CC BY
11
УДК 512.552.4
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).23-26
О КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ ТОЖДЕСТВ С АВТОМОРФИЗМАМИ
ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ВЛОЖЕННЫХ В АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
А. В. Кислицин
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия Алтайский государственный педагогический университет, г. Барнаул, Россия
Информация о статье Аннотация. Изучаются тождества с автоморфизмами для векторных пространств, вло-
Дата поступления женных в ассоциативные алгебры. Найдены новые условия, влекущие коммутатив-
17.02.2018 ность векторных пространств. Получены новые условия конечной базируемости тож-
деств с автоморфизмами векторных пространств.
Дата принятия в печать 29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Ключевые слова
Мультипликативное векторное пространство, автоморфизм векторного пространства, тождество векторного пространства, базис тождеств, конечно базируемое пространство, бесконечно базируемое пространство, теоремы коммутативности
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках научного проекта № 16-11-10002
ON THE FINITE BASIS OF IDENTITIES WITH AUTOMORPHISMS FOR THE VECTOR SPACES EMBEDDED INTO ASSOCIATIVE ALGEBRAS
A. V. Kislitsin
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia Altai State Pedagogical University, Barnaul, Russia
Article info Abstract. In this paper, we study identities with automorphisms for vector spaces embed-
Received ded into associative algebras. We find a new condition which implies commutativity of a
17.02.2018 vector space. As corollary, we obtain a new condition on the finite basis of identities with
automorphisms for the vector space.
Accepted 29.03.2018
Available online 25.06.2018
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 23-26
-ISSN 1812-3996
Keywords
Multiplicative vector space, automorphism of vector space, identity of vector space, basis of identities, finite based space, nonfinite based space, commutativity theorem
Acknowledgements
The reported study was funded RSF according to the research project № 16-11-10002
Везде в работе под словом «кольцо» подразумевается ассоциативное кольцо с единицей, а под словом «алгебра» - линейная ассоциативная алгебра. Введем основные определения, используемые в работе. Пусть Г - некоторое поле, -свободная ассоциативная алгебра от множества свободных образующих X, V- векторное пространство над полем Г, являющееся подпространством некоторой Г-алгебры А. В этом случае назовем пространство V мультипликативным векторным пространством или векторным пространством, вложенным в алгебру А, а алгебру А - обертывающей для пространства V. Скажем, что многочлен / = /(хх,х2, ...,х„) 6 F(X) является тождеством векторного пространства V, если у2, ..., рп) = 0 в алгебре А при любых 6 7. Понятие
тождества векторного пространства введено в работах [1; 2] по аналогии с понятием слабого тождества ассоциативно-лиевой пары, рассмотренного ранее Ю.П. Размысловым [3].
Множество многочленов С = {д1,д2, — } назовем базисом тождеств пространства V, если все многочлены множества в являются тождествами V и все тождества пространства V следуют из совокупности в. В случае существования конечного множества в пространство Vназывают конечно базируемым (КБ-пространством). Если же не существует конечного множества в, обладающего указанным свойством, то скажем, что пространство V бесконечно базируемо, или не конечно базируемо (НКБ-пространство).
Автоморфизмом векторного пространства V, вложенного в алгебру А, называется такой автоморфизм ^ алгебры А, при котором ф(У) £ 7. Примером автоморфизма векторного пространства V может служить любой тождественный автоморфизм
К 70-летнему юбилею профессора Виталия Анатольевича Романькова
алгебры A. Центром мультипликативного векторного пространства V называется подмножество элементов из V, которые коммутируют со всеми элементами V. В обозначениях Cent 7 = {хЕ 7|ху = = ух при всех у Е V}. При этом произведения ху и ух могут не лежать в V. Центр любого мультипликативного векторного пространства содержит 0; если пространство содержит 1, то 1 Е Cent 7. Легко проверить, что центр векторного пространства V образует подпространство в V.
При изучении мультипликативных векторных пространств необходимо помнить, что понятие следования тождеств нельзя понимать так же, как понятие следования тождеств алгебр, а именно под следствиями тождества / = /(хх, х2,..., х„) алгебры A понимается любой многочлен, полученный из f при помощи умножения справа и слева на элементы F(X), а также подстановок вместо переменных хх,х2, ...,х„ произвольных элементов F(X). Если речь идет о тождестве /(хх,х2,... ,х„) мультипликативного векторного пространства V, то для получения следствий из него также допускается умножение f на элементы F(X), но вместо переменных хх,х2, ...,х„ допускается только подстановка произвольных линейных комбинаций переменных множества X. Многочлен, полученный из тождества f пространства V при помощи замены переменной на произведение переменных, тождеством V, вообще говоря, не является.
Несмотря на схожесть понятия тождества векторного пространства с понятием тождества алгебры, эти понятия в некоторых случаях обнаруживают существенные различия. Например, КБ-ал-гебра, рассматриваемая как векторное пространство, может быть НКБ-пространством. Тождества
ISSN 1812-3996-
векторных пространств изучались ранее И.М. Исаевым и автором настоящей работы [1; 2; 4]. В частности, доказано, что произвольное пространство V над полем F, вложенное в F-алгебру и удовлетворяющее тождеству коммутативности, имеет конечный базис тождеств [2, теорема 1.6]. В связи с этим результатом представляет интерес поиск условий, влекущих коммутативность в произвольном векторном пространстве, вложенном в алгебру, поскольку фактически такие условия немедленно повлекут конечную базируемость тождеств в таком пространстве. Например, в работе [5] показано, что каждое из тождеств (ху)" = хиуи, (ху)" = (ух)и, где п > 2 - фиксированное целое число, влечет коммутативность (и следовательно, конечную базируемость тождеств) в произвольном мультипликативном векторном пространстве над полем нулевой характеристики с единицей. Векторное пространство называется коммутативным, если оно удовлетворяет тождеству коммутативности [х,у] = 0.
В работах [6; 7] исследуется вопрос о коммутативности колец, удовлетворяющих условию /(xn+1) ± ^(хп) 6 Cent Д, где f и g - автоморфизмы кольца R, Cent R - центр R. Показано, что при конкретных значениях n либо при ограничениях на автоморфизмы или характеристику кольца кольцо, удовлетворяющее условию /(xn+1) ± g(x") 6 Cent Д, является коммутативным. В настоящей работе исследуется вопрос о том, когда аналогичные условия с автоморфизмами повлекут коммутативность произвольного мультипликативного векторного пространства.
Теорема. Пусть F - поле нулевой характеристики, V - векторное пространство над полем F, вложенное в алгебру A с единицей, причем единица алгебры A лежит в V. Если для некоторых автоморфизмов а, ß пространства V при фиксированном п > 1 и произвольном х 6 7 выполняется условие а(хи+1) + ß(x") 6 Cent V, то пространство V коммутативно.
Доказательство. Пусть в начале n = 1. Тогда исходное соотношение
a(xn+1) + ß(x") 6 Cent 7 (1)
примет вид
а(х2) + ß(x) 6 Cent 7. (2)
Сделаем замену х ^ —х. Такая замена допустима, поскольку мы не подставляем вместо переменной произведения переменных. Воспользовавшись свойствами автоморфизмов, получим
а(х2) — ß(x) 6 Cent 7. (3)
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 23-26
Вычитая из соотношения (2) соотношение (3), получим, что у&(2х) 6 Cent 7. Следовательно, 2х 6 Cent 7. Последнее равносильно выполнимости тождества 2[х,у] = 0 в пространстве V. Поскольку char F = 0, получаем, что в V выполняется тождество [х,у] = 0, т. е. пространство V коммутативно.
Пусть теперь п > 1. Не ограничивая общности, предположим, что n - нечетное. Снова сделаем в (1) замену х ^ —х. Получим
a(xn+1) — £(х") 6 Cent 7. (4)
Складывая соотношения (1) и (4), а затем вычитая (4) из (1), получим, что a(2xn+1) 6 Cent 7, £(2х") 6 Cent 7, откуда
2хи+1,2хи 6 Cent 7. (5)
Далее, воспользовавшись свойствами коммутаторов, получим, что [2хи+1,у] = х[2х",у] + + 2[х,у]х". Принимая во внимание (5), получим, что 2[х,у]х" = 0. Поскольку char F = 0, то
[х,у]хи = 0, (6)
т. е. в V выполняется тождество (6).
Применив в (6) подстановку х ^ х + 1, будем иметь [х,у](х + 1)" = 0. Раскрывая скобки, получим, что
[х,у](хи + C^x"-1 + C2x"-2 +
+ --+qr1x +1) = 0. (7)
Умножив (7) справа на х"-1 и воспользовавшись (6), получим
[х,у]хи-1 = 0. (8)
Далее заменим в (8) х ^ х + 1, после чего, раскрывая скобки и пользуясь (8), получим, что [х,у]хи-2 = 0. Продолжая указанный процесс далее, через конечное число шагов получим, что [х,у] = 0 - тождество в V, т. е. векторное пространство V коммутативно. Теорема доказана.
Как было сказано выше, из доказанной теоремы немедленно следует, что векторное пространство, удовлетворяющее условию теоремы, будет иметь конечный базис тождеств. Полагая в условии теоремы автоморфизмы а и ^ тождественными, можно показать справедливость следующего утверждения.
Следствие. Пусть F- поле нулевой характеристики, V - векторное пространство над полем F, вложенное в алгебру A с единицей, причем единица алгебры A лежит в V. Если V удовлетворяет тождеству [xn+1 + х", у] = 0 при фиксированном п > 1, то пространство V коммутативно, в частности оно имеет конечный базис тождеств.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 23-26
-ISSN 1812-3996
Из этого утверждения вытекает, что тождество хи+1 = х" при фиксированном п > 1 влечет конечную базируемость тождеств и коммутативность в мультипликативном векторном пространстве над полем нечетной характеристики, содержащем единицу обертывающей алгебры.
Стоит отметить, что если из тождества вида х" = хт (п, m - различные фиксированные целые положительные числа, хотя бы одно из которых больше 1) следует коммутативность кольца или алгебры, из него может не следовать коммутативность
векторного пространства. Например, хорошо известно, что любое ассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству х" = х (п > 1 - фиксированное целое), является коммутативным. В работе [8] доказано, что векторное пространство
Я = {(о 6
над конечным полем GF(q) удовлетворяет тождеству х?2-ч+1 = х. При этом E не является коммутативным и не имеет конечного базиса тождеств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кислицин А. В. О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем // Изв. Алт. гос. ун-та. 2010. № 1/2(65). С. 37-41.
2. Исаев И. М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств и примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. 2013. Т. 52, № 4. С. 435-460.
3. Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 12, № 1. С. 83-113.
4. Исаев И. М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 328-343.
5. Кислицин А. В. О коммутативности векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры // Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 21-23.
6. Khan M. A. Commutativity of rings with constrains on pair of automorphisms // Adv. Theor. Appl. Math. 2006. Vol. 1, no. 2. P. 119-126.
7. Мальцев Ю. Н., Кислицин А. В. О коммутативности ассоциативных колец, удовлетворяющих тождествам // Изв. Алт. гос. ун-та. 2009. № 1. С. 50-53.
8. Исаев И. М., Кислицин А. В. О тождествах векторных пространств, вложенных в конечные ассоциативные алгебры // Вестн. НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2015. Т. 15, № 3. С. 69-77.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Кислицин Алексей Владимирович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник научного отдела, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; доцент кафедры алгебры и методики обучения математике, Алтайский государственный педагогический университет, 656031, Россия, г. Барнаул, ул. Молодежная, 55; e-mail: kislitsin@altspu.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Kislitsin Alexey Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher of the Scientific Department, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; Docent of the Department of Algebra and Methods of Teaching Mathematics, Altai State Pedagogical University, 55, Molodezhnaya st., Barnaul, 656031, Russia; e-mail: kis-litsin@ altspu.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Кислицин А. В. О конечной базируемости тождеств с автоморфизмами для векторныхных пространств вложенных в ассоциативные алгебры // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 23-26. Р01: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).23-26.
FOR QTATIONS
Kislitsin A.V. On finite basis of identities with automorphisms for the vector spaces embedded into associative algebras. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 23-26. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).23-26. (in Russ.).
