Гравитационная энергия системы тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

Таким образом, еср = ем Действующее значение ЭДС однофазного переменного тока равно

е = Ц /0Т е(t)2dt Для нашего случая, е=6 •

1 Í-T/4 T/12

e(t)2dt =

6 • ^Т ^ТТ//142 £м2 51п2 ^ dt = 3ем^- + |

Пример 3. На рисунке 9 представлена форма напряжения на выходе фазоимпульсного регулятора. Амплитуда после двухполупериодного выпрямленного синусоидального напряжения сети на входе регулятора им. а =п/4 - угол проводимости, меняется в пределах от 0 до п.

Рис. 9

Нужно найти максимальное, среднее и действующее значения на выходе регулятора.

UA = Um sin (л-а) = Um sina = Um — и 0,707Um тт 1 fT/2

UcP = ™Jr

Um

t/2 j3t/e UMsinwtdt = Um (l-cosa)/^ » 0,093

U

T/2 ^3T/8 UM2 sin2 Wtátt

UmJ(

•a - (sin 2a) / 2) /(2^) ) = UMJ - и 0,213UM

Литература

1. Малов Н.Н. Основы теории колебаний. Изд-во: М.: Просвещение, 1971.

2. Евсюков А. А. Электротехника: Учеб. пособие для студентов физ. спец. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1981.

3. Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Справочник по математике. - М., Лист, 1999.

4. Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. - М.: Просвещение, 1982.

5. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Москва, Издательство «Высшая школа», 1996.

6. Добротворский И. Н. Теория электрических цепей: Учебник для техникумов. Москва, Издательство Радио и связь, 1989.

7. Жеребцов И. П. Электрические и магнитные цепи: Основы электротехники. — Л.: Энергоатомиздат, 1982.

ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Мукушев Базарбек Агзашулы

Доктор педагогических наук, профессор кафедры физики государственного университета в г. Семей,

Республика Казахстан Нурбакова Гулия Серикмухаметовна Кандидат физико-математических наук, и.о.доцента кафедры теоретической и ядерной физики КазНУ

им.аль-Фараби, Республика Казахстан Жаугашева Сауле Аманбаевна

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и ядерной физики КазНУ им.аль-Фараби,

Республика Казахстан.

АННОТАЦИЯ

В статье раскрываются основные свойства гравитационного поля системы тел. Уточнено определение понятия о центральной силе. Рассмотрены следующие характеристики поля тяготения: напряженность и потенциал. Выведена формула гравитационной энергии системы материальной точки и шара с постоянной плотностью. Изучена гравитационная энергия Солнечной системы в целом. Проверена и отклонена гипотеза об определении возраста Солнца на основе гравитационного сжатия.

Ключевые слова: гравитационное поле, напряженность, потенциал, гравитационная энергия, энергия связи. ABSTRACT

The article describes the basic properties of the gravitational field of bodies. Clarify the definitions of the central power. The following characteristics of the gravitational field: tensions and potential. The formula of the gravitational energy of a material point and ball. Studied the gravitational energy of the solar system. Tested and rejected the hypothesis of determining the age of the sun.

Keywords: gravitational field, tension and potential, gravitational energy, the binding energy.

Гравитационная энергия - потенциальная энергия системы тел (частиц), обусловленная их взаимным гравитационным тяготением. Потенциальная энергия системы взаимодействующих тел - это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами взаимодействия при взаимном удалении всех тел системы из данного расположения на бесконечное расстояние друг от друга.

Для любой системы тел, находящихся на конечных расстояниях, гравитационная энергия отрицательна, а для бесконечно удалённых, то есть для гравитационно не взаимодействующих тел, гравитационная энергия равна нулю. Полная энергия системы, равная сумме гравитационной и кинетической энергии, постоянна. Для изолированной системы гравитационная энергия является энергией связи. Отрицательный знак гравитационной энергии сам по себе означает, что сила взаимодействия (тяготения) мешает взаимному удалению тел, является силой сопротивления по отношению к их взаимному удалению. Работа ее в таких условиях отрицательна. [1].

Силовой характеристикой гравитационного поля служит напряженность, т.е. отнесенная к единице массы сила, действующая на частицу, помещенную в данную точку поля. Обозначим напряженность гравитационного поля через §. С математической точки зрения гравитационное поле можно рассматривать как векторное поле, изображаемое семейством силовых линий, т.е. линий вектора § [2 - 4].

Поле называют однородным, если его напряженность во всех точках одинакова. Поле называют центральным, если во всех его точках векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной и той же точке О, неподвижной по отношению какой-либо инерциальной системе отсчета.

Если начало координат совместить с точкой О, а положение точек поля С(х,у^) определить с помощью радиуса-вектора г, проведенного из О, то для центрального поля тяготения

8 = ??

где §г = §г (х, у, z) - проекция вектора § на направление радиуса-вектора г. г =

Точку О называют центром сил. Центральное поле называют сферически симметричным, если численное значение вектора напряженности зависит только от расстояния г до центра О.

Докажем, что поле центральных сил потенциально:

5Л = F•d? =ш§* d? = ш^Т г* й?= ш§г^г так как ?• d? = г^г

$(цт7?* = т§г*й? = 0

Из закона всемирного тяготения непосредственно следует, что векторное поле напряженности связано с полем скалярной функции, получившей называние гравитационного потенциала. Это связь определяется известным соотношением

g= - grad ф = - Уф

(1)

поверхности равного потенциала. Таким образом, силовые линии поля гравитации являются семейством ортогональных траекторий поверхностей постоянных потенциалов.

Гравитационный потенциал в данной точке поля с декартовыми координатами х, у, z определяется формулой

[5]

ф = G/Я r2 =(x - x')2 + (y - y')2 + (z - z')2, (2)

где dт -элемент объема в точке х' , у ' , ъ' , р - плотность в той же точке, г - расстояние элемента dr от данной точки х,у^. Интегрируем по координатам х', у' , ъ' в пределах объема тела, создающего рассматриваемое поле. Очевидно, что если размеры и плотность этого тела конечны, то гравитационный потенциал и соответствующая ему, согласны (1), напряженность конечны и непрерывны во всех точках поля, расположенных как вне, так и внутри тела.

Когда источником поля тяготения служит материальная точка с заданной массой М, потенциал поля на расстоянии г равен

G M ф = - —

(3)

Этой же формулой определяется потенциал во внешних точках поля, созданного телом сферическим распределением массы.

Во внутренних точках этого тела потенциал на расстоянии г от центра равен

ф

G M(r)

+4tcG/ p(r)rdr

(4)

Через M(r) здесь обозначена масса внутренней части тела, ограниченной сферой радиуса r.

Напряженность, соответствующая потенциалу (4), G M(r)

равна--—— и направлена к центру; она обусловлена

массой M(r) внутренней области, тогда как внешний сферический слой создает в этой области поле с постоянным потенциалом, которому отвечает нулевая напряженность. В частном случае, когда р = const, формула (4) дает

ф = - 2^Gp(R2 - 1 r2)

(5)

вследствие чего напряженность по абсолютному значению оказывается равной ^лврг.

Во внешних точках гравитационный потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа

У2ф=0 (6)

А во внутренних точках тела - уравнению Пуас-

сона.

У2ф= - 4^Gp

(7)

Это соотношение следует понимать так, что в каждой точке поля напряженность направлено по нормали к

Точнее, гравитационный потенциал материальной точки, или шара с постоянной плотностью ( г > R, где R -

радиус шара) выражается по формуле ф = - где М масса шара. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Можно вычислить работу по перемещению точечного тела (т) в поле тяготения другого точечного тела с массой М (Рис.1).

r

Рис.1

« Гг2 1 л Гг2 тМ , и га и га

А=/Г12 dA= - /г> — аг = т (—_ — )

■Т1 ' Г2

Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой т (работу по удалению материальной точки массой т от Земли массой М на расстояние г).

На данную точку в положении 1 действует сила:

-¡3 тМ -»

F = у —г

Г3

При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа dA=-Y т^г

(знак минус показывает, что сила и перемещение противоположны). Тогда общая работа

, О М О М . Г2 Г1

Эта формула показывает, что затраченная работа не зависит от траектории, а зависит лишь от координат точки. Следовательно, работа консервативных сил при перемещении точки т вдоль произвольного замкнутого контура Ь тождественно равна нулю.

Итак, работа тяготения тела с массой М по перемещению точечного тела т0 равна

. , О МО Мч .оч

А = т (—_ — ) (8)

Г2 Г1

О М О М

Выражения--и--есть гравитационные по-

Г2 Г1

тенциалы в точках г2 и г1 окрестности тела М [6].

Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. В этом случае мы имеем дело с изолированной системой двух тел. Таким образом, гравитационный потенциал является энергетической характеристикой поля тяготения.

(8) формулу напишем в следующем виде

А = Сшм_ СшМ = - (и2 _ Ш)

(9)

От М

и =--носит название гравитационной энергии

изолированной системы, состоящей из двух точечных тел.

Вычислим гравитационную энергию и шара радиуса R, равномерного заполненного веществом с объемной плотностью р. Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположными знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разобьем мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои будем последовательно удалять в бесконечность каждый из таких слоев, начиная из самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле

создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если т - масса этого вещества, dm -масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна

аА= Gmdm.

г

Но для однородного шара т=М(Г)3,где М - масса

всего шара. Поэтому М2

dA=3G— гМг. Учитывая, что dA = -Ш и интегрируя, получим

тт ,,ОМ2 ГR 4 , 3 ОМ2

и = -3—— I г4аг =------(10)

R6 0 5 R у '

За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии.

Интересны астрофизические применения формулы (10). В прошлом веке Гельмгольц (1821 - 1894) и Вильям Томсон (1824 - 1907) выдвинули гипотезу, согласно которой Солнце непрерывно сжимается под действием гравитационных сил [7]. Выделяющееся при этом тепло и идет на излучение Солнца. Максимальная энергия, которая может выделиться в процессе гравитационного сжатия Солнца, соответствует начальному состоянию, в котором вещество Солнца было равномерно распределено по всему бесконечному пространству. Будем считать, что в конечном состоянии плотность вещества одинакова по всему его объему (в действительности она, конечно, возрастает к центру Солнца). Масса Солнца М= 2-1033 г, радиус R=7•1010 см. Используя эти данные получим для выделившейся энергии

2

Е=- =2,28-1048 эрг.

В настоящее время скорость излучения энергии Солнца составляет 3,86-1033 эрг/с. Если считать, что эта скорость была постоянна во времени, то для возраста Солнца получится величина

г« 2,28 " = 5,9-1014 с « 1,9-107 лет

3,86-10

Возраст Солнца по данным современной науки 4,59-109 лет. Значит, гипотеза ученых 19 века не состоятельна. Это показывает, что гравитационное сжатие является слишком слабым источником, чтобы покрыть потери энергии солнца на излучение. В действительности источником Солнечной энергии, излучаемыми звездами, являются ядерные энергии, идущие в недрах Солнца и звезд.

Следует, однако, заметить, что гравитационное сжатие становится основным источником энергии на более поздних стадиях эволюции звезд (белые карлики, нейтронные звезды, или пульсары, коллапсары, или «черные дыры»).

Потенциальная энергия тела массы т0 в поле планет Солнечной системы есть аддитивная функция и может быть найдена как сумма

"" (9)

и(г) = ^тО^ —

|Г-Ч|

где mi и а1 - массы и радиусы орбит планет, начало координат выбрано в центре Солнца (а10 = 0) и г> 700000 км.

В формуле (9) предполагается, что из рассмотрения исключаются промежутки |г — а;|< Ш, соответствующие областям г внутри каждой планеты. Для определенности в пределах этих интервалов вклад соответствующей планеты в суммарную потенциальную энергию т0 можно положить равным потенциальной энергии на поверхности

этой планеты. Поведение функции и(г) в основном определяется слагаемым, соответствующим вкладу от Солнца (1=10), за исключением областей с размерами Дг «10Ш около каждой планеты. Поэтому следует ожидать, что график функции и (г) есть гипербола, на которую накладываются очень узкие вертикальные пики, расположенные около каждой планеты. Наиболее ярко этот эффект проявляется в окрестности планет-гигантов Юпитера и Сатурна (рис. 1.)

Рис.1. Потенциальная энергия т=1

Для расчета гравитационного потенциала Солнечной системы согласно принципу суперпозиции полей точечных масс суммируются гравитационные потенциалы Солнца и всех планет. Поскольку масса Солнца 750 раза больше чем суммарная масса всех планет, гравитационные потенциалы планет солнечной системы обычно пренебрегают [8,9].

Литература

1. Стручков В.В., Яворский Б.М. Вопросы современной физики. - М.: Просвещение, - 1973.

2. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г.А. Гравитация. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2008.

3. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.

в окрестности Юпитера и Сатурна

4. Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трехсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — В. 36. — С. 184-196.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики - М.: Наука -1974.

6. Фейнмановские лекции по физике. - Издательство «Мир» - М.:1977.

7. Бронштейн М.П. Строение вещества - М.: ОНТИ -1935.

8. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Глав. ред. физ.-мат. лит. — М.: Наука, 1968.

9. Карманов Ф.И. Компьютерное моделирование межпланетных перелетов в Солнечной системе // Соровский образовательный журнал. 2000. - №9.

ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Парыгина Светлана Александровна

Канд. псх. н., доцент кафедры математики и информатики Череповецкого государственного университета

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы, связанные с особенностями применения непараметрических статистических критериев проверки гипотез к обработке экспериментальных данных гуманитарных исследований. Проводится сравнительная характеристика параметрических и непараметрических критериев проверки гипотез.

Ключевые слова: выборка, генеральная совокупность, статистические критерии проверки гипотез, параметрические и непараметрические критерии, ранговые статистики.

ABSTRACT

The article discusses the issues associated with applications of nonparametric statistical tests of hypotheses to the analysis of the experimental data for Humanities research. Comparative characteristics of parametric and nonparametric tests of hypotheses.

Keywords: sample, a population, statistical criteria for testing hypotheses, parametric and nonparametric, rank-based statistics.

На сегодняшний день актуальной задачей математической статистики является задача, связанная с разработкой и применением эффективных методов анализа статистических данных, полученных в разных областях

деятельности человека. Но существует ряд особенностей применения методов математической статистики для обработки данных различной природы. Во-первых, значи-