Группы свободной экспоненциальной алгебры и свободного произведения экспоненциальных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2002. №2. С. 20-22. © Омский государственный университет

ГРУППЫ СВОБОДНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ И СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Е.А. Тюменцев

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр.Мира, 55A

Получена 28 февраля 2002 г.

In this paper we study groups and corresponding a free exponential algebra and a free product of exponential algebras over a field F of characteristic 0. The free exponential algebra's group С(Л) is the free product of additive groups of a field F for a suitable set of indexes. Let L be the free product of exponential algebras (A and B), the corresponding groups G(A) and G(B) are done. Then G(L) is the free product of G(A), G(B) and some copies of additive group F+ for base field F.

Впервые класс экспоненциальных алгебр упоминается в докладе Г.П. Кукина [1]. Основные определения, примеры и конструкции свободной экспоненциальной алгебры и свободного произведения экспоненциальных алгебр с объединенной подалгеброй приведены в [2] и [3]. В настоящей статье дается описание групп, построенных по свободной экспоненциальной алгебре и свободному произведению экспоненциальных алгебр.

1. Предварительные сведения

Для удобства читателя основные понятия собраны в этом параграфе. Пусть в алгебре Ли А над полем F характеристики 0 выбрано минимальное множество сходящихся последовательностей (сходимость понимается по Фреше [4], т. е. абстрактно, не отвлекаясь на то, как обеспечивается эта сходимость), которое достаточно для того, чтобы для любых элементов а, Ь 6 А сходилась последовательность {£т | т 6 М}, где

т ^

=2 " аЬ", к элементу с = " аЬ" 6 А.

п=0 "=0

Тем самым на А определена дополнительная операция а ехр Ь = ^ Л аЬ". Такая алгебра называ-

"=0 "'

ется экспоненциальной.

Известно (см. [2]), что для произвольной экспоненциальной алгебры А над F для любых элементов а, Ь, с 6 А и для любых а, в, 7 6 F

справедливы равенства:

а ехр 7а = а; (1)

(аЬ) ехр с = а ехр с ■ Ь ехр с; (2)

(аа + вЬ) ехр с = а(а ехр с) + в(Ьехр с); (3)

а ехр вс ехр 7с = а ехр(в + 7)с; (4)

а ехр Ь ехр с = а ехр сехр(Ь ехр с). (5)

Определение свободной экспоненциальной алгебры Л[Х] дается по аналогии с обычными алгебрами Ли, при этом гомоморфизм В : А ^ В экспоненциальных алгебр А, В — это гомоморфизм алгебр, при котором любая последователь"

ность вида {б" = ^ —хук}, сходящаяся к

к=0 '

х ехр у 6 А, переходит в последовательность {$"В}, сходящуюся к хе ехр уе 6 В.

Опишем строение свободной экспоненциальной алгебры в терминах свободных произведений с объединенной подалгеброй.

Итак, пусть Ь = Ь[Х] - свободная алгебра Ли с множеством порождающих над полем F характеристики 0. Алгебра Ь (алгебра рядов) получена из Ь пополнением в обобщенно-нильпотентной топологии (см. [5]). Вполне упорядочим множество направлений алгебры Ь (см. [2]). При этом считаем, что направления элементов из алгебры Ь предшествуют направлениям из Ь \ Ь. Множество направлений алгебры Ь элементов из Ь обозначим через К. Пусть /-, к 6 К - представитель направления /- или, для краткости записи, к. Рассмотрим /0 — представитель наименьшего направления в названной упорядоченности.

Группы свободной экспоненциальной алгебры и свободного произведения экспоненциальных алгебр 21

Тогда Ьо = * (Ьехрв/о | (/о)) — подалгебра

ве—

в Ь (см. [2]). О вложении алгебры Ьо в Ь можно забыть и рассмотреть пополнение Ьо алгебры Ьо (аналогичное пополнению Ь алгебры Ь). В алгебре Ьо рассмотрим подалгебру Ь1, порожденную объединением подалгебр Ьд = Ьо ехр 7/1, 7 6 /1 6 Ь — представитель направления /1, непосредственно следующего за /о- Тогда Ь1 =

* (Ьо ехр в/1 | (/1))- Аналогично действуем и

ве— далее.

Если для ординала к 6 К существует ординал (к — 1), то алгебру Ьк определим как подалгебру, порожденную в Ьк_1 объединением подалгебр Ьв-1 = Ьк-1 ехр в/к, в 6 /к — представитель направления /к - В [2] доказано, что

Ьк

ве—

(/к))-

Если же ординала (к — 1) не существует, то (по определению) Ьк = и ЬК.

к<к

Таким образом, мы построим алгебру Ь(1), содержащую Ь(0) = Ь и замкнутую относительно действия операторов ехр д1 ехр д2 - - - ехр дт, где д» 6 Ь, д» < д.,-, если г < у'- Процесс построения Ь(1) завершится, потому что множество индексов К — вполне упорядоченное множество направлений в алгебре Ь[Х]- Аналогично строим алгебру Ь(п + 1) по алгебре Ь(п), п 6 М- Здесь Ь(п) ^ Ь(п + 1) вложения, так что определена

алгебра Л = и Ь(п)- Легко видеть, что она

п=о

удовлетворяет определению свободной экспоненциальной алгебры Л[Х] с множеством свободных экспоненциальных порождающих X -

Перейдем теперь к описанию свободного произведения экспоненциальных алгебр с объединенной подалгеброй. Пусть теперь А», г 6 I — экспоненциальные алгебры над полем - характеристики 0 с базами В» = {а», | у 6 причем множества I, ^ вполне упорядочены и для любых а, в 6 I ^ П Jв = ^ где J — начальный отрезок каждого вполне упорядоченного множества Ji, г 6 I- При этом алгебра А с базой В = {а, | у 6 J} — экспоненциальная подалгебра каждой алгебры А», г 6 I- Далее, предположим, что а», > аР9, если г > р или г = р, у > д, а экспоненциальная алгебра А» определяется таблицей операций

а», ехр а

Ее,9«

где е,9» 6 а 6 А»-

Рассмотрим множество

X = {х», | у 6 J¿, г 6 I},

где х», = , если у 6 J С J¿, г 6 I- Пусть Ь = Ь[Х] — свободная алгебра Ли над полем — с множеством свободных порождающих X- Множество направлений, состоящих из элементов алгебры Ь, вполне упорядочим так, что любое направление, состоящие из элементов подалгебры Ь*, порожденной множеством X* = {х, | у 6 J¿}, предшествует направлению, элементы которого не принадлежат Ь*- Кроме того, направление из алгебры Ь», порожденной множеством {х, | у 6 J¿}, предшествует любому направлению из Ь9, если г < д, а направление из и Ь»

предшествует любому направлению, элементы которого не принадлежат и Ь»- По алгебре Ь

построим свободную экспоненциальную алгебру Л = Л^], как это сделано выше.

Пусть Q — идеал алгебры Ь*, порожденный множеством {хрх9 — хг}, Q(г) — идеал алгебры Ь*, порожденный множеством {х»рх»9 — 7^9}- Здесь 7^9 и 7т„ — коэффициенты из таблицы операций (6). В алгебре Ьо рассмотрим идеал Qо, порожденный множеством и Q7, где

Q7 = Q ехр(7/о), к которому добавлены элементы жрехр(7/о) — ^ер,7/ож9 при условии, что

9

ар ехр(7а) = ^ ер7аа9, /о^> = а при естествен-9

ном гомоморфизме ^ : Ь* ^ Ь*/Q.

Аналогично, если ординал (к — 1) существует, то в алгебре Ьк рассмотрим идеал Qk, порожденный множеством и QY_1, Qk-l = Qk-l ехр 7/к, к которому добавлены элементы х»р ехр 7/к —

^ер97Л ж»9 - Здесь £р97а — коэффициенты из таб-9

лицы (6), причем /к ^ = а при естественном гомоморфизме ^ свободной лиевой алгебры с множеством свободных порождающих {х»р | р 6 J¿}, г фиксировано, на ее фактор-алгебру А»-

Точно так же строится идеал Qk алгебры Ьк, к 6 Кт при переходе от алгебры Ь(т) к алгебре Ь(т + 1)- В силу леммы 2.2 из [2], Qk П Ьк_1 = Qk_l- Наконец, рассмотрим идеал Qл алгебры Л, объединяющий все построенные идеалы Qk-Фактор-алгебра Л = Л^л обладает всеми свойствами свободного произведения экспоненциальных алгебр еА», г 6 I, определение которой дается по аналогии с существующими.

2. Группа свободной экспоненци-(6) альной алгебры

Пусть Л — свободная экспоненциальная алгебра над полем - характеристики 0. Рассмотрим группу О = О(Л), порожденную всеми элементами вида ехр д, д 6 Л- Как было отмечено, для любой экспоненциальной алгебры справедливы

аа

а

г

9

22

Е.А. Тюменцев

соотношения (1) — (5). При этом (2), (3) — это свойства операции ехрд, д 6 Л — фиксировано как автоморфизма алгебры Ли [6]. (1) — утверждение того, что любой такой автоморфизм имеет ровно одно направление неподвижных точек. Из (4) следует, что подгруппа группы О, порожденная элементами вида ехр Л/, где Л 6 ^ / — фиксированное направление в Л, изоморфна аддитивной группе поля ^ которую обозначим как Fy. Далее, назовем направление / из Ь(п), п ^ 1 : /6 Ь(п — 1) простым, если его можно записать как / = а ехр Ьд ехр Ь2 ... ехр Ь-, где а, Ьд,..., Ь- 6 Ь(п — 1). В этом случае, согласно (4), (5) ехр / = ехр(—Ьд)ехр а ехр Ьд ... ехр Ь-. Построим множество О0 направлений из Л следующим образом:

1) все направления из Ь(0) = Ь принадлежат

С0(0);

2) О0 (п), п ^ 1 принадлежат все направления из Ь(п) \ Ь(п — 1) за исключением простых.

3) С0 = и С0(п).

"=0

Здесь мы отождествляем Ь(п—1) и образ Ь(п—1) при вложении Ь(п — 1) ^ Ь(п). По построению множества О0 между элементами ехр д;, где д ; — различные направления из С), нет соотношений, причем О порождается всеми элементами ехр ад, а 6 ^ д 6 О0. Отсюда вытекает следующее утверждение (во введенных выше обозначениях): О = *

зеСо

3. Группа, построенная по свободному произведению экспоненциальных алгебр

построена и является свободным произведением лиевых алгебр Вт с объединенной подалгеброй В, а подалгебра Р-+1 порождена множеством и Р7, где Р7 = Р- ехр(7Ь), Ь 6 В4, р0 отождествляем с Р-. Тогда Р-+д = * (Р^ | В4). Если

же Ь / В( ни при каком £ 6 {т}, то Р-+1 = * (Р& I (Ь)). Пусть К — вполне упорядоченное множество направлений из Р \ А. Построив

алгебру Р(1) = и Р по алгебре Р(0) = Р, ана-

к

логично построим алгебру Р(п + 1) по алгебре

Р(п), п 6 N. Наконец, ЕР = 1и Р(п).

Отсюда следует, что группа О ер , соответствующая свободному произведению экспоненциальных алгебр ЕР = Ад £ А2, равна: Оер = Оер(Ад £ А2) = О(Ад) * О(А2) * О, где О — некоторая группа, выяснением строения которой мы и займемся далее.

Так же, как и в разделе 2, назовем направление / из Р(п), п ^ 1 : / / Р(п — 1) простым, если / = а ехр Ь1 ехр Ь2 . . . ехр Ь , где а, Ь1 , . . . , Ь - 6 Р(п — 1). Построим множество Оер направлений из ЕР по следующим правилам:

1) все направления из Р(0) \ {Ад и А2} принадлежат Оер (0);

2) Оер (п), п ^ 1 принадлежат все направления из Р(п) \ Р(п — 1), кроме простых;

3) ОЕР = и0ОЕР(п).

"=0

Здесь мы отождествляем Р(п—1) и образ Р(п—1) при вложении Р(п — 1) ^ Р(п). Значит, группа О устроена следующим образом: О = *

Для простоты обозначений ограничимся двумя экспоненциальными алгебрами Ад и А2. В этой статье мы рассмотрим случай свободного произведения алгебр с нулевой объединенной подалгеброй, т.е. Ад П А2 = 0. Пусть Од = О(Ад) и О2 = О(А2 ) — группы, соответствующие экспоненциальным алгебрам Ад и А2. Аналогично определим О = О(Ад £ А2) как порожденную всеми элементами вида ехрд, д 6 Ад £ А2.

Опишем кратко процедуру построения свободного произведения экспоненциальных алгебр ЕР = Ад £ А2 по Р = Ад * А2. Подробное изложение приводится в [3]. Пусть Ь 6 Ад — представитель наименьшего направления в алгебре Ад . Тогда Р0 — подалгебра, порожденная в Ад £ А2 множеством и Р7, где Р7 = Р ехр 7Ь,

является Р0 = * (Р7 | Ад); здесь мы отождествляем Р0 и Р. Пусть подалгебра Р уже

[1] Кукин Г.П. Сплетения экспоненциальных алгебр Ли // Материалы междунар. конф. „Выпускник НГУ и научно-технический прогресс". Новосибирск: НГУ, 1999. С. 48-49.

[2] Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Свободная экспоненциальная алгебра. (В печати).

[3] Кукин Г.П., Тюменцев Е.А. Свободные произведения экспоненциальных алгебр. ИЫЫ-расширения и сплетения. (В печати).

[4] Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1984. Т. 5.

[5] Швед Е.А. О пронильпотентных алгебрах Ли // Вестник Омского университета. 2001. № 4. С. 1921.

[6] Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

о