Групповая классификация квазистационарной системы уравнений фазового поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 3. С. 63-76.

УДК 517.957

ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВОГО ПОЛЯ

В. Е. Федоров

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия [email protected]

Рассмотрена квазистационарная система уравнений фазового поля. Найдены группы преобразований эквивалентности (не универсальные) системы для семи различных подклассов свободных параметров. В нелинейном случае проведена групповая классификация системы уравнений.

Ключевые слова: нелинейное уравнение в частных производных, групповой анализ, группа преобразований эквивалентности, групповая классификация, инвариантная подмодель.

Введение

В работах П. И. Плотникова была исследована разрешимость начально-краевой задачи для квазистационарной системы уравнений фазового поля и показана сходимость семейства её решений, зависящего от малого параметра, к решению капиллярной задачи Стефана при стремлении малого параметра к нулю [1; 2].

Настоящая работа посвящена групповому анализу такой системы

0г + фг = 0..

XX 1

фхх + вв = / (ф).

Для нахождения основной группы уравнения и спецификаций свободных элементов в и / был использован модифицированный [3] метод Ли — Овсянникова [4]. Можно сказать, что на примере данной системы уравнений удалось получить яркую иллюстрацию этого метода. Он заключается не в поиске универсальных преобразований эквивалентности с последующим весьма трудоёмким анализом спецификаций свободных элементов, приносящих дополнительные симметрии системе, как того требует классическая теория [4], а в поиске преобразований симметрии, соответствующих различным подклассам свободных элементов [3], и последующем применении теоремы о проекции [5]. Как выяснилось в данной работе, рассматриваемая система имеет семь таких подклассов.

В случае нелинейной функций / и в = 0 найдено двумерное ядро основных алгебр Ли, установлено отсутствие дополнительных симметрий, а также построены подмодели [6] исходной системы, инвариантные относительно операторов одномерных подалгебр из оптимальной системы.

При нелинейном / и в = 0 групповая структура системы оказалась более богатой. Проведена групповая классификация системы, найдены три спецификации /, которым соответствуют дополнительные симметрии системы.

1. Группы преобразований эквивалентности

Дана квазистационарная система уравнений фазового поля, описывающая в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода.

Qt + <£t = Qxx, (1)

<^xx + eQ = f Ы, (2)

где в s R. Чтобы учесть зависимость функции f только от переменной ^ и независимость в от всех переменных, дополним систему уравнениями

ft = 0, fx = 0, f, = 0, (3)

et = 0, ex = о, вв = 0, в^ = 0. (4)

Возьмём оператор

Y = rôt + + ©0в + Ф<^ + Fd/ + Bôe,

где т, £, ©, Ф — функции от t, x, Q, а F, В — функции от t, x, Q, <£, f, в, и его продолжение

Y = Y + ©4t + ФЧ4 + ©22<%xx + Ф22д^хх + Ftô/i + Fx/ + Fв / + + В% + B^ + Bв + B^.

На обе части каждого из уравнений системы (1)-(4) подействуем оператором Y и сузим полученное выражение на многообразие m решений системы:

©1 + ф1 - ©22|м = 0, (5)

Ф22 + в© + BQ - F|м = 0, (6)

Ft|M = 0, F x|m = 0, Fв |M = 0, (7)

Bt|M = 0, bx|M = 0, B |M = 0, B= 0. (8)

Часть дополнительных по сравнению с Y коэффициентов оператора Y вычисляется с помощью дифференциальных операторов, которые на многообразии m имеют вид

D t = dt, ddX = dx, De = de, D = + f 0/ + f"/ + ...,

по формулам продолжения [4], на m представляющих собой равенства

Ft = Dt(F) - /А(Ф) = Ft - Fx = ddX(f) - №*(Ф) = Fx - f^x,

Fe = De (F) - /De (Ф) = Fe - f/Ф,, Bt = DDt(B) = Bt, Bx = ddX(b) = Bx, Be = De (B) = Be, B^ = D^(B) = B^. На многообразии m из (7), (8) следуют равенства

Ft - f/Фt = 0, Fx - f^x = 0, Fe - f^e = 0, B = В(Лв). (9)

С помощью дифференциальных операторов

Dt = d + ^td^ + Qtde + ^tt^ + ^txd^ + QttdeÉ + Q^de* + ...,

Ох = дх + фхдр + вхде + фгхдр, + фххдрх + 0гхдв, + вхх двх + ...

и формул продолжения

01 = А(0) - 0О(т) - 0хА(£), Ф1 = А(Ф) - фгА(т) - фхА(С), 02 = Ох(0) - вгОх(т) - вхОх(0, Ф2 = Ох(Ф) - фгА*(т) - ), 022 = Ох(02) - вгхОх(т) - вххОх(С), Ф22 = Ох(Ф2) - фгхА*(т) - фххОх(С)

получим равенства

Ф1 = Фг + фгФр + 0гФв - фгП - ф^р - фг0гтв - фхСг - фгфхСр - фх0гСв, Ф2 = Фх + фхФр + 0хФв - фгтх - фгфхтр - фгОх-тв - фхСх - ф2СР - фх0хСв,

Ф Фхх + фхФхр + 0х Фхв фгтхх фгфхтхр фг0хтхв фхСхх фхСхр фх0хСхв +

+ фхФхр + ф2хФрр + фхвхФрв - фгфхтхр - фгф>хт<р<р - фгфхвхтрв - ф2хСхр - фхСрр -

- ф2х0хСрв + ОхФхв + фхОхФрв + 02хФвв - фгвхтхв - фгфх0хтрв - фг02ствв - фх0хСхв -- ф20хС<рв - фхв2Свв + фххФр + ОххФв - фгхтх - фхфгхтр - фгфххтр - 0хфгхтв -

- фг0ххтв - фххЛх - 2фхфххСр - 0хфххСв - фх0ххСв - фгхтх - фхфгхтр - 0хфгхтв -

- фхх Сх - фхфххСр 0хфххСв,

01 = 0г + фг0р + Ог0в - От - фвгтр - в]тв - 0хСг - фг0хСр - 0г0хСв,

02 = 0х + фх0р + Ох0в - Огтх - Огфхтр - ОгОхтв - 0хСх - фх0хСр - 02Св,

0 0хх + фх0хр + Ох0хв вгтхх вгфхтхр 0г0хтхв 0хСхх ф х0 х^хр в2 Схв + фх0хр +

+ ф2х0рр + фхОх0рв - Огфхтхр - 0гф2хтрр - 0гфх0хтрв - фх0хСхр - ф2х0хСрр -

- фхв2хСрв+Ох0хв+фхОх0рв+вх0вв-ОгОхтхв-ОгфхОхтрв-ОгО2твв-02хСхв-фхв2,.Срв-03Свв +

+ фхх0р + Охх0в - вгхтх - фхвгхтр - вгфххтр - 0х0гхтв - 0г0ххтв - вххСх -фхвххСр вхфххСр 20х0ххСв вгхтх фхвгхтр 0х0гхтв вххСх фхвххСр 0х0ххСв.

Таким образом, уравнение (6) имеет вид

Фхх + фхФхр + 0хФхв - фгтхх - фгфхтхр - фг0хтхв - фхСхх - ф^Лхр - фх0хСхв + фхФхр +

+ ф2хФрр + фх0хФрв - фгфхтхр - фг'фхтрр - фгфх0хтрв - ф2хСхр - ф\Срр> - ф^хСрв + + 0хФхв + фх0хФрв + 02Фвв - фг0хтхв - фгфх0хтрв - фь02твв - фх0хСхв - ф2х0хСрв -- фх02хСвв + (/ - в0)Фр + (фг + 0г)Фв - фгхтх - фхфгхтр - фг(/ - в0)тр - 0хфгхтв -

- фг(фг+0г)тв-(/-в0)Сх-2фх(/-в0)Ср-0х(/-в0)Св-фх(фг+0г)Св-'фгхтх-фхфьхГр -

- 0хфгхтв - (/ - в0)Сх - фх(/ - в0)Ср - 0х(/ - в0)Св + в0 + В0 - О = 0.

Из уравнения (5) аналогичным образом получим

0хх + фх0хр + 0 х0хв 0гтхх 0гфхтхр - 0г0хТхв - 0хСхх - фх0хСхр - 0хСхв + фх0хр + + ф20рр + фх0х0рв - 0гфхтхр - 0гф2хтрр - 0гфх0хтрв - фх0хСхр - ф^0хСрр - фх02Срв + + 0х0хв + фх0х0рв + 02х0вв - 0г0хтхв - 0гфх0хтрв - 0г02твв - 02хСхв - фх02Срв - 03Свв + + (/ - в0)0р + (фг + 0г)0в - 0гхтх - фх0гхтр - 0г(/ - в0)тр - 0х0гхтв - 0г(фг + 0г)тв -

- (фг + 0г)Сх - фх(фг + 0г)Ср - 0х(/ - в0)Ср - 20х(фг + 0г)Св - 0гхтх - фх0гхтр - 0х0гхтв -

- + 0*)£г - + ^ - 0х(р* + - 0* - - 6*00 + 6*т* + + 0^0 + 0хС* +

+ <£*0хС^ + 0*6хСе - - - + + ^^ + <£¿0^0 + + Р^хС^ + Рх6*Се = 0.

Приравняв к нулю коэффициенты при различных степенях свободных переменных р*, 0*, рх, 0х, 0*х, получим равенства

Тх = т^ = те = Се = Фе = 0, ^ = 0,

откуда следует, что т = т(¿), С = А(£,х)р + С(¿,х), Ф = Ф(£, х,р). Кроме того, Ф^ = 2Сх^, поэтому Ф = Ах(£,х)р2 + Д(£,х)р + Е(¿,х),

Фхх + (/ - в6)(Ф^ - 2Сх) + в0 + В0 - ^ = 0, (10)

2Фх^ - Схх - 3(/ - в6)С^ = 0. (11)

Отсюда ^ = Аххх(*,х)р2 + А*х(£,х)р + Ехх(*,х) + (/ - в0)(Д*,х) - -2Сх(*,х)) + в 0(*,х,р,0) + В (/,в )0.

Если в = 0, то из уравнения (11) следует, что А = 0,

2Д^,х) - Схх(*,ж) = 0, поэтому С = С(¿,ж), Ф = 2Сх(^,х)р + + Е(¿,ж),

^ = 2Сххх(*, х)^ + Ехх(*, х) + (/ - в0) (С(*) - 2Сх(*, х^ + в0(*, х, Р, 0) + В(/, в)0. Далее, из уравнений

0^ = 0ее = = 0 (12)

следует, что 0 = Н(¿, х)р + 3(¿, х)0 + К(¿,х). Остались уравнения

0хх + (/(р) - в6)0^ - 0* - Ф* = 0, (13)

20х^ + С* = 0, 20хе + С* - Схх = 0, (14)

2Сх - т = 0, Ф^ + 0^ - 0е = 0. (15)

Предпоследнее означает, что С(£,х) = 2т'(¿)х + ¿(¿), Ф = 4т'(£)<£ + + Е(¿,х),

^ = Ехх(*,х) + (/(р) -в0)(С(*) - 3т'(¿)) + В(/,в)0 + вН(¿,х)р + в3(¿,х)0 + вК(¿,х).

Далее,

20х^ + С* = 2Нх (¿, х) + 2 т "(*)х + £'(*) = 0,

Н(¿,х) = -1 т"(¿)х2 - 1 £'(*)х + М(¿), 8 2

3(¿,х) = -1 т"(¿)х2 - 1 ¿'(¿)х + N(¿), 82

Ф^ + 0^ - 0е = 7т'(*) + С(£) + М(¿) - N(¿) = 0.

1

4

4 т'

Третье из уравнений (9) теперь принимает вид

Поэтому N(¿) = 4т'(^) + С(^) + М(¿)

В(/, в) + в (-1 т"(¿)х2 - 1 ¿'(¿)х + /(*) + М(^ = 0.

Дифференцируя по х, получим т(¿) = 4Р£ + Я, Ь'(£) = 0,

В(/, в)+ в (4Р + М(¿)) = 0.

Дифференцирование по £ влечёт равенства М'(£) = 0, В = -в(4Р+М), С = 2Рх+Ь, Ф = (Р + + Е(¿,х), 0 = М(р + 0) + (Р + С(£)) 0 + К(¿,х), Р = Ехх(£,х) +

/ (р)(С(£) - 3Р)+ вМр + в К (¿,х). Запишем уравнение (13):

Кхх(£, х) + (/(р) - в0)М - С'(£)(р + 0) - К*(£, х) - Е*(£, х) = 0.

Дифференцируя по 0, получим С(£) = -вМ£ + 5,

Кхх(£,х) + (/(р) + вр)М - К*(£,х) - Е*(£,х) = 0. (16)

Если /'(р) = -в, то М = 0,

Кхх(£,х) - К*(£,х) - Е*(£,х) = 0, (17)

т(¿) = 4Р£ + Я, С = 2Рх + Ь, Ф = (Р + + Е(¿, х), В = -4Рв, 0 = (Р + С) 0 + К(¿, х), Р = Ехх(£, х) + /(р)(С - 3Р) + вК(¿, х).

Первое и второе из уравнений (9) имеют теперь вид

Е*хх(£, х) + вК(£,х) - /'(р)Е*(£,х) = 0, (18)

Еххх(£,х) + вКх(¿,х) - /'(р)Ех(£,х) = 0. (19)

Если /''(р) = 0, то Е(¿, х) = Е, К(¿, х) = К. Получено решение системы определяющих уравнений т(¿) = 4Р£+Я, С = 2Рх+Ь, Ф = (Р+С)р+Е, 0 = (Р + С) 0+К, В = -4Рв, Р = /(р)(С - 3Р) + вК.

Теорема 1. Для в = 0 и /''(р) = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений (1), (2) порождаются операторами

У = д, У = дх, Уз = д^, У = де + вд/, (20)

У = + 0де + /д/, Уб = 4£д* + 2хдх + рд^ + 0де - 3/д/ - 4вд^. (21)

Рассмотрим оставшиеся случаи. Если /(р) = Бр + Т, 5 = -в, 5 = 0, то Р = БФ, т. е.

Ф = (Р + + Е(¿,х) = Б-1Ехх(£, х) + (р + Б-1 Т)(С - 3Р) + Б-1вК(¿,х). Дифференцируя по р, получим Р = 0,

Ехх(£, х) - БЕ(¿, х) + ТС + вК(¿, х) = 0. В таком случае уравнения (18), (19) выполняются с /' = Б, подставим функцию

К(¿,х) = 1(БЕ(¿,х) - Ехх(£,х) - ТС)

в уравнение (17) и получим уравнение

(в + Б)Е(£, х) - Е*хх(£, х) - БЕхх(£, х) + Ехххх(£, х) = 0. (22)

Решением системы определяющих уравнений являются функции т(¿) = Я, С = Ь, Ф = Ср + Е(¿,х), 0 = С0 + 1 (БЕ(¿,х) - Ехх(£,х) - ТС), В = 0.

Теорема 2. При в = 0, Б = -в, Б = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений

0* + = 0хх,

рхх + в0 = Бр + Т

порождаются операторами

У = д*, У2 = дх, Уз = в^ + (в0 - Т)де,

У4 = вЕ(¿, х)д^ + (БЕ(¿, х) - Ехх(£, х))де, где Е(¿,х) — любое решение уравнения (22).

Если / = Т, то Р = 0, поэтому К(¿, х) = 1 (Т(3Р - С) - Ехх(£, х)). Тогда уравнения (18) и (19) выполняются, а из уравнения (17) следует, что

вЕ*(¿,х) - Е*хх(£, х) + Ехххх (£, х) = 0. (23)

Тогда решением являются функции т(¿) = 4Р£ + Я, С = 2Рх + Ь, Ф = (Р + + Е(¿,х), 0 = (Р + С) 0 + 1 (Т(3Р - С) - Ехх(£,х)), В = -4Рв, где Е(¿,х) - произвольное решение уравнения (23).

Теорема 3. Для в = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений

0* + = 0хх,

^хх + в0 = Т

порождаются операторами

У = д*, У2 = дх,

Уз = вЕ(¿,х)д^ - Ехх(£,х)де, У4 = в^ + (в0 - Т)де, У5 = 4£д* + 2хдх + рд^ + ^0 + ^Т) де - 4вдв.

где Е(¿,х) — произвольное решение уравнения (23).

Пусть /(р) = -вр + Т, в этом случае уравнение (16) имеет вид

Кхх(£,х) + ТМ - К*(£,х) - Е*(£, х) = 0, (24)

при этом т(¿) = 4Р£+Я, С = 2Рх+Ь, Ф = (Р+ С-вМ£)р +Е(¿,х), В = -(4Р+М)в, 0 = М(р + 0) + (Р + С - вМ£) 0 + К(¿, х), Р = Ехх(£, х) + (Т- вр)(С- вМ£- 3Р) + вМр + вК(¿,х). Уравнения (9) будут являться следствием уравнения Р = -вФ -рВ, влекущего также равенство К(¿, х) = МТ£ - Е(¿, х) + -1 (3РТ - СТ - Ехх(£, х)). Подставив функцию К(¿,х) в (24), получим уравнение

вЕхх(£,х) - Е*хх(£,х) + Ехххх(£,х) = 0. (25)

Тем самым получено решение системы определяющих уравнений т(¿) = 4Р£ + Я, С = 2Рх + Ь, Ф = (С + Р - вМ£)р + Е(¿,х), В = -(4Р + М)в, 0 = М(р + 0) + (С + Р - вМ£) 0 + МТ£ + 1 (3РТ - СТ - Ехх(£,х)) - Е(¿,х).

Теорема 4. Для в = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений

0г + фг = 0хх,

фхх + в0 = -вф + Т

порождаются операторами

У = дг, Ух = дх, Уз = вЕ(г,х)др - (вЕ(ь,х) + Ехх(г,х))дв,

У4 = вфдр + (в0 - Т)дв, У5 = 41дг + 2хдх + фдр + ^0 + ^Т) дв - 4вдв,

Уб = вгдр + ((в* - 1)0 - Т1)дв - вдв, где Е(Ь,х) — произвольное решение уравнения (25).

Если в = 0, но /'(ф) = 0, то В = 0, а из уравнения (11) получим А = 0,

2Ох(*,х) - Схх(*,х) = 0,

поэтому С = С(*, х), Ф = 2Сх(*,х)ф + С(Ь)ф + Е(Ь,х); в силу уравнения (10)

1 ( 3

О = ^Сxxx(t,х)Ф + Exx(t,х) + /(фН с(г) - ^Сx(t,х)

Далее, из уравнений (12), (14), (15) следует, что

С(Ь, х) = 1 т'(Ь)х + Ь(Ь), Ф = 1 т'(*)ф + С(Ь)ф + Е(Ь, х), (26)

0 = (-8т''(*)х2 - 2Ь'(*)х + М(*)) (ф + 0) + т'(*) + £(*)) 0 + К(*,х),

О = Ехх(Ь,х) + /(ф) (С(Ь) - 4т'(Ь)^ . (27)

Третье из уравнений (9) теперь выполняется автоматически. Запишем уравнение (13):

-4т''(Ь) + Кхх(Ь, х) + /(ф) (-8т"(Ь)х2 - 1 Ь'(Ь)х + М(*)) +

+ (4 т'''(*)х2 + 2Ь'(*)х - м'(ь) - 4т''(Ь) - с'(ь)) (ф + 0) -

- Кг(Ь,х) - Ег(Ь, х) = 0. (28)

Дифференцируя дважды по ф, при условии /''(ф) = 0 получим т(Ь) = 4РЬ + Д, Ь'(Ь) = 0, М = 0. Тогда уравнение примет вид

Кхх(Ь, х) - С(*)(0 + ф) - Кг(Ь,х) - Ег(Ь,х) = 0.

Тогда С(Ь) = 0, С(Ь,х) = 2Рх + Ь, Ф = (Р + С)ф + Е(Ь,х), 0 = (Р + С)0 + К(Ь,х), О = Ехх(Ь,х) + /(ф)(С - 3Р) и выполняется уравнение (17). Первое и второе из уравнений (9) имеют теперь вид

Егхх(Ь, х) - / '(ф)Ег(Ь,х) = 0,

Еххх(£,х) - /'(р)Ех(£,х) = 0.

Так как /''(р) = 0, то Е(¿, х) = Е. Получено решение системы определяющих уравнений т(¿) = 4Р£ + Я, С = 2Рх + Ь, Ф = (Р + С)р + Е, 0 = (Р + С) 0 + К(¿,х), Р = /(р)(С - 3Р), где К(¿, х) — любое решение уравнения теплопроводности

К*(£,х) = Кхх(£,х), (29)

в которое при постоянном Е перешло уравнение (17).

Теорема 5. При /''(р) = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений

0* + = 0хх, ^хх = / (р)

порождаются операторами

У1 = д*, У2 = дх, Уз = д^, У4 = К (¿,х)де,

У5 = рд^ + 0де + /д/, У6 = 4£д* + 2хдх + рд^ + 0де - 3/д/, где К(¿,х) — решение уравнения (29).

Если в = 0, /(р) = Бр + Т, Б = 0, то из равенства Р = БФ, где Р и Ф взяты из (27) и (26) соответственно, до предположения /''(р) = 0, получим справедливость уравнений (9), а также равенства т = Я,

Ехх(£, х) - БЕ(¿, х) + ТС = 0.

Тогда

ТС

Е (¿,х) = N1 (¿Шх) + ^(¿Шх) +

где при Б > 0 ^1(х) = е^х ^2(х) = е-Л,/^х, а при Б < 0 ^1(х) = вт V-Бх, ^2(х) = сое V- Бх. Функции ^(¿), ^(¿) при этом произвольны.

Из уравнения (28) дифференцированием по 0 и х получим, что Ь(£) = + V, М(¿) = -С(£) + Ж. Тогда уравнение (28) примет вид

Кхх(£, х) + (Бр + Т) (-их - С(£) + Ж) - К*(£, х) - Е*(¿, х) = 0.

Так как Б = 0, то и = 0, С(£) = С и остаётся уравнение

Кхх(£,х) - К*(£,х) = N1 (¿)^(х) + N2(¿)^2(х). (30)

Получили решение т = Я, С = V,

ТС

Ф = Ср + N1(^1 (х) + ^(¿Шх) +

Б

0 = С0 + К(¿,х), где ^(¿), ^(¿) — произвольные функции, К(¿, х) — решение уравнения (30).

Теорема 6. При Б = 0 все преобразования эквивалентности системы уравнений

0* + р* = 0хх,

^хх = Бр + Т

порождаются операторами

У1 = дг, Ух = дх, Уз = (Бф + Т )др + Б0дв,

У4 = т(г)ф1(х)др + К1(*,х)дв, У5 = м2(г)ф2(х)др + К2(г,х)дв,

где К1(Ь,х) — решение уравнения (30) при N2 = 0, К2(Ь,х) — решение этого уравнения при N1 = 0.

Осталось рассмотреть последний случай — в = 0, /(ф) = Т. Тогда В = 0, О = 0 и уравнения (9) выполняются, а уравнение (11) имеет вид

3Ахх(Ь, х)ф + 2Ох(Ь, х) - Схх(Ь, х) - 3ТА(Ь, х) = 0.

Отсюда А(Ь, х) = 4С(Ь)х + 2Q(t), Б(Ь,х) = 2 Сх(Ь, х) + 3ТС(Ь)х2 ++3Т^(Ь)х + Д(Ь), С = (4С(Ь)х + 2Q(t))ф + С(Ь, х),

Ф = 4С(Ь)ф2 + 4Сх(Ь, х)ф + 3ТС(Ь)х2ф + 3TQ(t)xф + Д(Ь)ф + Е(Ь, х). В силу уравнения (10) получим

2Сххх(Ь, х)ф + 6ТС(Ь)ф + Ехх(Ь, х) + Т (^ТС(Ь)х2 + 3TQ(t)x + Д(Ь) - 2Сх(Ь, х)^ = 0.

Поэтому С(Ь, х) = -2ТС(Ь)х3 + 2Ц(Ь)х2 + 4V(Ь)х + W(Ь),

Ехх(Ь, х) = Т (-12ТС(Ь)х2 + би(Ь)х + 6У(Ь) - 3TQ(t)x - Я(Ь)) .

Отсюда

Е(Ь,х) = Т (^-ТС(Ь)х4 + и(Ь)х3 + 3У(Ь)х2 - 4TQ(t)x3 - 4Я(Ь)х2^ + а(Ь)х + Ь(Ь).

Первое из уравнений (15) даёт равенства С = 0, и = 0, V(Ь) = 1 т'(Ь). Поэтому С = 2Q(t)ф + 1 т '(Ь)х + W (Ь),

Ф = 4т'(Ь)ф + 3TQ(t)xф + Д(Ь)ф + Т (3т'(Ь)х2 - 4TQ(t)x3 - 4Д(Ь)х2 ) + а(Ь)х + Ь(Ь). 4 у 8 2 2 у

В соответствии с уравнениями (12) 0 = Н(Ь,х)ф + 3(Ь,х)0 + К(Ь,х), следовательно, первое из уравнений (14) даёт равенство

20хр + Сг = 2Нх (Ь, х) + 2Q'(t)ф + 2 т''(Ь)х + W'(t) = 0, поэтому Q'(t) = 0,

Н(Ь, х) = -4т''(Ь)х2 - 4 W'(t)x + М(Ь), 8 2

3(Ь,х) = -4т''(Ь)х2 - 4W'(t)x + N(Ь) 82

в силу второго из уравнений (14). Второе из уравнений (15) влечёт

Фр + 0р - 0в = 4т'(Ь) + 3TQ(t)x + Д(Ь) + М(Ь) - N(Ь) = 0.

Поэтому ф(г) = 0, N(г) = 1 + Я(г) + М(г). Имеем £ = 2т^)х + Ж(г),

Ф = 4+ + Г ^3Т(^)х2 - 2+ а(г)х + 6(г),

в = (-8т"(г)х2 - 2+ М(р + 0) + т'(^) + ВД) 0 + К(г,х).

Уравнение (13) имеет вид

Клл(г, х) + Г (2- 1 т"(¿)х2 - 2^(¿)х + М(^ +

+ (8т"'(¿)х2 + 1 - М'(*) - 1 т"(¿) - (^-К^хЬа^х-б^) = 0.

Отсюда следует, что т(¿) = сг2 + + е, Ж(¿) = /г + д, М(г) = -Я(г) - с + Л. Получается уравнение

Клл(г, х) - к*(г, х) = т ^с - 2х2 + 2х + я(г) + с - ^ + а/(г)ж + ь/(г). (31) Получили решение т(г) = сг2 + 2^ + е, £ = сх + /г + д,

Ф = ^ + ^ + *(,)„ + Г (4<сг + - 1 ^ + а«х +

в= 4сх2 - 1 /х - с + ^ (^ + 0) - + 2(сг + ¿)0 + к(г,х).

Теорема 7. Для системы уравнений

0* + ^ = 0хх, ^жж Г

все преобразования эквивалентности порождаются операторами У = д*, У2 = дж, Уз = (р + 0 + Кл(г,х))&,

У4 = 2гдж + (К2/(г, х) - х(^ + 0))дв, У5 = + (3Гх2 + 2^ + 20де, У6 = 4г2д4 + 4хдж + (зтгх2 + - ((х2 + 4)р + (х2 + 4 - 2г)0 + К4с(г, х)) де,

У7 = (Ь(г) + К,(г, х))д^, Уз = (а(г)х + ка(г, х))д^, у9 = (Гх2 - 2^)д(г)д^ + (2Д(г)р + кд (г,х))дв,

где Кл(г,х) — решение уравнения (31), при равенстве нулю всех констант, кроме Л = 1. Аналогично для остальных К.

2. Случай нелинейного f и в = 0

Для поиска спецификации возьмём проекции операторов из (20), (21) на пространство переменных (<£,/,в). Получим ^ = д^, = вд/, = ^д^ + /д/, = — 3/д/ — 4вдв. Таблица коммутаторов для этих операторов имеет вид табл. 1.

Поэтому ненулевыми структурными константами являются = 1, г14 = 1,

г23 = 1, г<

24

1, С31 = 1, С32 = 1, с.

41

— 1, г|2 = —1. По генераторам

д

Е = г7 ев_

а = Сав6 дет

найдём преобразования внутренних автоморфизмов данной алгебры Ли. Имеем

Е = е3 ^ + е4 д6т, е1 = е1 + ^(е3 + е4),

де

дд

Е2 = е3^ + е4^, е2 = е2 + «2(е3 + е4),

де2 де2

е1 = е-"3 е1, е2 = е-"3 е2,

Е = _ е1 _ е2 3 - де1 - де2

Е4 = —е1^ — е^т^-, е1 = е-"4 е1, е2 = е-"4 е2.

де1 де2

е3 + е4.

Таблица 1

N1 N (О N3 N4

N1 0 0 N1 N1

N (О 0 0 N2 N2

N3 —N1 — N2 0 0

N4 —N1 — N2 0 0

Обозначим е5

Пусть е5 = 0, тогда, используя первые 2 преобразования, можно получить е1 = 0, е2 = 0 и векторы (0,0,1, г), где г = —1, и (0, 0, 0,1).

При е5 = 0, е2 = 0, е3 = 0 получим вектор (г, 1,1, —1), г е м, при е5 = 0, е2 = 0, е3 = 0 -(1,0,1, —1) и (0, 0,1, —1), при е5 = 0, е2 = 0, е3 = 0 -(г, 1, 0, 0), г е м. Остался вариант (1, 0, 0, 0).

Таким образом, оптимальную систему одномерных подалгебр образуют подалгебры

(^>, (^>, (г^1 + ^2>, (N3 + г^4>, (^1 + N3 — ^4>, (г^1 + ^2 + N3 — г € е.

Теперь поочерёдно подействуем этими операторами на уравнения

/ — О (р) = 0, в — В = 0.

Результат сузим на многообразие, задаваемое уравнениями / = О(<^), в = В. Нелинейных функций О при В = 0, удовлетворяющих такому критерию инфинитези-мальности, не существует. Поэтому все допускаемые группы системы (1), (2) исчерпываются теми, которые входят в ядро допускаемых групп. Базис алгебры Ли ядра допускаемых групп системы (1), (2) при нелинейной функции / и ненулевом в имеет вид

Х1 = дt, Х2 = дх.

Таблица коммутаторов данных операторов нулевая, поэтому внутренних автоморфизмов нет и оптимальная система одномерных подалгебр имеет вид

Х1, гХ1 + Х2.

Для оператора Х1 инвариантами являются функции ж, р, 0. Рассмотрим решение в виде р = А (ж), 0 = В (ж). Система примет вид

В "(ж) = 0,

А''(ж) + вВ(ж) = / (А). Из первого уравнения следует, что 0 = с2ж + С1, тогда второе примет вид

р'' - /(р) + С2Ж + С1 = 0.

Это инвариантная относительно Х1 подмодель системы (1), (2).

Инварианты оператора сХ1 + Х2 есть функции р, 0, £ — сж. Решение будем искать в виде р = А(г), 0 = В(г), г = £ — сж. Отсюда получается подмодель

А' + В' = с2 В",

с2 А" + вВ = / (А). Приведём её к виду А(г) = с2В'(г) — В (г) + С,

с4 В '''(г) — с2 В ''(г) + вВ (г) = / (с2В '(г) — В (г) + С).

3. Случай нелинейного $ и в = 0

N1 N (О N3

N1 0 N1 N1

N (О —N1 0 0

N3 —N1 0 0

Возьмём проекции операторов из теоремы 5 на про- Таблица 2

странство переменных (р, /) и получим = д^, = рд^ + /д/, = рд^ — 3/д/. Таблица коммутаторов для этих операторов имеет вид табл. 2. Ненулевыми структурными константами являются с12 = 1, с13 = 1, с^1 = —1, с^1 = —1. Поэтому преобразования внутренних автоморфизмов данной алгебры Ли имеют вид е1 = е1 + а1(е2 + е3); е1 = е1еа2. Рассуждая, как в предыдущем параграфе, получим оптимальную систему одномерных подалгебр

(^ >, (N3), (^ + ^2 — N3), (^ + с^з), с € е.

Теперь поочерёдно подействуем этими операторами на уравнение / — Р(р) = 0. Оператор даёт уравнение Р' = 0, которое не соответствует случаю нелинейной функции /. Далее,

ад — р (р))|/=^ = —рр' — зр = 0,

отсюда Р = Ср-3. Преобразованием эквивалентности, соответствующим оператору Уб — однородным растяжением переменных / и р приведём эту функцию к виду Р = р-3. Дополнительной же симметрией у соответствующей системы (1), (2) будет группа, порождаемая сужением оператора У6 на основные переменные — оператор растяжения Х4 = 4£д4 + 2ждх + рд^ + 0д^.

Для оператора + — получим аналогичным образом уравнение Р' = 4Р, его решение Р = Се4р, которое преобразованием эквивалентности, соответствующим оператору У3, приведём к виду Р = е4^. Дополнительной симметрией будет Х4 = 4£д4 + 2ждх — д^.

Оператору + с^3 соответствует уравнение (1 — 3с)/д/ — (1 + с)рР' = 0. При с = —1 оно не имеет решения в классе нелинейных функций, в противном случае решение имеет вид

, 1-3 с

Р = |р|-—С.

Здесь для приведения константы интегрирования к единице использовано преобразование эквивалентности, порождаемое оператором У5 при г = 0 и У6 при г = 0. Дополнительной симметрией является проекция на пространство основных переменных оператора У5 + гУ6 — оператор Х4 = 4г£д; + 2гхдх + (1 + г)фд^ + (1 + г)0де. Получена следующая теорема.

Теорема 8. 1. Основная алгебра Ли системы уравнений

+ ф; = 0хх, 3

фхх = ф

имеет базис Х1 = д;, Х2 = дх, Х3 = К(¿,ж)д#, Х4 = 4£д; + 2хдх + фд^ + .

2. Основная алгебра Ли системы уравнений

+ ф; = 0хх, Ф = е4^

хх

имеет базис Х1 = д;, Х2 = дх, Х3 = К(¿,ж)д#, Х4 = 4£д; + 2хдх — д^.

3. Основная алгебра Ли системы уравнений

+ ф; = ^хх, 1-3с

фхх = |ф| 1+с , г = —1,

имеет базис Х1 = д;, Х2 = дх, Х3 = К(¿,ж)д#, Х4 = 4г£д; + 2гхдх + (1 + г)фд^ + (1 + г)0дв.

Здесь К(¿, х) — любое решение уравнения (29).

Список литературы

1. Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников, А. В. Клепачева // Сиб. мат. журн. — 2001. — Т. 42, № 3. — C. 651-668.

2. Плотников, П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников, В. И. Старовойтов // Дифференц. уравнения. — 1993. — T. 29, № 3. — C. 461-471.

3. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.

4. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

5. Ibragimov, N. H. Selected Works. Vol. 1, 2 / N. H. Ibragimov. — Karlskrona, Sweden : Alga Publications : Blekinge Institute of Technology, 2001. — 291 p.

6. Овсянников, Л. В. Программа «Подмодели». Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 29-55.

Поступила в редакцию 28.09.2016

После переработки 08.10.2016

Сведения об авторе Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

76

B. E. OegopoB

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 3. P. 63-76. GROUP CLASSIFICATION

OF THE QUASISTATIONARY PHASE FIELD EQUATIONS SYSTEM V.E. Fedorov

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia [email protected]

The quasistationary system of the phase field equations is considered. Equivalence transformations groups (not universal) are found for seven subclasses of the system free parameters. In the nonlinear case the group classification of the equations system is obtained.

Keywords: nonlinear partial differential equation, group analysis, equivalence transformations group, group classification, invariant submodel.

References

1. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. The phase field equations and gradient flows of marginal functions. Siberian Mathematical Journal, 2001, vol. 42, no. 3, pp. 551-567.

2. Plotnikov P.I., Starovoytov V.N. The Stefan problem with surface-tension as the limit of a phase field. Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 3, pp. 395-404.

3. Chirkunov Yu.A., Khabirov S.V. Elementy symmetrynogo analiza mekhaniki sploshnoy sredy [Elements of symmetry analysis for differential equations of continuous media]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University Publ., 2012. 659 p. (In Russ.).

4. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. Transl. from the Russian. New York, Academic Press, 1982. 416 p.

5. Ibragimov N.H. Selected Works. Vol. 1, 2. Karlskrona, Sweden, Alga Publ., Blekinge Institute of Technology, 2001. 291 p.

6. Ovsyannikov L.V. The «podmodeli» program. Gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 4, pp. 601-627.

Accepted article received 28.09.2016 Corrections received 08.10.2016