Группы числовых «Созвездий» Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГРУППЫ ЧИСЛОВЫХ «СОЗВЕЗДИЙ»

Мамедяров Даглар Мамедярович

канд. пед. Наук, Дербентский филиал «Московский государственный гуманитарный университет им. МА. Шолохова», Республика Дагестан,

г. Дербент E-mail: gadji052@rambler.ru

GROUPS OF NUMERICAL "CONSTELLATIONS"

Daglar Mamedyarov

candidate of pedagogic sciences, Derbent Branch of Sholokhov Moscow State

University for the Humanities, Russia, Derbent

АННОТАЦИЯ

Группами «числовых созвездий» в свое время занимались два великих академика: Гольдбах и Эйлер. В своей статье автор ставит цель: найти правило для получения аналогичных и других интересных «числовых созвездий». В ходе такой исследовательской работы были найдены способы получения различных групп созвездий с использованием свойств треугольных, пирамидальных и других чисел сочетаний. Материал данной статьи с успехом можно использовать на факультативных и кружковых занятиях.

ABSTRACT

In due time two great academicians Goldbach and Euler used to work with groups of "numerical constellations". In this article the author's goal is to find a rule for receiving similar and other interesting "numerical constellations". During this research the ways of gaining different groups of constellations using properties of triangular, pyramidal and other numbers of combinations have been found. Material of this article could be successfully used in interest groups and extracurricular activities.

Ключевые слова: числовые созвездия; тождества.

Keywords: numerical constellations; identities.

Числа, подобно звездам, можно группировать в разнообразные числовые «созвездия».

«Созвездие» из шести чисел 2, 3, 7, 1, 5, 6 занятно тем, что сумма первых трех чисел равна сумме последних трех, равны даже суммы их квадратов:

2+3+7=1+5+6 22 + 32 + 72 = 12 + 52 + 62.

Эти числа 2, 3, 7, 1, 5, 6 заменяют собой шесть неизвестных х1( х2, х3, ух, У2, у3 в системе уравнений

Х1 + Х2 + Хз = У1 + У2 + Уз, Х12 + Х22 + Хз2 = У12 + У22 + Уз2.

Есть бесконечно много других чисел, которые являются решением этой системы. Еще ярче «созвездия» из восьми чисел 0, 5, 5, 10, 1, 2, 8, 9 и из десяти чисел 1, 4, 12, 13, 20, 2, 3, 10, 16, 19. В каждом из них сумма чисел первой половины равна сумме чисел второй половины, затем равны суммы квадратов тех же чисел, больше того, равны даже суммы кубов тех же чисел:

( 0 + 5 + 5 + 10 = 1 + 2 + 8 + 9, ¡02 + 52 + 52 + 102 = 12 + 22 + 82 + 92, 'о3 + 53 + 53 + 103 = 13 + 23 + 83 + 93.

( 1 + 4 + 12 + 13 + 20 = 2 + 3 + 10 + 16 + 19, Ь2 + 42 + 122 + 132 + 202 = 22 + 32 + 102 + 162 + 192, 13 + 43 + 123 + 133 + 203 = 23 + 33 + 103 + 163 + 193.

Имеются и другие группы чисел, связанные точно такими же соотношениями, но как подобрать такие числа? В «тайну» всех приведенных здесь «числовых созвездий» первыми проникли еще в 1750—1751 годы два петербургских академика Гольдбах и гениальный Эйлер. Они нашли ряд

формул, пригодных для решения в целых числах некоторых систем уравнений, в частности и тех, которые приводят к упомянутым «числовым созвездиям». Для подбора чисел, образующих первое «созвездие»:

Х±+ Х2+ Х3 = у±+у2+ Уз

Х±2 + Х22 + Хз2 = У±2 + у 22 + Уз2, оказались пригодными такие формулы:

хг = а + с,х2 = Ь + с,х3 = 2а + 2Ь + с

и

Уг = с, у2 = 2а + Ь + с,у3 = а + 2Ь + с.

Надо заменить в этих формулах буквы а, Ь, с любыми числами, и вы получите сколько угодно чисел первого «созвездия». В частности, при а = 1,Ь = 2, с = 1 получается «созвездие», приведенное в качестве первого примера: 2, 3, 7, 1, 5, 6.

Эйлер и Гольдбах дали еще и другую группу формул для чисел первого «созвездия».

хг = а<,х2 = ас + Ь<,х3 = Ьс; у г = ас,у 2 = ай + Ьс,уз = Ь<,

где: а,Ь,си< — тоже произвольные числа.

Для подбора чисел, образующих второе «созвездие»:

+ Х2 + Х3 + Х4 = ух + у2 + Уз + у4, ХХ2 + Х22 + Хз2 + Х42 = У!2 + У22 + Уз2 + У42, ХХ3 + Х23 + Хз3 + Х43 = У!3 + У23 + Уз3 + У43,

пригодны следующие формулы: Х! — а, Х2 — Х3 = 3а + 3Ь; х4 — 2а + 4Ь,у! — 2а + Ь,у2 — а + 3Ь,у3 — 3а + 4Ь,у4 — 0 [1].

Занимаясь этой проблемой, мы нашли другие интересные числовые «созвездия» и правила нахождения чисел для таких «созвездий», в частности для первого «созвездия».

На примерах объясним суть нашего правила [3]. Возьмем разность чисел — ( 2 Пусть ) — 3, имеем:

С2 — С2 — 9 "2 — С2 — 18 С62 — Сз2 — 12 С92 — С62 — 21 С2 — "2 — 15 С20 — С72 — 24 и т. д. Пусть ) — 4, имеем:

С-2 — С22 — 14 С. — С2 — 26

С2 — С2 — 18 С2/ — С-2 — 30 С2 — С42 — 22 С!2! — С72 — 34 и т. д. Пусть ) — 5, имеем:

С7 С2 — 20 С! о С* — 35 С8 С3 — 25 С! С- — 40 С92 — С42 — 30 С22 — С72 — 45 и т. д.

Если в этих равенствах возьмем разность двух соседних значений, то получим ).

Например, при ) — 3; 12 — 9 — 3,15 — 12 — 3,18 — 15 — 3 и т. д.

при ) = 4; 18 - 14 = 22 - 18 = 26 - 22 = 4 и т. д.

Поэтому, мы можем составлять множество тождеств вида

"2 — " 5 — "8 + "4 = "7 — " 3 — "б + "2

"10 & "I & "9 + "4 = "8 & "з2 & "7 + "г2 и т. д., или

+ "-1 + "-4 + "З1 = "+1 + "8 & "5 + "2

"2 + "72 + "42 + "з2 = "82 + "I + "52 + "22 и т. д. Отсюда, используя определение числа сочетаний, получаем 92 & 9 + 62 & 6 + 42 & 4 + 32 & 3 = 72 & 7 + 82 & 8 + 52 & 5 + 22 & 2 или 92 + 62 + 42 + 32 & (9 + 6 + 4 + 3) = 72 + 82 + 52 + 22 & (7 + 8 + 5 + 2). Имеем:

9+6+4+3=7+8+5+2=22 92 + 62 + 42 + 32 = 72 + 82 + 52 + 22 = 142,

102 & 10 + 72 & 7 + 42 & 4 + 32 & 3 = 82 & 8 + 92 & 9 + 52 & 5 + 22 & 2 или 102 + 72 + 42 + 32 & (10 + 7 + 4 + 3) = 92 + 82 + 52 + 22 & (9 + 8 + 5 + 2). Имеем:

10 + 7 + 4 + 3 = 9 + 8 + 5 + 2 = 24 102 + 72 + 42 + 32 = 92 + 82 + 52 + 22 = 174.

Найденные нами числа являются решениями системы второго «созвездия», правда, только для первых двух уравнений. Используя такие тождества, можно получить сколько угодно решений для системы

Х1 + Х2 + Х3 + Х- = У1 + У2 + Уз + У-, Х12 + Х22 + Хз2 + Х-2 = У12 + У22 + Уз2 + У-2.

А как получить числа для первого «созвездия»? Покажем это на примере. Воспользуемся равенством

а2 -(а- к)2 -(а- 2к)2 + (а - 3к)2 = (2к)2 [2].

Пусть а = 16,к = 2.

Имеем: 162 - 142 - 122 + 102 = 42. Возьмем следующее равенство, где а - 3к = 16, а = 16 + 6 = 22,222 - 202 - 182 + 162 = 42.

Отсюда 222 - 202 - 182 + 162 = 162 - 142 - 122 + 102 или

222 + 142 + 122 = 202 + 182 + 102,22 + 14 + 12 = 20 + 18 + 10 = 48.

Пусть а = 20,к = 3.

Имеем: 202 - 172 - 142 + 112 = 62. Возьмем второе равенство, где

а = 20 + 3к = 20 + 9 = 29. Тогда 292 - 262 - 232 + 202 = 62.

Приравнивая обе части, получаем:

292 - 262 - 232 + 202 = 202 - 172 - 142 + 112 или 292+172 + 142 = 262 + 232 + 112;

29 + 17 + 14 = 26 + 23 + 11 = 60.

Общее правило такое: из тождества а2 - (а - к)2 - (а - 2к)2 + (а - 3к)2 = (2к)2, взяв вместо а и к произвольные числа, вычисляем первое тождество. Так как равенство не зависит от выбора а, то вычисляем второе тождество, такое, чтобы его меньший член совпадал со старшим членом первого тождества. То есть складываем к старшему члену первого тождества 3к.

Тождество а2 - (а - к)2 - (а - 2к)2 + (а - 3к)2 = (2к)2 всегда приводит к решению системы:

( х± + Х2 + х3 + х4 = у± + у 2 + уъ + у4,

{х12 + Х22 + х32 + Х42 = уг2 + У22 + у32 + У42.

Приведем один пример:

302 - 282 - 262 + 242 = 202 - 182 - 162 + 142 = 42. Отсюда 302 + 242 + 182 + 162 = 282 + 262 + 202 + 142. 30 + 24 + 18 + 16 = 28 + 26 + 20 + 14.

Приведем несколько другие интересные «созвездия». Вычислим разность треугольных чисел вида "33+4 & "т. Например,

С2 - "22 = 14 "82 - "4 = 22 "2 - "32 = 18 С.2 - "2 = 26 и т. д.

Получаем "72 - "32 - "62 + "22 = 4; "92 - "52 - "82 - "42 = 4 и т. д. Число 4 запишем в виде - "4 по формуле "#2+1 - = Имеем: "72 - "32 - "62 + "22 = "52 - "42 или "72 + "42 + "22 = "62 + "52 + "32. Используя определение числа сочетаний, имеем:

72 - 7 + 22 - 2 + 42 - 4 = 52 - 5 + 32 - 3 + 62 - 6. 72 + 42 + 22 - (7 + 4 + 2) = 52 + 62 + 32 - (6 + 5 + 3).

Получаем систему

72 + 42 + 22 + 1 = 52 + 62 + 32

С2 _ р2 _ п2 _ п2 _ л п2 _ р2 _ п2 I п2 _ р2 _ п2

9 "5 "8 "4 _ 4, "9 "5 "8 "4 _ "5 "4.

Отсюда

"2 + "2 + "2 = "2 + "2 + "2

Используя определение числа сочетаний, получаем:

92 -9 + 42 -4 + 42 -4 = 82 -8 + 52 -5 + 52 -5 или

92 + 42 + 42 - 09 + 4 + 4) = 52 + 82 + 52 - 05 + 8 + 5). Имеем систему

92 + 42 + 42 + 1 = 52 + 82 + 52 9 + 4 + 4 + 1 = 8 + 5 + 5.

Используя такие тождества можно получить бесконечное множество решений системы

Хг2 + Х22 + Х32 + 1= уг2 + У22 + Уз2, Хг+Х2+Хз + 1=Уг+у2+ Уз.

Для получения таких равенств можно использовать равенство

Ст+к - Ск = 4 + 2к - 1-

Пусть к = 2. Составим равенства

С2 " "2 — 5 С+ С* — 11 С2 -Сз2 = 7 С2 - С- = 13 С-2 -С2 = 9 С2 -С2 = 15 и т .д. Найдем разность двух соседних тождеств.

1.С2 - С2 - С2 + С2 = 2, но 2 есть С2 - С?;. Отсюда С2 + С-2 + С-2 = Сз + С3 + Сз, имеем

52 + 22 + 22 + 1 = 32 + 32 + 42 5 + 2 + 2 + 1 = 3 + 3 + 4.

2. С2 - С*2 - С-2 + С2 = С2 - С22 или С2 + С1 + С22 = С-2 + С*2 + Имеем:

72 + 42 + 22 + 1 = 62 + 52 + 32 7 + 4 + 2 + 1 = 6 + 5 + 3.

Используя разности Стп+к-Ст при к = 1,2,3, ...,Ы можно получить сколько угодно такие «созвездия». Можно получить и другие «созвездия»,

(92 + 42 + 42 + 1 = 52 + 52 + 82 подобные \ или

( 9+4+4+1=5+5+8

Г52 + 22 + 22 + 1 = 32 + 32 + 42

) с п п 1 _ с о л которые являются решениями системы (. 5 + 2 + 2 + 1 — 5 + 3 + 4,

Х12+2Х22 + 1 = 2у12 +У22, + 2X2 + 1 — 2У1 +У2-

Если возьмем разности 2С#+1 — С# — й и составим равенства 2С#+1 — — 2С7+1 — С7, получаем ЛС^ + С] — С2 + С^. Используя определения числа сочетаний, получаем решения системы

2х12 + Х22 — (те + 1) — У12 + У22, 2X1 + Х2 — (' + 1) — У1 + У2-

Пример 1. 2С2 — С| — 5 ^ 2С2 — С| — С- — С| или

2С| + С52 — С62 + С22 или

2 • 32 — 2 • 3 + 52 — 5 — 62 — 6 + 22 — 2,

2 • 32 + 52 — (2 • 3 + 5) — 62 + 22 — (6 + 2), имеем

2 • 32 + 52 — 3 — 62 + 22 2^3 + 5 — 3 — 6 + 2.

Пример 2. 2С| — С2 — 9 ^ 2С4 — С2 — С2о — С| или 2С4 + С.) — Сю + С3 .

Имеем: 2 • 42 — 2 • 4 + 92 — 9 — 102 — 9 + 32 — 3.

2 • 42 + 92 — (2 • 4 + 9) — 102 + 32 — (9 + 3).

2 • 42 + 92 — 4 — 102 + 32 2^4 + 9 — 4 — 10 + 3.

Если возьмем разности чисел вида 2С#2+% — С# — й, получим решение системы

|3х!2 + х2 2 — у!2 + у2 2 + 2' + 2) + 2, I 3х! + х2 — у! + у2 + 2' + 2) + 2.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. 3С62 — Сз2 — 42 ^ 3С| — С2 — С|з — С|2. Отсюда 3С6 + С42 — С4з + Сз ■

Имеем: 3 • 62 + 422 — (3 • 6 + 42) — 432 + 32 — (43 + 3).

3 • 62 + 422 — 432 + 32 + 14 3^6 + 42 — 43 + 3 + 14.

Пример 2. 3С| — С2 — 29 ^ 3С| — С2 — С20 — С29 или

3С* + С229 — Сз20 + С2. Отсюда

3 • 52 + 292 — (3 • 5 + 29) — 302 + 22 — (30 + 2).

3 • 52 + 292 — 302 + 22 + 12 3 • 5 + 29 — 30 + 2 + 12.

Из наших примеров можно сделать вывод: если взять равенства вида

8С#2+% — — й, то записывая й в виде С7+! — С7 — й можно находить

Мх-, 2+х22+т — у,2 + Яу22 решения системы уравнений вида 1 ! 2 ^ , где т

I 8х, + Х2 + т — у, + ;у2

разность 8(' + )) + й — (й + 1 + Я'). Приведем примеры:

1. 2С62 — 4С3 — 18 ^ 2С62 — 4С3 — С,2. — С2,

Отсюда 2С| + С,, — С,. + 4С2. Используя определение числа сочетаний, имеем 2 • 62 + 182 — (2 • 6 + 18) — 192 + 4 • 32 — (19 + 4 • 3). |2 • 62 + 182 + 1 — 192 + 4 • 32

Имеем:

2 • 6 + 18 + 1 — 19 + 4 • 3.

2. 2С8 — 4С4 — 32 ^ 2С8 — 4С4 — С33 — С32' 2С8 + С32 — С33 + 4С4,

2 • 82 + 322 — (2 • 8 + 32) — 332 + 4 • 42 — (33 + 4 • 4).

12 • 82 + 322 + 1 — 332 + 4 • 42 1 2 • 8 + 32 + 1 — 33 + 4 • 4.

3. 3"52 & 4"42 = 6 ^ 3"52 & 4"42 = "72 & "б2, 3"52 + "б2 = "72 + 4"42,

3 • 52 + 62 & (3 • 5 + 6) = 72 + 4 • 42 & (7 + 4 • 4).

3 • 52 + 62 + 2 = 72 + 4^42 3-5 + 6 + 2 = 7 + 4-4.

4. 5"2о & 2"| = 205 ^ 5"12о & 2"| = "!об & "2о5'

5"120 + "2о5 = "2об + 2"!'

5 • 102 + 2052 & (5 • 10 + 205) = 2062 + 2 • 52 & (206 + 2^5).

5 • 102 + 2052 & 39 = 2062 + 2 • 52 5 • 10 + 205 & 39 = 206 + 2^5.

Составляя разнообразные комбинации из чисел сочетаний, можно получать различные числовые «созвездия».

Составим различные числовые «созвездия».

Возьмем выражение 5"4 & 2"2 & 5"2 + 2"! = 11. Отсюда

5"4 + 2"22 + "2 = 5"з2 + 2"2 + "22. Далее

5 • 42 + 2 • 22 + 112 & (5 • 4 + 2 • 2 + 11) = 5 • 32 + 2 • 32 + 122 &

(5^3 + 2^3 + 12). Имеем:

5 • 42 + 2 • 22 + 112 & 2 = 5 • 32 + 2 • 32 + 122 5-4 + 2- 2 + 11 & 2 = 5- 3 + 2- 3 + 12.

Из 5"б2 & 2"! & 5"| + 2"4 = "18 & "127, получаем 5"б2 + 2"42 + "2 = "2 + 2"52 + 5"52. Имеем: 5 • 62 + 2 • 42 + 172 & (5 • 6 + 2 • 4 + 17) = 182 + 2 • 52 + 5 • 52 & (18 + 2 • 5 + 5 • 5). Отсюда

5 • 62 + 2 • 42 + 172 & 2 = 182 + 2 • 52 + 5 • 52

или

5-6 + 2- 4 + 17 & 2 = 18 + 2- 5 + 5- 5

5 • 62 + 2 • 42 + 172 = 7 • 52 + 182 + 2 5^6 + 2^4 + 17 = 7-5 + 18 + 2.

Возьмем 3С- - 2С% - 3С*2 + 2С2 = С20 - С2 Отсюда 3С-2 + 2С2 + С2 = С}0 + 2С2 + 3С£. Имеем 3^62 + 2^32 + 92 -(3^6 + 2^3 + 9) = 102 + 2^42 + 3 • 52 -(3^5 + 2^4 + 10). Отсюда

3^62+ 2^32 + 92 = 102 + 2^42+ 3^52 3 • 6 + 2 • 3 + 9 = 3 • 5 + 2 • 4 + 10.

Из 5С42 + 2С22 + С2 = 5С2 + 2С2 + С1^2 мы получили решение системы

5х12 + 2х22 + х32 -2 = 5у2 + 2у22 + уъ2, 5х1 + 2х2 + хз - 2 = 5у1 + 2у2 + уз.

Из 5С-2 + 2С4; + С2 = С1, + 2С* + 5С*2 получили решение системы

5х12 + 2х22 + хз2 = 1у2 + у22 + 2, 5х1 + 2Х2 + хз = 7у1 +у2 + 2.

Из 3С- + 2С2 + Сд = 3С*2 + 2С% + С^ получили решение системы

3хл2 + 2х22 + хз2 = 3у2 + 2у22 + уз2, 3х1 + 2Х2 + хз = 3у1 + 2у2 + уз.

Из равенства 2С+ - Сз - 2С- + С^ = СЦ - Симеем:

2С+ + с20+с2 = 2с£ + сз + с2 или

2^72 + 102 + 22 -(2^7+ 10 + 2) = 2^62 + 3 + 112-(2^6 + 3 + 11). (2 • 72 + 102 + 22 = 2 • 62 + 3 + 112

1 „ „ ~ .. , получили решение системы

( 2^7 + 10 + 2 = 2^6 + 3 + 11 3 р

(2х12 + х22 + хз2 = 2у12 + у22 + уз2 I 2х1+х2+хз = 2у1+у2+уз.

Возьмем такое выражение 6"| - 4"2 + "1/ - "121 + "42 = "45 - "44. Отсюда 6"52 + "2 + "42 + "424 = "425 + 4"32 + "121.

Имеем: 6 • 52 + 102 + 42 + 442 - (6 • 5 + 10 + 4 + 44) = 452 + 4 • 32 + 112 - (45 + 4 • 3 + 11) или

6 • 52 + 102 + 42 + 442 - 20 = 452 + 4 • 32 + 112 6 • 5 + 10 + 4 + 44 - 20 = 45 + 4 • 3 + 11.

Получили решение системы

Г6Х12 + Х22 + Х32 + Х42 - 20 = У12 + 4У22 + У32 I 6Х1+ Х2+Х3+Х4 - 20 = 2У1+ 4У2+У3.

Замечание: если записать эти тождества в общем виде и придавать им различные значения, мы получим множество решений полученных систем.

Рассмотрим еще одно «созвездие». Оно представляет собой систему

<=!2 + @у!2 = <=22 + @у22 + = <=2 + @У2

Прежде чем приведем решение данной системы, остановимся на одном историческом факте.

Индийский студент Сундарам в 1934 году придумал следующую таблицу:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, ...

7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, ...

10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, ...

13, 22, 31, 40, 49, 58, 87, 96, 105, ...

Если взять число, которое не входит в эту таблицу, умножить на 2 и прибавить 1, то получится всегда простое число. Например, 15 не входит в эту таблицу. 15 • 2 В 1 = 31— простое.

Заметим, что любой член первой строки имеет вид 3' + 1, второй — 5' + 2, третьей — 7' + 3, четвертой — 9' + 4 и т. д. То есть каждая трока представляет арифметическую прогрессию с разностью й.

Каждый член таблицы Сундарама можно записать в виде "(2п+1)7 — .

ТТ С62-с| 12 . СЕ-с| 36-15 п С-^-Сд 66-36 ,, А

Например, ——- = — = 4, ——6 =-= 7, ——- =-=10 и т. д.

3 3 3 3 3 3

С2-С| _ 45-10 _ С125-С120 _ 105-45 ___ 190-105 _

- — - — /,- — - — 12,- — - — 1/ и т. д.

5 5 5 5 5 5

Заметьте, что в каждой арифметической прогрессии есть одинаковые

С 2 _с 2 с 2_с 2

члены. Например, 105 5 = 9 з 6 = 7.

Для любых нечетных чисел 8 и В можно находить такие тождества, т. е. для любой арифметической прогрессии с разностями 8 и В можно найти общий член.

Приведем пример.

Пусть 8 = 3,В = 5. Найдем общие члены этих прогрессий, сравнивая формулы общих членов 3'1 + 1 = 5'2 + 2; 3'1 = 5'2 + 1; '1 = 5#3+1;

' = 5-4+1 = 7 1 _ 3 _ '

5-1+1 5-4+1

Пусть '2 = 1, тогда '1 = —3— = 2 или '2 = 4, тогда '1 = —3— = 7.

То есть при '1 = 2, '2 = 1, '1 = 7, '2 = 4. Эти прогрессии имеют равные члены.

-2 _г*2 /^2_

10 С5 С9 С6

Возьмем равенство 5 3 .

Отсюда 3"120 — 3С52 = 5С. — 5"62 или 3С120 + 5С62 = 3С52 + 5С92. Используя определение числа сочетаний, имеем:

3 • 102 + 5 • 62 & (3 • 10 + 5 • 6) = 3 • 52 + 5 • 92 & (3 • 5 + 5 • 9). Отсюда 3 • 102 + 5 • 62 = 3 • 52 + 5 • 92 = 480

имеем

3 • 10 + 5-6 = 3-5 + 5-9 = 60.

С2 __

Возьмем равенство 24 з 21 = 25* 20.

Отсюда 5"24 & 5"21 = 3"2* & 3"2о или 5"24 + 3"2о = 5"21 + 3"2*. Имеем: 5 • 242 + 3 • 202 & (5 • 24 + 3 • 20) = 5 • 212 + 3 • 252 & (5 • 21 + 3 • 25).

5 • 242 + 3 • 202 = 5 • 212 + 3 • 252 = 4080

Получаем систем^ 5 • 24 + 3 • 20 = 5 • 21 + 3 • 25 = 180.

С 2 _с 2 С 2 _С 2

Возьмем равенство 25* 20 = 27. 18.

Отсюда 9"225 & 9"22о = 5"227 & 5"128 или 9"225 + 5"128 = 9"22о + 5"227. Имеем: 9 • 252 + 5 • 182 & (9 • 25 + 5 • 18) = 9 • 202 + 5 • 272 & (9 • 20 + 5 • 27).

[9 • 252 + 5 • 182 = 9 • 202 + 5 • 272 = 7245

Получаем систем^ 9 • 25 + 5 • 18 = 9 • 20 + 5 • 27 = 315.

Таким образом, мы можем найти бесконечное множество решений 8х12 + ;у12 = 8х22 + ;у22

системы

8Х1 + ;У1 = 8X2 + ;У2

2 + @у>2 + т = <=22 + @У22 Решение системы ' > у > 2 у 2

+ + о = <=2 + @у2

Для нахождения решения нашей системы можно использовать различные комбинации из треугольных чисел.

Приведем несколько примеров.

1 С8 _С3 _ 28_з _ 5_ С10_С6 _ 45_15 _ 5

С2_С2 С2 _С2 С 8 С3 _ С10 С6

Приравнивая левые части, получаем —*— = —-—. Отсюда

6", & 6"2 = 5"12о — 5"б2 или 6"! + 5"б2 = 6"| + 5"12о. Имеем: 6 • 82 + 5 • 62 & (6 • 8 + 5 • 6) = 6 • 32 + 5 • 102 & (6 • 3 + 5 • 10).

„ (6 • 82 + 5 • 62 = 6-32 + 5 • 102 + 10

Получаем систему { 6 • 8 + 5 • 6 — 6 • 3 + 5 • 10 + 10.

2 С125-СХ2О = 105-45 = СХ24-С121 = 91-55 = " 5 5 ' 3 3 '

Отсюда = или 3"15 - 3"10 = 5"14 - 5С11,

3"25 + 5 С121 = 3С120 + 5"14. Имеем:

3 ■ 152 + 5 ■ 112 - 03 ■ 15 + 5 ■ 11) = 3 ■ 102 + 5 ■ 142 - 03 ■ 10 + 5 ■ 14).

3 ■ 152 + 5 ■ 112 = 3 ■ 102 + 5 ■ 142 + 0

Получаем систем^ 3-15 + 5-11 = 3-10 + 5-14 + 0.

3. Возьмем ^^ = 66-45 = 3; 62-62 = 3.

7 7 23

Отсюда С127Ч° = Ь1^. Имеем: 23"22 - 23"2 = 7"25 - 7"92 или 2 3 "12 + 7 "9 — 23 "1 о + 7 "15 .

23 ■ 122 + 7 ■ 92 - 023 ■ 12 + 7 ■ 9) = 23 ■ 102 + 7 ■ 152 - 023 ■ 10 + 7 ■ 15).

тг (23 ■ 122 + 7 ■ 92 — 23 ■ 102 + 7 ■ 152 + 4 — 3879

Получаем систему | 23-12 + 7-9 — 23-10 + 7-15 + 4 — 339.

Как найти решения этой системы в натуральных числах мы уже показали при решении уравнения 813 + 823 + 833 + 843 — ;13 + ;23 + ;33 + ;43. в этом

равенстве равны основания, т. е. 81 + 82 + 83 + 84 — ;1 + ;2 + ;3 + ;4.

0 Г3=!2 +=?? — ЗУ!2 + у2'

Решение системы 1 „ 2 „

3=! + =2 — 3У> + У2

Воспользуемся равенством "#+4 - 2"#+2 + — 4. Это равенство верно для любых '.

Например, "62 - 2"42 + "22 — 4, "72 - 2"52 + "32 — 4, "82 - 2"62 + "42 — 4, "92 -2"+2 + "52 — 4 и т. д.

Имеем: "62 - 2"42 + "22 — "82 - 2"62 + "42.

Отсюда "62 + 2"62 + "22 — "82 + 2"42 + "42 или 3"62 + "22 — 3"42 + "82. Имеем: 3 ■ 62 + 22 - 03 ■ 6 + 2) — 3 ■ 42 + 82 - 03 ■ 4 + 8).

Получаем систему \3 6 + 2 34+8 7 -Ч 3 • 6 + 2 = 3 • 4 + 8.

Из С2 -2С2 + С2 = С2 -2С2 + С*2 имеем: 3С2 + с2 = 3с2 + С2. Отсюда получаем: 3 • 72 + 32 - 03 • 7 + 3) = 3 • 52 + 92 - 03 • 5 + 9). 3 • 72 + 32 = 3 • 52 + 92

Имеем систему:

7 ' 3^7 + 3 = 3^5 + 9

(х ? + ?Х ? + X ? = у ? + ?У ? + У ?

Решение системы I1 ? 3 „

( X1 + ?Х? +=3=У1+ ?У? + Уз

Воспользуемся равенством С^+27 - 2С^+а + С-^ = <2. Это равенство верно при любых '.

Возьмем два равенства С^ - 2С% + С2 = С. - 2С+ + С*2. Отсюда С2 + 2С+ + С2 = С2 + 2С2 + С*2. Имеем:

62 + 2 • 72 + 22 - 06 + 2 • 7 + 2) = 92 + 2 • 42 + 52 - 09 + 2 • 4 + 5).

^ (62 + 2^72 + 22 = 92 + 2^42 + 52

Получаем систему I 6 + 2^7 + 2 = 9 + 2- 4 + 5.

Приведем другой пример.

Возьмем равенство С+ + 2С- + С2 = С^ + 2С* + С^. Имеем:

72 + 2 • 62 + 32 - 07 + 2 • 6 + 3) = 82 + 2 • 52 + 42 - 08 + 2 • 5 + 4).

По чаем: [72+ 2^62 + 32 = 82 + 2^52+ 42 луч м: 1 7 + 2^6 + 3 = 8 + 2^5 + 4.

Возьмем равенство С2 - 2С2 + С2 = С+ - 2С^ + С* = 1.

Имеем: С2 + 2С2 + С2 = С2 + 2С2 + С*2- Далее

42 + 2 • 62 + 22 - 04 + 2 • 6 + 2) = 72 + 2 • 32 + 52 - 07 + 2 • 3 + 5).

Получаем: 142 +2 • 62 + 22 = 72 + 2 • 32 +52 у I 4 + 2^6 + 2 = 7 + 2^3 + 5.

Таким образом, мы можем находить бесконечное множество решений данной системы.

(х ? + 2= ? — V ? + 2а ? Решение системы 1 1 _2 „

( х 1 + 2х? — V 1 + ?А2

Покажем решение на примерах.

Возьмем равенство С15 — + С9 — С9 — 2С| + С2 — 32

Отсюда С25 + 2"2 + С92 — С92 + 2С12 + С32 или + 2С62 — С32 + 2С22.

Далее 152 + 2 • 62 — 015 + 2 • 6) — 32 + 2 • 122 — (3 + 2 • 12).

тя (152 + 2 • 62 — 32 + 2 • 122

Имеем систему 1 15 + 2 • 6 — 3 + 2 •

Г4х 2 + 4х 2 — V 2 ^ 2 | V 2 Решение системы 1 1 2 _ .У1 .У2 Ур

С 4=1 + 4=2 — А1 + 6А2 + Аз

Воспользуемся равенством вида С# — 3С#_7 + 3С#_27 + С#_37 — 0. Например, С62 — 3С* + 3С42 — С32 — С72 — 3С62 + 3С* — С42. Отсюда С62 + 3С42 + 3С62 + С42 — С72 + 3"2 + 3"2 + С32. Далее 4С62 + 4С42 — С72 + 6С52 + С32. Имеем: 4 • 62 + 4 • 42 — (4 • 6 + 4 • 4) — 72 + 6 • 52 + 32 — (7 + 6 • 5 + 3).

4 • 62 + 4 • 42 — 72 + 6 • 52 • 32

Получаем систем^ 4^6 + 4^4 — 7 + 6-5 + 3.

Возьмем равенство С, — 3 С-2 + 3С| — С2 — С1о — 3С| + 3С| — С2. Отсюда "2 + 3С42 + 3С82 + С42 — "о + 3С62 + 3С62 + С22 или 4С| + 4"2 — С1о + 6С62 + С22. Имеем:

4 • 82 + 4 • 42 — (4 • 8 + 4 • 4) — 102 + 6 • 62 + 22 — (10 + 6 • 6 + 2).

4 • 82 + 4 • 42 — 102 + 6 • 62 + 22

Получаем систем^ 4^8 + 4^4 — 10 + 6-6 + 2.

Гх12 + Зх22 + Зхз2 + х42 — а12 + За22 + За32 + А4

Решение системы 1 1 2 з 4 1 2 з 4

( =1 + 3=2 + 3=3 + =4 — А1 + 3А2 + ЗАз + А4

1.Возьмем равенство "б — 3"*2 + 3"4 — "3 = "2о — 3"2 + 3", — "2. Отсюда "б2 + 3"42 + 3"| + "72 = "20 + 3"82 + 3"52 + "з2. Имеем:

62 + 3 • 42 + 3 • 92 + 72 — (6 + 3 • 4 + 3 • 9 + 7) = 102 + 3 • 82 + 3 • 52 + 32 —(10 + 3^8 + 3^5 + 3).

Получаем систему [62 + 3 • 42 + 3 • 92 + 72 = 102 + 3 • 82 + 3 • 52 + 32 у -Ч 6 + 3^4 + 3^9 + 7 = 10 + 3^8 + 3^5 + 3.

Заметим, что эти числа удовлетворяют и уравнению

х1з + 3х2з + 3хзз + х4з = у1з + 3у2з + 3узз + у4з, т. е. 6з + 3 • 4з + 3 • 9з + 7з = 10з + 3 • 8з + 3 • 5з + 3з,

2938 = 2938 , т. е. мы нашли решение системы:

Х1з + 3х2з + 3хЗз + х4з = У1з + 3у2з + 3узз + у4з Х12 + 3Х22 + 3Хз2 + Х42 = У12 + 3У22 + 3уз2 + У42 (*) Х1 + 3X2 + 3Хз + Х4 = У1 + 3У2 + 3уз + у4

2.Возьмем "12о — 3"| + 3"4 — "12 = "2о — 3"127 + 3"14 — "Ц. Отсюда "2 + 3"127 + 3"42 + "121 = "22о + 3"124 + 3"72 + "2

Имеем: 102 + 3 • 172 + 3 • 42 + 112 — (10 + 3 • 17 + 3 • 4 + 11) = 202 + 3 • 142 + 3 • 72 + 12 — (20 + 3 • 14 + 3 • 7 + 1). Получаем систему

102 + 3 • 172 + 3 • 42 + 112 = 202 + 3 • 142 + 3 • 72 + 12 10 + 3 • 17 + 3 • 4 + 11 = 20 + 3 • 14 + 3 • 7 + 1.

Проверим, удовлетворяют ли эти числа уравнению

Х1з + 3х2з + 3хЗз + х4з = У1з + 3у2з + 3узз + у4з ? 10з + 3 • 17з + 3 • 4з + 11з = 1000 + 14739 + 192 + 1331 = 17262. 20з + 3 • 14з + 3 • 7з + 1з = 8000 + 8232 + 1029 + 1 = 17262.

Убедились, что эти числа являются решением системы (*). Используя такие тождества мы можем находить бесконечное множество решений системы

2

Воспользуемся равенством С#+3 — 3С#+2 + 3С#+1 — = 1.

Возьмем равенство С| — 3С+ + 3С| — С*3 = С. — 3С| + 3С+3 — С|. Отсюда С| + 3"3 + 3С| + С63 = С93 + 3С| + 3С73 + С| или 4С| + 4С| = С93 + 3С73 + 6С73 + С3. Используя формулу п3 = С#3+1 + п, получаем

4 • 73 + 4 • 53 — (4 • 7 + 4 • 5) = 83 + 6 • 63 + 43 — (8 + 6 • 6 + 4).

Используя тождество С3 — • "З-й + "3 • С?3-27 — ± С?3-ш = [4], при различных значениях шип можно находить решения системы уравнений от первой до ш —й степени с биноминальными коэффициентами разложения бинома Ньютона ш — й степени.

Например, из тождеств

но эти числа

4 • 72 + 4 • 52 = 82 + 6 • 62 + 42, 296 = 296.

С- — 6С- + 15С-0 — 20С9 + 15С86 — 6С76 + С66=1 и

системы уравнений.

=1 можно получить

Из тождества

Имеем;

П26 + б" 186 + 15■ 106 + 15■ ■86 + 20■ 166 + 6 + 6- 146 = 196 + 6 ■ 116 + 15 • 176 + 15- 156 + 20 ■96 + 136 + 6 ■ 76

125 + в' 185 + 15• 105 + 15• ■85 + 20■ 165 + 6 + 6- 145 = 195 + 6 ■II5+ 15 ■ 175 + 15 ■ 155 + 20 ■95 + 135 + 6 ■ 75

124 + в' 184+ 15- 104 + 15• ■84 + 20■ 164 + 6 + 6- 144 = 194 + 6 ■ II4 + 15 • 174+ 15- 154 + 20 ■94 + 134 + 6 ■ 74

1123 + 6" 183 + 15• 103 + 15• ■83 + 20■ 163 + 6 + 6- 14з = 193 + 6 ■II3+ 15 ■ 173 + 15 ■ 153 + 20 ■93 + 133 + 6 ■ 73

122 + б" 182 + 15■ 102 + 15• ■82 + 20■ 162 + 6 + 6- 142 = 192 + 6 ■II2+ 15 •172 + 15■ 152 + 20 ■92 + 132 + 6 ■ 72

С 12 + 6-18 + 15-10 + 15-8 + 20-16 + 6 + 6 »•14 = 19 + 6- 11 + 15- 17 + 15-15 + 20- 9 + 13 + 6- 7

Это одно из решений. Такие системы имеют бесконечное множество решений.

Список литературы:

1. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Москва 1965 г. — Стр. 336.

2. Мамедяров Д.М., Вакилов Ш.М. Некоторые свойства соединений и фигурных чисел и их применение при решении задач. Дербент 2006 г. — Стр. 68.

3. Мамедяров Д.М. Неопределенные уравнения и их системы. Дербент 2013. Стр.241.

4. Мамедяров Д.М. Вакилов Ш.М. Как научить учащихся маленьким открытиям. Международная научно-практическая конференция. Материалы конференции 24,26 июня 2011 года. Дербент 2011.