CC BY
37Логические исследования 2017. Т. 23. № 2. С. 9-24 УДК 510.64
Logical Investigations 2017, Vol. 23, No. 2, pp. 9-24 DOI: 10.21146/2074-1472-2017-23-2-9-24
Неклассическая логика
Non-classical Logic
И.А. Горбунов
Дедуктивные логики и их связь с интуиционистском логиком1
1
Горбунов Игорь Анатольевич
Математический факультет,
Тверской государственный университет.
Российская федерация, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33.
E-mail: [email protected]
В работе [5] ([6]) Р. Вуйцицкий ввел понятия хорошо определенной (well-determined) логики и дедуктивного (deductive) множества формул. Логика называется хорошо определенной, если она обладает свойством конъюнкции (т. е. С(а Л в) = С(а)С(в)) и для нее верна теорема о дедукции в следующей ослабленной форме:
Множество формул Ь называется дедуктивным, если Ь = С(0), где С — операция добавления следствий некоторой хорошо определенной логики. Хорошо определенные логики интересны тем, что присущее им отношение логического следования выразимо средствами самой логики, т. е. для хорошо определенной логики С (в некотором фиксированном языке) верно условие
Здесь рассматриваются хорошо определенные логики, для которых теорема о дедукции выполняется в полном объеме, т. е. такие, что для любого множества формул X и любых формул а и в выполнено условие
Логики, обладающие таким свойством, будем называть дедуктивными. Множество формул Ь называем сильно дедуктивным, если существует такая дедуктивная логика С, что С(0) = Ь.
хРабота выполнена при поддержке РФФИ, проекты №14-06-00298-a, №16-07-01272-a и №17-03-00818-а.
а Ь в & Ь а ^ в-
ai,... ,а.п Ьс в & ai Л ... Л ап ^ в € С(0).
X, а Ь в & X Ь а ^ в.
© Горбунов И.А.
В работе вводится операция добавления следствий над теориями и рассматриваются некоторые ее свойства. Приводятся некоторые свойства дедуктивных логик. Доказано, что теории всякой дедуктивной логики замкнуты относительно правила modus ponens. Введено понятие минимальной дедуктивной логики. Основными результатами работы являются: критерий сильной дедуктивности множества формул и доказательство того факта, что множество тавтологий минимальной дедуктивной логики совпадает с конъюнктивно-импликативным фрагментом интуиционистской логики.
Ключевые слова: теорема о дедукции, дедуктивные пропозициональные системы, сильно дедуктивное множество, интуиционистская логика
1. Введение
Обозначим посредством S множество всех формул некоторого пропозиционального языка, т. е. языка в алфавите, состоящем из множества пропозициональных переменных Var и конечного множества £ конечноместных логических связок. Буква E будет обозначать множество всех подстановок (эндоморфизмов из S в S). Посредством C обозначим определенную на множестве формул S операцию добавления следствий, которую мы будем называть также следованием.
Следование C будем называть структурным, если для любой подстановки е € E и любого множества формул X выполняется условие e(C(X)) С C(е(Х)).
Следование будем называть финитарным, если для любого X верно, что C(X) = Uy<zx C(Y), где Y — конечное множество формул.
Пару {S, C), где C — структурное и финитарное следование, будем называть дедуктивной системой или пропозициональной логикой, поскольку задание операции следования эквивалентно заданию на S отношения логического следования. Множество C(0) будем называть множеством тавтологий логики {S,C).
Логику {S, C) будем называть хорошо определенной, если для нее выполняются следующие условия:
а — ß € C(0) & ß € C(а),
C(а Л ß) = C(а, ß).
Поскольку мы будем рассматривать логики в языке, содержащем две двухместные связки - и Л, которые мы, пока условно, назовем импликацией и конъюнкцией, то далее будем использовать следующие обозначения. Посредством квазиформулы а1 Л ... Л ап будем обозначать конъюнкцию формул а1,..., ап, взятых в произвольном порядке и с произвольной (но правильной) расстановкой скобок. Запись [а1 Л ... Л ап — а] будет обозначать множество всех импликаций, в посылках которых стоят различные конъюнкции, соответствующие данной квазиформуле. Пусть X — некоторое конечное непустое множество формул; посредством XЛ будем обозначать квазиформулу, имеющую вид конъюнкции всех формул из этого множества. Формулы, содержащие в качестве связки только конъюнкцию, везде далее будем обозначать строчными греческими буквами с индексом Л, например, аЛ.
Множество следствий конечного множества {а1,..., ап} будем обозначать C(а1,..., ап). Множество следствий из множества {а} U X зачастую будем обозначать как C(а,X).
Интуиционистская пропозициональная логика Int будет пониматься нами как пара {S,C1пЬ), где операция добавления следствий определяется так же, как в [3] (т. е. CIflt(X) — это множество всех формул, выводимых из множества формул X). Все определения, касающиеся используемых здесь синтаксиса и семантики интуиционистской логики, содержатся в [4].
2. Дедуктивная логика
Пусть C — операция добавления следствий на множестве формул S некоторого языка, которая определяет на нем дедуктивную систему. Как говорилось выше, множество связок этого языка содержит связки импликация - и конъюнкция Л.
Теорией данной логики будем называть замкнутое множество формул, т. е. множество, для которого верно, что X = C(X). Для всякой теории T этой дедуктивной системы определим операцию CT : 2S — 2S следующим образом:
Ct (X) = C (X U T).
Операцию Ст будем называть следованием над теорией Т. Заметим, что для нее верно следующее утверждение.
Теорема 1. Для всякой теории Т и множеств формул X и У верно, что Ст (X и У) = Сст (у)(Х).
Доказательство. Очевидно, что С (Т и X и У) с С (С (Т и У) и X). По определению, С (Т и X и У) = Ст (X и У), С (Т и У) = Ст (У) и С (С (Т и У) и X) = С (Ст (У) и X) = ССт (у ^). Следовательно, Ст (X и У) с Сст (у ^).
С другой стороны, С (Т и У) и X с С (Т и X и У). Следовательно, С (С (Т и У) и X) С С (Т и X и У). Таким образом, получаем, что Сст (у ) С Ст (X и У). □
Будем говорить, что хорошо определенной логике присуща теорема о дедукции (или что логика является дедуктивной), если для любого множества формул X, любого конечного непустого множества формул У и любой формулы а верно, что
X,У Ь а & X Ь [Ул — а],
или в другой записи а € Сс(Х)(У) & [Ул — а] С С(X).
Отсюда следует, что логика дедуктивна тогда и только тогда, когда для любой теории Т конъюнкция и импликация связаны с Ст следующим образом:
А1. [а1 Л ... Л ап — а] С Т & а € Ст(а1, ... , ап).
Поскольку это условие верно и для Т = С(0), то всякая дедуктивная логика является хорошо определенной (см. [5] или [1]). Верно следующее утверждение:
Теорема 2. Условие А1 эквивалентно следующему множеству условий:
В1. Ст — финитарное следование; В2. а — в € Т & в € Ст (а); В3. Ст (а Л в) = Ст (а, в )■
Его доказательство мы приводить не будем, поскольку оно почти дословно, с точностью до замены C на Ct, повторяет доказательство Теоремы 5 из работы [1], за исключением структурности, которая не утверждается.
Теорема 3. Всякая теория T дедуктивной логики замкнута относительно правила modus ponens (MP).
Доказательство. Пусть p € T и p — q € T .Из последнего, по пункту B2, следует, что q € CT(p) = C(T U {p}). В силу первого, T U{p} = T. Таким образом, q € C(T) = T. □
Теорема 4. Всякая теория T дедуктивной логики содержит все подстановочные случаи следующих формул:
(si) p — (q — p);
(fr) (p — (q — r)) — ((p — q) — (p — r));
(ea) (p — q) — (p Л r — q);
(el) (p Л q — r) — (p — (q — r)).
Доказательство.
(si) Пусть е € E и T — некоторая теория. Так как ep € CT(ep), то для любой переменной q = p
ep € Ct (ep, eq) = Cqt (£p)(eq).
Отсюда по пункту B2 получим, что eq — ep € Ct (ep) и, таким образом, ep — (eq — ep) € T.
(fr) Покажем, что для любой подстановки e и теории T верно, что er € CT(ep — (eq — er),ep — eq,ep). В силу Теоремы 3, множество CT(ep — (eq — er),ep — eq,ep) = F замкнуто относительно (MP), откуда следует, что eq — er € F и eq € F. Следовательно, er € F.
В силу Теоремы 1 и пункта В2, получим следующую цепочку принадлежностей:
ег € С(ст(£р^(£д^£г),£р^£д)(ер),
ер — ег € Ст(ер — (ед — ег),ер — ед),
ер — ег € С(ст(ер^(ед^ет))(ер — ед),
(ер — ед) — (ер — ег) € Ст(ер — (ед — ег)),
( ер — ( ед — ег )) — (( ер — ед ) — ( ер — ег )) € Т.
(еа) Так как р Л г — р € С(0), то для любой подстановки е формула ер Л ег — ер принадлежит любой теории Т. Поэтому, по правилу (МР), ед € Ст(ер — ед,ер Л ег). Как и в предыдущем доказательстве, получим цепочку принадлежностей:
ер Л ег — ед € Ст(ер — ед),
(ер — ед) — (ер Л ег — ед) € Т. (е1) Вследствие пункта В3, верно равенство
Ст(ер Л ед — ег, ер, ед) = Ст(ер Л ед — ег, ер Л ед).
Поэтому, в силу замкнутости по (МР), ег € Ст(ер Л ед — ег, ер, ед). Таким образом, получаем цепочку принадлежностей:
ед — ег € Ст(ер Л ед — ег, ер),
ер — (ед — ег) € Ст(ер Л ед — ег), (ер Л ед — ег) — (ер — (ед — ег)) € Т.
□
3. Сильно дедуктивные множества
Множество формул Ь будем называть сильно дедуктивным, если существует такая дедуктивная логика (Б,С), что С(0) = Ь.
В работе [1] для произвольного множества формул Ь была введена следующая операция присоединения следствий:
(1) а € Ь (X) ^Б а1,...,ап € X и Ь (а1 Л ... Л ап ^ а € Ь).
Эту операцию мы будем называть импликативным следованием над множеством Ь. При этом доказано, что для любого дедуктивного множества Ь эта операция задает хорошо определенную логику, для которой Ь(0) = Ь. В той же работе приведен критерий дедуктивно-сти множества формул, здесь мы приведем его в несколько измененной форме, а именно:
ТЕОРЕМА 8*. Множество Ь является дедуктивным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям.
1. Множество Ь замкнуто относительно всех подстановок.
2. Для любых формул аА и вЛ верно, что если имеет место включение Уаг(вА) С Уат(аЛ), то аА ^ вА € Ь.
3. Множество Ь замкнуто относительно следующих правил вывода:
(ТЕ) (СМ) Р1 ^ 91р ^ 92 (ЛВ)-Р'9
р ^ г р1 Л р2 ^ 91 Л 92 р Л 9
(СУ)р,р Л 9 ^ Г (МР)р,р ^ 9 (ЕЛ)- р ^ 9
9 ^ г 9 р Л г ^ 9
(Нумерация теоремы приведена по [1].)
Несложно заметить, что в силу того, что для следования любой хорошо определенной логики выполняется условие С (а Л в) = С (а, в), то все теории любой хорошо определенной логики замкнуты относительно правила вывода (ЛВ). Теперь заметим, что верна следующая теорема.
Теорема 5. Пусть Ь — дедуктивное множество, содержащее формулу (¡г), тогда любая теория его импликативного следования замкнута относительно правила (МР)■
Доказательство. Пусть Т — некоторая теория Ь (т. е. существует такое множество формул X, что Т = Ь (X)) и для некоторых формул а и в верно, что а € Т и а — в € Т. По определению Ь это значит, что:
(2) 3 л,...,^п € X и Ь (л Л ... Л Чп — а € Ь).
(3) 3 5ь...,5т € X и Ь (51 Л ... Л 5т — (а — в) € Ь).
Пусть Г = [^1,...,^п], А = {51,...,5т}, Г = ГX, А = ДX, Г = ГЬ и А = АЬ.
Из пунктов (2) и (3) следует, что формула Гл Л Гл — а € Ь и формула Ал Л Ал — (а — в) € Ь. Поскольку Ь — дедуктивное множество (и значит, удовлетворяет условию Теоремы 8*), то по правилу (СУ) получим, что Гл — а € Ь и Ал — (а — в) € Ь. Отсюда по правилу (ЕА) получаем, что Гл Л Ал — а € Ь и Гл Л Ал — (а — в) € Ь. Поскольку множество Ь содержит все подстановочные случаи формулы (¡г), то
(Гл Л Ал — (а — в)) — ((Гл Л Ал — а) — (Гл Л Ал — в)) € Ь.
Применяя два раза (МР) получим, что Гл Л Ал — в € Ь, и значит, по определению следования, Ь, в € Т. □
Как доказано в [1], если Ь — дедуктивное множество, то хорошо определенная логика {Б, С), для которой Ь = С(0), совпадает с импликативным следованием для этого множества. Тогда, как следствие из Теоремы 5, получим теорему:
Теорема 6. Если для хорошо определенной логики {Б, С) верно, что формула (¡г) € С(0), то любая теория этой логики замкнута относительно правила (МР)■
Теорема 7. Пусть Ь — дедуктивное множество, содержащее формулы (вг), (¡г), (еа) и (е1), тогда операция Ь образует дедуктивную логику■
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что логика Ь дедуктивна, достаточно показать, что для любой ее теории Т выполняется условие:
а1 Л ... Л ап — а € Т & а € Ь (Т и{а1, ... ,ап}).
Обозначим множества {а1, ... ,ап} посредством А. Заметим, что выполняется цепочка эквивалентностей:
а € Ь (Т и А) &
& 3 в1,...,вш € Ь и Т и А (в1 Л ... Л вт — а € Ь) &
& 3 в1,...,вт € Т и А (в1 Л ... Л вт — а € Ь).
Введем следующие обозначения: В = {в]_,..., вт}, Г = В\А и А = В А.
Пусть А = 0. Так как Т замкнуто по (АБ), то Гл € Т. Поскольку Ь содержит формулу (е1) и Ь С Т, то Т содержит формулу (Гл Л Ал — а) — (Гл — (Ал — а)). Заметим, что Г и А = (В \ А) и (ВА) = В, и значит, Вл = Гл Л Ал, таким образом, Гл Л Ал — а € Т. Так как Ь содержит формулу (¡г), то по Теореме 5 любая ее теория замкнута по (МР). Отсюда получаем, что Гл — (Ал — а) € Т, и затем, что Ал — а € Т.
Обозначим посредством Л множество А \ Г. В силу формулы (еа), (Ал — а) — (Ал Л Лл — а) € Т, тогда и Ал Л Лл — а € Т. Таким образом, а1 Л . . . Л ап — а € Т.
Пусть А = 0, и значит, Г = В. Так как Гл € Т и Гл — а € Т, то а € Т. По формуле (вг), а — (Ал — а) € Т. Тогда получаем, что а1 Л . . . Л ап — а € Т.
(^) Пусть а1 Л... Л ап — а € Т. Тогда Ал — а € Ь (Т и А). Так как Ь(Т и А) — теория хорошо определенной логики Ь и (вг) € Ь, то она замкнута по (АБ) и (МР). Следовательно, а € Ь(Т и А). □
Следующее утверждение является критерием сильной дедук-тивности множества:
Теорема 8. Множество формул Ь является сильно дедуктивным тогда и только тогда, когда оно дедуктивно и имеет место включение {(вг), (¡г), (еа), (е1)} С Ь■
Доказательство. Если множество Ь сильно дедуктивно, то существует дедуктивное следование С такое, что С(0) = Ь. Так как С(0) — теория этого следования, то по Теореме 4 имеем, что {(^г), (¡т), (еа), (е1)} С Ь. Достаточность следует из Теоремы 7. □
Приведем еще один критерий сильной дедуктивности. Для этого заметим, что при доказательстве теорем 5 и 7 формула (¡т) требовалась для замкнутости теорий по правилу (МР), однако замкнутости по (МР) можно добиться и другим образом.
Теорема 9. Теории хорошо определенной логики (Б, С) замкнуты относительно (МР) тогда и только тогда, когда формула (тр) = р Л (р — 9) — 9 € С(0).
Доказательство. Пусть все теории С замкнуты по (МР). Тогда 9 € С(р,р — 9) = С(р Л (р — 9)), и следовательно, получим, что р Л (р — 9) — 9 € С(0).
(^) Пусть (тр) € С(0) и для некоторой теории Т и формул ф и ф — ф верно, что ф € Т и (ф — ф) € Т. Так как ф Л (ф — ф) — ф € С(0), то ф € С(ф Л (ф — ф)). Поскольку С(ф Л (ф — ф)) = С(ф, ф — ф) С Т, то ф € Т. □
Таким образом, по Теореме 3, для всякой дедуктивной логики (Б, С) верно, что (тр) € С(0) и, следовательно, в формулировке теорем 7 и 8 формулу (¡т) можно заменить на (тр). Доказательства при этом практически не изменятся. Таким образом, верен следующий критерий сильной дедуктивности:
Теорема 10. Множество формул Ь является сильно дедуктивным тогда и только тогда, когда оно дедуктивно и имеет место включение {(^г), (тр), (еа), (е1)} С Ь.
4. Минимальная дедуктивная логика и
конъюнктивно-импликативный фрагмент интуиционистской логики
Обозначим посредством В минимальную дедуктивную логику в языке со множеством связок £ = {Л, —}. Из доказанного выше и Теоремы 2 из [2] следует, что она аксиоматизируется следующим образом:
1. Множество тавтологий логики Б — это множество формул, выводимых в исчислении со следующими множествами схем аксиом и правил вывода:
Ах = {р — р,р — р Л р,р Л д — д, (вг), (¡г), (еа), (е1)}; К = {(ТЕ), (СМ), (АБ), (СУ), (МР), (ЕА)}.
2. Все теории этой логики замкнуты относительно правил (АБ) и (МР).
(Вопрос минимальности этой аксиоматизации здесь не рассматриваем.)
Обозначим посредством Ах множество, состоящее из формул, задающих множество схем аксиом Ах: посредством — множество тавтологий интуиционистской логики, посредством — конъюнктивно-импликативный фрагмент интуиционистской логики (здесь под логикой мы понимаем множество ее тавтологий), посредством Б — множество тавтологий логики Б.
Используя семантику Крипке, непосредственной проверкой каждой формулы из множества Ах можно убедиться в том, что имеет место включение Ах С Используя ту же семантику, также можно показать, что правила (ТЕ), (СМ), (АБ), (СУ) и (ЕА) выводимы в 1иЬ. Таким образом, верна
Теорема 11. Б с ■
Выясним, верно ли обратное включение.
Обозначим посредством ТЬ множество всех теорий логики Б. Заметим, что пара {ТЬ, С) образует шкалу интуиционистской логики.
Рассмотрим отображение V из множества пропозициональных переменных во множество подмножеств множества ТЬ, заданное следующим образом: для любого мира Т шкалы {ТЬ, С) верно, что Т € v(p) & р € Т.
Несложно доказать, что это отображение является интуиционистской оценкой переменных на шкале {ТЬ, С). Для этого достаточно заметить, что для любых теорий Т1, Т2 и произвольной формулы
ф естественно выполняется, что если Т1 С Т2 и ф € Т1, то ф € Т2. Отсюда, в силу определения, для отображения V будет выполняться следующее условие: если Т1 С Т2 и Т1 € V(р), то Т2 € V(р), которое и определяет интуиционистскую оценку на шкале (ТЬ, С).
Шкала (ТЬ, С) с указанной оценкой V образует интуиционистскую модель, которую мы будем называть естественной моделью логики В и обозначать Э.
Пусть М — это интуиционистская модель. Запись вида М, х = ф будет означать, что в мире х модели М истинна формула ф.
Лемма 1. Для любой формулы ф и любой теории Т € ТЬ верно, что ф € Т Э,Т = ф.
Доказательство. Лемму будем доказывать индукцией по построению формулы.
Базис непосредственно следует из определения оценки V. Шаг.
1) Пусть ф = ф Л х и ф € Т .В силу того, что формулы р Л 9 — 9 и р Л 9 — р являются тавтологиями логики В и все теории этой логики замкнуты по правилам (МР) и (ЛВ), то утверждение о том, что ф Л х € Т, равносильно утверждению того, что ф € Т и х € Т. Последнее, по индукционному предположению, равносильно тому, что Э,Т = ф и Э,Т = х. По определению истинности формулы в мире модели это равносильно тому, что Э,Т = ф Л х.
2) Пусть ф = ф — х и ф € Т. В силу замкнутости всех теорий по правилу (МР) это равносильно тому, что для любой теории Т', такой, что Т С Т', верно, что ф € Т' ^ х € Т'. В силу индукционного предположения, последнее равносильно тому, что для любого мира Т', такого, что Т С Т', верно, что Э,Т' = ф ^ Э,Т' = х. Согласно определению истинности формулы в мире модели, это равносильно тому, что Э,Т \= ф — х. □
Теорема 12. С Б.
Доказательство. Пусть ф € Б, тогда существует такая теория Т € ТЬ, что ф € Т .В силу Леммы 1, это означает, что формула ф
опровергается в мире T естественной модели. Таким образом, ф ^ Int, а значит, и ф ^ Ints. □
Из Теоремы 11 и Теоремы 12 непосредственно следует
Теорема 13. Множество тавтологий минимальной дедуктивной логики совпадает с конъюнктивно-импликативным фрагментом тавтологий интуиционистской логики.
5. Заключение
Стоит заметить, что из критериев дедуктивности и сильной дедук-тивности следует, что всякое расширение дедуктивного множества является дедуктивным или сильно дедуктивным. Расширение сильно дедуктивного множества всегда сильно дедуктивно.
В силу Теоремы 9 из [1] о единственности хорошо определенной логики для каждого дедуктивного множества формул верно, что для каждого сильно дедуктивного множества L существует единственное дедуктивное следование C, для которого C(0) = L, и это следование совпадает с импликативным следованием L.
Таким образом, между сильно дедуктивными множествами и дедуктивными логиками устанавливается взаимно-однозначное соответствие.
Отсюда и из теорем 8 и 10 настоящей работы следует, что любая дедуктивная логика содержит множество тавтологий логики D, или (что, в силу Теоремы 13, то же самое) конъюнктивно-импликативный фрагмент интуиционистской логики. Таким образом, получаем следующий необходимый критерий дедуктивности логики.
Теорема 14. Пусть язык логики {S,C} содержит связки Л и ^. Если логика {S,C} дедуктивна, то Ints С C(0).
Заметим также, что в процессе доказательства нами была получена некоторая аксиоматика (аксиоматика множества тавтологий логики D) конъюнктивно-импликативного фрагмента интуиционистской логики.
Литература
[1] Горбунов И.А. Хорошо определенные логики // Логические исследования. Вып. 17. М.; СПб.: ЦГИ, 2011. С. 95-108.
[2] Горбунов И.А. Эффективный критерий дедуктивности множеств формул логики // Вестн. ТвГУ. Сер.: Прикладная математика. 2017. № 1. С.107-115.
[3] Расёва Е, Сикорский Р. Математика метаматематики. М: Наука, 1972. С. 214.
[4] Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford: Clarendon Press, 1997. P. 25-26.
[5] Wojcicki R. Lectures on Propositional Calculi // www.studialogica.org/ wojcicki (дата обращения: 01.06.2017)
[6] Wojcicki R. Lectures on Propositional Calculi // Ossolineum. Wroclaw, 1984.
i.a. gorbunoy
Deductive Logics and Their Relation to Intuitionistic Logic1
Gorbunov Igor Anatolievich
Mathematical Faculty, Tver State University. 33 Zhelabova St., Tver, 170100, Russian Federation. E-mail: [email protected]
R. Wojcicki introduced the notion of well-defined logic [5]. A propositional logic is called well-determined if it satisfies conjunction property and weak deduction theorem. The weak deduction theorem has the following form: a h ft -O- h a ^ ft. Well-determined logics are interested because their logical consequence may be certainly represented by means of the logic.
We consider well-determined logics for which the following deductive theorem holds: for any set of formulas X and any formulas a and ft it is true that X, a h ft X h a ^ ft. Logics with this property we call deductive. We call a set of formulas L strongly deductive if there exists a deductive logic C such that C(0) = L.
In this paper we introduce an operation of adding of consequences under a theory and study some its properties. We prove that any theory under a deductive logic is closed under modus ponens. The notion of minimal deductive logic is introduced. The main results are a criterion of strong deductivity for a set of formulas and the proof that the set of tautologies of minimal deductive logic coincides with the conjunctive and implicative fragment of intuitionistic logic.
Keywords: deduction theorem, deductive propositional systems, strongly-deductive set of sentences, minimal deductive logic, intuitionistic logic
References
[1] Gorbunov, I.A. "Khorosho opredelennye logiki" [Well-determined logics] Logicheskie issledovanija [Logical Investigations]. Moscow; St. Petersburg: TsGI, 2011, vol. 17 pp. 95-108. (In Russian)
xThe paper is supported by Russian Foundation for Basic Research, projects №14-06-00298-a, №16-07-01272-a and №17-03-00818-a.
[2] Gorbunov, I.A. "Effektivnyy kriteriy deduktivnosti mnozhestva formul logiki" [An effective criterion of deductivity for sets of formulas of a logic]. Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2017, No.1, pp. 107—115. (In Russian)
[3] Rasiowa, H., Sikorski, R. The Мathematics of Мetamathematics. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe. Warszawa, 1963.
[4] Chagrov, A., Zakharyaschev, M. Modal Logic. Oxford: Clarendon Press, 1997. P. 25-26.
[5] Wojcicki, R. Lectures on Propositional Calculi. [www.studialogica.org/ wojcicki, accessed on 01.06.2017].
[6] Wojcicki, R. Lectures on Propositional Calculi. Ossolineum. Wroclaw, 1984.
