CC BY
9
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2004. №1. С. 22-24.
@ Омский государственный университет УДК 519.48
ГРУППЫ СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ <£-АЛГЕБР С ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДАЛГЕБРОЙ И HNN-РАСШИРЕНИЯ
Е.А. Тюменцев
Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 19 декабря 2003 г.
In this paper we study groups corresponding a free product of (£-algebras and a HNN-extension of (£-algebras over a field F of characteristic 0. Let L be the free product of (£-algebras A\ and A-2, В = A\ П A-2 is the subalgebra of these algebras, the corresponding groups G(Ai) and G(A-2) are given. Then G(L) is the free product of G(Ai), G(A-2) with amalgamated group G(B) and some copies of additive group F+ for base field F. If H is the HNN-extension of (£-algebra L by fixed isomorphism tp, then group G(H) = {G(A)\<p * F-A * * Fg, where
(eh) geD
G(A)\<p is HNN-extension of group G(A) by isomorphism tp, F^ is the additive group of field F, D been constructed set of indices, (eh) is the infinite cycle group generated by eh.
Напомним определение алгебры со сходимостью. Пусть А — алгебра над полем Л Выделим класс в бесконечных последовательностей {ап I о-п & А, п £ М}, причем выполнены условия.
Ф1. Каждой последовательности {ап \ ап £ А, п £ М} £ в соответствует ровно один элемент /({а„}) £ А. (Далее любая последовательность {а„. | ап £ А, п £ М} £ в называется сходящейся, а элемент ¡({в„}) — ее пределом).
Ф2. Если {ап | ап £ А, п £ М} = {ап = с \ с £ А}, то {а„} £ в, причем ¡({в„}) = с.
ФЗ. Если {ЬПк | пк £ М} — подпоследовательность последовательности {а„. \ ап £ А, п £ М} € 6', то {&„,} € 6', причем /({б«,}) =
КЫ).
Ф4. Если 7 е ^ {ап \ ап £ А, п £ М} € 6', то {7ап | ап £ А, п £ М} £ в, причем КЬап}) = 7/({а„}).
Ф5. Если {ап | ап £ А,п £ М}, {б/; | Ък £ А, к £ М} € 6', то {ат + Ът | ап,Ьк £ А,п,к,т £ М} € 6', причем 1({ат + Ът}) = 1({ап}) +
Ф6. Если {ап I ап £ А,п £ М}, {Ьй | Ък £ А, к £ М} € 6', то {ат ■ Ьт | ап,Ьк £ А,п,к,т £ М} € 6', причем 1({ат ■ Ът}) = 1({ап}) ■
1({Ък})-
В этом случае говорят, что А — алгебра со сходимостью S.
Если M С А, наименьшая подалгебра В < А, содержащая М, замкнутая относительно перехода к пределу (т. е. из условий Ъп £ В, Ъ = = € S вытекает, что 1(b) £ В), совпадает с А, то множество M называется множеством S— порождающих алгебры А.
Алгебра А над полем F характеристики 0 называется экспоненциальной, если А — алгебра Ли со сходимостью S, причем для любых и, v £
п
А последовательность {ап = [ш/т]} — схо-
о т"
оо
дящаяся, /({а„}) = uexpv = (Здесь
о т"
[ш;0] = и, [ш;1] = ['it, v] — произведение элементов и, v алгебры A, [îivfc+1] = [[«vfc],v]).
Пусть А — алгебра Ли над произвольным полем F, в ее сигнатуру добавлен символ бинарной операции {u,v) —>■ и E{v), и, v £ А, причем выполнены тождества:
аЕ(,уа)=а; (1) [а,Ь]Е(с) = [аЕ(с),ЬЕ(с)]; (2) (aa + /3b)E(c) = а (а Е(с)) + /3(6 Е(с)); (3) aE(l3c)E(jc) = aE((P + j)c); (4) а Е(Ъ) Е(с) = а Е(с) Е(Ъ Е(с) ) (5)
для любых элементов а, Ъ, с £ А и для любых
а, /3, 7 G F.
Группы свободного произведения (¿-алгебр.
23
В работе [1] показано, что наименьшее многообразие (£, содержащее все экспоненциальные алгебры над полем характеристики 0, определено этими тождествами. Теперь будем рассматривать многообразие (£ лиевых алгебр над произвольным полем его сигнатура расширена символом бинарной операции Е, кроме обычных тождеств алгебры Ли выполнены тождества (1)—(5).
Пусть (т) — одномерная алгебра Ли с базой {т}, Е(т) —тождественное отображение на (т), А — алгебра многообразия (£. Рассмотрим идеалы /, /алгебры (т) £ А (свободное произведение в сигнатуре многообразия (£). Здесь I порожден элементом т, I— всеми одночленами, содержащими только символы операций Е и умножение, в запись которых т входит не менее двух раз.
Пусть А0 = ((т) ЕА)/1{2\ Это прямая сумма векторных пространств М ф А, где М — линейная оболочка одночленов, содержащих т ровно один раз. Тогда М — свободный однопорожден-ный модуль над (£-алгеброй А. В ассоциативной алгебре всех линейных преобразований векторного пространства М рассмотрим подалгебру Ле, порожденную умножениями х —>■ ха (х € М, а € А) и действиями автоморфизмов еа : х х Е(а).
Пусть {сц} — линейно упорядоченный базис алгебры А. Обозначим Ь — класс ненулевых векторов коллинеарных Ь (этот класс называется направлением). Множество направлений в А вполне упорядочено.
Теорема 1. Базис алгебры Ае состоит из всех элементов вида
— СЬ^^ СЬ^^ * * * ^"Ьу-1 ^ • • • С у
где п, т ^ О, гп, /1 < /2 < • • • < /то,
€ -Р. Умножение базисных элементов алгебры Ве проводится в соответствии с правилами:
*) элементы «¿1 ... сц?1, а^ ... а^ перемножаются, как в алгебре Биркгофа-Витта;
***) е1ед = еде1о^ где /0 = /Е(д).
Определение 1. В алгебре Ае лежит группа, состоящая из элементов е^1 ... е^т, где т ^ 0, /1 < /2 < • • • < fm^ Эта группа называется группой -алгебры В и обозначается С(А).
Пусть В — алгебра многообразия (£, С (В) — группа, соответствующая алгебре В, I < В — <£-идеал алгебры В. Заметим, что группа со-
ответствующая идеалу /, является нормальным делителем группы С {В), то есть С(1) <\ С (В). Но неверно, что С(В/1) = С(В)/С(1), поскольку выполняется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть В — ¡¿-алгебра, С(В) — ее группа, (р : В —>■ В = В/1 — естественный гомоморфим алгебр многообразия (£. Тогда отображение (р индуцирует групповой гомоморфизм Ф : С(В) —>■ С(В), причем кегФ порождено (как подгуппа в С(В)) всеми элементами вида Е(М) Е(т), где М € В, М - т € I.
Заметим, что аналогичное утверждение для случая экспоненциальных алгебр неверно.
В статье [1] описаны конструкции свободного произведения и HNN-pacшиpeния экспоненциальных алгебр и алгебр многообразия (£. Краткое описание конструкции свободного произведения можно найти в [2]. Из этих конструкций вытекают следующие результаты о группах свободого произведения экспоненциальных алгебр и алгебр многообразия (£ с объединенной подалгеброй и HNN-pacшиpeния (в [2] вычислена группа свободного произведения экспоненциальных алгебр без объединенной подалгебры).
Для простоты обозначений рассмотрим случай свободного произведения двух алгебр.
Пусть А\ и А-2 — (£-алгебры, В — их подалгебра: А1 П Л2 = В.
Введем понятие простого элемента для случая свободных произведений.
Определение 2. Назовем направление / из Р(п), п ^ 1 : / ф Р(п — 1), простым, если / = а Е{Ьг) Е(Ъ2) ■ ■ ■ Е(Ьь), где а, Ьь Ь-2,..., Ь]; £ Р(п — 1), а ф^ Ъ\, Ъ\ < Ъ2 < ■ ■ ■ < Ь];. Здесь
Р(к + 1) = Ь(к)/и1(.з(к)), к ^ 1, Р(0)=А1*А2.
в
Замечание 1. Обозначения Р(к), ,з(р) используются при построении конструкции свободного произведения и вводятся в указанных выше статьях.
Множество направлений 13 определим по следующим правилам:
1) все направления из Р(0) \ {Ах и А-2} принадлежат 13(0);
2) В(п), п ^ 1, принадлежат все направления из Р(п)\Р(п — 1), за исключением простых;
оо
3) 13= и Б(п).
п=0
Теорема 2. Пусть ЕР = А\ь А2 — свободное
в
произведение (£-алгебр А\ и А2 с объединенной подалгеброй В. Тогда
С(ЕР) = (С(А1) * С(А2))* *
О(В) аао
где 13 — множество направлений, построенное выше, С(В) — подгруппа в С(А\) и в С(А-2), порожденная всеми операторами е71 ^ ...е7"1-^"1, где т^О, К < Ь < ■ ■ ■ < , Л € В.
24
Е.А. Тюменцев
Пусть А — алгебра многообразия (£ над произвольным полем F; В и В' —ее изоморфные (£-подалгебры; <р : В —>■ В' — фиксированный изоморфизм алгебр многообразия (£; G(A) — группа, соответствующая алгебре А.
Для удобства читателя приведем конструкцию HNN-расширения для (£-алгебр (она потребуется для определения простых элементов).
Вначале построим Af,(t) — свободное произведение А и одномерной (2-апгебры (t) в многообразии (£.
Пусть А'(0) t идеал алгебры Pt — Р(0)(, порожденный в ней всеми элементами вида Ъ^' — b E(t), где b £ В < А. Идеал К(п) алгебры
Р(п) — это объединение U К(п — 1)а иде-
аеР(п-1)
алов К(п — 1)а. алгебр Р(п — 1)а.
В алгебре Р(п)а = * (Р(пЯ | А4) (или, со-
7 eF "
ответственно, Р(п)й = * (Р(пЯ \ (а))) идеал
7 eF "
К(п)а порожден своими пересечениями с
компонентами Р(п)? свободного произведения, причем алгебры K(n)i построены ранее. В алгебре Р(п)а = _U Р(п)ъ идеал К(п)й — это объ-
Ь<а
единение U K(n)i. Наконец, K = U^=0K(n).
Ь<а
Поскольку Pt = P(0)t = ( * A7) *(t), то
jEF
K{0)t П А = 0. Отсюда методом трансфинитной индукции получаем, что K(n)s, ПА = 0 для всех Ii £ NU{0}, ä £ К(п). Следовательно, КпА = 0.
Введем понятие простого направления для случая HNN-расширений.
Определение 3. Назовем направление f из Р(к) = Р(к)/К(к), к > 1 : /V Р(к ~ 1) простым, если представитель этого направления f можно записать в виде
где С(А)\^р — НИИ-расширение группы С(А) с помощью изоморфизма (р, В — множество направлений в А\<р, определенное выше, (ен) —бесконечная циклическая, группа, порожденная ен.
В статье [1] показано, что конструкции свободного произведения и HNN-pacшиpeния для алгебр многообразия (£ над полем характеристики 0 имеют то же строение, что и в случае экспоненциальных алгебр, поэтому группы экспоненциальных алгебр в случае свободного произведения и HNN-pacшиpeния имеют то же описание, что и группы алгебр многообразия (£ (т. е. для экспоненциальных алгебр справедливы теоремы, аналогичные теоремам 2 и 3 настоящей статьи).
Отметим еще один случай, когда строение группы известно. Пусть А = А\ ф А2 — прямая сумма двух экспоненциальных алгебр А\ и А2 над полем характеристики 0 (или алгебр многообразия (£ над произвольным полем). Тогда группа С(А), соответствующая алгебре А, является прямым произведением С(А) = С(А\)х хС(А\) групп С(А\) и С(А2), соответствующих алгебрам А\ и А2.
[1] Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Универсальные конструкции экспоненциальных алгебр. Деп. в ВИНИТИ 05.11.2002. № 1998-В2002.
[2] Тюменцев Е.А. Группы свободной экспоненциальной алгебры и свободного произведения экспоненциальных алгебр // Вестн. Ом. ун-та. 2002, № 2. С. 20-22.
f = aE(bi)E(b2)...E(bs),
a, 6i,... , bs £ P(k — 1), s > 1, а ^ Ь\, Ъ\ <Ъ2 < ■■■ <bk.
Построим множество В направлений следующим образом:
1) D(n), 11 > 1 содержит все направления из P(k) \ Р(к — 1), за исключением простых.
оо
2) В = U D(n).
п=2
Теорема 3. Группа G(A\ip), соответствующая HNN-расширению A\ip алгебры А с помощью изоморфизма (р . В —^ В', где В и В' — изоморфные подалгебры, раскладывается в свободное произведение групп вида
С{АУ) = {С{А)У * F-h)* * Fg,
(eh) geD
