CC BY
51
УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЧИСЛОВОЙ КОРТЕЖ
Мамедяров Даглар Мамедярович
канд. пед. наук, Дербентский филиал «Московский государственный гуманитарный университет им. МА. Шолохова, РФ, г. Дербент
INCREDIBLE NUMERICAL TUPLE
Daglar Mamedyarov
candidate of pedagogic sciences, Derbent Branch of Sholokhov Moscow State
University for the Humanities, Russia, Derbent
АННОТАЦИЯ
Эта статья является мини-исследовательской работой автора. Целью работы была: выявление, каких-то соотношений и связей между числами, в том числе «чисел сочетаний». В ходе работы был найден нестандартный метод образования чисел сочетаний, т. е. биномиальных коэффициентов, раскрыты некоторые свойства сочетаний.
ABSTRACT
This article is a mini research of the author. It is aimed at revelation of some correlations and connections between numbers, including numbers of combinations. During the work a non-standard formation method of numbers of combinations has been found, namely of binomial coefficients; some properties of combinations have been revealed.
Ключевые слова: кортеж; треугольник Паскаля.
Keywords: tuple; Pascal triangle.
Слово «кортеж» в переводе на русский означает «торжественное шествие» (говорят «свадебный кортеж», кортеж автомашин»). Примерами кортежей могут служить слова (кортежи, составленные из букв алфавита), десятичные записи чисел (кортежи, составленные из цифр) и т. д. Подчеркнем отличие понятие кортежа от понятия множества: в множестве все элементы различны, а в кортеже компоненты могут повторяться.
В этой статье мы рассмотрим кортежи, которые обладают любопытными свойствами.
Возьмем 0, к нему добавим 1 и 2. Получим кортеж (1 2). К каждому элементу этого кортежа добавим по 1 и 2, получим кортеж 2 3 3 4. Добавляя к каждому элементу полученного кортежа по 1 и 2, получаем новый кортеж. Записывая все наши кортежи, друг под другом, получаем пирамиду из кортежей.
0 1 2
2 3 3 4
3 4 4 5 4 5 5 6
4 5 5 6 5 6 6 7 5 7 6 7 7 8
.............................и т. д. (Пх)
Если к 0 прибавим 2 и 4, получим кортеж
0
2 4
4 6 6 8 6 8 8 1 0 8 1 0 1 0 1 2
8 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 4 1 0 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 6 ....................................................(П2).
В общем виде наши пирамиды будут иметь следующий вид:
0
Я 2Я
2Я 3Я 3Я 4Я
3Я 4Я 4Я 5Я 4Я 5Я 5Я 6Я
4Я 5Я 5Я 6Я 5Я 6Я 6Я 7Я 6Я 6Я 7Я 6Я 7Я 7Я 8Я
...............................................(П3).
Эти кортежи обладают следующим удивительным свойством: число повторений в каждой строке ступенчатой пирамиды является строкой треугольника Паскаля. Запишем это:
0 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
Треугольник Паскаля обладает массой интереснейших свойств, главное из которых: не выполняя самого умножения (возведения в степень), с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (а+Ь). Правда коэффициенты мы будем находить рекуррентно, т. е., для того, чтобы узнать коэффициенты разложения бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы узнать для шестой, сначала найти их для пятой и так далее до самого начала. То же самое и в случае наших пирамид. Например, чтобы узнать числа в пятой строке, нужно знать элементы в четвертой строке и т. д. Из каждого элемента предыдущей строки получается два элемента следующей.
Например.
4 5 5 6 5 6 6 7 6 7 7 8
5 6 6 7 6 7 7 8 6 7 7 8 7 8 8 9 7 8 8 9 8 9 9 10
Но нельзя ли обойтись без этого? Оказывается, можно вычислять элементы каждой строки пирамиды, не зная элементов предыдущей. Для этого, возьмем любое множество, элементами которого, являются числа (для удобства). Если нам нужно вычислять элементы строки п, то нужно взять числовое множество, где разность между первым и последним элементами равна п. Например п=4.
Можно взять (1,2,3,4,5) или (2,3,4,5,6) или же (4,5,6,7,8) и т. д. Наши кортежи содержат 2п элементов и кортежи можно разбить на кортежи с количеством элементов 2п 1. То есть каждый следующий кортеж состоит из как бы «вложенных» друг в друга кортежей предыдущих строк, ступенчатой пирамиды. Например, кортеж для пятой строки пирамиды Пь состоит из кортежей с количеством элементов 2, 22,23,24.
1 кортеж 5 6
2 кортеж 5 6 6 7
3 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8
4 кортеж 5 6 6 7 6 7 7 8 6 7 7 8 7 8 8 9
Выясним закон образования кортежа на примере кортежа из множества (2,3,4,5,6,7,8,9), п=7. Запишем кортеж в виде прямоугольной таблицы. 2334 3445 3445 4556 3445 4556 4556 5667 3445 4556 4556 5667 4556 5667 5667 6778 3445 4556 4556 5667 4556 5667 5667 6778 4556 5667 5667 6778 5667 6778 6778 7889
1. Пишем первый элемент, рядом дважды второй, потом третий. Получаем кортеж 2 3 3 4 — первая четверка.
2. Для каждого элемента первой четверки составляем такие кортежи 2 3 4 3 4 3 4 4 5 3 4 4 5 4 5 5 6 — первая строка (большая четверка).
3. Для второй четверки 3 4 4 5 составляем такие кортежи. Это вторая строка (вторая большая четверка).
4. Для третьей четверки составляем кортежи и это пишем в третью строку.
5. Составляем кортеж для четвертой четверки первой большой четверки. Это будет четвертой строкой.
Далее составляем такой кортеж для первой четверки второй большой четверки и т. д., пока не появится последний элемент. Тогда процесс завершается. Зная это правило, легко составлять любой кортеж, по кортежу все строки треугольника Паскаля.
Для нашего кортежа число повторений: 1 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1 — седьмая строка треугольника Паскаля.
Кортежи длиной 2п можно расположить в квадратную или прямоугольную таблицу. Например, кортеж для шестой строки можно расположить так, чтобы в строке и в столбце были коэффициенты разложения (а + Ь)3или (а + Ь)4 и (а + Ь)2 и т. д.
Составим таблицы для шестой строки пирамиды.
Таблица 1.
6 7 7 8 7 8 8 9
7 8 8 9 8 9 9 10
7 8 8 9 8 9 9 10
8 9 9 10 9 10 10 11
7 8 8 9 8 9 9 10
8 9 9 10 9 10 10 11
8 9 9 10 9 10 10 11
9 10 10 11 10 11 11 12
Составим вторую таблицу из первой.
Таблица 2.
Элементы 1 3 3 1
6 1
7 3 1
8 3 3 1
9 1 3 3 1
10 1 3 3
11 1 3
12 1
1,3,3,1 — число повторений столбцов. Числа в строке таблицы 2 — это количество повторений элементов в столбце. Из этой таблицы мы получаем следующие тождества:
С6 _ С3 С3 _ С6 _ С3 С3 "" С3 С3 _ С3 " С3 _ 2С3 .
Сб2 _ Гз0 • Гз1 + С3 • Сз1 + С| • С3 _ (С31)2 + Сз2 _ 3 + 9 + 3 _ 15. С3 _ СО • С| + Сз1 • Сз2 + С2 • Сз1 + С| • СО _ (СО)2 + (Сз1)2 + (С2)2 + (С3)2 _
_1 + 9 + 9 + 1_20 С64 _ С1 • Сзз + С1 • Сз2 + Сзз • С1 _ СзЧ(Сз2)2 + С1 _ 3 + 9 + 3 + 15 и т. д.
Из этих таблиц можно получить тождества как:
С42 _ (С|)2 + (С1)2 + (СО)2; С| _ (С3)2 + (С2)2 + (Сз1)2 + (СО)2; С84 _ (С44)2 + (С3)2 + (С2)2 + (С1)2 + (СО)2;
С2аа _ (СО)2 + (С«)2 + (С2)2 + ••• (С«а)2; [1. с. 37].
Эти формулы можно получить из таблицы, когда число повторений элементов в строке и столбце составляют коэффициенты разложения бинома (а + Ь)п.
Приведем еще несколько интересных тождеств.
С<4 _ С44 + 5С4з + 10С42 + 10С4 + 5С4о; С94 _ С54 + 4С| + 6С| + 4С1 + СО; С94 _ С64 + 3С6з + 3С62 + С1; Сб1 _ Сз1 + 3СО; Сб2 _ Сз2 + 3Сз1 + 3СО; Сбз _ Сзз + 3Сз2 + 3С41 + СО; С62 _ С42 + 2С1 + С4О; С3О _ С3 + 5С2 + 10С1 + 10С5О;
В общем виде эти тождества можно записать так:
С' _ С' + С1 • С'"1 + С2 • С'"2 + — + Ст-П • Ск_(т_п) (1) (т-п+1 слагаемых).
Если, к * т — п, то в правой части наших тождеств появляются все коэффициенты разложения бинома Ньютона, если же к < т — п, то появляются ни все коэффициенты.
Используя такие таблицы и тождество (1) можно получить очень много интересных свойств сочетаний.
Список литературы:
1. Мамедяров Д.М., Вакилов Ш.М. Некоторые свойства соединений и фигурных чисел и их применение при решении задач. Учебное пособие «Дербент, 2006».
