CC BY
53
затрат, чем разработка курса на другой информационной основе. Использование в учебном процессе электр ант юн почты та к же является сравнительно простым делом и не требует больших затрат Прн этом основной материал в напеча-кнпгим м:,!,, дсн:о.1и,-Ш1мп иуд! о- (I гит;теопрс ■ дутециёи, доставляется обучаемому по обычной почте, а электронная почта используется нм для получения самых свежи*, современных материалов по изучаемому предмету, для оперативной пересылки из образовательного учреждения какой-то дополшттельной информации и методических пособии. При такой организации обучения, базирующейся на использовании сазе-техно-
1.
2
Предлагаемая вашему вниманию статья способствует решению назревшей в процессе обучения геометрии в педвузе методологической проблемы соотношения геометрии н физической реальности. В контексте этой проблемы выступает классическая идея «дополнительности геометрии и фишки», поставленная и глубоко проанализированная А. Эйнштейном в теории относительности.
В соответствии с идеей дополнительности геометрии к физики собственно геометрические понятия (метрические свойства, свойства симметрии, топологические и порядковые свойства и т.п.) рассматриваются как понятия физической 1сометрин-опытной науки, являющейся, по сути, самой древней отраслью естествознания. Идеальным объектам математики в физической теории ставятся в соответствие практически твердые тела физики. Геометрическое пространство интерпретируется как прострапственно-временной континуум реальною мира событий. «Согласно выдвинутому здесь взгледу вопрос о том, имеет mi лтот контп ! у у м звк шдову, римановуи ш какую-либо другую структуру, является вопросом физическим, а не вопросом соглашения о выборе на основе простой целесообразности»; [1].
логин и электронной почты, опосредующим звеном между обучаемым и образовательным учреждением может быть оборудованный средствами вычислительной техники образовательный ueHip вблизи от места проживания обучаемого, который в данном случае выступает как полномочный представитель образовательного учреждения. Такими образовательными центрами могут быть как специализированные центры ДО, скажем на базе филиальной сети и пупгктов заочного обучения с a mojo образовательного учреждения, так и сторонние образовательные заведения, с которыми у образовательного учреждения существуют соответствующие договора.
Согласно «пути Эйнштейна» развития физических теорий в целях возможного упрощения арсенала физических понятий осуществляется усложнение принятой геометрической модели и математического аппарата. В результате появляются такие абстрактные математические понятия, как п се вдо евклидов о пространство, тч-и. и,; Иматюво прои р-И' I м ги:гя'р : | иыг.-мы 1т т.п.
По Эйнштейну вокруг массивных тел пространство-время искривлено, и только по этим «геодезическим кривым» может осуществляться всякое движение, в том числе и световых тучей. Пространство обладает упругостью, в нею как бы «втиснуты» физические тела, искривляющие его. Таким образом, физическое понятие гравитации заменено математическим определением кривизны 4-мерного прострапства-време-ни прн помощи 10-парамстрпческого тензора. В ОТО «материя исчез.(а, остались одни уравнения» [2].
Великий ученый современности Р. Фейнман (США, умер в 1988 г.), бесспорно признавший теорию Эйнштейна, сказал: «Гравитацию пока нельзя объяснить никакими другими явлениями» [3], имея в виду то, что Эйнштейн для математи-
Литература
Новожилов Э.Д., Обухов А.в. Краткий обзор некоторых аспектов дистанционного образования Ц Вестник ТГПУ. Серия: Есте ствгнные и точные научи Выи. &. 199В. С. ЯВ 60.
Управление современным обраиванием: социальные и экономические аспекты / Под ред. А.Н. Тихонова. М.: Вита Пресс, 199Я. С. 117
удк 37$ к, з7& а
//,/'. Подае&а
ГРАВИТАЦИЯ И НЕОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
Елецкий педагогический институт
ческою удобства заменил □ ОТО физический смысл гравипиши комстрнческпм понятием -кривизной пространства-времени*.
В развитии теории физическою познания все по иятияг.иожно условно классифицировать как ,:еом¿трычас кие и негеометрические. К первым относится свойства пространства-времени, ко вторым .-г .движение, причинность, воздействие н др. Однако можно провести аналогию между некого рм ми свойствами пространс гва-врем енп (геометрическими свойствами материи) и отдельным н нсгеаметрическнмп понятиями:
Гвоиетрнчес^чп
ПОНЯТИЯ
Не Геоы4<Т[)ичесч ие пони гни
¿EHHIÍH«
СЫ)1* стоя i ИНv-отри I»
'акЕ^нв.ние («Н варнаЧГНасТь)
грпсщ(юичкиия и ; порядюиыв свойств» npUsMHUfittb
ílif нежный паря док ПрИЧНННЫЙ Г срчййК
- 1
Н4Ггр*|яианость
гр Г.^УПЗИ'.ТБП-й^ийН!'
и пространства
¡tptKLT^ancraüHi'.Q-ьрсмелнзя иетру-кг
npMHUk.'i
Ьшждечпмя i
^híwhhíc ""не CtipaHÉHM jjHípriiH.
ныпулыи и MOMhHTj-j
t'H 1ИЧП-ГН П( МкОН1И fHVJWi'A
Согласно принципу дополнительности гсо-Mí ipiiu н физнкн усложнение геометрических понятий [геометрической части описания (Г)+(Ф)1 ведет к упрощен!по нсгеометрической части. Так, в общей jcopini бтноентельнрети ввадение понятий и положений неевклидовой геометрии рима-нова мрос гране шл позволило вскрыть единство инерции и гй1 огения, вывести уравнения движения из уравнений нолй и т.д. Математический аппарат QÍOi основанный на формализме понятий римановой герме трип и тензорного анализа l'iipHHüM ро.Цп о с 111 ■ ми чг 1Ы преобразований Н|грает ГРУПТТЗ всех гомеоморфизмов), является сложным с аналитической точки зрения. В то же время физическая ii. :i описания является сомнительно простой.
Таким образом, следуя идее дополнительности геометрии и физики, мы проводим соответ-етвие между понятиями геометрии и физики. Причем можно указать два аспекта этой: соответствия. При первом (эмпирическом) геометрические понятия иктерпретируются с помощью соответствующе! о класса эмпирических объектов и процессов (твердые тела, световые лучп и т.п.) Этот аспект реализуется в СТО, где подчеркивается связь понятия одновременности с эмпирическим процессом распространения света в ии-готс, роль твердого тела в эмпирической интерпретации геометрии и др. При втором аенск-ге (семантическим), реализуемом в ОТО, : со метрическая модель (пространств о-в рем я) получает семантическую интерпретацию в рамкам физической картины мира. П результате обнаруживается тесная связь понятия прострапства-эремени с понятиями физического поля, тяготения, массы, инерции и т.д. Таким образом, а ОТО происходит геомстрнзация важного понятия, выражающего физическую реальность, -понятия тяготения.
Итак, I сометрнзапня физики предполагает семантическую интерпретацию геомет рическо! о понятия пространства-времени с помощью понятий физического поля, тяготения, массы, инерции н др. При этом не только физика геометрн-зуется, но и геометрия наполняется реальным физическим содержанием: понятие движения в физике объясняется геометрически как пропси-дящее по некоторым кривым принятой физической геометрии; материальные частицы рассматриваются как аспекты поля, сливающегося с геометрическим пространством-временем, и т.д.
В этой связи следует отметить, что методологическая проблема дополнительности геометрЕШ и физики тесно связана с диалектическим протиноречисм логики и интуиции в мышлении, аксиоматической тг конструктивной про цел у о и математике, чувственного й рационального в научном познании, с проблемой асимметрии полушарий головного мозга, а !акжг г диалектикой абсолютно^ и относительной истины. Дополнительность геометршг н физики уожет рассматриваться «как одпо из проявлений диалектического характера процесса научного познания в сю стремлении ко все более полному и адекватному отражению действительности» [41.
Ниже мы предлагаем вашему вниманию содержательный материал одной из лекций курса по выбору ^Геометрия и теория относительности»**, цель которой - формирование представлений об о с нов ныд положениях теории фавнта-
Сопрсм№ная наука, призкайая предложенную Эйнштейном кривизну пространства времени икоиченней теорией гравитации, в то же время утверждает, что носителей гравитационного взаимодействия являйся о^е не открытая ¡»лвмешарлая частица -гравитон. '
Спецкурс »Геометрия и теория относительности» paspa Ьотан нами для студентов физико-математических факультетов педвузов.
II. Г. Подает. Гравитация и неоднородное пространство-время
[Донного поля (ОТО), являющейся теорией пространства-времени, ]. Теория тяготения Ньютона.
В 1687 г. в труде «Математические начала натуральной философии» Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения: любые две частицы с массами тЛ, тв притягиваются друг к другу с силой
íl>
О-гравитацнонная постоянная. По современным данным О = 6,6745(8)-10"м5/кг-с:!. Согласно закону {)) сила тяготения зависит только от положения частиц в данный момент времени, т.е. гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно.
При произвольном распределении вещее: сила гяготения, действующая в данной точке на пробную частицу, может быть выражена как произведение массы этой частицы на вектор называемый напряженностью поля тяготения в данной точке. Чем больше £ по модулю, тем сильнее поле тяготения.
Из закона Ньютона следует, что поле тяготения - потенциальное поле, т.е. его напряженность £ может быть выражена как градиент* некоторой скалярной величины называемой ерйвута-цион/> ым потенцинюм:
(2)
Так, для частицы массы »1 потенциал поля тяготения
<р - -G
, т
(3)
Если задано произвольное распределение плотности вещества в пространстве г -г(г), то можно вычислить гравитационный потенциал ) этого распределения, а следовательно, и напря женкоеть £ гравитационного поля во всем пространстве. Потенциал \ определяется как решение уравнения Пуассона:
Д (р = 4 яОр.
(4)
где
Д =
д2 д2
Гу - оператор Лапласа.
дх2 ду: &
Гравитационный потенциал какого-либо тела или системы тел может быть записан з виде суммы потенциалов полей тяготения частичек, слагающих тело или систему (принцип суперпозиции), т.е. в виде интеграла от выражения (3):
IV
<р = - 16 — (4 а)
Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел), г - расстояние элемента массы dm от точки, в которой вычисляется потенциал.
Выражение (4 а) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела (системы тел) определяется неоднозначно. Например, к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Однако если потребовать, чтобы вдали от тела, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно н виде (4 а).
2, Необходимость обобщения закона тяготения Ньютона.
Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение тяготения и уже поэтому не может быть согласована с СТО, утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Поэтому теорию Пыогоиа нельзя применять в тех случаях, когда применима СТО, т.е. когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скоростей порядка скорости света. Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности до некоторой точки, равна по порядку величины квадратному корню из модуля гравитационного потенциала *р в этой точке (предполагается, что на бесконечности {</>= 0). Таким образом, теорию Ньютона можно применять только в том случае, когда
И«с2. (5)
В полях тяготения обычных небесных тел это условие выполняется. Так, на поверхности Солнца |p|fcM- ЮЛ а на поверхности белых карли-ков - порядка I0"6.
Обобщение теории тяготения было сделано Эйнштейном в 1915-1916 гг. Новая теория была названа общей теорией относительности.
3. Принцип эквивалентности.
Установленный опытным путем итальянским
ученым Г. Галилеем факт, что на поверхности 'Земли все тела падают под влиянием ее попя тяготения с одинаковым ускорением свободного падения, может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной массы тг определяющей взаимодействие тела с полем тяготения и входящей в закон (I), н инертной массы тИ, определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона. Уравнение движения тела в поле тяготения записывается н виде:
Градмемом попя тяго'еикя называется веггор F. 4,
тп а - F - mTg, (б)
где а - ускорение, приобретаемое телом под действием напряженности £ гравитационного поля. Если т., пропорционально т. и коэффициент пропорннойальноети одинаков для всех тел, то мояию выбрать единицу измерения так, что ЭТОТ коэффициент станет равным единице, тт= ши, тогда в уравнении (6) массы сокращаются И ускорение а не зависит от массы, а равно напряженности ^ поля тяготения, в согласии с законом Галилея.
Таким образом, тела разной массы и природы ДВИЖУТСЯ в заданной поле тяготения совершенно одинаково, сели их начальные скорости одинаковы. Это позволяет провес гн аналоги го между движением гсл в поле тяготения и движением тел в отсутствии тяготения, но относительно ускоренной системы отсчета. Так, в отсутствие тяготения тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Бсяи наблюдать эти тела, например, из кабины космического корабля, который движется вне поля тяюте-пня с постоянным ускорением за счет работ].1 двигателя, ю по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине п противоположным по направлении) ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в однородном постоянном поле тяготения. Силы инерции, действующие в ускоренном космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения у поверхности Земли. неотличимы от сил гравитации, действующих е истинном поле тяготения в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчет (связанной с космическим кораблем) эквиваленты гравитационному полю. Этот факт выражается принципом э ктна.чентности Эйнштейна.
Сог ласно этому принципу можно осуществить и процедуру, обратную описанной иыше имитации ноля тяготения ускоренной системы отсчета, а именно можно «уничтожить» в данной точке истинное ¡равилацнонное поле введением ускоренно движущейся системы отсчета. Так, хорошо известно, что в кабине космическою корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в ее поле тяготения, наступает состояние невесомости - не проявляются силы тяготения (рис, I).
«Сильный принцип эквивалентное ги» Эйнштейна состоит в том, что не только механические, но и все физические процессы в истинном поле тяготения и в ускоренной системе в отсутствие тяготения протекают по одштаковым законам.
Рис. 1
4. Теория тяготения Эйнштейна.
Эйнштейн показал, что если, исходя из прнншша эквивалентности, потребовать, чтобы Истинное гравитационное поле было эквивалентно локальным соответс гвующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчета, то в любой конечной области пространство-время окажется искривленным неевклидовым.
В СТО в ИСО квадрат расстояния запишется ft виде квадратичной формы tlx =iix: +dy2 -frfz'-c-Vi(7) ГДе t - время, x, у, 7. - прямоугольные декартовы координаты. Эта система называется галилеевой.
Если ввести любые криволинейные координаты, то (Сбудет выражаться общей квадратичной формой:
ds = I
(Ю
С физической точки зрения переход к криволинейным координатам означает переход от ИС'О К системе, движущейся с ускорением, деформирующейся и вращающейся
В ОТО пространство-время не плоское, а искривленное. В нем нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. Зная ^ как функции четырех координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени.
Теория гравитационного поля, или ОТО, одновременно является теорией пространства-времени и служит базой современной космоло-гнн. В малых пространственно-временных областях (локально) сна переходит в СТО (специальную теорию относительности) и, следовательно, служит обобщением последней.
Установленной еще Галилеем характеристикой гравитационного поля является равенс тво ускорении любых тел, движущихся в одинаковых
Н.Г. Подает. Гравитация и неоднородное npocrtipaiicmeo-время
полах тяготения. Гак как все тела под действием поля тяготения движутся с одинаковым ускорением (например с ускорен!!ем свободного падения), то чем больше масса тел а, тем большая сила ■ 9-11 с|спин него возденстЕЗУГ ..• к• чт'п : что инертная и гравитационная массы тела равны.
; : г i . | : , vi 1н0л. ■ ?! .-г1 ■ в
наше время с точностью до 10"'является первым постулатом теории тяготения.
Е СТО все многообразие механических, электродинамически ч н других явлении оказалось отнесенным к четырехмерному псевдоевклидову Пространству '¡^ с метрикой д(х) = х] + л:,2 + х^ - х\ интервал н котором запишется
= <?((/г) + £¿15 - ^в^сЬ^Ь^х^ 9)
т.е. матрица А = [а^] квадратичной формы в ор-то нормирован ом базисе имеет вид:
I 0 0 о~ ото.; Л 0 м I о
и) о о -: 1 — _
Переход к нениерци<4 гьной системе (т.е. к си стеме, движущейся неравномерно и непрямоли-нейко) связан с переходом к некоторой кривШш-нейной системе координат и^, связанной с гнлп-леевыми координатами ха некоторым законом преобразования*
■ = ,: (и ,:и - и (л:);Щ/г - V 2, 3.4. (10)
и-- л- а' •
Преобразуя интервал (9) с помощью (10), мы 1 юдачим
■I
Ж-
где компоненты метрического тензора имеют следующий специальный вид:
* дх1 6х, дг дг 2,«,, — = --- . , (12)
Метрический тензор и редега в л яет собой билинейную форму:
^ А
где М, 2, 3, 4. т.е. определяется
десятью компонентами ^пш (к;к как матрица £?=[&№] симметрическая).
Второй постулат теории тяготения следующий: так как поля сил инерции и тяготения ло-
* Посте почти восьми лет пои Слов.
кильно неразличимы, то информация о гравитационном поле, так же как и о силах инерции, должна содержаться в метрическом тензоре gmn, который в теории тяготения играет роль потенциала. Если гравитационного поля нет (т.е. имеется поле сил инерции), то компоненты метрики имеют специальный вид (12), позволяющий перейти от(11) обратно к выражению интервала (О), т .е. от НС (неинерциальной системы) к ИС (ннер-циальной системе), и тем самым устранить силы тяготения во всем пространстве.
Если присутствует поле тяготения, то компоненты gmn метрического тензора теряют свой специальный вид (12), и тогда никакими преобразованиям» координат нельзл '.вести выражение (II) во всем пространстве к выражению (9), т.е. невозможно ввести единую инерцнальную систему отсчета. Геометрически это означает, что пространство перестало быть плоским.
В силу угого результата мы приходим к решающему выводу: пространство, а котором есть гравитационное поле, - не плоское. Тяготение проявляется в искривлении njjocrpaHcr&a, к ттим гравитационное поле резко отличается от всех остальных полей
Источником гравитационного поля, т.е причиной, порождающей искривление пространства-времени. я ft л я юте я движущиеся массы и любые поля. Распределение и движение масс, а также динамические характеристики любых полей описываются, как известно, тензором энергии-импульса Т^ г1 = 1, 2, 3.4). Компонент Тт| задает плотность энергии (массы), а остальные - плотность потока энергии (массы), количеств а движения.
Таким образом, источником гравитационного поля является сложная величина - движущиеся массы и любые поля. Потенциал поля описывается десятью компонентами тензора £inn
В декабре 1915 г.* Эйнштейн дал окончательную формулировку уравнении гравигацнонного поля [CUT, Е, с. 44Й/
(14)
Эти уравнения в общековариантной (сопреоб-разующейся) форме выражают то, что распределение и движение любых видов материи (плотность распределения источников описывается стоящим в правой части тензором Tmn энергии-имлульса, куда входят все виды энергии, кроме гравитационной) порождает кривизну пространства-времени. Характеристики кривизны пространства-времени содержит лева* часть, а именно тензор Риччи:
R = V В
/IV "" / ' о "дЛТИЗ- (
— КЗ
который представляет собой сумму компонентов тензора кривизны
Тензор кривизны сложным образом зависит от компонентов йгпп метрического тензора и их первых н вторы* производных [5];
=+- г^г*)
В левую часть также входит скалярная кривизна
В .Случае двумерного пространства постоянен кривизны (например сферы) она равна
1
~2 где г - радиус сферы.
КО Н1 НО Л ЬН Ы Ё ВО П РОС Ы:
1. Каковы основные положения теории тяготения Ньютона?
2. Чем обусловлена необходимость обобщения закона тяготения Ньютона?
3. В чем состоит принцип эквивалентности Эйнштейна?
4. Как выражается квадрат расстояния в галн-теевьгх координатах н л криволинейных коорди-на гах?
5. Сформулируйте постулаты теории тяготения.
6. Обоснуйте положение: «пространство, в котором есть гравитационное поле, не является плоским».
7. Напишите уравнение гравитационного
ПОЛЯ.
8. Как связан тензор Рнчн с тензором кривизны?
Н заключение следует отметить, что следствием теории относительности Эйнштейна, трактующей гравитацию как кривизну пространства-времени*, является вывод о взорвавшейся из точки и раздувающейся конечной Вселенной с последующим ее распадом на фотоны и электроны.
В 1915г. рядовой немецкой армии Карл Швар-ЦШЙЛЬД, решая уравнения Эйнштейна, теоретически открыл возможность образования чернщ дыр. Черная дыра (сингулярность) - это область пространства-времени, кривизна которого, согласно ОТО, при гравитационном сжатии превзошла критический радиус, а время остановилось. Согласно теории Большого Взрыва Вселенной вся субстанция Вселенной приблизительно 12 млрд лет назад находилась в таком (сингулярном) состоянии в одной точке. Большой Взрыв ее дал начало образованию галактик, которые, по закону Хаббла, продолжают ускоренно разлетаться в нашей расширяющейся Вселенной. Причины Большого Взрыва кеизвеетны
Для самого Эйнштейна такое открытие Швар-тннльда оказалось неожиданным н иызнало > него «величайший интерес». А уте в 20-х гг. он был просто потрясен, когда в России рядовой инженер Александр Фридман, решая все те же уравнения Эйнштейна, создал теорию расширяющейся Вселенной.
Литература
]. Эйищтйт А. Собр&гкй научны* труден. Т. I. М. 19&7. С. В7.
2. Деь^н В.И Материализм и &нпирно£ри!ицнэи.
3. Фейнман 'Р. Характер физически* законов. М.: Наука. 1987.
4. 'Мост'еЬатвнко А.П -Дополни гельность» физики и геометрии // Эйнштейн и философские проблемы физики XX ае*а М.: Наука, 1979. С ?40
5- См.: Родичев В.И. Теория тяготения 8 ортогональном репере. М.: Наука, 1974.
Пространство как бы обладает упругостью, куда ■втиснуты» физически тела.
— 84 —
