CC BY
0ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 512.554.1
https://doi.org/10.52754/16948645 2023 2 26
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ НА АЛГЕБРАХ
ИСАЕВА-КИСЛИЦИНА
Арзикулов Фарходжон Нематжонович, д.ф.-м. н., доцент,
arzikulovfn@gmail.com Институт математики имени В.И. Романовского Академии наук Узбекистана, Алмазарский район, улица Университетская 9. Ташкент,
Узбекистан,
АГУ, улица Университетская 9, Андижан, Узбекистан Уринбоев Фуркат Садикджанович, аспирант НамГУ,
furqatjonforever@gmail.com НамГУ, улица Уйчи 316, Наманган, Узбекистан Абдумуминов Мурод, Магистр в НамГУ НамГУ, улица Уйчи 316, Наманган, Узбекистан
Аннотация: В настоящей работе изучаются простые алгебры, не принадлежащие к известным классам алгебр (ассоциативным алгебрам, альтернативным алгебрам, алгебрам Ли, йордановым алгебрам и т. д.). Такими алгебрами являются простые конечномерные алгебры над полем характеристики 0 без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным. В настоящей работе мы рассматриваем такую алгебру - простую семимерную алгебру B. Мы доказываем, что каждое локальное дифференцирование алгебры B является дифференцированием и каждое 2-локальное дифференцирование алгебры B также является дифференцированием.
Ключевые слова: простая алгебра, дифференцирование, локальное дифференцирование, 2-локальное дифференцирование, базис тождеств.
A CHARACTERIZATION OF DERIVATIONS ON ISAYEV-KISLITSIN ALGEBRAS
Farkhodzhon Arzikulov Nematzhonovich, Ph.D. PhD, Associate Professor,
arzikulovfn@gmail.com Institute of Mathematics named after Romanovsky Academy Sciences of Uzbekistan, Olmazor district, University street 9, Tashkent, Uzbekistan, ASU, University street 129, Andijan, Uzbekistan Furkat Urinboev Sadikdzhanovich, postgraduate student of NamSU,
furqatjonforever@gmail.com NamSU, Uychi street 316, Namangan, Uzbekistan Murod Abdumuminov, Master at NamSU NamSU, Uychi street 316, Namangan, Uzbekistan
Abstract:: In the present paper we study simple algebras, which do not belong to the well-known classes of algebras (associative algebras, alternative algebras, Lie algebras, Jordan algebras, etc.). The simple finite-dimensional algebras over a field of characteristic 0 without finite basis of identities, constructed by Isayev and
Kislitsin, are such algebras. In the present paper we consider such algebras: the simple seven-dimensional algebra B . We prove that every local derivation of the algebra B is a derivation, and every 2-local derivation of the algebra B is also a derivation. We also prove that every local automorphism of the algebra B is an automorphism, and every 2-local automorphism of the algebra B is also an automorphism.
Keywords: Simple algebra, Derivation, Local derivation, 2-Local derivation, Automorphism, Local automorphism, 2-Local automorphism, Basis of identities.
1. Введение. В настоящей работе изучаются локальные и 2-локальные дифференцирования простых конечномерных алгебр без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным в [3].
Понятие локальных дифференцирований было введено и исследовано Кадисоном в [2]. Кадисон доказал, что всякое непрерывное локальное дифференцирование алгебры фон Неймана в двойственный банахов бимодуль является дифференцированием. Аналогичное понятие 2-локальных производных было введено Шёмрлем. Шёмрл доказал, что любое 2-локальное дифференцирование алгебры В (Н) всех линейных ограниченных операторов в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н является дифференцированием [7]. Впоследствии появилось множество новых результатов, связанных с описанием локальных и 2-локальных дифференцирований различных алгебр.
В настоящей статье мы продолжаем изучение дифференцирований простых алгебр. В данной работе изучены дифференцирования простых алгебр, не принадлежащих известным классам алгебр (коммутативным, ассоциативным, альтернативным, лиевым, жордановым и т. д.). Такими алгебрами являются простые конечномерные алгебры без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным (см. [3]). А именно, мы доказываем, что любое локальное дифференцирование простой конечномерной алгебры без конечного базиса тождеств, построенное Исаевым и Кислициным в [3], является дифференцированием, а всякое 2-локальное дифференцирование этой алгебры также является дифференцированием. В [1] изучаются локальные и 2-локальные дифференцирования других таких алгебр, построенных Кислициным в [5], [6]. Отметим, что центральные простые конечномерные алгебры, не имеющие конечного базиса тождеств, рассматривались также в работе [4] Исаева и Кислицина.
2. Простая конечномерная алгебра без конечного базиса тождеств. Пусть Ъ =
(1,V1,V2,6ll,6\2,e22,V)w - алгебра над полем F характеристики 0, ненулевые произведения базисных элементов из
[l,v1,V2,e11,e12,e22,v] (1)
определяются правилами V1e11 = V1,V1e12 = V2,V2e22 = v2,v2p = 1. Тогда Ъ - простая алгебра без конечного базиса тождеств [3]. Пусть а. - элемент из Ъ. Тогда мы можем написать а = а11 + a2v1 + a3v2 + а4е11 + а5е12 + а6е22 + а7р, для некоторых элементов 0-1, 0-2, , а.5, а.^, а.7 в F. На протяжении всей статьи пусть а. = (а,1, а2, а7)Т. И наоборот, если V = (0.1, &2, аз, а4, а5, ав, а7)Т - вектор-
столбец с 0-1, d2, , , , а7 в F, то на протяжении всей статьи через V будем
обозначать элемент + a2v1 + a3v2 + а4е11 + а5е12 + а6е22 + а7р, то есть, v = а11 + a2v1 + a3v2 + а4е11 + а5е12 + а6е22 + а7р.
Пусть <А- алгебра. Линейное отображение D: <А ^ <Л. называется дифференцированием, если D(xy) = D(x)y + xD(y) для любых двух элементов X, у Е
Нашим основным инструментом для описания локальных и 2-локальных
дифференцирований Ъ является следующее прдложение.
Предложение 1. Линейное отображение Ъ ^ Ъ является дифференцированием
тогда и только тогда, когда матрица Б в стандартном базисе (1) имеет следующий вид:
/0 0000 0 0 \
«2,2 0
00 00 00 00
0
«3,3
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 -Й2,2 + Я 3,3 0 0 00
V
00 00
0 -Я3,3
/
Здесь действие Б соответствует умножению матрицы на правый столбец. Доказательство. Доказательство проводится прямой проверкой свойства дифференцирования на алгебре Ъ. □
Пусть сЯ. - алгебра. Линейное отображение V: ^ ^ ^ называется локальным дифференцированием, если для любого элемента I £ Л существует дифференцирование Л ^ Л такое, что V(x) = £(х).
Теорема 2. Каждое локальное дифференцирование на простой алгебре Ъ является дифференцированием.
Доказательство. Пусть V - локальное дифференцирование на Ъ, и пусть А =
(а;,;)[,; = 1 - матрица V. Тогда V(v1) = «2 2^1 = а2,2^1, V(P2) = (а2 2 + ^2)^2 =
«3,3^2,
V(е12) = = а5,5е12, V(р) = —(аР2 + ^Р5)р = &7,7р а остальные
компоненты матрицы А равны нулю. В то же время,
V( V! + ^ + ^1,2 + р) = V(Vl) + V(V2) + V(el,2) + V(р),
и
V(Vl + ^2 + ^1,2 + р) = а2,2+Г2+е12+Р^1 + (а2,2+
г1+г2+е1,2+р
(2) +
а55 , )^2 + а55 , ^,2 — (^2 , +^5 , )р.В силу (2),
5,5 имеем
а
5,5
^1+^2 + е1,2+Р 2,2
+ (^ 2 , + а
а5,5
^1+^2+е1,2+Р 5,5
>2 +
+аГ г , £?1,2 — ( а2>2 , + а5 5 , )р
5,5 г
5,5
= «2>1 + (а2,2 + аЙ>2 + — К,2 + <5^
Р
Р
„ 1/2 I "2 "1 I ®1,2 Р I Р "11 ^1,2 т-т
Отсюда, = ^2+^5,^2+^5 = ^2 + ^5 . Поэтому, в силу
предложения 1, V является дифференцированием. Доказательство завершено. □
В следующей теореме мы даем еще одну характеристику дифференцирований на алгебре Ъ. Пусть ^ - алгебра. Отображение (не обязательно линейное) Л: ^ ^ ^ называется 2-локальным дифференцированием, если для любых элементов X, у £ ^ существует дифференцирование Л ^ ^ такое, что Л(х) = ^Ху(х), Л(у) =
Р
,е1,2
0
0
0х,у(У).
Теорема 3. Каждое 2-локальное дифференцирование на простой алгебре Ъ является дифференцированием.
Доказательство. Пусть А - 2-локальное дифференцирование на Ъ, и пусть для элементов а, Ь Е Ъ 0аЬ - дифференцирование на Ъ такое, что 0аЬ(а) = А(а),
0а,ь(Ь) = А(Ь), и, пусть АаЬ = - матрица дифференцирования Ба Ь. Пусь
а = Л11 + + ^3^2 + ^4е1,1 + ^5е1,2 + ^ве2,2 + А7Р - произвольный элемент
из Ъ. Для каждого V Е Ъ существует дифференцирование В2аа такое, что А( V) = Бу>а(у), А(а) =
,а(а)- Тогда из °2Л,2 (VI) = , а( V1), V еЪ следуетчто
21,2 21,а ^ 21,2 21,а ^ Л г л р. г л 21,2 .
а22 V1 = а22 V1. Отсюда, а22 = а22 . Поэтому, А(а) = и21а(а) = а22 А2у1 +
( а22 + а^5 )А^2 + а^5 А5е12 — (а22 + а^5 )А7р. Аналогично, из
^,2^2) = Яу2,а&2), V ЕЪ следуетчто А(а) = 0^(0) = аv22аА2Vl + Г 2;,2 . 2;,2\ Л . 2;,а Л , 2;,а . 2;,ач Л _
( а22 + а5 5 )АзV2 + а5 5 А5в1,2 — (а22 + а5 5 )А7Р. Точно также мы имеем л /■ \ гч ? \ е12,а ~ , г е1;,а , е12,а\„ , е1;,2.,
А(а) = 0еХ21а(а) = а22 А2Vl + (а22 + а55 )АзV2 + а55 А5в1,- — (аа + а<е^2,а)А7Р, А(а) = 0р,а(а) = ар',2А2Vl + (ар2 + а1р;^)АзV2 + а5'5А5е1,2 — (а1- + а152)А7р. Отсюда,А(а) = 021,а(а) = 022,а(а) = 0е12,а(а) = 0р,а(а) = аV¡2А2Vl + (а2?\ + а525w)АзV2 + а5:^А5е1,2 — (а1- + ар5)А7р для любых V, Ш, г, t Е Ъ. Заметим, что компоненты этой последней суммы не зависят от элемента а. Поэтому отображение А линейно и является локальным дифференцированием.
Из А( v2 +р) = А^2) + А(р) мыполучим(а022+р + аа5 22+ру2 —
г а,22+р . а,22+р\ г 22,-^ . v2,wл г р£ . рХл
( а2,22 1 + а552 )Р = (а2,2 + а2,25 >2 — (аР,2 + а^5)Р. ^сюд^
а,22+р . а,22+р _ 22,\^ > 22№ _ рХ . рХ , .
а2,2 + а5,5 = а2,2 + а5,5 = а2,2 + а5,5.
Из А(v1 +v2 + е12) = А^) + А^2) + А(е12) мы получим а221+г'2+е1,2 =
21,2 а,21+22+е12 а,21+22+е12 22№ а,21+22+е12 е12,г
а 1 , а + а = а 2 + а 2 , а = а . Поэтому,
22,\^ . 2^ 2-1,2 . е1,2,г рХ . рХ
а22 + а^ = а22 + а5 5 . В силу (3), мы также получим что ^2+^5 =
а212' + а^' . Поэтому, в силу предложения 1, А является дифференцированием. Это завершает доказательство. □
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Arzikulov. A characterization of derivations and automorphisms on some simple algebras / F. Arzikulov, F. Urinboyev, Sh. Ergasheva // Ural Mathematical Journal. 2022. Vol. 8. № 2, P. 46-58.
2. R. Kadison. Local derivations / R. Kadison // Journal of Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494-509.
3. Исаев И. М. Пример простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств / И. М. Исаев, А. В. Кислицин // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 3. С.
252-252
4. I. M. Isaev. Example of simple finite dimensional algebra with no finite basis of its identities / I. M. Isaev, A. V. Kislitsin // Communications in Algebra. 2013. Vol. 41. № 12. P 4593-4601.
5. A. V. Kislitsin. An example of a central simple commutative finite-dimensional algebra with an infinite basis of identities / A. V. Kislitsin // Algebra and Logic. 2015. Vol. 54. P. 204-210.
6. Кислицин А. В. Простые конечномерные алгебры, не имеющие конечного базиса тождеств / А. В. Кислицин // Сибирский математический журнал. 2017. Т. 58. № 3. С. 591-598.
7. P. Semrl. Local automorphisms and derivations on 5(H). / P. Semrl // Proceedings of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 125. P. 2677-2680.
