Рассеяние волн непрерывно слоистыми упругими средами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 13.2011

УДК 512.64+534.2+535.3

РАССЕЯНИЕ ВОЛН НЕПРЕРЫВНО СЛОИСТЫМИ УПРУГИМИ СРЕДАМИ1

Ю. Н. Беляев

Предложен метод вычисления элементов матрицы второго порядка, характеризующей упругие свойства непрерывно слоистой среды. Получено представление коэффициентов отражения и пропускания плоской волны через элементы характеристической матрицы. Найдено общее решение задачи отражения-пропускания волны слоисто непрерывной периодической средой. Ключевые слова: плоские волны, периодические структуры, слоистые среды, рассеяние волн, интегральные уравнения Вольтерра, характеристическая матрица

1. Введение

Точные аналитические решения уравнений, описывающих распространение различных волн в слоистых средах, известны лишь для небольшого числа функциональных зависимостей скорости распространения волны от неоднородностей среды [1-5]. Поэтому, несмотря на продолжительную историю исследований волновых процессов в упругих слоистых средах, основным теоретическим подходом к расчёту распространения волн в неоднородных слоистых средах остаётся аппроксимация таких объектов наборами однородных слоёв (см. напр. [1,6,7]) или слоями с линейным изменением параметров [8].

Именно приближение слоистой среды наборами однородных слоёв было положено в основу применения метода характеристической матрицы [6,9] к средам, параметры которых изменяются по толщине непрерывным образом по произвольному закону. При этом существование

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России "на 2009-2013 годы, ГК №02.740.11.0618

© Беляев Ю. Н., 2011.

характеристической матрицы неоднородного слоя фактически постулировалась.

В данной работе развивается метод вычисления характеристической матрицы слоисто непрерывной среды, распространение волны в которой описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Найденные представления для элементов характеристической матрицы использованы для решения задачи отражения-пропускания плоской волны слоисто непрерывной периодической структурой.

При решении задачи используется декартова система координат Х\ = х, Х2 = у, £3 = Смещение произвольной точки сплошной среды характеризуется вектором деформации й — й(г) — й{х1,х2, Хз).

Деформации предполагаются достаточно малыми, так что для любого участка сплошной среды справедлив закон Гука, т.е. каждая компонента тензора напряжений Р = (рц) всюду пропорциональна компонентам тензора деформации

Для изотропных сред

•рц = 2рг^ + А^^-) г,] = 1,2,3, (0.2)

где множители р и Л — это упругие постоянные Ламе.

Пренебрегая объёмными силами, будем исследовать волновые процессы в сплошной среде решая линейное уравнение движения

(0.3)

где р — плотность среды.

Каждой функции, описывающей движение, скажем / = /(г, соответствует фурье-преобразование по времени / = /(г,и):

оо

/(г,*)= I /(г, и>)е~шс1и). (0.4)

— ОО

2. Рассеяние плоской волны в слое жидкой среды

2.1. Волновое уравнение. В жидкости (газе) деформации сдвига отсутствуют, т.е. р = 0. В такой среде матрица тензора напряжений

д й л- Ь

является диагональной, причем все диагональные элементы равны и пропорциональны объёмному расширению в (см. соотношения (0.2)):

п •-I. • \Р х[дщ ди2 ЗиЛ

Уц = 0, ъ Ф ] ; Рп=Р22= р33 = А0 = Л I — + — + — I = -р{0.5)

где р — гидростатическое давление.

Из формул (0.3) и (0.5) следуют уравнения для фурье-компонент давления и вектора деформации:

и — —- gтдidp ^ (0.6)

рио2

р = —Л (Иуй . (0.7)

Вместо этой системы двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных и и р очевидным образом можно получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно каждой из этих неизвестных. Так, подстановкой и из равенства (0.6) в правую часть формулы (0.7), приходим к уравнению для фурье-компоненты давления

р = —^г div [ — gradp ) . (0.8)

Для однородной среды Ли р постоянны. В этом случае (0.8) — это уравнение Гельмгольца

\/2р + к2р = 0, (0.9)

решением которого являются плоские волны ехр(±г£; • г), с к = ш^/р/Х.

Рассмотрим далее решение уравнения (0.8) для области, упругие свойства которой изменяются в направлении оси г, перпендикулярной ограничивающей эту область двум плоскостям г = 0 и г = Полупространства г < 0 и х > А предполагаются однородными. Для постоянных параметров, определяющих упругие свойства в этих полупространствах, используем обозначения:

= Г ро, если г < 0, = Г А0, если г < 0, , .

^ | р^ если г > | Аесли х > А.

2.2. Плоские волны в слоисто непрерывной среде. Пусть из области г < 0 на слой 0 < х < А падает плоская волна в результате взаимодействия которой со слоем, в области г < 0 формируется отражённая волна ря, а в области г > А — прошедшая рт.

Выберем направление декартовой оси координат х таким образом, чтобы направление распространения волны лежало в плоскости xz, так что вектор деформации й и давление р являются функциями только координат х я z. Будем искать решение р(х, z) уравнения (0.8) в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — только от z:

p(x,z) =X(x)V(z). (0.11)

Подставляя выражение (0.11) в уравнение (0.8) и разделяя переменные, получаем два уравнения относительно неизвестных Х(х) и V(z):

d^ + a2X = 0; (0.12)

ах2

-* («->-*)■■° ■ ад ■ толз>

Функциональная зависимость волнового поля от координаты х во всех трёх областях z<{),z£[{),d]vLZ>d одинакова и даётся решением уравнения (0.12):

X = Схе1ах + С2е~1ах. (0.14)

Здесь С\ и С2 — некоторые постоянные, выбор которых, а также значение постоянной разделения а2 определяются геометрией задачи. Пусть направление падающей на неоднородный слой плоской волны составляет с осью г угол во (рис. 1). Тогда падающая волна единичной амплитуды имеет вид:

7 А

k

о

0r f 'kR Ро = exp [ik0(x sin во+z eos 0O)], h = u\/po/^o •

- — —- (0.15)

^o)N^fc(o) Именно таким было волновое поле вдали от слоя в

области z < 0 до тех пор, пока не произошло фор-k(z) мирование отражённой волны. Сравнивая выраже-

■ ^ — ния (0.14) и (0.15), приходим к выводу, что в правой kd части формулы (16) следует оставить только первое

слагаемое {С2 — 0) и принять для постоянной раз-рис ^ деления а в уравнениях (0.12) и (0.13) следующее

значение:

íU)

а — ко sin 9q.

(0.16)

Относя постоянную С\ к неизвестной пока функции можем

переписать решение (0.11) в виде:

р(х, z)—V{z) exp(ikox sin 0О) •

(0.11')

Из равенства (0.16) следует, что отражённая волна распространяется под углом вл—9{) (так что кцх — ко sin 0О) и имеет вид

Pr — R exp [iko (х sin — z cos 0O)] ?

(0.17)

где R — амплитуда отражённой волны.

Аналогично, волна, прошедшая через слой, выражается формулой

рт — Техр [ikd(x sinöd + z cos 9d)], (0.18)

где T — амплитуда прошедшей волны, kd = uj^Jpd/Xd, и (см. рис. 1)

kd^inOd = ко sin0О = k(z) sin0(z). (0.19)

Из уравнений (0.6) и (0.7) следует, что зависимость компонент вектора деформации от координаты х такая же, как и у давления

üx{x,z) — X{z) exp(ikQx sin 0O)> üz(x,z) — 2{z) exp(ikox sin

(0.20) (0.21)

причём Х^) — гаТ/(ри2), а амплитудные функции Т^) и 2^) связаны друг с другом уравнениями:

d

dz

0

к2-а2 рио2

püü" 0

ЕЕ W

(0.22)

Исключение из этой системы дифференциальных уравнений первого порядка функции 2, даёт дифференциальное уравнение второго порядка (0.13) относительно функции V. И наоборот, исключая V, получаем уравнение относительно 2\

d22 d

dz2 dz

к2-а2 püü2

) g + (*»(,) - J) s

0.

(0.23)

Решение матричного уравнения (0.22) можно представить в виде

По) 2(0)

= м

V(z) Z(z)

(0.24)

где матрица М, связывающая нормальную компоненту вектора деформации и давление на плоскости г = 0 с этими компонентами волнового поля на произвольной плоскости г = называется характеристиче-

ской матрицей слоя. Такого сорта матрицы, связывающие компоненты поля на границах слоистой среды, называют (см. [9]) также матрицами переноса.

2.3. Характеристическая матрица. В случае однородного слоя решением уравнения (0.22) явлется

Т(г)

ад

1

ОО

V-

^ п\

п=0

Т( 0) 2(0)

= М

-1

т т

где

М =

соБ(кгсоБ в) к соя в .

-г— йш(кг сой в)

рио2

рио

Бт(кг соя в)

к соя в

со8(кг СО8 0)

(0.25)

характеристическая матрица однородного жидкого слоя.

Найдём теперь выражение характеристической матрицы неоднородного по толщине слоя. Для этого представим общие решения уравнений (0.13) и (0.23) в виде комбинаций

Г{г) = сцРгМ + 2 (г) = Ь121(г) + Ь222(г),

(0.26) (0.27)

образованных из линейно независимых частных решений Т>2(г) и

22(г), которые удовлетворяют условиям:

ТМ = 1, 2г(о) = о, г2(0) = о, 22(о) = 1

(0.28)

и называются фундаментальной системой решений. Заметим, что решения уравнений (0.13) и (0.23) связаны между собой дифференциальными уравнениями первого порядка (0.22). Вследствие этого постоянные коэффициенты в формулах (0.26) и (0.27) удовлетворяют равенствам: а\ — &1, а2 — Ъ2. Эти постоянные определим, используя значения функций Т(г) и 2 (г) на границе г = 0. Находим: а\ — Р(0), а2 — 2(0). В результате систему уравнений (0.26) и (0.27) можно переписать в следующем виде

ад

ад

2г(г) 22(г)

Г(0)

ад

Нетрудно убедиться, что определитель квадратной матрицы, стоящей в правой части последнего равенства, не зависит от г и, согласно условиям (0.28), равен единице. Поэтому характеристическая матрица неоднородного слоя выражается с помощью фундаментальной системы решений следующим образом:

М = II т.

v I

ад -ад

-ЗД Vi(z)

(0.29)

2.4. Фундаментальная система решений. Решение дифференциального уравнения второго порядка вида

сР f d (In (р) df

dz2

dz dz

k2z(z)f = 0, kz(z) = kcos9,

(0.30)

к которому относятся (0.13) и (0.23), с помощью стандартной замены .Р = сводится к решению уравнения в приведённой форме

где

^ + K*(zM*))F = 0,

1 сРср 3/1 dcp\ 2

(0.31)

(0.32)

2 ip dz2 4 \(р dz у

Заметим, что функции F(z) и f(z) совпадают в той мере, в какой можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми по сравнению с первым в правой части равенства (0.32).

Частные решения уравнения (0.31), удовлетворяющие дополнительным условиям Fi(0) = 1 и F2(0) = 0, можно определить с помощью интегральных уравнений Вольтерра

Fi(z) ад

ад ад

z

М J <*(8)

Fi(s)

ад

sin[kz(0)(z - s)]ds, (0.33)

где использованы обозначения:

Ф1(z)=cos[kz(0)z}, Ф2(z)

1

мо)sin[M(M a{z)=1~K {km)] ■

(0.34)

В справедливости представлений (0.33) легко убедиться непосредственной подстановкой их в уравнение (0.31).

Необходимым и достаточным условием существования и единственности решений интегральных уравнений (0.33) является непрерывность функции а(г). При решении уравнений (0.33) методом последовательных приближений:

г

о

(0.35)

где г — 1,2 и ] Е ТУ, ошибка аппроксимации функции ^'-ым при-

ближением при условиях |Ф(г)| < т\ и \кг(0)а(г)\ < т2 не превышает величины [11]:

\Р(г) - I < т1-^^ехр(т2й). (0.36)

Используя указанный подход, находим представление для фундаментальной системы решений уравнений (0.13) и (0.23):

= V + / (0.37)

= +^(0) / Д (0.38)

4 о у

=V р[!)мо) Iсо8[^(0)^]+мо) (о-4о)

где

<р) = (1-^у^2(«, ¥>00)) ~ в)], (0.41)

и функция К2 (г, определяется формулой (0.32). Решения инте-

гральных уравнений (0.37- 0.40) могут быть найдены методом последовательных приближений, подобным тому, как формулы (0.35) аппроксимируют решения уравнений (0.33).

Таким образом, характеристическая матрица слоистой среды, параметры которой изменяются непрерывным образом, существует, единственна и может быть представлена с помощью интегральных уравнений Вольтерра.

2.5. Коэффициенты отражения и пропускания. Обозначим

iko cos ikd cos 9d

7o =-—, 7 d =-— • 0.42

p0u2 pduz

Из условия непрерывности давления и нормальной составляющей вектора деформации на границах z — 0 и z — d получаем

1 + R = V(0), V(d)=T, 7o(l-i2) = Z(0), Z{d)=jdT.

Используя эти формулы, а также соотношения (0.24), выразим коэффициенты отражения R и пропускания Т через элементы т^ характеристической матрицы слоя:

R _ [mn(d) + m12(d)jd]j0 - [m21(d) + m22(d)jd] [mn(d) + mi2(d)7d]7o + [m21(d) + m22(d)jd] '

T = _—_. (0.44)

[mn(d) + m12(d)jd]j0 + [m21(d) + m22(d) jd]

3. Горизонтальные волны сдвига в изотропной среде

Рассмотрим рассеяние плоской волны, в которой вектор деформации перпендикулярен плоскости падения. Такие волны принято называть горизонтальными или SH волнами [2]. При выборе той же системы координат, что и в предыдущем разделе, не нулевой компонентой й в SH волне будет только иу.

Фурье-компоненты напряжения и вектора деформации в данном случае, как это следует из уравнений (0.2) и (0.3), связаны соотношениями:

дйу ~ дйу 2~ друх , dpyz , .

Используя тот же метод решения задачи, что и в случае продольной волны в жидкой среде, находим:

üy(x,z) = y(z) exp(ikoX sin PyX{x,z) = Vyx(z) exp(^0xsin6>o), PyZ{x,z) = VyZ(z)exp(ikoxsm0o),

где амплитудные функции У (г), /Рух(г) и Туг(г) связаны друг с другом уравнениями:

Vyx(z) = ргко sin 90y(z),

d

dz

У 0 1/11 у

V ' yz —pk2 0 V ' yz

(0.46) (0.47)

Здесь использованы обозначения:

ко = иу/ро/уо , к = ил/р(г)/р(г), ^ = /ссой6>. (0.48)

Фундаментальная система решений уравнений (0.47) представляется следующим образом:

3>i(*) = .

'МО)

1

cos[M0)z] + A&s^-^y^ds}, (0.49)

sin [А^ (0)^]

х//ФШ I МО)

Vyzl(z) = -у/ц(0)ф)к*(г)1 sin[kz(0)z]+kz(0) IA [z, s, (s) ds

+ kz(0) J A(z,s,ii~1)y2(s)ds^ (0.50)

IQ.51)

l^z)kl{z)

[kz(0)z] + kz(0) jA(z,s,iik^ Vyz2{s) ds 1,(0.52)

где функция определяется формулой (0.41).

Характеристической матрицей слоя является

М =

Vyz2(z) -y2(z) -Vyzl(z) Уг(г)

(0.53)

В частности, характеристическая матрица однородного слоя теперь выражается формулой:

М

cos(kz cos 9)

1

sin(£;2:cos 9)

pk cos 9

pk cos 9 sin (kz cos 9) cos (kz cos 9)

(0.54)

Коэффициенты отражения и пропускания выражаются формулами (0.43) и (0.44), в которых, в отличие от предыдущего случая, следует положить

7о = Щко cos 9о, jd — ipkd cos . (0.55)

4. Отражение от периодической структуры

Характеристическая матрица периодической структуры, для рассматриваемых в данной работе случаев, выражается формулой [12]:

М

тпип-1(Ь) - ип-2(Ь) т12ип-1(Ь) т21ип-1(Ь) т22ип-1(Ь) - С/п_2(6)

(0.56)

где гпц (г,^ = 1,2) — элементы характеристической матрицы одного периода слоистой среды, п — число периодов, Ь = (тц + т22)/2, и

ип(Ъ) = 81П[(ПЛ^СС08Ь] - (0.57)

полиномы, удовлетворяющие рекуррентным формулам

ип(Ъ) = 2Ъип-1(Ъ)-ип-2(Ь), и0(Ь) = 1, иг(Ь) = 2Ь. (0.58)

Получим выражение для коэффициента отражения Яп и пропускания Тп плоской волны п-слойной периодической средой. Обозначим через риг соответственно коэффициенты отражения и пропускания одним периодом структуры. В соответствии с формулами (0.43) и (0.44) получим два вспомогательных равенства:

[тц(<г) + Ш12(Й)7^7О + [т21(б0 + ш22(^)7^] = ^г > [тп(с1) + Ш12(й)7^7о - [т21 (й) + т22(б07<|] = ^^ .

Используем эти соотношения при подстановке элементов матрицы

(0.56) в формулы (0.43) и (0.44). В результате находим:

_:_

Формулы (0.59) принимают особенно простой вид при 70 = ^^ Это реализуется, в частности, когда свойства среды в областях г < 0 и г > (1 одинаковы, и упругие свойства в каждом периоде периодической структуры — 1) < г < где 2 — 1, 2,.. .п, симметричны относительно его середины. Выполняя элементарные преобразования, находим

—Ь — л/1 — Ь2 ctg(п агсйт л/1 — Ь2),

и для коэффициента отражения при 70 = 7^ получаем следующее выражение

1 — т [Ь — у/1 — Ъ2 ctg(n агсйт у/ 1 — Ь2)] ' ^ ^

которое в ряде случаев (см., например [13]) более удобно для анализа, чем формула (0.59).

Для получения представления коэффициентов отражения Яп и пропускания Тп в замкнутой форме через парциальные коэффициенты д и т необходимо дополнить формулы (0.59) функциональной зависимостью Ь = Ь(д,т). Например, для случая, когда тпц — т22, такая зависимость имеет вид: Ь = (1 + т2 — д2)/{2т).

5. Заключение

Метод определения характеристической матрицы непрерывно слоистой среды, представленный в данной работе, применим не только к упругим волнам, но легко распространяется на волны любой другой природы, лишь бы их распространение описывалось дифференциальным уравнением второго порядка (или системой двух дифференциальных уравнений первого порядка). Например, для плоской световой волны в диэлектрических плёнках определяющим является дифференциальное уравнение вида (0.30) относительно напряжённости электрического поля или напряжённости магнитного поля. При этом роль фукции <р(г) играют соответственно Ые и 1п(// — п в) (здесь е — диэлектрическая проницаемость, ¡1 — магнитная проницаемость и п — показатель преломления рассматриваемой среды).

Общими для волн любой природы, распространение которых в слоистой среде описывается характеристической матрицей второго порядка, является форма представлений (0.43 - 0.44) для коэффициентов отражения и пропускания.

Наконец, найденные в настоящей работе решения (0.59) для коэффициентов отражения и пропускания плоской волны слоисто периодической средой также являются общими для различных физических волн. Для их применения к конкретным задачам требуется лишь знание парциальных коэффициентов отражения £>, пропускания т и зависимости величины Ь от них. Так для нахождения коэффициента отражения в случае двухлучевой рентгеновской дифракции по Брэггу в совершенном кристалле [14] качестве ргв формулах (0.59) (или (0.60)) следует взять соответственно коэффициенты отражения и пропускания одной атомной плоскостью (модель Дарвина). Для той же схемы рентгеновской дифракции в кристаллических сверхрешётках коэффициенты от-

ражения и пропускания [15] следуют из (0.59), если под д ж т понимать коэффициенты отражения и пропускания одним кристаллическим слоем.

Литература

1. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Из-во АН СССР, 1957. 503 с.

2. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic Waves in layered media. New York: Graw-Hill Book Com. 1957. 380p.

3. Tolstoy I. Effects of density stratification on sound waves // J. Geophys. Res. 1965. V. 70. P. 6009-6015.

4. Knittl Zd. Optics of Thin Films (An Optical Maltilayer Theory). New York, Sydney, Toronto: J.Wiley a Sons, 1975. 548 p.

5. Robins A.J. Reflection of plane acoustic waves from a layer of varying density // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. P. 1546-1552.

6. Молотков Jl.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. JL: Наука, 1984. 201 с.

7. Itou S. Transient dynamic stress intensity factors around two rectangular cracks in nonhomogeneous interfacial layer between two elastic half-spaces under impact load // Acta Mech. 2007. V. 192. P. 89-110.

8. Huang G.Y., Wang Y.S., Yu S.W. Stress concentration at apenny-shaped cracks in anonhomogeneous medium under torsion // Acta Mech. 2005. V. 180. P. 107-115.

9. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1970. С. 77-96.

10. Levin Н. Unidirectional Wave Motion. New York: North-Holland Pab. Сотр., 1976. 502 p.

11. Caviglia G., Morro A. Acoustic and elastic scattering by continuosly stratified media // Acta Mech., 2009. V. 206. P. 173-191.

12. Беляев Ю.Н. Характеристическая матрица слоисто-периодичес-кой структуры // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. 2010. вып. 11. С. 86-91.

13. Пинскер З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. М.: Наука, 1982. 392 с.

14. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновских лучей. М.: Из-во Московского ун-та, 1978. 278 с.

15. Belyaev Yu. N., Kolpakov A. V. On the theory of X-ray diffraction in a perfect crystal with distorted surface layer // phys. stat. sol. (a), 1983. V. 76, P. 641-646.

Summary

Belyayev Yu. N. Wave scattering continuosly stratified elastic media

Method of calculating elements of the second order matrix, which characterizes the elastic continuously layered media is proposed. The representation of reflection and transmission coefficients of the layer through elements of characteristic matrix is given. General solution to the plane wave reflection and transmission in a periodic continuously stratified medium is found.

Keywords:plane waves, periodic structure, stratified mediums, wave scattering, integral equations of Volterra, characteristic matrix

Сыктывкарский государственный университет Поступила 5.04-2011