CC BY
11
М. В. Пасечник-
УДК 519.83
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ МНОЖЕСТВА ИНДИВИДУАЛЬНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ИСХОДОВ И МНОЖЕСТВА ДЕЛЕЖЕЙ В ИГРАХ С КВАЗИУПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ
Игра л-лиц с квазиупорядоченными исходами определяется как набор объектов
G = (N,(Xi)ieN,A,(.oi)i,N,F), (1)
где N = {1,...,и} - множество шроков, Xi — множество стратегий игрока /, А - множество исходов, со, - отношение квазипорядка, выражающее предпочтения игрока /, F : J~| Xi-» А - функция реализации.
ieN
Игра вида (1) игроков {1,...,«} содержит реализационную структуру {(^¡)ЫЫ,А,Р) и оценочную структуру (Л(ш,)/бА,).
Исход а называется индивидуально-рациональным, если ни один игрок не имеет на него возражений в форме своей стратегии. Множество ин-дивидуапьно-рациональных исходов обозначается D(G). Индивидуально-рациональный исход, на который нет возражений у коалиции всех игроков, называется дележом. Множество дележей обозначается D(G).
Решением игры обычно служит либо всё множество индивидуально-рациональных исходов, либо некоторое его подмножество.
В статье даётся харакгеризация множества индивидуально-рациональных исходов в играх вида (1).
Предположим, что нам задана оценочная структура, т.е. (Л,(co,-)ie/v) и в множестве А выделено некоторое подмножество СсА. Требуется «восстановить» игру с квазиупорядоченными исходами так, чтобы её оценочная структура совпала с заданной, а подмножество С совпало с множеством индивидуально-рациональных исходов в построенной игре. Эта задача решается для случая, когда множество А конечное.
Будем использовать следующие обозначения. Для произвольного множества В а. А и любого элемента а е А полагаем:
МАХ ¿В - множество максимальных элементов подмножества В, относительно квазипорядка со; (i 6 N);
MIN ¡В - множество минимальных элементов подмножества В, относительно квазипорядка со,- (i e N);
о,
М¡(а) = {а б А \а' > и) - множество строгих мажорант элемента и относительно квазипорядка со, (i е N);
mi(a) = {aeA:a,<a} - множество строгих минорант элемента а относительно квазипорядка со, (ieN).
ТЕОРЕМА (характеризация множества индивидуально-рациональных исходов в играх с квазиупорядоченными исходами).
Пусть А - конечное множество, на котором заданы отношения квазипорядка Oij0)„. Для того чтобы подмножество СсД совпадало с подмножеством индивидуально-рациональных исходов некоторой игры вида (1), необходимо и достаточно, чтобы подмножество С'=А\С допускало представление в виде объединения п подмножеств С1,...,С„ таких, что:
1) для любого а\ eMAXiCi выполняется р|Л/,(а') Ф ф ;
ieN
2) пусть ieN, а £ С,, а'е А. Тогда включение Л/Дя) с А/,(а') влечёт «'б С,.
Доказательство. Необходимость. Пусть G - игра вида п лиц с квазиупорядоченными исходами вида (1), С = D(G). 11оложим С, = С,*(С)
(/ б N) . Тогда С'= IJC/, (G). Проверим выполнение условий 1 и 2 теоремы.
ieN
1. Возьмем а] е MAX ¡U* (G) (ieN). Покажем, что [)М ¡(а')* ф.
ieN
Так как а] е U'(G) (i eJV), то по определению множества строго гарантированных исходов выполняется
(a*,* е х)уу еXN„)F(xl,y)>а', (/ еN). (2)
В ситуации х = (xi) соотношения (2) будут иметь вид F(x )>ai (i е N),
т.е. F(x') е М ,(а') (ieN). Таким образом, /*'(**) = П М,(а*), откуда
ieN
ieN
2. Пусть ieN, aeUj(G), а'е А и выполнено включение М,(о) с Л/,(а'). Покажем, что a'eU-(G). В самом деле, принадлежность а е и] (G) означает, что существует такая стратегия х\ е Xt, что
(VyeAr/vvi) F(x' ,у)> а . По определению М ¡(а) с Л/, (а1), поэтому из F(xi ,у)>а следует F(x, ,у)> а'. Гаким образом, выполняется I \
Получаем, что xt - возражение игрока i на исход а', т.е. a'et/, (G).
Укажем теперь основную идею доказательства достаточности. Построим игру С с квазиупорядоченными исходами вида (1) в которой С] = £/, (С),....,С„ =и„(С). Для построения игры С надо задать: 1) множества стратегий Х1 (1 € Л'), 2) функцию реализации ^: Л", —> А. Так как
¿6 N
подмножества С1г...,Сп по условию непусты, то множества их максимальных элементов относительно соответствующих квазипорядков также непусты. Пусть МАХ¡^ (/еМ), р,= шах \м,(*а))\ и
р = тах{/>!.....Р„,п}. Положим X ( =[х\,...,х1т.,у1т.+1,...,у1т+р) (геЫ), где
1 < у,- < т1, т, +1<к1 <ш, + р, причём первые т1 элементов множества Л'; будут находиться во взаимно однозначном соответствии с элементами . Функцию реализации /•" определим следующими правилами. Правило 1. Если игрок / выбирает стратегию из подмножества своих стратегий |, а остальные игроки I = N М выбирают стратегии из
подмножеств стратегий {у^+и-.^ + р },то
Р(у\,у1г..........
Правило 2. Если все игроки выбирают свои стратегии из подмножеств стратегий +1,.„,у'т.+р }, то исходы в образуемых ситуациях
должны являться минимальными элементами множества А относительно одного из порядков сй1,...,ыл. При этом должно выполняться следующее
дополнительное условие: для любой стратегии у'к. (т1 + \<к1 <гп1 + р)
игрока / у игроков / = N \ г существуют такие стратегии у'к/, что
р(у\.....,у'к1,..,у1)емт>А.
Правило 3. Во всех остальных ситуациях исходы выбираются из множества р)Л/, (*а'; ) (1 < < т,).
Итак, построена игра, функция реализации Р которой удовлетворяет правилам 1 - 3, а оценочная структура есть (А,(сО(),еЛ,). Непосредственно
проверяется, что в построенной игре С, =и,*(С),....,Сп = {/„(С).
Проблема характеризации множества дележей в играх с квазиупорядоченными исходами вида (1) может быть сведена к решённой проблеме характеризации множества индивидуально-рациональных исходов, благодаря следующему утверждению.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть задана игра С вида (1) с квазиупорядоченными исходами. Тогда можно построить игру
С=(Н,(Х1)Ы„,А,(<о,так, что Я(С) = Д(С) = £>(«).
