможны следующие случаи.

1) Множество {в, 7} С {а1,... ,ап}. Значит, а1,. ..,ап € Ь и тогда, применяя правила (АБ) и (МР), получим, что а € Ь(0). Поскольку Ь(0) С Ь(в Л 7), то а € Ь(в Л 7).

2) Для некоторого 1 < г < п формула в = аг и 7 € {а1,..., ап}, тогда, как замечено для аналогичного случая выше, получаем, что (а1 Л (... Л (аг-1 Л (аг+1 Л (... Л (ап Л в)...) — а € Ь. Применяя соответствующее число раз правило (СУ), получим, что в — а € Ь. Откуда, применяя правило (ЕА), получаем, что в Л 7 — а € Ь. Тогда, по определению, а € Ь(в Л 7).

3) Случай, когда для некоторого 1 < г < п формула 7 = аг и в € {а1,..., ап} доказывается аналогично.

4) Пусть {в} С {а1,..., ап}, как и выше, отсюда следет, что (а1 Л (... Л (в Л 7)...) — а € Ь. Применяя соответствующее число раз правило (СУ), получим, что в Л 7 — а € Ь.

Пусть а € Ь(в Л 7), в силу доказанного выше пункта С2, получаем, что в Л 7 — а € Ь, и, значит, по определению операции Ь, имеем, что а € Ь(в, 7).

Таким образом, Ь(в,^) = Ь(в Л 7). д.Е.Б.

Из леммы 2 и теоремы 7 непосредственно следует критерий дедуктивности множества формул.

ТЕОРЕМА 8. Множество Ь является дедуктивным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

Б1. Множество Ь замкнуто относительно всех подстановок.

Б2. {аЛ — вЛ\Уат(вЛ) С Уат(ал)} С Ь;

Б3. {(ТЕ), (СМ), (ЛБ), (МР), (СУ), (ЕА)} С Еь.

Заметим, что таким образом минимальное дедуктивное множество, которое мы будем обозначать буквой Ш, можно определить как множество всех формул, выводимых в исчислении со

множеством тавтологий {аЛ — вЛ\Уат(вЛ) С Уат(аЛ)} и правилами вывода (ТИ), (СМ), (ЛБ), (мР), (СУ) и (ЕЛ).

6 Единственность хорошо определенного следования

Введем следующие определения.

Пусть С1 и С2 — некоторые следования над одним и темже языком. Эти следования не совпадают, если существует такое множество X, что С1(X) = С2(X). Будем говорить, что следование С1 не сильнее следования С2, если для любого множества X верно, что С1(X) С С2(X). Если имеет место тот факт, что С1 не сильнее С2 и С1 = С2, то будем говорить, что С1 слабее С2 и С2 сильнее С1 и обозначать эти факты С1 < С2 и С2 > С1 соответственно. Верна следующая

ТЕОРЕМА 9. Пусть Ь — дедуктивное множество. Хорошо определенное следование С такое, что С(0) = Ь является единственным и совпадает с импликативным следованием Ь над множеством Ь.

Доказательство. Пусть С — некоторое хорошо определенное следование такое, что С(0) = Ь. Докажем, что оно совпадает с импликативным следованием Ь, откуда и будет следовать единственность такого следования.

Пусть С = Ь, тогда либо Ь < С, либо С < Ь, либо С несравнимо с Ь.

Пусть Ь < С, тогда существуют такое множество X, что Ь(X) С С(X), а значит, и такая формула а, что а € С(X) и а € Ь(X). Поскольку С — финитарное, то, следовательно, существует такое конечное множество У С X, что а € С (У), причем а € Ь(У). Так как С — хорошо опредленное следование, то УЛ — а € С(0) = , тогда, по определению импликативного следования, а € Ь(У). Противоречие.

Пусть С < Ь, тогда существует такое множество X, что С (X) С Ь(X), а значит, и такая формула а, что а € С(X) и а € Ь(X). Из последнего следует, что существует конечное множество формул У = {а1,..., ап} С X и Ь, причем такое, что а1 Л ... Л ап — а € Ь. Введем следующие обозначения. Посредством Zь обозна-

чим конъюнкцию всех формул из множества У П Ь. Положим Z = У \ Ь С X .В силу теоремы 8 имеем, что Zь Л ZЛ — а € Ь и ZЛ — а € Ь. Так как Z С X и Ь = С(0), то а € С(X). Противоречие.

Пусть С и ЬЬ несравнимы друг с другом, тогда существуют такие множества X и У и такие формулы а и в, что а € С(X) и а € Ь(X), и в € С (X) и в € Ь(X). Далее доказательство аналогично доказательствам для случаев, приведенных выше.

Таким образом, С = Ь. д.Е.Б.

7 Хорошо определенные логики и теорема о дедукции

Заметим, что тот факт, что а € С(в), означает, что формулы а и в находятся над данной логикой в отношении выводимости, что в более привычных обозначениях записывается как а V в. Тогда условие (С2) теоремы 5 запишется знакомым образом

а V в ^^ а — в.

Таким образом, условие (С2) есть не что иное, как слабый вариант теоремы о дедукции. Это означает, что теорема о дедукции должна рассматриваться не только как технический момент, упрощающий построение выводов, но и как сообщение о некоторой согласованности языка и логики этого языка. А именно как сообщение о том, что язык обладает некоторыми средствами, позволяющими высказываться о логике этого же языка.

Если для логики верна теорема о дедукции в слабой ее форме, то будем говорить, что логика обладает слабым дедуктивным свойством или является слабо-дедуктивной.

Из теорем 8 и 9 следует

ТЕОРЕМА 10. Минимальной логикой в языке, содержащем импликацию и конъюнкцию, обладающей слабым дедуктивным свойством, является логика с импликативным следованием IV над множеством V.

Минимальные логики с дедуктивным свойством исследовались В.А. Смирновым. В работе [3] им были представлены некоторые такие логики. Также, Х. Карри в книге [4] был приведен достаточный критерий для слабой дедуктивности некото-

рых логик. Однако в указанных работах рассматривались логики, для теорий которых постулировалась замкнутость относительно правила modus ponens, кроме того, логики найденные В.А. Смирновым обладают и сильным дедуктивным свойством. Таким образом, результаты Р. Вуйцицкого, а также автора данной работы являются обобщением дедуктивного свойства логик в несколько ином направлении.

Литература

[1] Wojcicki R. Lectures on Propositional Calculi // www.studialogica.org/wojcicki

[2] Wojcicki R. Lectures on Propositional Calculi // Wroclaw: Ossolineum, 1984.

[3] Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.

[4] Хаскел Б. Карри Основания математической логики. М., 1969.