Независимая базируемость дедуктивных пропозициональных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Независимая базируемость дедуктивных пропозициональных систем1

И. А. Горбунов

abstract. Some questions concerned the existence of independent bases for consequence operations and sentential calculi are considered in the present paper.

Ключевые слова: дедуктивные пропозициональные системы, независимая базируемость, компактность.

1 Введение

Понятие дедуктивной системы возникло в качестве некоторого «дополнительного» к понятию логики способа описания некоторых свойств естественной логики. Понимание, в математической логике, логики как некоторого множества формул акцептирует наше внимание па способности некоторых форм высказывании сохранять свою истинность вне зависимости от их интерпретации, в силу самой их формы. Понятое же дедуктивной системы обращает наше внимание па тот факт, что логика позволяет нам выводить одни положения из других, т. е. акцептирует внимание па логическом следовании. Этот подход возник, видимо, в работах Я. Лукасевича pi А. Тарского, подробнее об этом можно узнать, например, из [1] pi [2]. Поскольку число публикаций, находящихся в рамках этого подхода pi изданных па русском языке мало, то автор частично использовал терминологию из интересного обзора А.С. Карпенко [2] pi частично ту, которая сложилась nppi обсуждении им этртх вопросов с участниками семинара по математической логике в Тверском госутшверситете. Основными источниками определений pi некоторых фактов послужили работы Р. Вуйтцщкого [3] pi [4].

'Работа выполнена при подаержке РФФИ, гранты (16—06—8038(1, 07-0600318 и 08-06-00414.

Перейдем к точным определениям.

Пропозициональным алфавитом будем называть пару {V, £), где V — счетное множество символов, называемых пропозициональными переменными, а £ — не более чем счетное множество копечпоместпых функциональных символов, называемых пропозициональными связками алфавита. Всякий терм, построенный из символов алфавита {V, £), будем называть формулой. Языком С будем называть множество всех формул алфавита {V, £). Функцию Сп :2е — 2е будем называть операцией присоС

номии бумаги), просто следованием, если для любых Х,У £ 2е

А1. X С Сп(Х),

А2. Сп(Х) = Сп(Сп(Х)),

АЗ. X С У ^ Сп(Х) С Сп(У).

Подстановкой будем называть отображение е : С — С, которое является продолжением отображения е : V — С. Обозначим через Е множество всех подстановок. Следование Сп будем на-

е

Х

А4. е(Сп(Х)) С Сп(е(Х)). {С, Сп) Сп

ттия следствий, будем называть пропозициональной дедуктивной системой. Поскольку не пропозициональных дедуктивных систем мы рассматривать тте будем, то далее пропозициональные дедуктивные системы будем называть дедуктивными системами. Если следование дедуктивной системы обладает некоторым свойством, то будем говорить, что этим свойством обладает дедуктивная система.

Следование будем называть финитарным, если для любого множества Х верно, что Сп(Х) = Уусх Сп(У), где У — конечное множество. Следование будем называть стандартным, если оно структурно и финитарно.

Любое подмножество р С 2е х С будем называть правилом,

а любой элемент этого подмножества будем называть схемой. р

формул Х и любой подстановки е верно, что если {Х, а) £ р, то {е(Х),е(а)) £ Р- Правило р будем называть финитарным, если для любой схемы {Х, а) £ р верно, что множество Х конечно.

р {Х, а)

р = {{е(Х),е(а)) | е £ Е}. Такое правило будем обозначать рх/а (или, если это не будет вызывать недоразумений, просто Х/а) и называть секвенцией. Секвенцию р^/а будем называть аксиоматическим правилом, а элементы этого правила будем называть аксиомами. Правило будем называть стандартным, если оно является финитарной секвенцией, поэтому такое правило будем называть также стандартной секвенцией.

Множество Х £ 2е будем называть замкнутым относительно правила р, если для любого У С Х и для любого а £ С верно,

{У, а) £ р а £ Х С базируется на, множестве правил вывода К (символически обозначать С = Спи), если для любого Х £ 2е множество С(Х)

Х

КК СК

С

если отт состоит из секвенций (стандартных секвенций); мы так-

{С, С)

Сп

ным (стандартным) тогда и только тогда, когда оно имеет секвенциальный (стандартный) базис.

Два базиса К ж К будем называть эквивалентными в том случае, если Спи = Спи'. Известно [3], что для каждого следования С существует такое множество правил вывода К, что С = Спи-Введем следующее обозначение: К1(С) = У^ : Спд = С}. Элементы множества К1(С) будем называть правилами следования С. Очевидно, что множество К1(С) образует базис следо-

СК ства К1(Спи) будем называть правилами выводимыми из мно-К

Мпожество правил вывода К

С {С, С) К

ляется базисом С и доя любого правила р £ К верно, что р £ К1(Спи\{р})■ Очевидно, что объединение произвольного множе-

ства структурных (финитарных) правил является структурным (финитарным) правилом. Следовательно, если для некоторого структурного (финитарного) следования С мы объединим все структурные (финитарные) правила из Ш(С), то получим структурное (финитарное) правило, которое будет являться независимым базисом этого следования. Таким образом, вопрос о независимости имеет смысл ставить только для секвенциальных базисов. Мы будем рассматривать вопрос о независимости только стандартных базисов. Поэтому далее везде секвенция — это фи-питарппая секвенция, а дедуктивная система — это стандартная дедуктивная система.

2 Теорема о компактности

Здесь мы докажем теорему о дедуктивной компактности, т. е. о том, что в дедуктивных системах правила выводятся из конечного числа посылок. Этот факт доказан для многих частных случаев дедуктивных систем классических, интуиционистских и других логик. Однако автору не встречалось единое доказательство дедуктивной компактности, проведенное для любых дедуктивных систем. Вполне возможно, что это лить следствие его недостаточной настойчивости в литературных штудиях.

Всякая секвенция р = а\,...,ап/а определяет частичную функцию /р : Рп(С) х Е ^ С, где Рп(С) — это множество всех п-элемептпых подмножеств языка С. Поскольку сложилась традиция посылки секвенции записывать в виде списка, то нам будет удобнее сопоставить этой функции функцию /р : Сп х Е ^ С такую, что /р(а\,..., ап, 1) = а (где 1 — тождественная подстановка) и для любой подстановки е

е/р(а\, ...,ап,1) = ¡р(а\,. ..,ап,е) = ¡р(еа\,.. .,еап,1) = еа.

Для этой функции верно, что для любой перестановки а последовательности (а1,..., ап)

((аь .. .,ап,е),еа) е /р & ((а(аь ... ,ап),е),еа) е /р.

Множество всех таких функций, порожденных секвенциями языка С, обозначим ^(С), а его подмножество, состоящее из функций / : Сп х Е ^ С, обознач им Еп(С).

Будем рассматривать слова в алфавите, состоящем из следующих множеств:

• БС = ¡2,..., ¡'П,...} — множество функциональных символов, где верхний индекс г означает, что соответствующий функциональный символ имеет местность г + 1;

• Т = {х 1,..., хп,...} — множество символов формульных переменных;

• Е = {е 1,..., еп,...} — множество символов подстановок;

• {(,)} — множество вспомогательных символов.

Определим по индукции множество термов вывода Т:

• если х £ Т, то х £Т;

• для любо го п > 0 верно, что если Ь 1,... ,Ьп £ Т, е £ Е и ¡п £ БС, то ¡п(Ь1,...,1п,е) £ Т.

Для термов Ь ... ,Ьп через БС(Ь 1,..., Ьп) будем обозначать множество всех функциональных символов, через Т(Ь\,...,Ьп) — множество всех символов переменных, а через Е(Ь\,...,Ьп) — множество всех символов подстановок, входящих в эти термы.

Интерпретацией термов будем называть взаимнооднозначное вложение I множества символов, входящих в эти термы, которое удовлетворяет следующим условиям:

• если х £ Т, то I(х) = а £ С;

• если ¡п £ БС, то I(¡п) £ Еп(С);

• если е £ Е, то I(е) = е £ Е;

• для любо го п > 0 верно, что если Ь1,... ,Ьп £ Т, е £ Е и ¡п £ БС, то I (¡п(Ь 1, ...,1п, е)) = I (Г)^ (Ь1),..., I (Ьп), I (е)).

Формулу а будем называть значением терма Ь (или его ин-терпретантой) при интерпретации I, если I(Ь) = а. Для произвольного множества символов 5 и интерпретации I через I(Б) будем обозначать множество интерпретант символов из Б.

Пусть ( — некоторое множество секвенций. Введем операцию Тд : V (Ь) ^ V (Ь) следующим обр азом: а е Тд(Х) если и только если существует такой терм вывода Ь и такая интерпретация /терма что при ней все формульные переменные этого терма

Х

принимают значения из ( и а = /(¿). Операцию Тд мы будем называть операцией термального замыкания по множеству секвенций

Следующая лемма имеет техническое значение.

ЛЕММА 1. Пусть ^1,.. п /1 , . . . , /п

тации такие, что а1 = /1{Ь1),... ,ап = /п(Ьп)- Тогда существуют термы ¿1,... и интерпретация / такие, что а1 = /(¿'1),...,ап = /(¿'п), причем множество значений интерпре-/

/1 , . . . , /п

Доказательство. Если термы ¿1,...,Ьп не содержат вхождения одинаковых символов, кроме вспомогательных, или одипа-

/1 , . . . , /п

п

одинаково, то полагаем / = и /¿и ^ = Пусть некоторый

1=1

символ I в интерпретациях /1,..., /п имеет т различных значений (т > 1). Тогда заменяем каждое его вхождение в каждый из термов на один из символов ^,... ,1'т из того же множества символов алфавита, которому принадлежит I, не встречающихся ни в одном терме ¿1,... (если I е БС, то местность новых символов совпадает с местностью ¡). Все вхождения I, имеющие одинаковое — скажем, '-ое значение, — заменяем символом ¡у Символ ¡'у интерпретируем так же, как и тот, который заменяли, т. е. полагаем (¡У) = /¿(¡).

Также может оказаться, что входящие в разные термы разные символы, принадлежащие одному и тому же множеству символов алфавита, в разных интерпретациях принимают одно и то же значение. Тогда мы заменяем все вхождения таких символов на один и тот же символ и задаем новые интерпретации /'/ так, что каждая из них присваивает этому символу значение замененных символов.

В результате все одинаковые символы термов ... при интерпретациях /",...,/% будут интерпретироваться одинаково.

Тогда полагаем I = и I' и Ь'г = Ь". Q.E.D.

г= 1

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Для любого множества секвенций ( верно, что Тд = Спд.

Доказательство. 1) Покажем, что Тд является операцией присоединения следствий.

Так как формульная переменная является термом вывода, то Х С Тд(Х). Покажем, что Тд(Тд(Х)) = Тд(Х). Включение Тд(Х) С Тд(Тд(Х)) выполняется по определению операции термального замыкания, поэтому нам достаточно доказать, что Тд(Тд(Х)) С Тд(Х).

Пусть а £ Тд(Тд(Х)). Тогда существует такой терм Ь и такая интерпретация I, что I(Ь) = а, I(БС(Ь)) С ( и I(Т(Ь)) С Тд(Х). Индукцией по построению терма докажем, что а £ Тд(Х).

Пусть Ь = хг, тогда I(хг) = а £ Тд(Х).

Пусть Ь = ¡п(Ь 1,... ,Ьп,е) и верно, что существуют термы

,..., Ь'п и их интерпретации II,... Дп такие, что для любого г (1 < г < п) IЬ) = I(и), причем Ц(БС(Ь'г)) С (а I(Т(Ь'г)) С Х. Тогда, в силу леммы 6, существуют термы ... ,Ь!'п и интерпретация I' такие, что для любого г (1 < г < п) I(^) = ^(Ь"), причем область значений интерпретации I' совпадает с объединением областей значений интерпретаций II,... Построим интерпретацию I" следующим образом. Она совпадает с I' для всех символов из термов Ь'',... ,Ь!'п. Пусть дп £ БС, и дп <£ БС(Ь'{,... ,Ь'п), и ек £ Е, и ек £ Е(Ь'',... ,Ь'п), тогда положим Р'^) = I(¡п) и I"(ек) = I(е). Рассмотрим значение терма Ь' = дп(Ь'[,... ,Ь'п, ек) при интерпретации I''.

Г'У) = I "(дп (¿1,...,% ,ек)) =

= I "(дп XI" (г''),...,^ ),Г'(ек )) =

= I (П^Ш...,^^)^ (е)) =

= I (Г)(И (А),..., иО^ (е)) =

= I (Р)^ (Ь1),..., I (^Д (е)) =

= I (Ь) = а.

И при этом Г'(БС(ЬГ)) С ( и Г'(Т(ЬГ)) С Х. Значит, а £ Тд(Х).

Теперь покажем, что если У С X, то Тд(У) С Тд(Х). Если а е Тд(У), то существуют такой терм Ь и интерпретация /, что /(¿) = а и /(Т(¿)) С У. Тогда /(Т(¿)) С X, и значит, а е Тд(Х).

Х

сто следующее включение: Тд(Х) С Спд(Х). Доказывать будем индукцией по строению терма.

аеХ

а е Х

Пусть а е Тд(Х), поскольку существует интерпретацпя / терма /п((Ь1,..., ¿п), е) (где ¿1,... — термы) такая, что / (/п) е (

и для любого г, /(¿г) е Спд(Х) (по индукционному предположе-

(

ция р = 71,..., 7п//0, что доя некоторой подстановки е = /(е) выполнено, что ев = а и для любого г, е^г = /(¿¿) е Спд(Х). Множество Спд (Х) замкнуто относительно секвенции р, поэтому из того, что ({е^1,... ,е^п},ев) е р, и для любого г верно, что е Спд(Х), следует, что а е Спд(Х).

Х

множество Тд(Х) замкнуто относительно любого правила из

Пусть в ( существует такая секвенция 0/@, что для некоторой подстановки е ев = а. Тогда существует интерпретация / терма /0(е) такая, что /(/0) = 0/в, /(е) = е, и значит, формула а = /(/0(е)). Следовательно, а е Тд(Х).

Пусть во множестве ( существует секвенция р = 71,..., 7п/в

е ев = а

и для любого г е^г е Тд(Х). Следовательно, существуют термы ¿1,..., ¿п и их интерпретации /1,... ,/п такие, что верны равенства е^1 = /1^1),... ,еуп = /п(Ьп), причем функциональные

(

символы формульных переменных принимают значения из множества Х. Тогда, в силу леммы 6, существуют термы ¿1,... ,Ь!п и интерпретация /' такие, что е^1 = /'(¿\),..., е^п = /'(¿'п), причем область значений интерпретации /' совпадает с объединени-

/1 , . . . , /п

р входит в область значений интерпретации /то пусть /п — функциональный символ такой, что /'(/п) = р. Если секвенция р не входит в область значений V, то пусть /п — функциональный символ, не входящий в термы ¿1,..., ¿'п, и пусть / — такая

интерпретация, что она совпадает с I' для всех символов из термов ЬГ1,... ,Ь'п, а также I (¡п) = р и I (е) = ¿.Тогда = I (Ь^),

..., е^п = IЮ, и значит,

I (Г&, ...&, е)) = I (¡п)(I (А),..., I (Ь'п), I (е)) = = ¡р(ец,..., е^п, ¿) = ¡р(ц,... ,1п,е) = ев = а.

Значит, а £ Тд(Х).

Таким образом, Тд — это операция следования, замкнутая

(

(стр. 80), для любого множества формул Х множество Спд(Х) является минимальным. Тогда из того, что Тд(Х) С Спд(Х), следует, что Тд(Х) = Спд(Х), и значит, Тд = Спд. (З.Е.Б.

Известно, что верно следующее утверждение ([3]).

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Правило р £ Ш(С) если и только если Х а (Х, а) £ р а £ С(Х)

Исходя из этого, несложно доказать следующее

(

но, что секвенция К = Х/а £ Ы(Спд) тогда и только тогда, когда существуют такие терм Ь и его интерпретация I, что

все функциональные символы терма интерпретируются эле-

(

претируются формулами из Х и а = I(Ь).

Доказательство. Как следует из утверждения 3 и определения секвенции, р = Х/а £ К1(Спд) тогда и только тогда, когда для любой подстановки е верно, что еа £ Спд(еХ) = Тд(еХ). Значит, для тождественной подстановки имеем, что а £ Тд(Х), а по определению термального замыкания это и означает, что такой терм и интерпретация существуют.

Пусть такой терм и такая интерпретация существуют. Тогда а £ Тд(Х) = Спд(Х). Докажем, что в этом случае для любой подстановки е еа £ Тд(еХ) = Спд(еХ). Если а £ Х, то это очевидно.

Допустим, что а £ Х. Пусть терм Ь имеет вид ¡п(Ь 1,... ,Ьп,е) (где Ь1,... ,Ьп — термы) и существует интерпретация I такая, что ^Ь) = а, ^Т^)) С Х и ^Р) £ Следовательно, во множестве ( существует такая секвенция р = ... ,7п/в, чт° для

е1 = /(е) г

где 1 < г < п, е1^г = /(¿г) е Спд(Х) и е1в = а е Спд(Х). Тогда

для любого г и для любой подстановки е е/(¿г) е Спд(еХ) по

р

того, что ({е1^1,..., е17п}, еф) е р, следует, что для любой подстановки е имеет место, что ({ее1^1,... ,ее1^п},ееф) е р. Так как р е ( и е/(¿г) = ее1^г е Спд(Х), то отсюда следует, что ее1в е Спд(еХ), значит, еа е Спд(еХ). С}.е.б.

Как следствие получаем теорему о компактности.

ТЕОРЕМА о. (О компактности) Пусть стандартная секвенция р выводима из множества стандартных секвенций К, тогда существует такое конечное подмножество ( С К, что р (

р е К

р е К р

К

соответствующий терм £ и интерпретация /. Пусть множество ( = {р е К\3/ е БС(1)(р = /(/тогда р выводимо из ( и

( С К. Так как число различных функциональных символов в

(

3 Независимая аксиоматизируемость и свойства решетки дедуктивных систем

Обозначим через Сс множество всех операций присоединения следствий языка С. Определим па этом множестве отношение < следующим образом. Положим, что С1 < С2, если и только если для любого множества формул Х верно, что С1(Х) С С2Х).

С1 < С2 С1 С2

С2 С1

([3]).

С1

С2

К1(С1) С то.

<

ется отношением частичного порядка.

Напомним некоторые основные понятая теории частично упорядоченных множеств. Пусть на множестве А определен частичный порядок <. Подмпожество В С А будем называть цепью, если верно, что Ух,у £ А((х < у V у < х). Элемент х £ А

В

ли верно, что Уу £ В (у < х)(Уу £ В(х < у)). Элеме нт х £ А будем называть точной верхней гранью (супремумом) множе-В

В

паиболыттей) верхней (нижней) гранью этого множества, т. е. для х верно, что У г £ А(Уу £ В (у < г) — х < г) (соответственно, У г £ А(Уу £ В (г < у) — г < х)). Элемент х £ В С А будем

В

ли верно что, Уу £ В (у = х — х < у)(Уу £ В (у = х — у < х)).

В цепи ее максимальный (минимальный) элемент едипствепеп и является ее супремумом (ипфипумом). Частично упорядоченное множество будем называть полной решёткой, если любое его подмножество имеет иттфиттум и супремум.

Обозначим через С£ частично упорядоченное множество всех

стандартных следований данного языка С. Известно, что оно

<

дованиях фиксированного языка, индуцирует изоморфный порядок па множестве всех дедуктивных систем данного языка. А именно считаем, что (С,С\) < (С,С2), если и только если С 1 < С2- Причем решетка изоморфна решетке С£, поэтому в дальнейшем мы их различать не будем.

Напте доказательство будет опираться па положение, извест-

х £ А

у £ А х < у

ЛЕММА 7. (Лемма Цорна) Каждый элемент непустого ча-

А

ВА

дочено), мажорируется некоторым максимальным во множе-А

Положим, что а < Ь ^ а < Ь Л а = Ь. Интервалом частично упорядоченного множества А, заданным элементами а,Ь £ А, будем называть множество (а,Ь) = {х £ а | а < х < Ь}. Эле-Ь£А Нс13ЫВс1ТЬ непосредственным предшественни-

ком элемента а е А, если а < Ь и (а,Ь) = 0. Следование будем называть финитно базируемым, если оно имеет конечный базис.

ТЕОРЕМА 8. (Односторонний критерий независимой базиру-

С2

гда для любого интервала (С1,С2) решёткиС£ верно, что если

С1 С2

этом интервале непосредственного предшественника.

К

С2 ( С1

ждения 6, верно, что ( С Ш(С2). По теореме о компактности,

(

ного подмножества секвенций 5 С К. Положим, что множество К \ Б = {р1,..., рп, [...]}. Обозначим через Тг следование с базисом 5и {р1,..., рг-1, рг+1,..., рп, [.. .]}■ Если интервал (Тг, С2)

Тг

С2

всякая цепь этого интервала входит в состав некоторой максимальной в этом интервале цепи. В силу полноты решетки для любой максимальной цепи существует супремум всех ее элементов — следование Стах, — базис которого является объединением базисов всех элементов цепи. Таким образом, если секвенция

рг Стах

выводима из некоторого конечного множества секвенций, вхо-

С

ной цепи интервала (Тг, С2) Но в этом случае С = С2, и значит, С2 е (Тг, С2) Противоречие. Таким образом, рг е К1(Стах), и Стах < С2

Докажем, что интервал (Стах,С2) = 0. Допустим, что Стах не является непосредственным предшественником следования С2 С Стах < С < С2

Стах

не является максимальной. д.Е.О.

4 Абсолютная независимая базируемость и относительная независимая базируемость

Базис следования будем также называть абсолютным базисом

(

носительным базисом следования С2 над следованием С\, если С2 = Спдии1(с1у Заметим, что если множество правил ( является базисом С2 над С 1 и множество правил К является базисом следования С 1, то верно, что С2 = Спдии. Независимое множество секвенций будем также называть абсолютно независимым.

(

жеством правил К, если для любой секвенции р £ ( верно, что р £ К1(Сп^и(д\{р})). Множество секвенций ( будем назы-

С

ции р £ ( верно еле дующее: р £ К1(Спх1(с)и(д\{р})) ■ Заметим,

К

сом следования С и множество правил ( независимо над С, то

К

независимый базис следования будем называть его абсолютно

( называть

С2

С (

С2 С С

мосвязи абсолютной и относительной независимыми базируемо-стями.

Нетрудно заметить, что верно следующее утверждение.

С

С2 С С2

ся абсолютно независимо базируемым.

К

С

(

С2 над Сь Поскольку С1 < С2, то К С К1(Спиид). Как замечено выше, С2 = Спдил- Рассмотрим множество секвенций Б = {р I р £ К Л р £ К1(Спдид\{р})}. В силу того, что Б и ( С К и имеем включение Cnsид С Спиид. С другой стороны, все правила из множества К и ( £ Спз^д, и следовательно верно, что Спиид С С^ид ■ Зпачит, Cnsид = Спиид = С2. Таким образом, множество Б и ( — абсолютный базис следования С2.

Докажем независимость этого множества. Допустим, что ттеко-

р

секвенций (Би () \{р}. Так как Cnsид = Сп^ид, получаем, что

Сп(яид)\{р} = Сп(яид)\{р}■ Следовательно, р е Ш(Сп(яид)\{р})-Тогда секвенция р е Б, в силу определения этого множества, и р е в силу независимости последнего над С1. Из того, что

получено противоречие, следует, что наше предположение о вы-

р

Таким образом, множество секвенций БUQ является абсолют-

С2

С2

С1

С2 С2

С1

С1 = С2

С1 = С2 К

С1

Q — это базис следования С2■

1) Допустим, что множество Q конечно. Рассмотрим множество секвенций Р = Q \ К1 (С 1^. Если Р независимо над С1, то Р — искомый базис. Если же это не так, то определим следующую последовательность множеств. Перенумеруем все секветт-

Р

Р = (ро,... рт-1) ■ Положим, что 5о = Р. Далее, для любого г

Б.+1 = Г Бг \ {Pг}, если рг е Ш(CпRU(si\{pi})), ^ Бг, если рг е К\(СпШ(з1\{р})).

Бт С1

как С1 = С2. Все секвенции множества ^ ^^^^^дамы из Бт и К, и значит, С2 < CпsmuR■ Так как С1 < С2, то Бт и К С К1(С2), и значит, < С2. Таким образом, С2 = CпsmuR■ Сле-

Бт

базртс.

2) Пусть множество Q бесконечно. В силу теоремы о компакт-

К

ное по включению конечное множество секвенций Р, что Р С Q и К С К1(Спр) и таким обра зом, С1 < С пр. Множество секвенций Т = Q \ Р независимо над С1, так как это множество

независимо над Спр, а С1 < Спр. Таким образом, Т — независимый базис следования С2 над Спр. Если Спр = С1, то Т — искомый базис.

Пусть Спр = С1. Рассмотрим множество Р и Т = Допу-

С1

р

этой секвенции верно одно из двух: р £ Т или р £ Р.

Пусть р £ Т. Тогда р £ К1(Сп(т\{_р})ирии1(с1))- В силу того, что К С К1(Спр), получаем, что р £ Ш(Сп(т\{р})иш(спр))■ Это противоречит абсолютной независимости Следовательно, р £ Т, и значит, р £ Р. Тогда положим Бо = Р. В силу

Р

жеств Бо,..., Бп, аналогичную той, которая построена в пункте

Бп и Т

мым над Сь Так как все секвенции из (Р \ Бп) С Кl(CnsnUтUR) то С2 = CnsnUтиш(с1)- Таким образом, множество БпиТ и будет

С2 С1

Из утверждений 9 и 10 непосредственно следует

С2

базис тогда и только тогда, когда оно имеет независимый базис над любым финитно базируемым следованием, которое не С2

Таким образом, свойства абсолютной независимой базируемо-сти и относительной независимой базируемости над финитно базируемыми дедуктивными системами оказываются совпадающими.

5 Заключение (дедуктивные системы и логики) С

тое относительно любой подстановки и некоторого множества секвенций, называемых постулированными для данной логики правилами вывода. Рассмотрим взаимосвязь между так понимаемыми логиками и дедуктивными системами. Известно, что

С

множество С(0) является замкнутым относительно любой подстановки, и значит, является логикой в вышеуказанном смысле. Постулированными для этой логики правилами вывода могут

считаться секвенции из любого базиса следования C. Эту логику будем называть базовой логикой следования C.

Насколько известно автору, вопросы о взаимосвязи свойств дедуктивных систем pi свойств их базовых логик недостаточно изучены. Касается это pi свойства независимости.

Так, неизвестно, верно ли, что если следование имеет абсолютно независимый базис, то и его базовая логика независимо аксиоматизируема. Не исследована pi верность обратного утверждения, не говоря уже о взаимосвязи свойств относительных аксиоматизируемости pi базируемости. Такрш образом, представляется интересным изучить взаимосвязи между свойствами логик pi дедуктивных систем, поскольку это позволит связать между собой оба «дополнительных» подхода к описанию логики.

Литература

[1] Czelukowski J. and Mulinowski G. Key Notions of Tarski's Methodology of Deductive Systems // Stadia Logica. 1985. V. ll. №-l. P. 321-351.

[2] Карпенко А.С. Предмет логики в свете основных тенденций ее развития // Логические исследования. Вып. 11. 2001. С. 1 19-171.

[3] Wojcicki R. Matrix Approach In Methodology Of Sentential Calculi // Studia Logica. 1973. V. 32. P. 7-37.

[1] Wojcicki R. Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Dordrecht: Kluwer, 1988.