CC BY
0ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 512.554.1
https://doi.org/10.52754/16948645 2023 2 33
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ И АВТОМОРФИЗМОВ НА АЛГЕБРАХ ИСАЕВА-КИСЛИЦИНА
Арзикулов Фарходжон Нематжонович, д.ф.-м. н., доцент,
arzikulovfn@gmail.com В.И. Институт математики имени Романовского Академии наук Узбекистана, Алмазарский район, улица Университетская 9. Ташкент,
Узбекистан,
АГУ, улица Университетская 9, Андижан, Узбекистан Уринбоев Фуркат Садикджанович, аспирант НамГУ,
furqatjonforever@gmail.com НамГУ, улица Уйчи 316, Наманган, Узбекистан Абдумуминов Мурод, Магистр в НамГУ НамГУ, улица Уйчи 316, Наманган, Узбекистан
Аннотация: В настоящей работе изучаются простые алгебры, не принадлежащие к известным классам алгебр (ассоциативным алгебрам, альтернативным алгебрам, алгебрам Ли, йордановым алгебрам и т. д.). Такими алгебрами являются простые конечномерные алгебры над полем характеристики 0 без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным. В настоящей работе мы рассматриваем такую алгебру - простую семимерную алгебру Ъ. Мы доказываем, что каждое локальное дифференцирование алгебры Ъ является дифференцированием и каждое 2-локальное дифференцирование алгебры Ъ также является дифференцированием. А также доказываем, что каждый локальный автоморфизм алгебры Ъ является автоморфизмом и каждый 2-локальный автоморфизм алгебры Ъ также является автоморфизмом.
Ключевые слова: простая алгебра, дифференцирование, локальное дифференцирование, 2-локальное дифференцирование, автоморфизм, локальный автоморфизм, 2-локальный автоморфизм, базис тождеств.
A CHARACTERIZATION OF DERIVATIONS ON ISAYEV-KISLITSIN ALGEBRAS
Farhodjon Arzikulov Nematjonovich, D.Sc., Associate Professor,
arzikulovfn@gmail.com Institute of Mathematics named after Romanovsky Academy Sciences of Uzbekistan, Olmazor district, University street 9, Tashkent, Uzbekistan, ASU, University street 129, Andijan, Uzbekistan Furkat Urinboev Sadikdzhanovich, postgraduate student of NamSU,
furqatjonforever@gmail.com NamSU, Uychi street 316, Namangan, Uzbekistan Murod Abdumuminov, Master at NamSU NamSU, Uychi street 316, Namangan, Uzbekistan
Abstract:: In the present paper we study simple algebras, which do not belong to the well-known classes of algebras (associative algebras, alternative algebras, Lie algebras, Jordan algebras, etc.). The simple finite-dimensional algebras over a field of characteristic 0 without finite basis of identities, constructed by Isayev and Kislitsin, are such algebras. In the present paper we consider such algebras: the simple seven-dimensional algebra Ъ. We prove that every local derivation of the algebra Ъ is a derivation, and every 2-local derivation of the algebra Ъ is also a derivation. We also prove that every local automorphism of the algebra Ъ is an automorphism, and every 2-local automorphism of the algebra Ъ is also an automorphism.
Keywords: Simple algebra, Derivation, Local derivation, 2-Local derivation, Automorphism, Local automorphism, 2-Local automorphism, Basis of identities.
1. Введение. В настоящей работе изучаются локальные и 2-локальные дифференцирования простых конечномерных алгебр без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным в [3].
Понятие локальных дифференцирований было введено и исследовано Кадисоном в [2]. Кадисон доказал, что всякое непрерывное локальное дифференцирование алгебры фон Неймана в двойственный банахов бимодуль является дифференцированием. Аналогичное понятие 2-локальных производных было введено Шёмрлем. Шёмрл доказал, что любое 2-локальное дифференцирование алгебры В (Н) всех линейных ограниченных операторов в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н является дифференцированием [7]. Впоследствии появилось множество новых результатов, связанных с описанием локальных и 2-локальных дифференцирований различных алгебр.
В настоящей статье мы продолжаем изучение дифференцирований и автоморфизмов простых алгебр. В данной работе изучены дифференцирования и автоморфизмы простых алгебр, не принадлежащих известным классам алгебр (коммутативным, ассоциативным, альтернативным, лиевым, жордановым и т. д.). Такими алгебрами являются простые конечномерные алгебры без конечного базиса тождеств, построенные Исаевым и Кислициным в работе [3]. А именно, мы доказываем, что любое локальное дифференцирование простой конечномерной алгебры без конечного базиса тождеств, построенное Исаевым и Кислициным в [3], является дифференцированием, а всякое 2-локальное дифференцирование этой алгебры также является дифференцированием. Мы также доказываем, что любой локальный автоморфизм простой конечномерной алгебры без конечного базиса тождеств, построенной Исаевым и Кислициным в [3], является автоморфизмом, а всякий 2-локальный автоморфизм этой алгебры также является автоморфизмом. В работе [1] изучены локальные и 2-локальные дифференцирования и автоморфизмы других таких алгебр, построенных Кислициным в [5], [6]. Отметим, что центральные простые конечномерные алгебры, не имеющие конечного базиса тождеств, рассматривались также в работе [4] Исаева и Кислицина.
2. Простая конечномерная алгебра без конечного базиса тождеств. Пусть Ъ =
(1,V1,V2,6ll,6\2,e22,V)w - алгебра над полем F характеристики 0, ненулевые произведения базисных элементов из
[l,v1,V2,e11,e12,e22,v] (1)
определяются правилами V1e11 = V1,V1e12 = V2,V2e22 =v2,v2p = 1. Тогда Ъ -простая алгебра без конечного базиса тождеств [3]. Пусть а. - элемент из Ъ. Тогда мы можем написать а = а11 + a2v1 + a3v2 + а4е11 + а5е12 + а6е22 + а7р, для некоторых элементов 0-1, 0-2, , 0.4, , &7 в F. На протяжении всей статьи пусть а. =
(а,1, а2, &4, а7)Т. И наоборот, если v = (а.1, &2, аз, а4, а5, ав, а7)Т - вектор-
столбец с &2, «3, «4, «5, «6, «7 в то на протяжении всей статьи через V будем обозначать элемент + + а3^2 + а4еХ1 + а5е12 + а6е22 + а7р,тоесть, Т) =
ах1 + а2^1 + а3^2 + а4е11 + а5е12 + а6е22 + а7р.
Пусть Л- алгебра. Линейное отображение Б: Л ^ Л называется дифференцированием, если Б(ху) = Б(х)у + хБ(у) для любых двух элементов X, у £ Л. Нашим основным инструментом для описания локальных и 2-локальных дифференцирований Ъ является следующее предложение.
Предложение 1. Линейное отображение Б: Ъ ^ Ъ является дифференцированием тогда и только тогда, когда матрица Б в стандартном базисе (1) имеет следующий вид:
'0 0 0
0 0 00 00 00
V
0 0
«2,2 0
0 а3,3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
\
00
00
0 -«2,2 + «3,3 0 0 00
00 00
0 -а
3,3
)
Здесь действие Б соответствует умножению матрицы на правый столбец. Доказательство. Доказательство проводится прямой проверкой свойства дифференцирования на алгебре Ъ. □
Пусть Л - алгебра. Линейное отображение V: Л ^ Л называется локальным дифференцированием, если для любого элемента X £ Л существует дифференцирование Б: Л ^ Л такое, что V(x) = Б(х).
Теорема 2. Каждое локальное дифференцирование на простой алгебре Ъ является дифференцированием.
Доказательство. Пусть V - локальное дифференцирование на Ъ, и пусть А = ( «¿ у)7, у=1 - матрица V. Тогда V(v1) = а^г^ = «2,2Р1, V(v2) = (а^ + а^)^ =
«3,3^2,
V(e1,2) = а^е12 = а55е12^(р) = -(аР2 + аР5)р = а77р а остальные компоненты матрицы А равны нулю. В то же время,
V(Vl + Т2 + ^12 + Р) = V(Vl) + V(V2) + V(el2) + V(p), (2)
Г7/ I I I ч 21+22+е12+Р . г 2.+у2+е12+Р .
V( + т2 + е12 + р) = а^ 2 12 + (а^ 2 12 р +
и
^1+^2+е12+р
«5,5
имеем
>2 + «515
51+52+е12+р
/ 51 " е12 — (а2,2
51+52+е12+Р
+ «
51+52+е12+Р 5,5
)р. В силу (2),
а~, о + («5 2
51+52+е12+Р„ 2,2
51+52+е12+Р, 5,5
51+52 +е12+Р
+ «
51+52+е12+Р 5,5
>2 +
+а; V -2 ■ — ^12 - ( а2^е12+Р + а215+22+е12+Р)р
= а2>1 + (а2,22 + а525)т2 + - («Р,2 + «Р,5)Р.
52 52 51 е12 Р Р 51 е12
Отсюда, а2 2 + «5 5 = а2 2 + а5 5 , а2 2 + а5 5 = а2 2 + а5 5 . Поэтому, в силу предложения 1, V является дифференцированием. Доказательство завершено. □
существует дифференцирование DXy. Л ^ Л такое, что А(х) = DXy(x), А(у) =
В следующей теореме мы даем еще одну характеристику дифференцирований на алгебре Ъ. Пусть <А. - алгебра. Отображение (не обязательно линейное) А: <Л ^ <Л называется 2-локальным дифференцированием, если для любых элементов X, у £ <А
-- тт-г-----.--г-------- -А,у-~-
ох,у(у).
Теорема 3. Каждое 2-локальное дифференцирование на простой алгебре Ъ является дифференцированием.
Доказательство. Пусть А - 2-локальное дифференцирование на Ъ, и пусть для элементов а, Ь £ Ъ 0аЬ - дифференцирование на Ъ такое, что 0аЬ(а) = А(а),
0а,ь(Ь) = А(Ь), и, пусть АаЬ = - матрица дифференцирования Ба Ь. Пусь
а = Л11 + + ^3^2 + ^4еи + ^5е12 + ^ве22 + ^7Р - произвольный элемент из
Ъ. Для каждого V £ Ъ существует дифференцирование 0уа такое, что А(р) =
ИР,а(р), А(а) = ИР,а(а).
ТоГда из Ощу (VI) = 0v1,а(v1), V £Ъ следует что а22 v1 = а22 v1. Отсюда, а22 = а22 . Поэтому, А(а) = иУ1а(а) = а22 А2у1 + ( ау12а + + ау1^аЛ5е12 — (ау12а + ау1^а)Л7р. Аналогично, из 0У2У^2) =
V £Ъ следует что А(а) = 0У2а(а) = а222аЛ^1 + (ау2-^ + а5 5 )Л.зV2 + а5 5 ^5е12 — (а22 + а5 5 )Л7р. Точно также мы имеем
А(а) = Dei2 a(a) = a^hvi + (а^ + а1Ц,а)ХзУ2 + а^^е^ — (а^ + ае5[2'а)^7Р, А(а) = Dp a(a) = ag^^ + (а+ af5)^3^2 + а'^^е^ —
рр v f v
(а2,2 + а'5)Л7Р. Отсюда,Л(а) = DVlia(d) = Dv2ia(a) = De12ia(a) = DPia(а) = a"112^2v1 + (а"2^ + а"2^)Х3у2 + ae2'Zh5e12 — (а'2 + ар1)Л7р для любых v, w, Z, t £ Ъ. Заметим, что компоненты этой последней суммы не зависят от элемента а. Поэтому отображение А линейно и является локальным дифференцированием.
Из А(v2 +р) = A(v2) + А(р) мы получим г a,v2+p , a,v2+p\ г a,v2+p , a,v2+p\ r v2,w , v2,w% ^ p,t ,
(а2,2 2 + а5,Б )v2 — (а^22 2 + ЧБ2 )P = (а2*2 + )v2 — (арР,2 +
ар,^)р. Отсюда,
a,v2+p . a,v2+p _ v2,w . v2,w _ p,t . p,t ,
а2,2 + а5,5 = а2,2 + а5,5 = а2,2 + а5,5.
Из А( vt +v2 + е12) = A(v±) + A(v2) + А(е12) мы получим aa^21+V2+el2 =
v1,v a,v1+v2+e12 , a,v1+v2+e12 v2,w , v2,w a,v1+v2+e12 e12,z „ av^^,aa21 2 12+aa,v1 2 = аг22 +^5 , aa/ 2 12=ae15 . ^этом^
v2,w . v2,w v1,v . e12,z ... p,t . p,t v1,v .
a22 + a^ = a2 2 + a^ . В силу (3), мы также получим что a2 2 + а5 5 = а^ +
ae12'Z. Поэтому, в силу предложения 1, А является дифференцированием. Это завершает доказательство. □
Предложение 4. Линейное отображение Ф'.Ъ ^ Ъ является автоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица Ф в стандартном базисе (1) имеет следующий вид:
1 0 0 0 0 0 0
0 «2,2 0 0 0 0 0
0 0 а2,2а5,5 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 «5,5 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
\
1
V
а2,2а5,5
/
где 0-2,2, «5,5 _ ненулевые элементы из Г. Здесь действие Ф соответствует умножению матрицы на правый столбец.
Доказательство. Пусть В = (¿¿,у)7у=1 — матрица автоморфизма Ф. Тогда существует дифференцирование Б с матрицойЛ = («¿у)^-^ такое, что
В = еЛ
Известно, что
л2 Л3
где Е - единичная матрица. Следовательно,
23
В = Е +Л+ — + — + •••. (4)
2! 3! 4 у
В силу (4) и предложения 1 В равно следующей матрице
1 0
(Л 'Уа2,2 0 Е ¿ = 0
0 0 0 0 0
\
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
^ОТ ( «2,2 + «5,5) 1 Е=0 ¿! 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 у ОТ «5,5 Е ¿=0 ¿! 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0
\
ОТ (-1) Ч«2,2 + «5,5) 1 ¿ = 0
/
/
V
1 0 0 0 0 0 0
0 £>«2,2 0 0 0 0 0
0 0 «2,2 + «5,5 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 «5,5 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
\
— I
/
Последняя матрица является искомой матрицей. Доказательство завершено. □
Пусть Л - алгебра. Линейное отображение V: Л ^ Л называется локальным автоморфизмом, если для любого элемента I £ Л существует автоморфизм фх: Л ^ Л такой, что V(I) = фх(1).
Теорема 5. Каждый локальный автоморфизм на простой алгебре Ъ является автоморфизмом.
Доказательство. Пусть V - локальный автоморфизм на Ъ, и, пусть А = (ау)^=1 -матрица V. Тогда
V(Vl) = а^= «2,2^1, V(V2) = «222«525^2 = «3,3^2,
V(e12) = «5152£?12 = а5,5£?12^(р) = -р^р = а7,7р
"2,2 "5,5
а остальные компоненты матрицы Л равны нулю. В то же время, V(V1 + ^ + в12 + р) = V(Vl) + V(V2) + V(el2) + V(р), (5)
и
V(Vl + ^2 + ^12 + р) = а2,2
_ ^21+22+е12+Р
+ «212
21+22+е12+» 21+22 + е12+Р
«
5,5
^2 +
21+22+е12+р . 1
«5,5 е12 + ?1+»2+е12+Р(7^1+^2+в12+р р.
"2,2 "5,5
По (5) имеем 21+22+е12+Р
2,2 + «2,2
21+22+е12+Р 5,5 - "
2 12 1 )р2 +
21 +22+Й12 +Р ^21 +22+Й12 + Р 5,5
,__1_
^ 12 + ^1+г"2+е12+Р ^1+»2+е12+Р р
2,2
•■5,5
= + «Й«^ + «511^12 + ТРТ^р.
"2,2 "5,5
Следовательно,
21+22+е12+Р _ 21 21+22+е12+Р 21+22 + е12+Р _ ^2^2
^^ ^ _ «2 2, «2 2 р _ ««с
2,2
5,5
2,2 5,5
«
21+22+е12+Р _ 612 „21+22 + е12+Р 21+22+е12+Р _ Р
= «
ь5,5 =«5,5, «2,2
Отсюда следует, что
«
2 2
2
21 512
2,2 5,5
2,2 5,5
2 2 _ ^ 12 Р Р _ ^ « « = « « , « « = « «
5,5
21 512
= «2,2«5,5.
2,2 5,5
и
Л =
1 0 0 0 0
0 21 «2,2 0 0 0
0 0 21 512 «2,2 «5,5 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 «
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
512 5,5
0 0
0 0 0 1 0
0 0
0 0 0 0
\
V
»1 е12 "2,2 "5,5
)
Следовательно, по предложению 4 V - автоморфизм. На этом доказательство заканчивается. □
Отображение (не обязательно линейное) Л: Л ^ Л называется 2-локальным
1
автоморфизмом, если для любых элементов X, у £ <Л. существует автоморфизм Фх,у: <А^<А такой, что А(х) = фх,у(х), А(у) = фх,у(у).
Теорема 6. Каждый 2-локальный автоморфизм на простой алгебре Ъ является автоморфизмом.
Доказательство. Пусть А - 2-локальный автоморфизм на Ъ, и пусть для элементов а, Ь £ Ъ, Фаь - автоморфизм на Ъ такой, что Фа,ь(а) = А(а), ФаьЬ(Ь) = А(Ь), и пусть Аа Ь = (а^ )^ = 1 - матрица Фа,ь. Тогда для любых V, 2 £Ъ существует автоморфизм Фу2 такой, что
а(у) = <bv,z(v),b(z) = &v,z(Z).
lv,z
Пусть Avz = ( av 'z )fj=1 - матрица автоморфизма Фvz.
Пусть а = X1I + X2V1 + A3V2 + Л4611 + Л5612 + ¿6e22 + ¿7V - произвольный элемент из Ъ. Для каждого V Е Ъ существует автоморфизм Ф^ а такой, что
а(у) = Фv,а(v)' А(а) = Фv, а(о).
Затем из
Фv1,v(Vl) = Фv1'аЫ' v ЕЪ
следует, что
v1,v _ v1,a
а2,2 V1 = а2,2 V1.
Следовательно,
v1,v _ v1,a
а2,2 = а2,2 .
Поэтому,
v1,v л , v1,a v1,a
А(а) = Ф v1,а(а) = Л11 + а^2 ^v1 + а^ X3V2 + ¿4^11
+аУ55^5е12 + Л6е22 + V1,a V1,a^7P.
а2,2 а5,5
Точно так же из
Фv2'v(У2) = v2,а(У2)' У ЕЪ
следует, что
А(а) = Фv2' а( а) = X1I + + лз^2 + ¿4^11
+°55Л5е12 + Л6е22 + V2'<1nV2'a ¿7 V.
а22 а5'5
Точно так же у нас есть
А( а) = Ф в12' а( а) = +¿11 + а^2аХ2У1 + а212'а ае5Ц'а Л3У2
+Л4е11 + аеББ,РЛ5е12 + Л6е22 + е^,а e^,a ¿7V'
а2'2 а5'5
А(а) = Фр> а( а) = Л1I + +
+Л4е11 + а5'5Л5е12 + Л6е22 + VVVV Л7Р.
а2'2а5'5
Следовательно,
А(а) = Фv1' а( а) = Фv2' а( а) = Фе12,а(а) = Фр, а( = ¿11 + + tftz av25W Л3У2 + ¿4^11 + а<2Ц^Л5е12 + ¿6^22 +
p,t p,t
Л7Р.
12,2Й5,5
для любых V, Ш, г, t £ Заметим, что компоненты этой последней суммы не зависят от элемента а. Поэтому отображение Л линейно и является локальным автоморфизмом. Линейный оператор Л имеет следующую матрицу
А =
1 0 0 0 0 0 0
0 v1,v «2,2 0 0 0 0 0
0 0 r2,w r2,w «2,2 «5,5 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 «5,5 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 _P,t
\
V
Из Д( V2 + р) = д(р2) + Д(р) мы получаем
й2,2а5,5
/
a,r2+p^a,r2+p
«2,2 «5,5 Следовательно,
, -__1_ _ v2,w r2,w .
V2 + a,V2+p a,V2+pр = «2,2 «5,5 V2 +
2,2
'5,5
p,t p,t р. a a a2,2a5,5
a,f2+p a,f2+p _ v2,w r2,w _ p,t p,t
«2,2 «5,5 = «2,2 «5,5 = «2,2«5,5.
Из Д( + v2 + e12) = Д(^1) + A(v2) + Д(е12) мы получаем
a,f1+f2+e12 _ r^r
« = «
2,2 , «2,2 e12,z
a,f1+r2+e12 a,f1+f2+e12 _ v2,w r2,w
«
5,5
= «
2,2 «5,5
a,f1+f2+e12 _
«5,5 = «5,5 .
Следовательно,
r2,w r2,w __e12,z
«2,2 «5,5 = «2,2 «5,5 .
В силу (6) также имеем p,t p,t _ e12,z
«2,2«5,5 = «2,2 «5,5 .
Таким образом,
А =
1 0 0 0 0 0
0 v1,v «2,2 0 0 0 0
0 0 e12,z «2,2 «5,5 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 e12,z «s1s 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
\
V
a 1 a 12 a2,2 a5,5
/
(6)
Следовательно, по предложению 4 Д - автоморфизм. Доказательство завершено. □
1
1
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Arzikulov. A characterization of derivations and automorphisms on some simple algebras /
F. Arzikulov, F. Urinboyev, Sh. Ergasheva // Ural Mathematical Journal. 2022. Vol. 8. № 2, P. 46-58.
2. R. Kadison. Local derivations / R. Kadison // Journal of Algebra. 1990. Vol. 130. P. 494-509.
3. Исаев И. М. Пример простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств / И. М. Исаев, А. В. Кислицин // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 3. С. 252-252
4. I. M. Isaev. Example of simple finite dimensional algebra with no finite basis of its identities / I. M. Isaev, A. V. Kislitsin // Communications in Algebra. 2013. Vol. 41. № 12. P 4593-4601.
5. A. V. Kislitsin. An example of a central simple commutative finite-dimensional algebra with an infinite basis of identities / A. V. Kislitsin // Algebra and Logic. 2015. Vol. 54. P. 204-210.
6. Кислицин А. В. Простые конечномерные алгебры, не имеющие конечного базиса тождеств / А. В. Кислицин // Сибирский математический журнал. 2017. Т. 58. № 3. С. 591-598.
7. P. Semrl. Local automorphisms and derivations on 5(H). / P. Semrl // Proceedings of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 125. P. 2677-2680.
