Характеристическая матрица слоисто-периодической структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.И.2010

УДК 512.64

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА СЛОИСТО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ 1

Ю.Н. Беляев

Предложен метод рекуррентного вычисления матрицы, характеризующей распространение упругих волн в периодической слоистой структуре. Сделана оценка эффективности этого метода.

Введение

Одним из эффективных теоретических методов исследования распространения волн в слоистых средах стал матричный формализм, согласно которому г-ый слой рассматриваемой структуры характеризуется определённой матрицей М^ а система из ТУ слоёв описывается матрицей М, получающейся при перемножении в определённом порядке характеристических матриц всех слоёв системы: М = Дан-

ный метод позволяет при рассмотрении интерференционных решений обойти сложную процедуру удовлетворения всех граничных условий на межслойных границах структуры.

Впервые метод характеристической матрицы был предложен в середине XX века Ф. Абеле [1] для расчёта оптических и В.Томсоном [2] и Н. Хаскелом [3] — упругих свойств слоистых сред с плоскопараллельными границами. Так, многослойная диэлектрическая плёнка, состоящая из однородных слоёв, характеризуется относительно своих оптических свойств матрицей 2x2. Упругие свойства однородных слоёв характеризуются матрицами 4-6 порядков [4].

В данной работе рассматривается задача вычисления характеристической матрицы среды, состоящей из большого числа одинаковых по структуре слоёв.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, ГК № 02.740.11.0618

© Беляев Ю.Н., 2010.

Метод вычисления

По теореме Гамильтона-Кэли, каждая матрица п-го порядка удовлетворяет своему характеристическому уравнению:

Мп - рхМп~х - ... - рп.хМ - рп1 = 0, (1)

где I — единичная матрица, а коффициенты р, выражаются через стг — суммы всех Сгп главных миноров А-го порядка определителя матрицы М:

Й = 1 = 1,...,п. (2)

Из формулы (1) нетрудно заметить, что любая целая степень квадратной матрицы М п-то порядка может быть выражена через первые п степеней этой матрицы: М° = /, М, М2, М3,..., Мп~1.

Теорема [5]. Целочисленная степень квадратной матрицы п-го порядка может быть найдена по формуле:

мк = Мп~1Вк + Мп-2(Вк+1-Р1Вк) + Мп-3(Вк+2-Р1Вк+1-Р2Вк) + ... + +М (Вк+п_2 - Р\Вк+п_з - ... - рп-2Вк) +

+1 (Вк+п-1 — Р\Вк+п-2 — ... — Рп-\Вк) , (3)

где многочлены Вк определяются рекуррентными формулами

{О, если к = 0,1,..., п — 2,

1, если к — п — 1 (4)

Р\Вк-1 + р2Вк_2 + .. .+рпВк-п, к>п.

Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости формулы (3) при к = 0,1,..., п — 1. Для других к докажем равенство (3) по индукции.

Предположим, что равенство (3) выполняется при к — N > п и покажем его справедливость при к = N + 1. Имеем:

= ММН = МпВн + Мп~1 (Вм+1 - Р1ВМ) +

+Мп~2(Вм+2 - Р1Вм+1 - р2Вм) + ... + +М2 (Вдг+п-2 - РгВм+п-з - Рп-2ВМ) + +М (Бдг+П_1 — РгВ]у+Г1_2 — рп-\Вн).

Первое слагаемое в правой части последнего равенства можно представить, согласно теореме Гамильтона-Кэли, в виде:

МПВН = Мп~1Р1Вм + Мп~2р2Вы + ... + МРп_1Вм + 1РпВм.

88

Беляев Ю.Н.

Подставляя это выражение в предыдущую формулу и преобразуя её с учётом подобных слагаемых, получаем:

ММ+1 =мп- 1Вм+1 +

+Мп~2(Вм+2-Р1Вм+1) + ...+

+М2 {Вм+п^2-р1Вк+ п—3 Рп—3-^^+1) "Ь

+М (Блг+„-1 - Р1Вм+п-2 - ... - рп-2Вм+1) + +1рпВм = =Мп~1Вм+1 + +Мп-2(Вм+2-Р1Вх+1) + ...+ +М2 (БЛт+п-2 - Р1Вк+п-з - ... - рп-3ВАт+х) + +М {Вк+п_х - ргВк+

+1 (В]у+п — Р1В]у+п_1 — ... — рп_1Бдг+1) ,

что и требовалось доказать.

Преобразуем каждый из множителей, стоящих при матрицах в правой части равенства (3), используя формулы (4), определяющие многочлены В2 . В результате получим формулу, которая более удобна для численных расчётов степеней матрицы:

Мк = Мп-1 (Р1вк_1+ . . а +Рпвк_п) + Мп~2(р2Вк_1+ ... +рпвк+1_п)+ ... + +М + рпДь-2) + 1рпВк-1 =

г=0 ,7=0

Матрицы второго порядка

Пусть М — матрица второго порядка. Тогда по формуле (5) имеем:

где многочлены Вк зависят от следа М=о\ и определителя матрицы М и определяются рекуррентными формулами

71 — 1

(5)

Мк = ВкМ - Дь_к72/,

(6)

Вк = о\Вк_х ~ Вк—2•> Во — 0, В\ — 1.

(7)

Если <1е1М ф 0, формулу (6) можно представить в иной форме:

Мк = г'-'Щ.^М - гкик-2(Ъ)1, (8)

где

г = \AietM, Ь =

М

2л/сЫ]М '

а полиномы ип(Ь) определяются рекуррентными формулами ик(Ь) = 2Ы7к-1{Ь) - ик.2(Ь), С/0(6) = 1, ЩЬ) = 26. Связь между полиномами 11к и Вк выражается равенством:

ик = Вк+1(ЛеШ)~ъ.

(9)

(10)

Заметим, что при — 1 < Ь < 1, функции, определяемые формулами (10), — это ортогональные полиномы Чебышёва второго рода, явный вид которых задаётся формулой:

ик(Ь)

8т[(/с + 1)агссо8 Ь]

(П)

Для случая унпмодулярной матрицы из равенств (8-11) следует результат, известный как теорема Сильвестра [6]:

Ши т12 к тцЩ-^Ь) - ик.2(ъ) т12ик- -ЛЬ)

т21 т22 т2\ик. -ЛЬ) т22ик-1{Ь) -ик-2(ъ)

где

Ь = -(шп +ш22).

Если порядок матрицы выше 2, представление её степеней в форме, аналогичной (8), возможно при специальном виде матрицы. Одна из таких возможностей рассмотрена в [5].

Алгоритм численных расчётов

В общем случае вычисление Мк (к > п) удобно проводить по формуле (5), используя рекуррентную процедуру нахождения многочленов Ву Последовательность действий можно разделить на три этапа.

1) Вычисление степеней матрицы М со второй по п-ю включительно и нахождение следа Si для каждой из матриц Мг {г — 1,..., п).

2) Последовательное вычисление коэффициентов щ {г — 1,...,п) можно выполнить по формуле Ньютона [7]:

т = ^ - - ... - г = 1, 2, . . . , П.

(12)

В частности,

3) Значения многочленов В^ — п,..., к — 1) определяются по рекуррентной формуле (4).

Несложно оценить трудоёмкость данной процедуры по сравнению с обычным перемножением матриц. Число операций сложения и умножения, необходимое для возведения матрицы п-го порядка в к-ю степень (к > п) по предлагаемому в данной работе методу не превышает N1 = п [(п — 1)(2п + к — 3) + 2п + 1]. Если же вычислять Мк как к — 1 произведение матриц М, то это потребует УУ2 = п2(2п — 1) (к — 1) операций сложения и умножения.

п — 6 п — 5 п = 4

к_

50 250 500

Рис. 1

На рис. 1 показана зависимость отношения от степени к для

матриц 4,5,6 порядков. Уже для структуры с 25 слоями предлагаемый метод численного расчёта характеристической матрицы не менее чем в три раза эффективнее (по числу операций и, следовательно, по точности счёта), чем обычное перемножение. А для 250 слойной структуры выигрыш составляет более чем в 8,9 и 10 раз соответственно для матриц 4, 5 и 6 порядков.

Литература

1. Abelés F. Recherehes sur la propagation des ondes electromagnetiques sinusoidals dans les stratifiés melieux. Application aux conches minces // Ann. Phys. 1950. V. 5, P. 596-640, 706-782.

2. Tomson W.T. Transmission of elastic wave through a stratified solid matirial // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. № 1. P. 89-93.

3. Haskel N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media// Bui. Seismol. Sos. Amer. 1953. V. 43. № 1. P. 17-34.

4. Молотков Jl.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 201 с.

5. Беляев Ю.Н. Алгебра тензоров. Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2009. 180 с.

6. Gerrard A., Burch J.M. ntroduction to matrix methods in optics. London,:J. Wiley and Sons, 1975. 355 p.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. M.: Наука, 1988. 552 с. Summary

Belyaev Y.N. Characteristic matrix of laered-periodic structure

The method of recurrent calculation of the matrix characterising distribution of elastic waves in periodic layered structure is offered. The estimation of efficiency of this method is made.

Сыктывкарский университет

Поступила 17.04.2010